13.1.2 直角三角形的判定 教学教学课件 -2026-2027学年华东师大版数学八年级上册

华东师大版八年级上册13.1.2直角三角形的判定专项练习一、核心知识点梳理本节核心内容为勾股定理的逆定理，也是判定直角三角形的核心依据：若三角形的三边长分别为a、b、c（c为最长边），满足a²+b²=c²，则该三角形为直角三角形，且最长边c所对的角为直角。同时需掌握勾股数的定义：满足勾股定理的三个正整数，常见勾股数有3、4、5；6、8、10；8、15、17等，勾股数的整数倍依然是勾股数。解题关键是先确定三角形最长边，再验证较短两边的平方和是否等于最长边的平方，避免边长取值混淆导致判定错误。二、基础专项练习（一）选择题（每题4分，共20分）1.下列各组线段中，能构成直角三角形的是（）A.3，8，12B.8，15，17C.12，15，18D.3，17，182.下列各组数中，不属于勾股数的是（）A.6，8，10B.7，24，25C.1.5，2，2.5D.9，12，153.已知三角形三边长为5、12、13，则该三角形最大内角的度数为（）A.30°B.60°C.90°D.120°4.若一个三角形的三边长的平方分别为3²、4²、5²，则该三角形是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.无法判定5.直角三角形的三边长为连续自然数，则三边长为（）A.2、3、4B.3、4、5C.4、5、6D.5、6、7（二）填空题（每题4分，共20分）1.已知三角形三边长为9、12、15，该三角形________（填“是”或“不是”）直角三角形。2.若三角形三边长为a、b、c，满足(a+b)²-c²=2ab，则该三角形是________三角形。3.已知直角三角形两条边长为6和8，则第三条边长为________。4.一组勾股数的倍数________（填“是”或“不是”）勾股数。5.三角形三边长为5、7、8，该三角形________直角三角形（填“是”或“不是”）。三、提升解答题（每题15分，共60分）1.判断下列三组线段能否构成直角三角形，写出完整判定过程。（1）4、5、6（2）8、15、17（3）9、12、152.在△ABC中，AB=20，BC=12，AC=16，判断△ABC的形状，并说明理由。3.如图，在△ABC中，D为AB上一点，已知AC=20，BC=15，CD=12，BD=9，求证：△ABC是直角三角形。4.已知三角形三边长为2n、n²-1、n²+1（n为大于1的正整数），求证：该三角形为直角三角形。四、参考答案与详细解析（一）选择题解析1.答案：B。解析：先找最长边，依次验证平方和。8²+15²=64+225=289=17²，符合逆定理，可构成直角三角形，其余选项均不满足平方和关系。2.答案：C。解析：勾股数必须是正整数，1.5、2、2.5为小数，不属于勾股数，其余选项均为标准勾股数。3.答案：C。解析：5²+12²=25+144=169=13²，三角形为直角三角形，最长边对应内角为90°。4.答案：B。解析：3²=9，4²=16，5²=25，9+16=25，满足勾股逆定理，为直角三角形。5.答案：B。解析：3、4、5为连续自然数，且3²+4²=5²，是直角三角形，其余连续自然数组合均不满足定理。（二）填空题解析1.是。解析：9²+12²=81+144=225=15²，符合直角三角形判定条件。2.直角。解析：化简式子得a²+2ab+b²-c²=2ab，即a²+b²=c²，可判定为直角三角形。3.10或2√7。解析：分两种情况，8为直角边时，第三边为斜边10；8为斜边时，第三边为直角边2√7。4.是。解析：勾股数的正整数倍仍满足勾股定理，依旧为勾股数。5.不是。解析：5²+7²=25+49=74，8²=64，74≠64，不满足判定条件。（三）解答题解析1.解：（1）最长边为6，4²+5²=16+25=41，6²=36，41≠36，不能构成直角三角形；（2）最长边17，8²+15²=289=17²，能构成直角三角形；（3）最长边15，9²+12²=225=15²，能构成直角三角形。2.解：△ABC是直角三角形。理由：最长边AB=20，BC²+AC²=12²+16²=144+256=400=20²=AB²，根据勾股逆定理，△ABC为直角三角形。3.证明：在△CDB中，CD²+BD²=12²+9²=144+81=225=15²=BC²，∴△CDB为直角三角形，∠CDB=90°，∴∠ADC=90°。在Rt△ADC中，AD=华东师大版（新教材）数学八年级上册13.1.2直角三角形的判定授课教师：.

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8年级（

）班.

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2026/9/30

学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。第13章勾股定理

据说，古埃及人用如图的方法画直角：把一根长绳打上等等距的

13个结，然后以

3个结间距，4个结间距，5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角.这种做法真能得到一个直角三角形吗？新知探究根据下表所给的数据画出三角形，你有什么发现？abc结论是否为直角三角形345681046851213a2+b2=c2a2+b2=c2a2+b2≠c2a2+b2=c2是是不是是通过上表的数据，你能得出什么结论？新知探究已知：如图所示，在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b，a2+b2=c2求证：∠C=90°从上面表格中，我们能够猜想如果三角形a、b、c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形，如何证明猜想呢？新知探究证明：如图所示，作△A1B1C1，使∠C1=90°A1C1=b，B1C1=a，则A1B12=a2+b2=c2，即A1B1=c，在△ABC和△A1B1C1中∵BC=a=B1C1,AC=b=A1C1,AB=c=A1B1∴△ABC≌△A1B1C1∠C=∠C1=90°验证猜想通过以上的证明，我们能得到什么结论呢？新知探究所以对于直角三角形的判定，有一般结论：勾股定理的逆定理

如果三角形的边长a、b、c有关系a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形，且边c所对的角为直角如图所示在△ABC中，AC=b，BC=a，AB=c，且，满足a2+b2=c2则△ABC是直角三角形典例分析

变式训练

在4×4的方格纸中，三角形的顶点都在格点上，则下列选项中的图形是直角三角形的是（

）1．如图，将长为5m的梯子AB斜靠在墙上，使其顶端A距离地面4m，则梯子底端B距离墙底端的距离BC为(

)A．3m

B．4mC．5m

D．1m1星题夯实四基A2．如图，一棵大树在一次强台风中距地面5m处折断，倒下后树顶端着地点A距树底端B的距离为12m，这棵大树在折断前的高度为(

)A．10mB．15mC．18mD．20mC3.【新情境】如图是一块长方形草坪，AB是一条被踩踏的小路，已知AC＝12m，BC＝9m．为了避免行人继续踩踏草坪(走线段AB)，小梅分别在A，B处挂了一块下面的牌子，则牌子上“？”处是(

)A．3B．4C．5D．6D典例分析例2.一个三角形的三边长分别是a、b、c，且a=n2-1，b=2n，c=n2+1，这个三角形是直角三角形吗？证明你的结论．解：这个三角形是直角三角形证明如下：∵a=n2-1，b=2n，c=n2+1∴a2+b2=(n2-1)2+4n2=n4-2n2+1+4n2=n4+2n2+1c2=(n2+1)2=n4+2n2+1∴a2+b2=c2，∴这个三角形是直角三角形。变式训练

如图，在△ABC中，∠A=90°，AC=AB=4，点D是△ABC外一点，连接BD、CD，CD=2，BD=6．△BCD是直角三角形吗？请说明理由．解：△BCD是直角三角形，理由如下：∵在△ABC中，∠A=90°，AC=AB=4∴BC2=AC2+AB2=42+42=32∵CD=2，BD=6∴CD2=22=4，BD2=62=36∴CD2+BC2=4+32=36=BD2∴△BCD是直角三角形新知探究能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数。例如：3、4、5，6、8、10，n2-1、2n、n2+1（n为大于1的整数），等等，都是勾股数。判断方法（1）三个数必须是正整数;（2）必须满足a2+b2=c2（3、4、5）（6，8，10），(5,12,13)，(7,24,25)，(8,15,17)，(9,40,41)，(11,60,61)等常见的勾股数典例分析例3下列各组数中，是勾股数的是（

）

变式训练

下列各组数不是勾股数的是（

）A．a=3，b=4，c=5B.a=30，b=40，c=50C.a=8，b=15，c=17D.a=7，b=14，c=15典例分析如图一块试验田，已知CD=3m，AD=4m，AB=13m，BC=12m，∠ADC=90°，求这块试验田的面积．

变式训练

如图所示，某小区在施工过程中留下了一块四边形空地ABCD，小区管理人员为美化环境，计划在空地上种上绿植，经测量，∠ACB=90°，AB=15m，BC=9m，AD=5m，DC=13m．请用学过的知识求出这块空地的面积．

新知探究勾股定理与其逆定理的对比4．如图，在高为6m，坡面长为10m的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要(

)A．12m B．13mC．14m D．15mC5.【新题型】如图所示为雷达图，规定：1个单位长度代表100m，以点O为原点，过数轴上的每一刻度点作同心圆，并将同心圆平均分成十二份．一艘海洋科考船在点O处用雷达发现A，B两处鱼群，那么A，B两处鱼群之间的距离是(

)A．5m B．400m

C．500m D．300mC6.(跨学科·语文)图①中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图②，其中AB＝AB′，AB⊥B′C于点C，BC＝0.5尺，B′C＝2尺．设AC的长度为x尺，可列方程为_________________．x2＋22＝(x＋0.5)27.【新情境】某校在一次消防演练中，消防队员需要通过攀爬20m长的云梯，到21m高的宿舍楼顶M处营救“被困”学生．已知消防车按如图所示停放，云梯的底端A距离地面(ON)3m，与宿舍外墙OM的距离是7m．请问云梯够长吗？说明理由．解：够长，理由如下：画示意图如图，过点A作AC⊥OM于点C，AA′⊥ON于点A′，连结AM，则AC＝7m，∠ACM＝90°，OM＝21m，OC＝AA′＝3m，∴CM＝OM－OC＝18(m)，∴AM＝

∵<20，∴云梯够长．8．如图，方格纸中小正方形的边长为1，△ABC的三个顶点都在小正方形的顶点处，则边AB上的中线长为_______．2星题提升四能9.(方程思想)如图，点P为Rt△A