13.1.3 反证法 教学教学课件 -2026-2027学年华东师大版数学八年级上册

#华东师大版八年级上册13.1.3反证法专项练习（约1400字）##一、知识点梳理反证法是一种间接证明的方法。当直接证明一个命题比较困难时，可以采用反证法。反证法的证明步骤：1.**反设**：假设命题结论**不成立**，也就是假设结论的反面是正确的；2.**归谬**：从这个假设出发，经过推理，得出与已知条件、公理、定理、定义相矛盾的结果；3.**结论**：由矛盾判定假设错误，从而肯定原命题的结论正确。>>要点提醒：>①反设要找准结论的反面。如“是”的反面是“不是”；“大于”反面“小于或等于”；“至少有一个”反面“一个都没有”；>②推出矛盾不一定和已知条件冲突，也可以和公理、定理矛盾；>③反证法多用于证明：否定性命题、唯一性命题、“至少”“至多”类命题。##二、基础练习题###（一）选择题（每题4分，共20分）1.用反证法证明“一个三角形中最多有一个直角”，第一步应该假设（）A.一个三角形中至少有一个直角B.一个三角形中至少有两个直角C.一个三角形中没有直角D.一个三角形中最多有两个直角2.用反证法证明“若$(a>b)$，则$a^2>b^2$”的反面假设是（）A.$a^2<b^2$B.$a^2\leqb^2$C.$a^2\geb^2$D.$a^2\neqb^2$3.命题“三角形三个内角中至少有两个锐角”，用反证法证明时，反设为（）A.三个内角中最多有两个锐角B.三个内角中最多有一个锐角C.三个内角中没有锐角D.三个内角都是锐角4.反证法的核心是（）A.从已知条件出发直接推理B.假设结论成立，推出条件成立C.假设结论反面成立，推出矛盾D.举反例说明命题错误5.用反证法证明“在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直”，反设是（）A.过直线外一点没有直线与已知直线垂直B.过直线外一点至少有两条直线与已知直线垂直C.过直线外一点有一条直线与已知直线垂直D.过直线上一点有两条直线与已知直线垂直###（二）填空题（每题4分，共20分）1.用反证法证明“$\triangleABC$中不可能有两个钝角”，应假设________________________。2.“至少有一个”的反面是____________；“至多一个”的反面是____________。3.用反证法证明“若$a\neq0$，则$a^2>0$”，第一步假设：____________。4.用反证法证明时，推出矛盾的对象可以是已知条件、定义、公理、________。5.命题“在一个三角形中，不能有两个角是直角”，假设：________________。##三、解答题（每题15分，共60分）1.用反证法证明：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于$60^\circ$。2.用反证法证明：两条直线相交，只有一个交点。3.已知：在$\triangleABC$中，$AB\neqAC$，求证：$\angleB\neq\angleC$。4.用反证法证明：在同一平面内，如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行。##四、参考答案与解析###选择题1.**B**。解析：“最多一个直角”的反面是“至少两个直角”。2.**B**。解析：$a^2>b^2$反面是$a^2\leqb^2$。3.**B**。解析：“至少两个锐角”反面“最多一个锐角”。4.**C**。解析：反证法思路：否定结论→推出矛盾→原命题成立。5.**B**。解析：“有且只有一条”反面“至少两条”。###填空题1.$\triangleABC$中有两个钝角2.一个都没有；至少两个3.$a^2\leq0$4.定理5.一个三角形中有两个角是直角###解答题1.**证明**：假设在$\triangleABC$中，三个内角都大于$60^\circ$，即$\angleA>60^\circ$，$\angleB>60^\circ$，$\angleC>60^\circ$。则$\angleA+\angleB+\angleC>180^\circ$。这与三角形内角和等于$180^\circ$矛盾。所以假设不成立。因此，在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于$60^\circ$。2.**证明**：假设两条直线相交有两个交点。那么经过这两个交点就存在两条不同的直线。这与“两点确定一条直线”矛盾。因此假设不成立，两条直线相交只有一个交点。3.**证明**：假设$\angleB=\angleC$。根据“等角对等边”可得$(AB=AC)$。这与已知条件$AB\neqAC$矛盾。故假设不成立，$\angleB\neq\angleC$。4.**证明**：假设在同一平面内，这两条直线不平行，则它们相交。那么过交点就有两条直线同时平行于第三条直线。这与“过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行”矛盾。所以假设不成立，这两条直线互相平行。##五、易错点总结1.**反设错误**：找反面时容易漏掉“等于”，例如“大于”的反面不是“小于”，而是“小于或等于”；“至少一个”容易错写成“至少两个”。2.**步骤不全**：只写假设，不写推出矛盾，最后忘记总结原命题成立。3.**混淆反证法和举反例**：举反例只需要找到一个例子推翻命题；反证法是严谨证明，二者不一样。4.**矛盾找错**：推理得到的结果必须和已知、公理、定理冲突，不能自己凭空编造矛盾。（全文约1380字）要不要我把这份练习**单独导出成纯题目版（不带答案）**方便直接打印做题？华东师大版（新教材）数学八年级上册13.1.3反证法授课教师：.

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8年级（

）班.

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2026/9/30

学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。第13章勾股定理

如图，在△ABC

中，AB

=

c，BC

=

a，AC

=

b

(a≤b≤c)有关系

a2+

b2

=

c2

时，这个三角形一定是直角三角形吗？

解析：由

a2+

b2

=

c2，根据勾股定理的逆定理可知∠C

=

90°，这个三角形一定是直角三角形.cabACB新知探究我们已经知道，当一个三角形的三边长a、b、c（a≤b≤c）满足关系a2+b2=c2时，这个三角形一定是直角三角形，如果此时a2+b2≠c2，那么这个三角形是否一定不是直角三角呢？解题思路：（1）假设它是直角三角形；（2）根据勾股定理，一定有a2+b2=c2，与已知条件a2+b2≠c2矛盾；（3）因此假设不成立，即它不是直角三角形从已知条件a2+b2≠c2（a≤b≤c）出发进行证明有一定的难度，那么我们可以用以上方法进行证明，这种方法叫做”反证法“新知探究①反设：先假设结论的反面是正确的②归谬：通过演绎推理，推出与基本事实、已证的定理、定义或已知条件等想矛盾；③结论：从而说明假设不成立，进而得出原结论正确。反证法步骤回想一下，以前用过类似的方法吗？新知探究思考“在△ABC中，如果AB=c，BC=a，CA=b，且∠C=90°，那么a2+b2=c2”是一个真命题，对于一般的非直角三角形，情况又会如何呢？即“在△ABC中，如果AB=c，BC=a，CA=b，且∠C≠90°，那么a2+b2≠c2”是真命题吗？提示：先思考做什么假设，再用反证法推理过程典例分析例1.用反证法证明：已知△ABC中，AB=AC，求证：∠B＜90°．证明：假设∠B≥90°∵AB=AC，∴∠B=∠C∵∠B≥90°，∴∠C≥90°，∴∠B+∠C≥180°又因为：在一个三角形中，三角形内角和为180°∴不可能有两个内角和大于或等于180°∴假设矛盾，∴假设不成立∴∠B＞90°

变式训练

用反证法证明：如果a+b＞0，那么a，b中至少有一个大于零．证明：假设a、b都不大于零即a≤0，b≤0因为两个非正数相加还是非正数∴a+b≤0.这个与已知条件a+b＞0矛盾所以假设不成立所以a、b中至少有一个大于零1．用反证法证明命题“如果a∥b，c∥b，那么a∥c”时，应假设(

)A．a⊥c

B．c不平行于bC．a不平行于b

D．a不平行于c1星题夯实四基D2．用反证法证明“若a>b>0，则a2>b2”，应假设(

)A．a2<b2

B．a2＝b2

C．a2≤b2

D．a2≥b2C3．用反证法证明“若ab＝0，则a＝0或b＝0”时，第一步应假设_________________．a≠0且b≠0典例分析例2.已知：m是正整数，且m2是偶数．求证：m是偶数．（注：利用反证法证明）证明：假设m不是偶数，则m为奇数设m=2n+1(n为整数)则m2=（2n+1）2=4n2+4n+1=4(n2+n)+1因为4（n2+n)为偶数所以4(n2+n)+1为奇数，与m2为偶数矛盾，所以假设不成立，故为偶数变式训练

如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，AD是底边BC上的高，请你利用反证法证明∠DAB是一个锐角．证明：假设∠DAB是钝角或直角∵AB=AC，AD是底边BC上的高∴∠BAC=2∠DAB∵∠DAB是钝角或直角∴2∠DAB≥180°，不符合三角形内角和定理∴假设不成立∴∠DAB是一个锐角新知探究4．[上海模拟]小明在用反证法解答“已知△ABC中，AB＝AC，求证：∠B<90°”这道题时，写出了下面的四个推理步骤：①又因为∠A>0°，所以∠A＋∠B＋∠C>180°，这与三角形内角和定理相矛盾；②所以∠B<90°；③假设∠B≥90°；④由AB＝AC，得∠B＝∠C，所以∠C≥90°；请写出这四个步骤正确的顺序：____________．(填序号)③④①②5.(教材改编题)用反证法证明“同旁内角不互补的两条直线不平行”．已知：如图，直线l1、l2被直线l3所截，∠1＋∠2_____180°.求证：直线l1与l2________．证明：假设l1________l2，则∠1＋∠2______180°(__________________________)．这与__________________矛盾，故________不成立．所以____________________．≠不平行∥＝两直线平行，同旁内角互补∠1＋∠2≠180°l1∥l2直线l1与l2不平行6.在一次游戏活动中，钟老师将三个颜色不同的小球分发给小雅、小点和小训三个同学，其中有一个小球颜色是红色．小雅说：“红色球在我手上．”小点说：“红色球不在我手上．”小训说：“红色球肯定不在小雅手上．”三个同学只有一个说对了，则红色球在______的手上．小点2星题提升四能7．用反证法证明命题“在一个三角形中，至多有一个内角是直角”，正确的假设是(

)A．在一个三角形中，至少有一个内角是直角B．在一个三角形中，至少有两个内角是直角C．在一个三角形中，没有一个内角是直角D．在一个三角形中，至多有两个内角是直角B8．[陕西西安期末]已知：如图，D是△ABC内一点．求证：△ABD，△BDC，△ADC不可能都是锐角三角形(用反证法证明)．证明：假设△AB