概率基础及其统计 8

统计量和抽样分布《概率论与数理统计》同济大学数学科学学院

06目录/Contents6.16.26.36.4总体与样本统计量三大分布正态总体的抽样分布目录/Contents6.1总体与样本一、总体二、样本研究对象的全体称为总体,组成总体的每个成员称为个体.研究对象的某项数量指标的全体称为总体,组成总体的每个成员的该项数量指标称为个体.特指一、总体总体指标未知,可看作是一个随机变量,记为.一、总体⑴当总体是离散型随机变量时,定义总体分布为⑵当总体是连续型随机变量时,定义总体分布为,即为总体的分布律.,即为总体的概率密度函数.同济大学数学科学学院&人民邮电出版社设总体

，试写出总体分布律设总体,试写出总体分布一、总体例2解例3解同济大学数学科学学院&人民邮电出版社总体抽样样本推断总体均值总体方差.总体,记为.二、样本也就是说样本是一组随机变量,而样本观测值是抽样完成以后所得到的这组随机变量的一次具体取值.在试验前,样本的观测值是不确定的,为了体现随机性,在数理统计中样本记作,事实上是一个维随机向量.通过实验或观测得到的数值称为样本观测值,记作,其中称为样本容量(样本大小).二、样本从总体中抽取样本的方法有很多,我们主要采用简单随机抽样的方法,即有放回地重复独立抽取,这样得到的样本称为简单随机样本（简称样本）.记作.（1）独立性:是相互独立的;（2）代表性:每个个体的分布都和总体分布相同.即简单随机样本具有两个特点:二、样本而样本的联合分布律为:二、样本⑴设为离散型随机变量,则

同济大学数学科学学院&人民邮电出版社⑵设为连续型随机变量,概率密度函数为,则样本的联合概率密度函数为:二、样本同济大学数学科学学院&人民邮电出版社设总体是取自该总体的一个样本,

试写出样本的联合分布律.二、样本例4解同济大学数学科学学院&人民邮电出版社二、样本例5解同济大学数学科学学院&人民邮电出版社二、样本例6解同济大学数学科学学院&人民邮电出版社二、样本例7解同济大学数学科学学院&人民邮电出版社

其余试写出的联合密度函数.

二、样本例联合密度函数为其余解同济大学数学科学学院&人民邮电出版社设是取自总体的一个样本,的分布律为其中参数，二、样本例试写出的联合分布律?同济大学数学科学学院&人民邮电出版社目录/Contents6.16.26.36.4总体与样本统计量三大分布正态总体的抽样分布目录/Contents6.2统计量一、样本均值和样本方差二、次序统计量数理统计的基本任务之一是利用样本所提供的信息来对总体分布中未知的量进行推断,但是样本观测值常常表现为一大堆数字,很难直接用来解决我们所要研究的具体问题.人们常常把数据加工成若干个简单明了的数字特征,由数据加工后的数字特征就是统计量的观测值.假设总体为取自该总体的一个样本,下列表达式是否为统计量:统计量的定义称为统计量.不含有未知参数的样本的函数例1123同济大学数学科学学院&人民邮电出版社其中未知而

已知.设,试判断下列表达式是否为统计量:⑴⑵⑶由定义即知⑵不是统计量,而⑴⑶是.统计量的定义例假设总体为取自该总体的一个样本,解同济大学数学科学学院&人民邮电出版社⑴样本均值⑵样本方差样本均值的观测值样本方差的观测值设为取自总体的一个样本，称一、样本均值和样本方差样本标准差的观测值⑶样本标准差同济大学数学科学学院&人民邮电出版社(4)样本的阶原点矩一、样本均值和样本方差(5)样本的阶中心矩其中是正整数,而每个统计量也都有相应的观测值.同济大学数学科学学院&人民邮电出版社相应的观测值当时，样本的2阶中心矩由此可得：一、样本均值和样本方差同济大学数学科学学院&人民邮电出版社注在计算时的另一表达形式:

一、样本均值和样本方差显然有由此知同济大学数学科学学院&人民邮电出版社设总体的均值,方差,为取自该总体的一个样本,则

（3）（2）

（1）定理一、样本均值和样本方差证（1）一、样本均值和样本方差

证（2）一、样本均值和样本方差证（3）独立同分布的大数定律，即得一、样本均值和样本方差

由定理可得

一、样本均值和样本方差例2解同济大学数学科学学院&人民邮电出版社

解一、样本均值和样本方差例同济大学数学科学学院&人民邮电出版社

根据题意可知一、样本均值和样本方差同济大学数学科学学院&人民邮电出版社

根据题意可知一、样本均值和样本方差同济大学数学科学学院&人民邮电出社

一、样本均值和样本方差*例3解同济大学数学科学学院&人民邮电出版社大的记为,设为取自总体的一个样本,其中取值最二、次序统计量

与统称为次序统计量.称为最大次序统计量;而取值最小的记为称为最小次序统计量;同济大学数学科学学院&人民邮电出版社则最小次序统计量具有概率密度函数:最大次序统计量具有概率密度函数:设总体具有分布函数及概率密度函数,二、次序统计量同济大学数学科学学院&人民邮电出版社

由第三章中关于独立同分布情形下求最大或最小随机变量的分布函数之结论知各自求导即得.二、次序统计量同济大学数学科学学院&人民邮电出版社解二、次序统计量例4同济大学数学科学学院&人民邮电出版社

解二、次序统计量例4同济大学数学科学学院&人民邮电出版社

二、次序统计量例解同济大学数学科学学院&人民邮电出版社

二、次序统计量同济大学数学科学学院&人民邮电出版社

二、次序统计量例解同济大学数学科学学院&人民邮电出版社

目录/Contents6.16.26.36.4总体与样本统计量三大分布正态总体的抽样分布目录/Contents6.3总体与样本一、分布二、分布三、分布态分布,设是独立同分布的随机变量,且都服从标准正所服从的分布为自由度为

的分布,记为.一、分布则称随机变量⑴定义同济大学数学科学学院&人民邮电出版社由定义可知,若相互独立且都服从,则下图分别是当时的概率密度函数图形.是偏峰的倒钟形.一、分布123同济大学数学科学学院&人民邮电出版社①当时,;

设,且与相互独立,则一、分布(2)分布性质②分布的可加性:

同济大学数学科学学院&人民邮电出版社

一、分布由分布定义知证①:

同济大学数学科学学院&人民邮电出版社都是相互独立的标准正态分布证②:设

，且与相互独立则：由分布定义知，其中一、分布同济大学数学科学学院&人民邮电出版社设,记它的分位数为,即满足分位数值可查表得到,比如

分位数9.488见图示.(3)分布的分位数一、分布同济大学数学科学学院&人民邮电出版社设是取自总体的简单随机样本,一、分布求下列三个统计量的分布

例101OPTION02OPTION03OPTION并求非零常数的值.同济大学数学科学学院&人民邮电出版社一、分布同济大学数学科学学院

&人民邮电出版社(3)可得一、分布再由分布的定义且相互独立,

同济大学数学科学学院

&人民邮电出版社一、分布12同济大学数学科学学院

&人民邮电出版社

定义,试求.

由分布性质知

故一、分布解同济大学数学科学学院

&人民邮电出版社

定义,试求.解由分布性质知故

一、分布同济大学数学科学学院

&人民邮电出版社

设随机变量,且与相互独立,

分布或者学生分布,则称所服从的分布为自由度为的

二、分布（1）定义记为

同济大学数学科学学院

&人民邮电出版社分布的概率密度函数图形,二、分布同济大学数学科学学院

&人民邮电出版社设,记它的分位数为,即满足根据分布密度函数的对称性,有性质该性质类似于正态分布的分位数性质.分位数值查表可得.比如

二、分布（2）分位数同济大学数学科学学院

&人民邮电出版社二、分布例3解同济大学数学科学学院&人民邮电出版社设为取自标准正态总体的一个样本，试给出常数,使得服从分布,并指出它的自由度.二、分布例同济大学数学科学学院

&人民邮电出版社解因,且相互独立,故有且两者相互独立,由定义知所以,取即可,且自由度为3.二、分布同济大学数学科学学院

&人民邮电出版社设随机变量,且与相互独立,

由度为

的F分布,则称服从第一自由度为，第二自

三、分布（1）定义记为

同济大学数学科学学院

&人民邮电出版社设随机变量相互独立且都服从相同分布,.服从分布,并指出它的自由度.三、分布例试给出常数,使得同济大学数学科学学院

&人民邮电出版社解因,且相互独立,故有且两者相互独立,由定义知所以,取即可,且自由度为2和3.三、分布同济大学数学科学学院

&人民邮电出版社设,记它的分位数为

，即根据分布的定义,有性质满足三、分布（2）分位数同济大学数学科学学院

&人民邮电出版社,三、分布所以有即根据前面及分位数的定义，显然有证明设则可以定义，其中则且与相互独立。同济大学数学科学学院

&人民邮电出版社设随机变量求的分布？

三、分布例4解同济大学数学科学学院

&人民邮电出版社

则有且与相互独立,故三、分布同济大学数学科学学院

&人民邮电出版社目录/Contents6.16.26.36.4总体与样本统计量三大分布正态总体的抽样分布（1）,即

;

则有

定理1

设是取自总体的一个简单随机样本,（2）;（3）与相互独立.正态总体的抽样分布则有

定理2设是取自总体的一个简单随机样本,正态总体的抽样分布证明

由定理1可知由（1）知,由（2）知，

由（3）知与相互独立，正态总体的抽样分布同济大学数学科学学院

&人民邮电出版社根据t分布的定义，可得证明正态总体的抽样分布同济大学数学科学学院

&人民邮电出版社例

设总体,试求解下列各题:抽取容量为36的样本,求;问样本容量多大时,才能使?

解⑴由抽样分布及可知正态总体的抽样分布所以12同济大学数学科学学院

&人民邮电出版社⑵由也即从而有正态总体的抽样分布所以,取同济大学数学科学学院

&人民邮电出版社

设是独立同分布的随机变量,且正态总体的抽样分布请证明以下结论例01OPTION02OPTION03OPTION同济大学数学科学学院

&人民邮电出版社解正态总体的抽样分布例