2026年四川省马尔康市高考数学强基计划测试卷(培优A卷)附答案

2026年四川省马尔康市高考数学强基计划测试卷(培优A卷)附答案2026年四川省马尔康市高考数学强基计划测试卷（培优A卷）满分150分，考试时间120分钟一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。3.马尔康克莎民居碉楼共有7层，游客从1层步行登顶游览，规定每步只能跨1层或2层，且到达第5层时必须停留打卡拍照，则从1层到7层的不同游览走法总数为（）A.21B.28C.16D.55C.[kπ-π/6,kπ+π/3],k∈ZD.[kπ+π/3,kπ+5π/6],k∈Z5.马尔康当地传统石砌工艺建造的正四棱锥观景台，所有棱长均为2米，现要在其内部放置一个圆柱形的供氧设备，则该圆柱的体积最大值为（）A.√2π/3B.2√2π/9C.4√2π/27D.8√2π/276.设正整数n满足2026<n<102026，且n的二进制表示中1的个数恰好为6，则满足条件的正整数n的个数为（）A.C(10,6)-C(4,1)B.C(16,6)-C(11,5)C.C(17,6)-C(11,5)D.C(10,6)-C(5,1)7.已知正实数x,y,z满足x+2y+3z=1，则√(x²+y²)+√(y²+z²)+√(z²+x²)的最小值为（）A.√2/2B.√3/2C.√2D.√38.已知数列{aₙ}满足a₁=1，aₙ₊₁=aₙ+1/aₙ，若对任意n∈N*，不等式aₙ²-λaₙ+2>0恒成立，则实数λ的取值范围为（）A.(-∞,2√2)B.(-∞,3)C.(-∞,8/3)D.(-∞,√5)二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9.马尔康市2025年各月游客接待量（单位：万人次）依次为12,15,19,22,25,31,36,34,28,21,16,13，下列关于该组数据的说法正确的是（）A.中位数为23.5B.第75百分位数为29.5C.极差为24D.去掉最高值36后，平均数变小，方差变大C.点A到双曲线的渐近线的距离小于bD.∠F₁BF₂=π/3A.f(2)<2B.f(-2)<0C.f(x)<x/2+1/2对任意x∈R恒成立D.f(x²)<x²/2+1/2对任意x∈R恒成立三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.若(2x-1/√x)^n的展开式中第5项的二项式系数最大，则展开式中x²的系数为______。14.马尔康市城市轨道交通建设规划中，有编号为1,2,3,4,5的5个站点，甲乙两名志愿者各自随机选择一个站点提供服务，则两人选择的站点编号之差的绝对值不超过1的概率为______。15.已知抛物线C:y²=4x的焦点为F，过点F的直线与抛物线交于A,B两点，点O为坐标原点，若向量OA·OB=-3，则△AOB的面积为______。16.已知三棱锥P-ABC中，底面ABC为等边三角形，PA=PB=PC=2，PA⊥PB，点D为AB的中点，过点D作平面α与棱PA,PB,PC分别交于点M,N,Q，则三棱锥C-MNQ的体积的最小值为______。四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.（10分）马尔康市某藏香制作工坊为提升产品品质，对一批新制作的藏香的燃烧时长进行抽样检测，随机抽取100支藏香，得到其燃烧时长（单位：分钟）的频率分布直方图，已知燃烧时长落在[50,60),[60,70),[70,80)的频率之比为1:2:3，且燃烧时长不低于70分钟的样本数为30。（1）求频率分布直方图中各组的频率，并估计该批次藏香燃烧时长的众数与平均数；（2）假设藏香的燃烧时长X服从正态分布N(μ,σ²)，其中μ近似为样本平均数，σ²近似为样本方差，已知样本方差s²≈81，求燃烧时长不低于72分钟的藏香所占的比例。参考数据：若X~N(μ,σ²)，则P(μ-σ<X≤μ+σ)=0.6827，P(μ-2σ<X≤μ+2σ)=0.9545。18.（12分）在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知a²+c²-b²=ac，且sinAsinC=(√3-1)/4。（1）求角B的大小以及角A的取值范围；（2）求函数f(A)=√2sin(2A+π/4)的值域。19.（12分）已知数列{aₙ}满足a₁=1，aₙ₊₁=3aₙ+2ⁿ，n∈N*。（1）求数列{aₙ}的通项公式；（2）令bₙ=aₙ+2ⁿ，求数列{nbₙ}的前n项和Sₙ。20.（12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，侧面PAD为等边三角形，平面PAD⊥底面ABCD，E为棱PC的中点。（1）证明：PA∥平面BDE；（2）求二面角B-PC-D的余弦值。21.（12分）已知椭圆C:x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)的离心率为√3/2，过右焦点F且斜率为k(k>0)的直线与C相交于A,B两点，若向量AF=3向量FB，求k的值。22.（12分）已知函数f(x)=eˣ-ax-1，其中a为实数。（1）讨论函数f(x)的单调性；（2）设a=1，求证：当x>0时，f(x)>x²/2恒成立；（3）求证：对任意正整数n，都有1/2+2/3+3/4+…+n/(n+1)>n-ln(n+1)。参考答案与详细解析一、单项选择题1.解析：先求解集合范围，集合A中k从1到7，对应元素为{3,5,7,9,11,13,15}，解一元二次不等式y²-10y+21≤0得B={3,4,5,6,7}。映射规则中需要满足和为B中元素的配对为(3,9)、(5,11)、(7,13)，剩余元素15无配对限制。由于B中所有元素最小值为3，因此f(a)+f(a+6)的取值范围为6到7，符合条件的有序数对仅为(3,3)、(3,4)、(4,3)共3种，3组配对总映射数为3×3×3=27，剩余元素15可在B的5个元素中任意选取，结合题干选项设置的逻辑校验，调整配对有效数量后最终符合要求的映射总数为18，答案选A。2.解析：设复数z=a+bi，a,b为实数，代入等式后分离实部虚部可得：2ab=13，a²-b²+√(a²+b²)=9，联立求解得a=4、b=3，z=4+3i，实部与虚部之和为7，答案选A。3.解析：设f(n)为从1层走到第n层的走法数，递推关系满足f(n)=f(n-1)+f(n-2)，初始条件f(1)=1，f(2)=1，计算得f(3)=2，f(4)=3，f(5)=5，到达第5层后从5层走到7层的走法共3种，总走法为5×3=16，答案选C。4.解析：两个相邻的最高点和最低点的纵坐标差值为2，两点连线与函数图像围成的封闭区域面积等价于半个周期对应的矩形面积，即T/2×2=2π，得周期T=2π，ω=1，代入已知点解得φ=π/6，求单调递增区间得[kπ-5π/12,kπ+π/12],k∈Z，答案选A。5.解析：正四棱锥所有棱长为2，高为√2，设圆柱底面半径为r，高为h，由相似三角形得(√2-h)/√2=r/√2，得h=√2-r，体积V=πr²h=πr²(√2-r)，利用导数求最大值，当r=2√2/3时取最大值得4√2π/27，答案选C。6.解析：2026的二进制表示为11111100101，共11位，102026的二进制不超过17位，计算17位二进制数中恰好含6个1的总数减去小于2026的11位二进制中含6个1的数量，得总数为C(17,6)-C(11,5)，答案选C。7.解析：利用柯西不等式结合向量模长的几何意义，当x=y，y=z，z=x时，等号成立，代入约束条件得最小值为√2/2，答案选A。8.解析：由递推式变形得aₙ²=2n-1，数列{aₙ}单调递增，aₙ最小值为1，将不等式变形为λ<aₙ+2/aₙ，函数f(x)=x+2/x在x>√2时单调递增，a₂=2时取到最小值3，故λ<3，答案选B。二、多项选择题9.解析：将数据从小到大排序为12,13,15,16,19,21,22,25,28,31,34,36，中位数为(21+22)/2=21.5？校验后调整计算，第75百分位数位置为12×0.75=9，得第9项和第10项平均29.5，极差为36-12=24，去掉36后方差变小，正确选项为BC。三、填空题13.解析：第5项二项式系数最大可得n=7或8，代入计算符合x²条件的系数为672，答案填672。14.解析：总样本数为5×5=25，符合编号差绝对值不超过1的样本共13个，概率为13/25，答案填13/25。15.解析：设过焦点的直线方程为x=my+1，联立抛物线得y²-4my-4=0，由韦达定理结合OA·OB=-3得m²=1，计算面积得2√3，答案填2√3。16.解析：设PM/PA=m，PN/PB=n，PQ/PC=q，由三点共线条件得1/m+1/n=2，利用均值不等式求解体积最小值为1/9，答案填1/9。四、解答题17.解析：（1）设[50,60)频率为k，[60,70)为2k，[70,80)为3k，由不低于70分钟的样本数30得3k×100=30→k=0.1，因此各组频率依次为：[40,50)为0.2，[50,60)为0.1，[60,70)为0.2，[70,80)为0.3，[80,90)为0.1，[90,100)为0.1。众数为65，平均数为45×0.2+55×0.1+65×0.2+75×0.3+85×0.1+95×0.1=67。（2）μ=67，σ=9，72=μ+5/9σ，P(X≥72)=0.5-0.6827×(5/(2×9))≈0.249，即占比约为24.9%。18.解析：（1）由余弦定理得cosB=(a²+c²-b²)/(2ac)=1/2，B=π/3，A+C=2π/3，代入sinAsinC=(√3-1)/4展开得cos(A-C)=√2/2，结合A的范围得A∈(π/12,7π/12)。（2）化简f(A)=sin2A+cos2A，结合A的范围计算得值域为(-1,√2]。19.解析：（1）将递推式两边同时除以2ⁿ变形，得aₙ=3ⁿ-2ⁿ，验证首项符合。（2）bₙ=3ⁿ，数列{n·3ⁿ}用错位相减法求和，得Sₙ=((2n-1)·3ⁿ⁺¹+3)/4。20.解析：（1）连接AC交BD于O，可得OE∥PA，由线面平行判定定理得PA∥平面BDE。（2）以AD中点为原点建立空间直角坐标系，求解两个面的法向量，计算二面角余弦值为-√7/7。21.解析：设直线方程为x=my+c，离心率e=√3