【《初中数学辅助线的常见做法分析》9900字（论文）】

初中数学辅助线的常见做法分析中文提要辅助线在初中平面几何解题中扮演着重要的角色，它可能是解决几何问题的方法，也可能是解决几何问题的一个环节。辅助线的添加是平面几何解题中的难点，有些问题，不添加辅助线难以解答，添加辅助线之后，问题就迎刃而解。本文通过查阅相关文献，阅读教材以及做北京中考题和模拟题，利用文献分析法对初中平面几何辅助线的内容进行分析，进而从辅助线的作用及错误添加辅助线对题目的影响这两个方面说明辅助线的重要性，并对辅助线的常见做法进行归纳总结。希望让学生重视辅助线，重视相关能力的锻炼。辅助线可以将已知条件和结论巧妙地联系到一起，并且可以将分散的条件集中化，使隐含的条件显示出来。辅助线的添加要遵循基本作图法，有目的地添加。不同的辅助线对应着不同的解题思路，添加辅助线的方式并不单一。辅助线在三角形，四边形，圆形中有相应的添加技巧，但是在真正解决需要辅助线的几何问题时，没有固定的套路，学生想要学会如何恰当地添加辅助线，还是要多练勤思考，形成自己的解题思维。关键词：初中数学；平面几何；辅助线目录第1章绪论………………1第2章初中几何关于辅助线的题目分析………………1第3章例题分析辅助线的重要性………2第4章初中几何辅助线的常见做法……7结论………………14参考文献…………15第1章绪论在初中数学的学习中，平面几何是其中重要的一部分，而辅助线在平面几何的解题中扮演着重要的角色。辅助线是一种得到结论的重要途径与方法，它可以将原有图形转化为需要的图形，从而构建新的关系。有些题目，不添加辅助线难以解答，添加辅助线之后，问题就迎刃而解了。辅助线的添加问题一直是几何解题中的难点，有些学生遇到需要添加辅助线的问题，往往感到力不从心，无从下手。如何添加辅助线就要求学生借助几何直观，将复杂的几何问题直观化，简单化。当然，只有正确添加辅助线，才能找到解答几何题目的思路，而错误添加的辅助线反而影响几何题目的解答。学生了解辅助线的重要性，学习添加辅助线的方法，不仅能够提高解决几何题目的效率，还能够提高学生的逻辑推理，直观想象等素养。在我国，几何课程是从平面几何开始的，再到立体几何和平面解析几何。平面几何这门课程虽然语言比较简练，比较直观鲜明，但是推理论证仍然有很大的挑战，如何针对平面几何问题添加辅助线是重要原因之一。为此，很多研究工作者为平面几何推理论证问题和辅助线的做法做了一些相关工作REF_Ref69995572\w\h[1]。本文通过查阅相关文献，阅读教材以及做真题和模拟题，先对初中平面几何辅助线相关题目进行分析，进而从辅助线的作用，错误添加辅助线对题目的影响这两个方面说明辅助线的重要性，并对辅助线的常见做法进行归纳总结。希望让学生重视辅助线，重视相关能力的锻炼，帮助学生提高添加辅助线的正确率，提高几何解题效率。第2章初中几何关于辅助线的题目分析初中几何基本为平面几何，平面几何在实际生活中和科学研究中有着广泛的应用。初中大部分的几何题目难度较低，不需要添加任何辅助线，仅仅运用定义，定理，性质还有推论就可以证明出来；还有部分需要添加辅助线，才能够简化，从而做出来的题目。在做几何题目遇到困难时，不妨想想是否需要添加辅助线。初中需要添加辅助线的题目，通常是基于学生在教材上学到的基础图形，通过组合或者分割得到组合图形，这些组合图形需要学生充分运用几何直观，去观察，猜想，如何将这些组合图形变成最基本的图形。这些几何题目主要以证明题和计算题为主，其中证明题大部分让证明角度相等、线段相等等，计算题让求角的度数或者线段的长度等。以人教版初中数学教材为例，学生学习了三角形，四边形，圆等基本图形，这些基本图形在几何题目中起着重要的作用，它们通过组合或者分割构成了一道又一道的几何题目。学生学习了与这些基本图形相关的定义，定理，性质以及推论。在三角形中，要求学生掌握中位线，高线，直角三角形，等腰三角形的概念等；在四边形中，要求学生掌握平行四边形，矩形，正方形的概念等，并且要知道他们之间有怎样的联系；同时，不仅有概念，还有一些相关定理，判定等，如三角形中位线定理，平行四边形，菱形的性质、定理和判定等REF_Ref69995572\w\h[1]。在圆中，要求学生掌握垂径定理，等弦的圆周角相等等。这些几何基础知识都为辅助线题目的解答奠定了基础，例如让证明线段相等的题目，我们可以想到等腰三角形两腰，或者全等三角形对应边等，基于这些基础再去想如何添加辅助线，是非常必要的。第3章例题分析辅助线的重要性辅助线是在几何解题中添加的必要的直线或线段，在几何证明题和计算题中起着重要的作用。有些几何题目不添加辅助线，会很难思考，甚至解不出来，从而影响学生的做题效率。为什么会出现这样的情况，这和辅助线的作用密不可分，辅助线的作用决定了它在几何解题中占据着重要的位置。许多刚刚学习辅助线的学生，虽然明白辅助线在几何解题中的重要性,但总是不会添加辅助线，常常胡乱添加辅助线,这样问题根本得不到解决，而他们做不出辅助线的原因是没有思考题目给出这些条件的意义，不清楚辅助线在几何解题中究竟起到了怎样的作用,导致不知道如何下手。下面我们来看几道题，来探究一下辅助线都有哪些作用。例1如图1，在三角形ABC中，AB大于AC，E、F是AB、AC上的点，并且∠BCE=∠CBF=12∠A,求证：BE=CF.图1图2分析：我们来看这道题的已知都有什么，已知AB大于AC，我们可以知道∠ACB是大于∠ABC的，E、F点在AB、AC上，并且∠BCE和∠CBF相等，都是∠A的二分之一，至此在已知中我们没办法再获得任何有用的信息，那么我们换个方式，再看这道题的结论有什么，有BE=CF，显然条件和结论之间目前没有任何的联系。我们可以尝试倒推，在三角形中，要想证明线段相等可以用三角形全等、等腰三角形两腰等……这道题给了两个线段等，两个角等，很自然我们就将注意力聚焦在△BCE和△CBF中，BC是这两个三角形的公共边，并且∠BCE和∠CBF相等，如果三角形△BCE和△CBF全等，问题得证，但是显然它们两个不等，因为∠ACB大于∠ABC，如图2，我们可以构造一个△CBG与△BCE全等，有CG=BE，只需再证CF=CG即可，CG则起到了联系BE和CF的作用。证明：如图2，作射线CG，使得∠BCG=∠CBE，交BF于G，在△BCE和△CBG中，BC=BC，∠BCE=∠CBF，又有∠BCG=∠CBE，则根据角边角有△BCE≌△CBG，固有BE=CG，∠EBG=∠GCE．因为∠CFG=∠A+∠ABF，∠CGF=∠GBC+∠BCE+∠ECG，所以∠CFG=∠CGF，有CF=CG，于是BE=CF．我们看到上述问题，因为已知条件和结论之间无法构成直接联系，从而想到添加辅助线，为条件和结论牵线搭桥，让条件和结论顺利的形成联系。如果没有添加这条辅助线，我们就没有办法将BE和CF相等的问题转换为GC和CF相等的问题。在做几何证明题或计算题的关键就在于如何建立已知条件和证明的结论之间的联系，辅助线的出现恰好解决了这一问题，它在条件与结论之间起着桥梁的作用。通过添加辅助线，可以把已知的条件和要证明的结论连接起来，辅助线将结论中已知的条件转化为另外的条件，创造出新的可等于转化前的关系，从而确定解题思路。看完上述问题我们知道了辅助线的一条重要作用，是将已知条件和结论巧妙地联系到一起REF_Ref69998622\w\h[2]，接下来我们再看一道题，看看辅助线在其中起到了怎样的作用。例2如图3，在三角形ABC中，AB=AC，∠A=100°，BD为∠B的平分线，求证：BC=BD+AD.图3图4分析：我们来看这道题已知条件有AB=AC，∠A=100°，可以推出△ABC是等腰三角形，并且底角度数为40°，BD平分∠B，有∠ABD=∠DBC，让证明BC=BD+AD，我们发现BC，BD，AD不在一条直线上，很难得到证明，于是我们想到要将这三条线段集中到同一直线上，如图4，在BC边上取点E，使得BD=BE，这样就把线段BD和线段BC放在了一条直线上，接下来只需要证明EC和AD相等即可，故连结DE，由角分线，我们很容易想到作翻着对称，于是在BC边上取点F，使得AB=BF，连结DF就可以得到两个全等的三角形，△BDA和△BDF，得到AD=DF，之后只需要证明DF=DE，DE=EC即可。证明：如图4，在BC上取点E、F，使得BD=BE，BA=BF，并连结DE，DF.因为BD平分∠ABC，所以∠ABD=∠DBC，在△ABD和△FBD中，BD为公共边，∠ABD=∠DBC，BA=BF，所以有△ABD和△FBD全等，故有AD=DF．所以∠BAD=100°=∠BFD．所以∠DFE=180°-∠A=180°-100°=80°=(180°-∠DBE)÷2=∠DEF．故有DE=DF=AD．因为∠C=(180°-∠A)÷2=40°，∠EDC=80°-40°=40°．所以△DEF为等腰三角形，有DE=EC，所以有AD=EC，故BC=BE+EC=BD+AD．看上述问题，我们发现要证明的等量中的条件处于的位置比较分散，从而思考，是否可以通过添加辅助线，将其中的分散的线段集中在一起，从而使得证明更加简单。如果没有添加辅助线，我们就不能将要证明的BC=BD+AD转化成BC=BE+EC，甚至这三条线段任意两条都不在一条直线，或者一个基本图形中，证明就变得难以入手。做这样的几何问题的关键就在于能否正确添加辅助线使得分散的条件汇聚到一起，让这些条件之间有更明显的关系。通过添加辅助线，可以将已知条件和结论中的相对分散的条件集中在一个线段或者基本图形中，让这几个条件同时发挥它们的作用。上述问题说明辅助线可以将分散的条件集中化REF_Ref69998622\w\h[2]，至此我们已经知道了辅助线的两个作用，即辅助线可以将已知条件和结论巧妙地联系到一起，将分散的条件集中化。我们再看一道题，看看辅助线是否还有其他的作用。例3如图5，圆O与圆O’相交于D、E两点，A为圆O’上一点，AD交圆O于B，AE交圆O于C，AO’交BC于F.求证:AF⊥BC．图5图6分析：我们看这道题的已知都有什么，首先我们知道两圆有两个交点D和E，点A在圆O’上，并且AO’是圆O’的半径，要证明AF⊥BC。证明线段垂直通常要与题目中已知条件的垂直和已知角度为90度°的角相联系，但显然本题中并没有相关信息。于是我们需要联想在圆中都有哪些定理是与圆中的垂直相关的，我们可以想到直径的圆周角是90°，切线和过切点的半径是垂直的，垂径定理等，已知在圆O’中有半径O’A，不妨尝试过A作一条切线段GH，如图6，这样便可以应用本题隐含的“过切点的半径垂直于切线”这一性质定理，这样只需要证明线段BC和线段GH是平行的就可以证明AF⊥BC。证明：如图6，过A点作切线段GH，连结DE．所以有AF⊥GH，在圆O中，四边形BDEC的定点在圆O上，所以有∠BCE=∠ADE，弦AE和GH的切角∠EAH等于弦AE所对圆周角∠ADE，所以∠BCE=∠EAH，故BC∥GH，证得AF⊥BC．上述问题，我们发现已知条件和证明结论之间是有联系的，但是联系不够清晰明了，这个时候我们想到添加辅助线，看看是否能够可以把它们之间的联系明晰化。本题如果没有添加辅助线，我们就不能应用本题隐含的“过切点的半径垂直于切线”这一性质定理。这样的几何问题，需要大家认真分析已知条件和结论，联系所学定理、性质、推论，将相应的辅助线添加出来，这样就可以将题目中的隐含条件挖掘出来，并应用到解题中，为解题创造出使用这样隐含的定理、性质、推论的条件。通过上面三道例题，我们知道了辅助线的作用有一、即辅助线可以将已知条件和结论巧妙地联系到一起，二、将分散的条件集中化，三、使隐含的条件显示出来REF_Ref69998622\w\h[2]。辅助线的三条重要作用，使得它在初中几何解题中扮演着重要的角色，如果不添加辅助线，光凭大脑进行推算，演练，是极其抽象的，只有添加辅助线，才能让大脑中所想的东西具象化，使问题简单化，条件明朗化。相信大家对辅助线的作用有一定了解之后，会对辅助线的重要性有新的认识，能够从辅助线本身出发认识其重要性。而不仅仅是因为做不出几何题目觉得它重要。同样，是否能够正确的添加辅助线，也对解决几何问题有着很大的影响。辅助线的添加和解几何问题也是呈现正相关的，只有正确添加辅助线，才能对几何解题起到积极的作用，如果错误的添加辅助线，非但不能解决几何问题，反而可能会将几何问题复杂化。接下来我们看两道题。例4如图7，有一个半圆，AB是它的直径，C为其上任意一个点（不在A、B点上），直线EF切半圆于C点，AE⊥EF于E点，BF⊥EF于F点，CD⊥AB于D点，求证CD=CE=CF.图7图8有同学这样做这道题，如图8，作∠EAD的角平分线AC，作∠FBD的角平分线BC，所以在△ACD和△ACE中，在△BCD和△BCF中，有∠EAC=∠DAC，∠CBD=∠CBF，因为AE⊥EF，BF⊥EF，CD⊥AB，所以∠E=∠ADC=∠F=∠BDC=90°，又因为AC，BC为公共边，所以△ACD和△ACE全等，△BCD和△BCF全等，有DC=CE，DC=CF，所以证得CD=CE=CF.大家来看看这道题这样做正确吗？很显然，这样做是错误的。为什么？我们如果做∠EAD的角平分线，一定会经过C点吗？不一定，除非我们进行一定的证明，证明这个角的角平分线经过C点。不然这样做就是违反了基本作图方法REF_Ref69998948\w\h[3]，是没有依据地胡乱添加辅助线，导致白白进行了证明，实际上不能得到相应分数。不按照基本作图方法进行作图，不仅对几何解题起不到实质的作用，也会使题目中的图形更加复杂。我们再看下面这道题。例5（2008年北京市中考第18题，5分）如图9，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AC，∠B=45°，AD=，BC=42，求DC的长.图9图10有同学这样做这道题，如图10，平移了梯形的对角线，过D点作DE∥AC，将梯形补成了一个平行四边形ADEC和一个△ABC，这样可以求解吗？不能，我们看这道题的要求是什么？求DC的长，求长的问题，我们一般会把需要求得线段放在直角三角形中。而这样添加辅助线，对我们解题有帮助吗？没有帮助。将四边形对角线平移是一种很常见的添加辅助线的方式，但是在本道题目中这样添加辅助线，并未对题目起到推动作用，说明并非按照辅助线的常见添法就可以解决题目，应该认真审题，结合题目条件和结论，认真解读题目正确添加辅助线REF_Ref69998948\w\h[3]。从以上两道题我们知道，要想正确地添加辅助线应该一、严格按照基本作图方法，防止逻辑上的错误，二、根据已知条件和结论有目的的添加辅助线。恰当的辅助线对题目的解决具有积极影响，不恰当的辅助线反而会对题目造成消极影响，使学生认为已经添加了辅助线，而陷入错误辅助线带来的思路中，而不能解答出题目。第4章初中几何辅助线的常见做法上一章，我们从辅助线自身的作用和错误添加辅助线的影响，向大家介绍了辅助线的重要性，大家也已经从辅助线自身的因素了解到了它为什么重要。当然在几何解题中，添加辅助线的方法也很重要，本章将从如何添加辅助线入手，向大家介绍一些添加辅助线的方法，来开拓学生应用辅助线解决几何题目的思路。一般来说，辅助线决定着解答几何题目的方法,添加的辅助线不一样,证明的办法也基本不一样。平面几何中的添加辅助线的情况，主要是按照定义添加辅助线，或者是按照基本图形来添加REF_Ref69999062\w\h[4]。下面我们按照初中几何学习的基本图形，三角形，四边形，圆形，来看看相关的几何问题如何解决。一、在三角形中例6（2019年北京市石景山区中考二模第21题，5分）如图11，AB平分∠CAD，∠ACB+∠ADB=180°.（1）求证：BC=BD；（2）若BD=10，cos∠ADB=25，求AD-AC的值.图11图12图13分析：我们看这道题的已知条件有角平分线，∠CAB=∠BAD，我们想到对称，通常会将一边的图形进行翻折，或者是由角平分线上的一点，向两边引垂线等，又有∠ACB+∠ADB=180°，所以∠ACB的补角等于∠ADB，让证明BC=BD，不妨将△ABC沿AB边翻折，将BC和BD放到一个三角形中，即如图12，在AD边取AE=AC，连结BE，可证明△ABC和△ABE全等，这样有BC=BE，最后证明△BED为等腰三角形即可。第二问求AD-AC的长，转换成AD减去与AC等长的线段AE即可，也就是求等腰△BED底边ED的长。证明：（1）如图12，在AD边上取一点E使得AE=AC，连结BE。因为AB平分∠CAD,∠CAB=∠BAD，在△ABC和△ABE中，AB=AB，∠CAB=∠BAD，AC=AE，所以根据三角形全等的边角边判定，△ABC和△ABE是全等的，所以有BC=BE，∠ACB=∠AEB，又因为∠ACB+∠ADB=180°，∠AEB+∠BED=180°，所以∠ADB=∠BED，所以△BED为等腰三角形，BE=BD，证得BC=BD。（2）如图13，过B点作BF垂直AD于F点，因为BD=10，cos∠ADB=25，在Rt△BDF中，DF=4，所以DE=8，即AD-AC=AD-AE=ED=8。上面这道题是三角形中的典型问题，有角平分线，通常我们很容易想到，以角平分线为对称轴构造全等，可以从角平分线上的点向角的两边引垂线，或是在角的两边上截取一样长的线段，再用角分线上一点连结这两个线段的右端点，或者是直接过角平分线上一点做垂直，这样都可以构造全等三角形。本道题因为角平分线两边有固定三角形，所以我们直接截取等长的线段即可。第二问，我们看到有等腰三角形，等腰三角形中我们通常会用到他的三线合一性质，也就是，中线，高线，角分线是同一条线，于是可以添加它的高线，把要求的线段放在了直角三角形中。也就是说在三角形中，遇到角平分线，我们常常会以此作为对称轴翻折一边的图像；遇到等腰三角形，想到三线合一，作高线；除本道题以外，我们常常还会遇到三角形边上有点，如果题目中有中点，或是等分点，我们常常会过此点作平行于三角形的某一边的平行线，或是将此点作为对称中心，此边为等边或是等比边，构造旋转180°的全等三角形或是相似三角形REF_Ref69999224\w\h[5]。以上是三角形的辅助线常见添法，接下来，我们来看看四边形题目中，如何添加辅助线。二、在四边形中例7（2019年北京市中考第20（1）题，3分）在菱形ABCD中，AC为对角线，点E，F分别在AB，AD上，BE=DF，连接EF，求证：AC⊥EF.图14图15分析:已知四边形是菱形，那么我们知道四边形的四边相等，并且对边相互平行，本题知道AC为对角线，BE=DF，让证明AC⊥EF，我们想到菱形的对角线相互垂直，于是我们尝试连结上BD，如图15，之后再找BD与EF的关系即可，可以发现，在△ABD中，有BE=DF，所以AE=AF，于是可以证明△AEF与△ABD是相似三角形，于是有EF∥BD，最后证得AC⊥EF。证明：如图15，连结BD,有AC⊥BD，因为四边形ABCD为菱形，所以AB=AD，又因为BE=DF，所以AE=AF，又有公共角∠A，于是有△AEF与△ABD相似，得到EF∥BD，所以有AC⊥EF.例8（2010年北京市中考第19题，5分）如图16，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=AD=2，BC=4.求∠B的度数及AC的长.图16分析：法一：要求AC的长，我们可以把它放在直角三角形中，我们知道AB=DC=AD=2，BC=4，所以BC的长度是AB的二倍，我们猜想△ABC是直角三角形。通过已知长度，我们不妨取过A点作AE与梯形的一腰CD平行，交BC于E点，这样便得到了一个△ABE和一个平行四边形ADCE，又因为AD=DC所以，四边形ADCE是菱形，AE=2=AB=EC=BE，所以△ABE是等边三角形，∠B=60°，根据内角和等于外交，得到∠EAC=∠ACE=30°，所以有∠BAC=90°，在△ABC中即可求得AC的长；法二：当然也可以通过从上底两点A，D向下底引垂线，垂足为E，F，这样可以把梯形分割成一个矩形和两个全等的直角三角形，在Rt△ACE中就可以求出AC的长，在Rt△ABE中就可以得到∠B的度数；法三：亦或是直接将BA和CD延长，交于一点E，因为AD∥BC，所以∠EAD=∠EBC，∠EDA=∠ECB，又有公共顶角∠E，所以△EAD和△EBC相似，因为BC=2AD，所以EB=2EA=2AB=4，EC=2ED=2DC=4，所以△EBC为等边三角形，AC为△EBC的中线，也是高线和∠ECB的角分线，所以有∠BAC=90°，∠B=60°，也可求得AC的长为23。图17法一：如图17，过A点作AE∥DC，因为AD∥BC，AD=DC，所以四边形ADCE为菱形，AE=CD=EC=AD=2，所以AB=AE=BE=2，所以△AEC为等腰三角形，△ABE为等边三角形，所以∠B=∠AEB=∠BAE=60°，因为∠EAC+∠ECA=∠AEB，所以∠EAC=30°，所以∠BAC=90°，在Rt△ABC中，因为AB=2，BC=4，所以AC=2。图18法二：如图18，过A点，D点，向BC引垂线，垂足为E点，F点，因为AD∥BC，所以四边形ADEF为矩形，AD=EF=2，在△AEB和△DFC中，因为∠AEB=∠DFC=90°，AE=DF，AB=DC，所以Rt△AEB和Rt△DFC全等.所以BE=FC=1，又因为AB=2，所以∠B=60°，AE=3，在Rt△AEC中，EC=EF+FC=3，所以AC=23。图19法三：如图19，延长BA，CD交于一点E，因为AD∥BC，所以∠EAD=∠EBC，∠EDA=∠ECB，又有公共顶角∠E，所以△EAD∽△EBC，因为BC=2AD，所以EB=2EA=2AB=4，EC=2ED=2DC=4，所以△EBC为等边三角形，AC为△EBC的中线，所以AC⊥EB，有∠BAC=90°，∠B=60°，在Rt△ABC中，BC=4，AB=2，所以AC=23。上述两道题都是四边形中添加辅助线的问题，四边形中添加辅助线的常见做法是连结对角线，将四边形分成两个三角形，进而应用三角形的相关性质。例7和例8都是四边形中的特殊四边形。例7是菱形，因为要证垂直，我们想到菱形的对角线垂直，所以补全了对角线；例8是梯形，求长或是度数通常会把这些条件放在直角三角形中，或已知度数的三角形中。也就是说，菱形中通常会补全对角线，应用菱形对角线相互垂直的性质；梯形中通常会平移梯形的一腰，将其分割成平行四边形和三角形；上底两个端点向下底做垂直，将其分割成直角三角形和矩形；或者是延长两腰，使其相交于一点，将其补全成一个大的三角形REF_Ref69999224\w\h[5]。同样，上述问题我们也可以看出，对于同样一道几何题目，并非只有一种解法，不同的学生会有不同的添加辅助线的方法，这些不同的填法对应着不同的解题思路，添加怎样的辅助线，就决定了之后要走哪一条解题思路。以上是三角形和四边形的辅助线一般添法，接下来我们看圆中怎样添加辅助线。三、在圆形中例9（2020年北京市中考第23题，3分）如图20，AB为圆O的直径，C为BA延长线上一点，CD是圆O的切线，D为切点，OF⊥AD于点E，交CD于点F.（1）求证：∠ADC=∠AOF.图20图21分析：已知AB是圆O的直径，可以知道∠ADB=90°，CD是圆O的切线，D为切点，很自然就将OD连结起来，可以得到∠CDO=90°，让证明∠ADC=∠AOF，可以等量代换成∠ADC=∠DOF，又因为∠ADC+∠ADO=∠ADO+∠DOE=90°，所以∠ADC=∠DOE，故得证。证明：如图21，连结OD，因为CD是切线，所以∠CDO=90°，△AOD是等腰三角形，因为OF⊥AD，所以∠EOD=∠EOA，又因为在Rt△EOD中，∠ADO+∠DOE=90°，∠ADC+∠ADO=90°，所以∠ADC=∠DOE=∠AOF，问题得证。例10（2016北京市中考第25题，2分）如图22，AB为圆O的直径，F为弦AC的中点，连接OF并延长交eq\o(\s\up5(⌒),\s\do2(AC))于点D，过点D作圆O的切线，交BA的延长线于点E.（1）求证：AC∥DE.图22图23图24分析：法一：已知ED为切线，D为切点，所以∠EDO=90°，因为AB为直径，连结BC，于是有AB所对的圆周角为直角，也就是∠ACB=90°，因为F是中点，所以OF∥BC，∠AFO=∠ACB=∠EDO=90°这样就可以得到AC∥DE；法二：连结OC，△AOC为等腰三角形，因为F是中点，所以OF⊥AC，又因为OD⊥ED，ED∥AC.法一：如图23，连结BC，有∠ACB=90°，因为F为中点，在Rt△ABC中，有FO∥BC，所以∠AFO=∠ACB=90°，又因为ED是切点，D为切点，所以∠EDO=90°=∠AFO，所以AC∥DE.法二：如图24，连结OC，有OC=OA，△AOC为等腰三角形，又F为中点，所以OF⊥AC，又因为ED为切线，D为切点，有ED⊥OD，所以有AC∥DE.上面这两道题添加辅助线的方法就是我们在圆中经常用到的辅助线。在初中数学平面几何中，圆的问题更加综合，会结合三角形，四边形一起出题。圆中通常会用到的辅助线