2027北师大版数学九上第二章-专题04 一元二次方程的应用（题型专练）

专题04一元二次方程的应用（题型突破·举一反三）题型01传播问题题型02平均增长率问题题型03图形面积问题题型04营销/利润问题题型05数字问题题型06握手、循环赛、互赠类计数问题题型07动点几何问题▌题型01传播问题基础：1人传染x人⇒一轮后共1＋x人，二轮后共人（每人再传x人，含初始源）。通用：初始a人，每轮每人传x人，n轮后共。方法：先圈“初始—轮次—每轮每人传几人—总感染数”四要素；题干常给“两轮后共N人被传染，求每轮平均一人传几人”⇒列（初始为1）或；解出x后只取正根（负根舍去，传染率不能负）。【典例1】（2026·广西桂林·三模）我国古代数学名著《九章算术》中记载有“一传十、十传百”的信息传播问题．今有1人获知一条政令，经过两轮传播后，共有人知晓．若每轮平均1人传播给x人，则可列方程为（

）A． B．C． D．【变式1-1】（2026·黑龙江佳木斯·二模）中考在即，同学们要注意加强锻炼，保证睡眠，增强体质，抵抗病毒．据市疾控中心调查：有一种病毒，一人患病，经过两轮传染后共有144人患病，请你帮忙计算每轮平均一人传染（）人．A．人 B．人 C．人 D．人【变式1-2】（25-26九年级下·北京·阶段检测）在某云平台的一次网络安全事件中，最初有5台服务器感染了病毒．经过两轮感染后，共有245台服务器感染了病毒，则每轮感染中平均每台服务器感染___________台服务器．【变式1-3】（2025·四川德阳·模拟预测）学校为了提高学生的安全意识，准备安排小小宣讲员的活动，一个人宣讲后，接受安全宣讲的学生要再给同样多且不重复的人宣讲，经过两轮宣讲后共有人获得了安全意识．(1)问这种宣讲活动，一个人会给多少人宣讲？(2)按照这样的宣讲速度，经过三轮后接受宣讲的人数共有多少人？▌题型02平均增长率问题基础：基数a，平均增长率x，n轮后值b⇒；降低率把x当正数，表达式方法：三步走设平均增长率为x（x是小数不是百分数）；第一次后：，第二次后：；列方程解，x负根舍去，降低率x本身取正但表达式用1－x。【典例2】（2026·云南昆明·模拟预测）某科技公司在2024年投入研发资金为300万元，2026年投入研发资金363万元，若这两年投入研发资金的年平均增长率相同，设年平均增长率为x，则下列方程正确的是（

）A． B．C． D．【变式2-1】（2026·重庆·二模）2026年油价突涨，以“98号”汽油为例，某加油站3月份收入为8.25万元，加油站5月份收入为16.17万元，若每个月涨价的百分率相同，则每个月收入的平均增长率为（）A． B． C． D．【变式2-2】（2026·青海西宁·二模）“我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高，某市参加健身运动的人数逐年增多，从2024年的30万人增加到2026年的43.2万人，则该市参加健身运动人数的年均增长率是__________．【变式2-3】（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商看准商机，购进了A、B两种品牌头盔进行销售．(1)该经销商统计了A品牌头盔4月份到6月份的销量，A品牌头盔4月份销售64个，6月份销售100个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同，求A品牌头盔销售量的月增长率；(2)考虑到头盔需求不断增加，该经销商准备再购进一批A、B品牌头盔共100个．已知A品牌头盔的进价为每个50元，售价为每个70元；B品牌头盔的进价为每个100元，售价为每个130元．假设所购进的头盔全部售完，为使利润不低于2600元，该经销商购进A品牌头盔不超过多少个？▌题型03图形面积问题基础：面积题90%是矩形（长方形花坛、耕地、操场、围栏），少量正方形。方法：两类构图围栏类⇒设宽x，长x＋k，；道路类（“矩形内部留平行道路，求路宽”）⇒两种处理：平移法；整体－局部。平移法优先，不易错。【典例3】（2026·内蒙古通辽·模拟预测）小明把一张长、宽的矩形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折成一个无盖的长方体盒子（如图所示）．如果这个无盖的长方体盒子底面积为，设剪去的正方形边长为，那么x满足的方程是（

）A． B．C． D．【变式3-1】（2026·甘肃平凉·模拟预测）如图是我国汉代数学家赵爽用来说明勾股定理的弦图，他用四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间空出一个小正方形，若大正方形的面积为5，小正方形的面积为1，则（

）A．1 B．2 C．3 D．4【变式3-2】（2026·内蒙古通辽·三模）如图，一个养殖户用米长的围栏围成一排一面靠墙、大小相等且彼此相连的三个矩形鸡舍，要使鸡舍的总面积为平方米，那么每个鸡舍的长为______．【变式3-3】（25-26八年级下·江苏苏州·期末）阅读材料，并解决问题．【学习研究】我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，以为例，构造方法如下：首先将方程变形为，然后画四个长为，宽为的矩形，按如图1所示的方式拼成一个“空心”大正方形，则图1中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和，即．因此，可得新方程．因为表示边长，所以，即．遗憾的是这样的做法只能得到方程的其中一个正根．(1)【理解应用】参照上述图解一元二次方程的方法，请在下面三个构图中选择能够用几何法求解方程的正确构图是_．(从序号①②③中选择)(2)【类比迁移】小颖根据以上解法解方程，请将其解答过程补充完整：第一步：将原方程变形为，即(_)；第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形；第三步：因此，根据大正方形的面积可得新的方程：_，解得原方程的一个根为_．(3)【拓展应用】一般地，对于形如的一元二次方程可以构造图2来解．已知图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4，那么此方程的系数_，_，求得方程的正根为_．▌题型04营销/利润问题基础：单件利润＝售价－进价；总利润＝单件利润×销量。售价变动时，销量随涨价线性变——“每涨m元，少卖n件”是标准设定。方法：设涨（降）价为x元⇒单件利润变、销量变，列式：。【典例4】（2026·黑龙江·三模）某零售商购进一批单价为16元的玩具，以每件20元的价格销售时，每月能卖360件；销售一段时间后，为了获得更多利润，商店决定提高销售价格．经试验发现，若每件涨价1元，则销售量就减少30件．为使每月获得1920元的利润，设每件需涨价x元，根据题意，下面所列方程正确的是（

）A．B．C．D．【变式4-1】（2026·贵州·三模）某商店用元购买一批新款书包进行销售．(1)当该款书包每个的进价降低元后，商店又用元购买了相同数量的书包，该书包原来每个的进价是多少元？(2)根据（1）中的进价，把每个书包按元的定价销售，平均每天可售出个．调查发现，若每个书包每降价元，销量就增加个．若该商店希望每天的销售利润为元，但又能让顾客得到实惠，则每个书包的定价应为多少元？【变式4-2】（2026·陕西西安·模拟预测）西安市公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商销售A品牌头盔，该头盔的进价为60元/个．经测算，当售价为89元/个时，平均日销售量为20个．该经销商为了响应政府号召让更多人戴盔出行，决定降价促销头盔．经市场调研发现该头盔每降价1元，平均日销售量增加2个．(1)若该头盔每个降价元，平均日销量为，写出与的函数关系式．(2)为使日销售利润达到756元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？【变式4-3】（25-26八年级下·上海徐汇·期末）问题情境：综合与实践小组的同学到某食品直营店研学，对该店销售的上海产的“梨膏糖”的生产和销售情况进行了数据收集和信息整理，结果如下：信息1：该店每日生产的这款“梨膏糖”当日全部售完．信息2：该店这款“梨膏糖”日产量（千克）的范围是．信息3：该款“梨膏糖”每千克的生产成本（元）与日产量（千克）之间的关系如下表所示．信息4：该款“梨膏糖”每千克的售价（元）与日产量（千克）之间的关系可用如图的平面直角坐标系中的线段所示．日产量（千克）306090120每千克的成本（元）55504540问题解决：(1)根据收集的信息，该“梨膏糖”每千克的生产成本（元）与日产量（千克）之间的变化规律可用学习过的函数模型刻画，其函数关系式为_（无需写定义域）；(2)①该“梨膏糖”每千克的售价（元）与日产量（千克）之间的函数关系式为_；②该款“梨膏糖”每千克的售价最高是_元，理由是_；(3)已知销售部计划将某日该款“梨膏糖”的销售利润定额为1200元，如果你是生产部经理，当日该产品的产量应该定为多少比较合理？请说明理由．▌题型05数字问题基础：两位数＝（a十位1~9，b个位0~9）；三位数＝。方法：题干套路“十位比个位多k”⇒设个位x，十位x＋k或反过来；“数字对调后……”⇒原数，对调，列差/和/积关系。列方程后解出的数字必须验算，超范围要舍。【典例5】（25-26八年级下·安徽亳州·期中）在苏轼笔下，周瑜年少有为，文采风流，雄姿英发，谈笑间，樯橹灰飞烟灭，然天妒英才，英年早逝．欣赏下面改编的诗歌：“大江东去浪淘尽，千古风流人物．而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿符．”则这位风流人物去世时的年龄为（

）A．36岁 B．38岁 C．40岁 D．42岁【变式5-1】（25-26八年级下·山东东营·期中）在2024年12月的日历表上用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为65，则这个最小数为____【变式5-2】（2026·江苏无锡·二模）如图为某年10月的月历表，小明和小亮分别用横着、竖着的透明“一”字形框框出3个数．(1)当小明与小亮的框有一个数相同时，他俩框出数的总和的最大值为_；(2)小明对小亮说：“当我俩框的三个数的中间数相同时，你三数中的最小数与我三数中最小数的积可以为112．”小亮反驳道：“这种情况是不存在的．”请你判断他们俩谁的说法正确，并说明理由．【变式5-3】（2026·湖北襄阳·模拟预测）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，“杨辉三角”便是其中一例．下面是某学习小组开展《探寻杨辉三角的奥秘》主题学习活动的过程，请仔细阅读并解决问题．活动一：初识“杨辉三角”如图，图1是“杨辉三角”数阵，其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．(1)根据以上规律，如图1，第6行中________，_______；活动二：初探“杨辉三角”从第二行起，每行第二个数恰好构成正整数数列；而从第三行起，每行第三个数构成如下数列，1，3，6，，…，其中第3行第三个数，第4行第三个数，第5行第三个数，…(2)第8行第三个数为________，第行第三个数为_________；(3)若第行第三个数为36，则的值为________；活动三：再探“杨辉三角”若将“杨辉三角”数阵中所有的奇数记为“1”，所有的偶数记为“0”，则前4行如图2，前8行如图3．(4)前16行中奇数的个数为________．▌题型06握手、循环赛、互赠类计数问题基础：n人握手/单循环赛，每两人一次⇒总次数；双循环赛（主客场）⇒；互赠贺卡/每两人互通一信⇒（与双循环同构，因为A给B和B给A是两次）。方法：注意区分“单循环（÷2）”和“双循环/互赠（不÷2）”。【典例6】（2026·广东东莞·二模）在某次篮球比赛中，参赛的每两队之间都进行一场比赛，计划安排28场比赛，若邀请个球队参加比赛，则可列的方程为（

）A． B． C． D．【变式6-1】（2026·重庆渝中·三模）高铁出行，方便快捷．为保证每两个城市之间都可乘坐高铁互相往来，某条高铁线需要印制不同的火车票共种（每两个城市之间需印制种不同的往返火车票）．则该条高铁线上的城市总数为（

）A． B． C． D．【变式6-2】（25-26八年级下·安徽马鞍山·期中）某省城市之间进行足球比赛，实行主客场双循环比赛，即所有参赛球队彼此间进行两场比赛，结果一共进行了场比赛，参加比赛的足球队有_____支．【变式6-3】（25-26八年级下·广西百色·期中）为庆祝五四青年节，某校组织八年级男子班级篮球赛，为达到活动效果又节省比赛时间，先分A、B两个小组，由所有参赛班级随机抽签，再分别进行小组赛．当参赛队伍总数为偶数个时，A组、B组队伍数一样多；当参赛队伍总数为奇数个时，B组比A组队伍数多1个．小组赛采取单循环赛制（即每支队伍与组内其他队伍各打一场），按积分排名，取每组前2名晋级半决赛，最后进行决赛．积分规则：胜一场得2分，负一场得0分．小组赛结束后，某数学学习小组针对全部队伍累计总得分开展数学讨论．具体如下：(1)已知该校八年级共有10个班级参加比赛．小组赛结束后，全部队伍累计总得分共_分；(2)若当参赛队伍总数为偶数个时，小组赛结束后，全部队伍累计总得分为112分．求本次比赛参赛队伍个数；(3)当参赛队伍总数为奇数个时．小组赛结束后，全部队伍累计总得分能是162分吗？若能，请求出此时参赛的队伍数；若不能，请说明理由．▌题型07动点几何问题基础：直角三角形、矩形内动点P、Q从顶点出发沿边匀速运动，t秒后△某形面积＝某值，求t。已学勾股定理、矩形性质，够用。方法：四步走——设t秒；用t表示动点到定点的距离；把目标图形的面积用t表示；令面积＝定值，解t，验t是否超出运动总时间。【典例7】（24-25九年级上·广西来宾·阶段检测）如图所示，中，，，，点P从A点开始沿向B点以的速度移动，点Q从B点开始沿边向C点以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，那么多少秒后，线段将分成面积1：2的两部分（

）A．2 B．4 C．2或4 D．2或6【变式7-1】（25-26八年级下·安徽亳州·期中）在中，，，，点P，Q都从点C出发，点P以的速度沿向A运动，点Q从点C出发，以的速度沿向B运动，两点同时出发，设运动时间为．(1)当时，求长．(2)当的面积为时，求t的值．(3)当时，求t的值．【变式7-2】（25-26八年级下·浙江湖州·期中）如图，在长方形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果、分别从、同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为秒．(1)填空：_，_．（用含的代数式表示）(2)当五边形的面积等于时，求此时的值．(3)是否存在的值，使线段的长度最小，若存在，请求出此时的值和最小值，若不存在，请说明理由．【变式7-3】（25-26八年级下·陕西西安·阶段检测）如图，在矩形中，，，点从点出发向点运动，运动到点即停止；同时，点从点出发向点运动，运动到点即停止，点、的速度都是．连接、、，设点、运动的时间为．(1)当运动秒时，线段_______，_______（用含有的代数式表示）；(2)求当为何值时，四边形是菱形；(3)如图2，在运动过程中，沿着把翻折，求当为何值时，翻折后点的对应点恰好落在上．专题04一元二次方程的应用（题型突破·举一反三）题型01传播问题题型02平均增长率问题题型03图形面积问题题型04营销/利润问题题型05数字问题题型06握手、循环赛、互赠类计数问题题型07动点几何问题▌题型01传播问题基础：1人传染x人⇒一轮后共1＋x人，二轮后共人（每人再传x人，含初始源）。通用：初始a人，每轮每人传x人，n轮后共。方法：先圈“初始—轮次—每轮每人传几人—总感染数”四要素；题干常给“两轮后共N人被传染，求每轮平均一人传几人”⇒列（初始为1）或；解出x后只取正根（负根舍去，传染率不能负）。【典例1】（2026·广西桂林·三模）我国古代数学名著《九章算术》中记载有“一传十、十传百”的信息传播问题．今有1人获知一条政令，经过两轮传播后，共有人知晓．若每轮平均1人传播给x人，则可列方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，属于传播类问题，解题思路是按传播顺序计算两轮传播后的总知晓人数，再据此列出方程．【详解】解：∵初始有1人知晓政令，每轮平均1人传播给人，∴第一轮传播结束后，总共有人知晓，第二轮传播中，所有已知晓的人都会传播给人，因此第二轮新增的知晓人数为，∵两轮传播后总共有49人知晓，∴可列方程为，故选C．【变式1-1】（2026·黑龙江佳木斯·二模）中考在即，同学们要注意加强锻炼，保证睡眠，增强体质，抵抗病毒．据市疾控中心调查：有一种病毒，一人患病，经过两轮传染后共有144人患病，请你帮忙计算每轮平均一人传染（）人．A．人 B．人 C．人 D．人【答案】B【分析】设每轮平均一人传染的人数为未知数，根据两轮传染后的总患病人数列一元二次方程，舍去不符合实际意义的负根后得到结果．【详解】解：设每轮平均一人传染人，∵最初有人患病，∴第一轮传染后患病总人数为，第二轮中每个现有患者再传染人，第二轮新增患病人，∴两轮传染后患病总人数为，根据题意列方程得：，解得或，∵传染人数为正整数，∴舍去，∴，即每轮平均一人传染人．【变式1-2】（25-26九年级下·北京·阶段检测）在某云平台的一次网络安全事件中，最初有5台服务器感染了病毒．经过两轮感染后，共有245台服务器感染了病毒，则每轮感染中平均每台服务器感染___________台服务器．【答案】6【分析】设每轮传播中平均一台服务器会感染x台服务器，由经过两轮感染后共有245台服务器感染了病毒，建立方程求出其解即可．【详解】解：设每轮中平均每台服务器感染服务器的台数为x，根据题意可得：，解得，（舍），∴每轮感染中平均每台服务器感染6台服务器．【变式1-3】（2025·四川德阳·模拟预测）学校为了提高学生的安全意识，准备安排小小宣讲员的活动，一个人宣讲后，接受安全宣讲的学生要再给同样多且不重复的人宣讲，经过两轮宣讲后共有人获得了安全意识．(1)问这种宣讲活动，一个人会给多少人宣讲？(2)按照这样的宣讲速度，经过三轮后接受宣讲的人数共有多少人？【答案】(1)人(2)人【分析】本题考查了一元二次方程的应用．（1）设这种宣讲活动，一个人会给人宣讲，根据题意列方程求解即可；（2）用已有接受宣讲的人数乘以（1）中结果加上已有接受宣讲的人数即为经过三轮后接受宣讲的人数．【详解】（1）解：设这种宣讲活动，一个人会给人宣讲，依题意，得即，解得，舍去，故这种宣讲活动，一个人会给人宣讲；（2）解：（人），故按照这样的宣讲速度，经过三轮后接受宣讲的人数共有人．▌题型02平均增长率问题基础：基数a，平均增长率x，n轮后值b⇒；降低率把x当正数，表达式方法：三步走设平均增长率为x（x是小数不是百分数）；第一次后：，第二次后：；列方程解，x负根舍去，降低率x本身取正但表达式用1－x。【典例2】（2026·云南昆明·模拟预测）某科技公司在2024年投入研发资金为300万元，2026年投入研发资金363万元，若这两年投入研发资金的年平均增长率相同，设年平均增长率为x，则下列方程正确的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据平均增长率的增长规律，推导两年后研发资金的表达式，即可列出正确方程【详解】解：∵设年平均增长率为，2024年投入研发资金为万元，∴2025年投入研发资金为万元，∴2026年投入研发资金为万元，又∵2026年投入研发资金为万元，∴列方程得【变式2-1】（2026·重庆·二模）2026年油价突涨，以“98号”汽油为例，某加油站3月份收入为8.25万元，加油站5月份收入为16.17万元，若每个月涨价的百分率相同，则每个月收入的平均增长率为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】设每个月收入的平均增长率为，根据3月和5月的收入关系列方程求解，舍去不符合题意的负根即可得到结果．【详解】解：设每个月收入的平均增长率为，由题意得，，解得，（舍去），因此每个月收入的平均增长率为．【变式2-2】（2026·青海西宁·二模）“我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高，某市参加健身运动的人数逐年增多，从2024年的30万人增加到2026年的43.2万人，则该市参加健身运动人数的年均增长率是__________．【答案】【分析】设年均增长率为，根据从2024年的30万人增加到2026的万人列方程求解即可．【详解】解：设该市参加健身运动人数的年均增长率为，根据题意得：，解得：，（舍去）．【变式2-3】（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商看准商机，购进了A、B两种品牌头盔进行销售．(1)该经销商统计了A品牌头盔4月份到6月份的销量，A品牌头盔4月份销售64个，6月份销售100个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同，求A品牌头盔销售量的月增长率；(2)考虑到头盔需求不断增加，该经销商准备再购进一批A、B品牌头盔共100个．已知A品牌头盔的进价为每个50元，售价为每个70元；B品牌头盔的进价为每个100元，售价为每个130元．假设所购进的头盔全部售完，为使利润不低于2600元，该经销商购进A品牌头盔不超过多少个？【答案】(1)(2)该经销商购进A品牌头盔不超过个【分析】（1）设A品牌头盔销售量的月增长率为，根据题意列出一元二次方程，解方程即可得出结果；（2）设该经销商购进A品牌头盔个，则该经销商购进B品牌头盔个，根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可得出结果．【详解】（1）解：设A品牌头盔销售量的月增长率为，由题意可得，解得，（不符合题意，舍去），∴A品牌头盔销售量的月增长率为，（2）解：设该经销商购进A品牌头盔个，则该经销商购进B品牌头盔个，由题意可得，解得，∴该经销商购进A品牌头盔不超过个．▌题型03图形面积问题基础：面积题90%是矩形（长方形花坛、耕地、操场、围栏），少量正方形。方法：两类构图围栏类⇒设宽x，长x＋k，；道路类（“矩形内部留平行道路，求路宽”）⇒两种处理：平移法；整体－局部。平移法优先，不易错。【典例3】（2026·内蒙古通辽·模拟预测）小明把一张长、宽的矩形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折成一个无盖的长方体盒子（如图所示）．如果这个无盖的长方体盒子底面积为，设剪去的正方形边长为，那么x满足的方程是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】确定折成的长方体盒子底面的长：因为矩形的长为8cm，左右各剪去一个边长为x的正方形，所以底面长为．确定折成的长方体盒子底面的宽：因为矩形的宽为，上下各剪去一个边长为x的正方形，所以底面宽为．利用矩形面积公式列方程：因为长方体底面积=长×宽，且已知底面积为24cm²，所以可列关于【详解】设剪去的正方形边长为，由题意，得．【变式3-1】（2026·甘肃平凉·模拟预测）如图是我国汉代数学家赵爽用来说明勾股定理的弦图，他用四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间空出一个小正方形，若大正方形的面积为5，小正方形的面积为1，则（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根据题意得，，，设，在中利用勾股定理列出方程，解出的值，求出的长，再利用平行四边形的面积公式即可求解．【详解】解：如图，∵四个直角三角形都全等的，正方形的面积为5，小正方形的面积为1，∴，，，设，则，在中，，，解得：，（舍去），，．【变式3-2】（2026·内蒙古通辽·三模）如图，一个养殖户用米长的围栏围成一排一面靠墙、大小相等且彼此相连的三个矩形鸡舍，要使鸡舍的总面积为平方米，那么每个鸡舍的长为______．【答案】米或米【分析】设每个鸡舍垂直于墙面的一边为米，则平行于墙面的一边为米，根据题意得，然后解方程即可．【详解】解：设每个鸡舍垂直于墙面的一边为米，则平行于墙面的一边为米，根据题意得，解得，，当时，，则每个鸡舍的长为米；当时，，则每个鸡舍的长为米；综上可得：每个鸡舍的长为米或米．【变式3-3】（25-26八年级下·江苏苏州·期末）阅读材料，并解决问题．【学习研究】我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，以为例，构造方法如下：首先将方程变形为，然后画四个长为，宽为的矩形，按如图1所示的方式拼成一个“空心”大正方形，则图1中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和，即．因此，可得新方程．因为表示边长，所以，即．遗憾的是这样的做法只能得到方程的其中一个正根．(1)【理解应用】参照上述图解一元二次方程的方法，请在下面三个构图中选择能够用几何法求解方程的正确构图是_．(从序号①②③中选择)(2)【类比迁移】小颖根据以上解法解方程，请将其解答过程补充完整：第一步：将原方程变形为，即(_)；第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形；第三步：因此，根据大正方形的面积可得新的方程：_，解得原方程的一个根为_．(3)【拓展应用】一般地，对于形如的一元二次方程可以构造图2来解．已知图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4，那么此方程的系数_，_，求得方程的正根为_．【答案】(1)③(2)，，(3)，3，1或3【分析】（1）根据题意，变形为，根据图示分别算出每个图形中长方形的面积，进行比较即可解答；（2）根据材料提示，进行计算即可解答；（3）先根据材料提示分解为，图形结合分析，即可得，分类讨论，由此即可解答．【详解】（1）解：，，将看作一个长为，宽为，面积为21的矩形，很容易观察出构图是③．（2）解：，第一步：将原方程变为，即；第二步：如图②，利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形；第三步：根据大正方形的面积可得新的方程：，解得原方程的一个根为；故答案为：，，．（3）解：由条件可知，，四个小矩形的面积各为，大正方形的面积是，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，由条件可知，解得，当时，，，，方程的一个正根为1；当时，，，，方程的一个正根为3；综上所述，方程的一个正根为1或3，故答案为，3，1或3．▌题型04营销/利润问题基础：单件利润＝售价－进价；总利润＝单件利润×销量。售价变动时，销量随涨价线性变——“每涨m元，少卖n件”是标准设定。方法：设涨（降）价为x元⇒单件利润变、销量变，列式：。【典例4】（2026·黑龙江·三模）某零售商购进一批单价为16元的玩具，以每件20元的价格销售时，每月能卖360件；销售一段时间后，为了获得更多利润，商店决定提高销售价格．经试验发现，若每件涨价1元，则销售量就减少30件．为使每月获得1920元的利润，设每件需涨价x元，根据题意，下面所列方程正确的是（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】根据“总利润=每件利润×销售量”，分别表示出涨价后的每件利润和销售量，即可列出方程．【详解】解：∵设每件涨价元，∴涨价后每件售价为元，每件利润为元，∵每件涨价1元，销售量就减少30件，∴涨价元后，销售量为件，结合总利润为1920元，可得方程．【变式4-1】（2026·贵州·三模）某商店用元购买一批新款书包进行销售．(1)当该款书包每个的进价降低元后，商店又用元购买了相同数量的书包，该书包原来每个的进价是多少元？(2)根据（1）中的进价，把每个书包按元的定价销售，平均每天可售出个．调查发现，若每个书包每降价元，销量就增加个．若该商店希望每天的销售利润为元，但又能让顾客得到实惠，则每个书包的定价应为多少元？【答案】(1)该书包原来每个的进价是元(2)每个书包的定价应为元【分析】（1）利用两次购买书包数量相同的等量关系列分式方程求解，解分式方程后需要检验；（2）利用总利润单个利润销售量的等量关系列一元二次方程求解，结合要让顾客得到实惠的条件，选择降价更多的定价即可；【详解】（1）解：设该书包原来每个的进价是元，根据题意，可得，解得，检验：当时，，因此是原方程的解，答：该书包原来每个的进价是20元；（2）解：设每个书包降价元，由（1）可知每个书包进价为20元，此时单个书包利润为元，销售量为个，根据题意得，解得：，，因为需要让顾客得到实惠，因此选择更大的降价幅度，即，此时定价为（元），答：每个书包的定价应为30元．【变式4-2】（2026·陕西西安·模拟预测）西安市公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商销售A品牌头盔，该头盔的进价为60元/个．经测算，当售价为89元/个时，平均日销售量为20个．该经销商为了响应政府号召让更多人戴盔出行，决定降价促销头盔．经市场调研发现该头盔每降价1元，平均日销售量增加2个．(1)若该头盔每个降价元，平均日销量为，写出与的函数关系式．(2)为使日销售利润达到756元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？【答案】(1)(2)该品牌头盔的实际售价应定为元/个【分析】（1）根据降价和日销量的变化关系，直接写出与的函数关系式；（2）根据“总利润=单个头盔利润×日销售量”列一元二次方程求解，结合“尽可能让顾客得到实惠”的要求，选择降价更多的解，再计算出实际售价．【详解】（1）已知售价为89元/个时，日销售量为20个，每降价1元，日销售量增加2个，当降价元时，增加的日销售量为个，因此可得，结合实际意义，降价，∴与的函数关系式为；（2）设该头盔每个降价元，由题意可知，单个头盔的利润为元，日销售量为个，日总利润为756元，因此列方程得：整理得：解得要尽可能让顾客得到实惠，因此选择降价更多的，实际售价为(元/个)答：该品牌头盔的实际售价应定为元/个．【变式4-3】（25-26八年级下·上海徐汇·期末）问题情境：综合与实践小组的同学到某食品直营店研学，对该店销售的上海产的“梨膏糖”的生产和销售情况进行了数据收集和信息整理，结果如下：信息1：该店每日生产的这款“梨膏糖”当日全部售完．信息2：该店这款“梨膏糖”日产量（千克）的范围是．信息3：该款“梨膏糖”每千克的生产成本（元）与日产量（千克）之间的关系如下表所示．信息4：该款“梨膏糖”每千克的售价（元）与日产量（千克）之间的关系可用如图的平面直角坐标系中的线段所示．日产量（千克）306090120每千克的成本（元）55504540问题解决：(1)根据收集的信息，该“梨膏糖”每千克的生产成本（元）与日产量（千克）之间的变化规律可用学习过的函数模型刻画，其函数关系式为_（无需写定义域）；(2)①该“梨膏糖”每千克的售价（元）与日产量（千克）之间的函数关系式为_；②该款“梨膏糖”每千克的售价最高是_元，理由是_；(3)已知销售部计划将某日该款“梨膏糖”的销售利润定额为1200元，如果你是生产部经理，当日该产品的产量应该定为多少比较合理？请说明理由．【答案】(1)(2)①；②；随的增大而减小，因此当时，取得最大值(3)当日该产品的产量应该定为千克比较合理，理由如下：根据题意可列方程：，∴，整理，得，解得，，当时，总成本为（元）；当时，总成本为（元），∴当日该产品的产量应该定为千克，总成本更低，更合理．【分析】（1）容易判断与成一次函数关系，使用待定系数法求出关系式即可；（2）①使用待定系数法求出函数关系式；②利用一次函数的增减性结合的取值范围求出的最大值；（3）根据题意列出方程，求解出的值，对比两种方案的总成本即可得出结论．【详解】（1）解：由表格可知，日产量每增加千克，每千克的成本会下降元，∴与成一次函数关系，设，将，；，，代入，得，，解得，∴；（2）解：①设，将，；，，代入，得，，解得，∴；②∵，∴随的增大而减小，又∵，∴当时，取得最大值（元）．（3）略▌题型05数字问题基础：两位数＝（a十位1~9，b个位0~9）；三位数＝。方法：题干套路“十位比个位多k”⇒设个位x，十位x＋k或反过来；“数字对调后……”⇒原数，对调，列差/和/积关系。列方程后解出的数字必须验算，超范围要舍。【典例5】（25-26八年级下·安徽亳州·期中）在苏轼笔下，周瑜年少有为，文采风流，雄姿英发，谈笑间，樯橹灰飞烟灭，然天妒英才，英年早逝．欣赏下面改编的诗歌：“大江东去浪淘尽，千古风流人物．而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿符．”则这位风流人物去世时的年龄为（

）A．36岁 B．38岁 C．40岁 D．42岁【答案】A【分析】根据诗句给出的数量关系找到等量关系，列一元二次方程求解，再结合“而立之年督东吴”的条件对根进行取舍即可得到答案．【详解】解：设这位风流人物去世年龄的十位数字为，则个位数字为，年龄可表示为．∵个位平方与寿符，∴可得方程整理得，解得，．又∵而立之年督东吴，说明年龄超过30岁，时年龄为25岁，不符合题意舍去，∴，个位数字为，年龄为岁．【变式5-1】（25-26八年级下·山东东营·期中）在2024年12月的日历表上用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为65，则这个最小数为____【答案】【分析】设最小的数为x，则最大的数为，可得，再进一步求解即可.【详解】解：设最小的数为x，则最大的数为，，∴，∴（舍去），∴这个最小数为.【变式5-2】（2026·江苏无锡·二模）如图为某年10月的月历表，小明和小亮分别用横着、竖着的透明“一”字形框框出3个数．(1)当小明与小亮的框有一个数相同时，他俩框出数的总和的最大值为_；(2)小明对小亮说：“当我俩框的三个数的中间数相同时，你三数中的最小数与我三数中最小数的积可以为112．”小亮反驳道：“这种情况是不存在的．”请你判断他们俩谁的说法正确，并说明理由．【答案】(1)123(2)小亮说法正确，理由见解析【分析】（1）根据月历表找到符合题意的小明和小亮分别用横着、竖着的透明“一”字形框框出3个数，求和即可；（2）设两人框的中间相同的数为x，根据题意列方程并解方程即可．【详解】（1）解：当小明框出3个数为，小亮框出3个数为，此时他俩框出数的总和最大，∴最大值为；（2）解：小亮的说法是正确的．理由：设两人框的中间相同的数为x，则可得方程，即，

解得（负数舍去），，但是15在日历的最右侧，不可能成为横框的中间数，所以不符合题意舍去，因此小亮说法正确．【变式5-3】（2026·湖北襄阳·模拟预测）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，“杨辉三角”便是其中一例．下面是某学习小组开展《探寻杨辉三角的奥秘》主题学习活动的过程，请仔细阅读并解决问题．活动一：初识“杨辉三角”如图，图1是“杨辉三角”数阵，其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．(1)根据以上规律，如图1，第6行中________，_______；活动二：初探“杨辉三角”从第二行起，每行第二个数恰好构成正整数数列；而从第三行起，每行第三个数构成如下数列，1，3，6，，…，其中第3行第三个数，第4行第三个数，第5行第三个数，…(2)第8行第三个数为________，第行第三个数为_________；(3)若第行第三个数为36，则的值为________；活动三：再探“杨辉三角”若将“杨辉三角”数阵中所有的奇数记为“1”，所有的偶数记为“0”，则前4行如图2，前8行如图3．(4)前16行中奇数的个数为________．【答案】(1)10，1(2)21，(3)10(4)81【分析】（1）根据“杨辉三角”数阵的规律即可求解；（2）观察前5行的第三个数，结合题意得出一般性规律，即可求解；（3）根据（2）中的规律列出方程，求出的值即可；（4）观察数阵可知，前8行中奇数的个数是前4行中奇数的个数的3倍，同理可得：前16行中奇数的个数是前8行中奇数的个数的3倍，即可求解．【详解】（1）解：由题意得，，；（2）解：第8行第三个数为，第行第三个数为；（3）解：∵第行第三个数为36，∴，整理得：，解得，（不符合题意，舍去），∴的值为10；（4）解：前4行中奇数的个数为9，观察数阵可知，前8行中奇数的个数是前4行中奇数的个数的3倍，即；同理可得：前16行中奇数的个数是前8行中奇数的个数的3倍，即，∴前16行中奇数的个数为81．▌题型06握手、循环赛、互赠类计数问题基础：n人握手/单循环赛，每两人一次⇒总次数；双循环赛（主客场）⇒；互赠贺卡/每两人互通一信⇒（与双循环同构，因为A给B和B给A是两次）。方法：注意区分“单循环（÷2）”和“双循环/互赠（不÷2）”。【典例6】（2026·广东东莞·二模）在某次篮球比赛中，参赛的每两队之间都进行一场比赛，计划安排28场比赛，若邀请个球队参加比赛，则可列的方程为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】理清总比赛场数的计算方法，再根据已知总场数列出方程．【详解】解：设邀请个球队参加比赛，∵每个球队需要与除自身外的个球队各比赛一场，且甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛，∴总比赛场数为，已知计划安排28场比赛，因此可列方程．【变式6-1】（2026·重庆渝中·三模）高铁出行，方便快捷．为保证每两个城市之间都可乘坐高铁互相往来，某条高铁线需要印制不同的火车票共种（每两个城市之间需印制种不同的往返火车票）．则该条高铁线上的城市总数为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】设该条高铁线上的城市总数为，根据车票印制规则列出一元二次方程，求解后取正整数即可得到结果．【详解】解：设该条高铁线上的城市总数为（为正整数）.，每两个城市之间需印制种不同的往返火车票，总共有种不同火车票，根据题意可得：，整理得：，因式分解得：，解得：或，城市个数为正整数，需舍去负根，，即该条高铁线上的城市总数为．【变式6-2】（25-26八年级下·安徽马鞍山·期中）某省城市之间进行足球比赛，实行主客场双循环比赛，即所有参赛球队彼此间进行两场比赛，结果一共进行了场比赛，参加比赛的足球队有_____支．【答案】【分析】先设出参赛球队的数量，根据主客场双循环赛制得到总比赛场数的等量关系，列出一元二次方程，求解后舍去不符合实际意义的负解，即可得到参赛球队的数量，正确建立方程是解题关键．【详解】解：设参加比赛的足球队有支.根据题意得：，整理得：，因式分解得：，解得：，（不符合实际意义，舍去），参加比赛的足球队有支．【变式6-3】（25-26八年级下·广西百色·期中）为庆祝五四青年节，某校组织八年级男子班级篮球赛，为达到活动效果又节省比赛时间，先分A、B两个小组，由所有参赛班级随机抽签，再分别进行小组赛．当参赛队伍总数为偶数个时，A组、B组队伍数一样多；当参赛队伍总数为奇数个时，B组比A组队伍数多1个．小组赛采取单循环赛制（即每支队伍与组内其他队伍各打一场），按积分排名，取每组前2名晋级半决赛，最后进行决赛．积分规则：胜一场得2分，负一场得0分．小组赛结束后，某数学学习小组针对全部队伍累计总得分开展数学讨论．具体如下：(1)已知该校八年级共有10个班级参加比赛．小组赛结束后，全部队伍累计总得分共_分；(2)若当参赛队伍总数为偶数个时，小组赛结束后，全部队伍累计总得分为112分．求本次比赛参赛队伍个数；(3)当参赛队伍总数为奇数个时．小组赛结束后，全部队伍累计总得分能是162分吗？若能，请求出此时参赛的队伍数；若不能，请说明理由．【答案】(1)40(2)本次比赛参赛队伍个数为16队(3)能，参赛的队伍数为19队时，小组赛结束后，全部队伍累计总得分能是162分【分析】（1）先求出A组、B组队伍数同为5个班级，且每个小组内场次为场，进而求出结论；（2）设A组、B组队伍数均为x队，列方程求解即可；（3）设A组有y队，则B组有队，列方程求解即可；【详解】（1）解：∵该校八年级共有10个班级参加比赛，∴A组、B组队伍数一样多，同为5个班级，∴每个小组内场次为场，∴小组赛结束