线性代数教学大纲教案（经管与文科类）

“线性代数(经管与文科类)A”课程教学大纲一、课程基本信息课程代码：课程性质：学科通识课课程名称：线性代数英文名称：LinearAlgebra学时：48学分：3适用对象：经管与文科类学生先修课程：高等数学执笔人：修订时间：审核人：审批人：二、课程简介线性代数在高等工科院校的教学计划中是一门必修的基础理论课，它是以讨论有限维空间线性理论为主，具有较强的抽象性与逻辑性，特别是在计算机日益普及的今天，使求解大型线性方程组成为可能，因此本课程所介绍的方法，广泛地应用与各个学科。所以该课程的地位与作用也更为重要。通过教学，使学生掌握该课程的理论与方法，培养解决实际问题的能力，并为学习相关课程及进一步扩大数学知识面奠定必要的数学基础。三、教学目的、要求与方法（一）教学目的：通过本课程的学习，要使学生获得矩阵、行列式、方程组的求解及二次型等方面的基本概念、基本理论和基本运算技能，为学习后继课程和进一步获得数学知识奠定必要的数学基础。（二）教学要求：通过本课程的学习，使学生掌握线性代数的基础理论与方法，为学习所有后续课程打下基础。在传授知识的同时，要通过各个教学环节逐步培养学生具有抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力和自学能力，还要特别注意培养学生具有比较熟练的运算能力和综合运用所学知识去分析和解决问题的能力。四、课程教学内容及学时分配第一章行列式与克拉默法则（8学时）内容：1.1二阶与三阶行列式以及克拉默法则：二阶行列式，三阶行列式，克拉默法则1.2排列和逆序数1.3阶行列式的定义1.4行列式的性质1.5行列式的计算：行列式按行（列）展开，行列式的计算要求:了解阶行列式定义，了解行列式的性质，会计算行列式，掌握克拉默法则重点：利用性质、展开法则计算行列式

难点：计算阶行列式第二章线性方程组的消元法和矩阵的初等变换（6学时）内容：2.1线性方程组的消元法与矩阵的初等变换：线性方程组的消元法，矩阵的初等变换，用矩阵的初等变换化矩阵为标准形2.2利用矩阵的初等行变换解齐次线性方程组2.3利用矩阵的初等行变换解非齐次线性方程组要求：了解线性方程组的概念，掌握线性方程组的消元法，了解矩阵及其初等变换，掌握用矩阵的初等变换化矩阵为行最简形矩阵，掌握利用矩阵的初等变换求解线性方程组重点：线性方程组的消元法，矩阵的初等变换,用矩阵的初等行变换化矩阵为行最简形矩阵,求解方程组解的方法难点：矩阵的初等变换,用矩阵的初等行变换化矩阵为行最简形矩阵,求解方程组解的方法第三章矩阵及其运算（10学时）内容：3.1矩阵的运算：矩阵的加减法，矩阵的数乘，矩阵的乘法，矩阵的转置，对称矩阵与反对称矩阵，方阵的行列式3.2矩阵的逆：矩阵的逆阵的定义，矩阵可逆的充分必要条件，矩阵多项式3.3利用初等变换求方阵的逆：初等矩阵的定义，利用初等变换求逆矩阵3.4分块矩阵：分块矩阵的概念，分块矩阵的加法、乘法、转置，分块矩阵的行列式，分块对角阵求逆矩阵要求：理解矩阵概念，了解单位矩阵、对角阵、对称阵等特殊矩阵，掌握矩阵的线性运算、乘法、转置及其运算规律，理解逆阵的概念，熟悉逆矩阵存在的条件与矩阵求逆的方法，熟练掌握矩阵的初等变换及初等变换求逆阵的方法，会分块矩阵及其运算，了解初等矩阵的概念及初等矩阵与初等变换的关系重点：矩阵与矩阵的乘法、逆矩阵存在的条件及其求法难点：利用初等变换求矩阵的逆第四章向量组的线性相关性（4学时）内容：4.1向量组及其线性组合：n维向量与向量组，向量组的线性组合，向量的线性表示，向量组的等价4.2向量组的线性相关性：向量组线性相关和线性无关。4.3向量组的秩：向量组的极大无关组与向量组秩的概念,矩阵的初等行变换求向量组的极大无关组与向量组的秩要求：理解向量的概念，理解向量组能由向量组线性表示的概念，知道两向量组等价的概念，理解向量组线性相关、线性无关的定义并熟悉这一概念与齐次线性方程组的联系，了解向量组线性相关、线性无关的重要结论，理解向量组的最大无关组与向量组秩的概念，会用矩阵的初等行变换求向量组的极大无关组与向量组的秩重点：线性相关、线性无关，向量组的极大无关组和向量组的秩难点：线性相关、线性无关，向量组的极大无关组第五章线性方程组的解的结构（6学时）内容：5.1矩阵的秩：矩阵的秩的概念，线性方程组解的理论，矩阵秩的性质5.2齐次线性方程组解的结构：齐次线性方程组基础解系，通解及解的结构5.3齐次线性方程组解的结构要求：熟悉矩阵秩的概念及其求法,知道矩阵秩的基本性质，理解齐次线性方程组的基础解系、通解等概念及非齐次线性方程组解的结构。重点：求线性方程组通解的方法

难点：线性方程组解的结构第六章方阵的特征值和特征向量（8学时）内容：6.1向量的內积：内积、长度及正交性的概念，施密特正交化方法，正交矩阵6.2方阵的特征值和特征向量：特征值和特征向量的概念、求法、性质6.3相似矩阵：相似矩阵的概念和性质，矩阵对角化的条件和方法6.4实对称矩阵的相似阵：实对称矩阵特征值的性质，实对称矩阵的对角化方法要求：知道施密特正交化方法,理解矩阵的特征值与特征向量的概念并掌握其求法；了解相似矩阵的概念和性质及矩阵对角化的充要条件，会求实对称矩阵的相似对角阵；了解正交变换与正交矩阵的概念和性质。重点：矩阵的特征值、特征向量及其求法，矩阵对角化及其求法难点：矩阵对角化及其求法第七章二次型（6学时）内容：7.1二次型及其矩阵表示：二次型的定义及其矩阵表示，矩阵的合同7.2二次型为标准型的标准形和规范形：化二次型为标准形的三种方法7.3二次型的正定性：惯性定理和规范形，二次型的正定性要求：熟悉二次型及矩阵表示，掌握化二次型为标准形的方法，了解惯性定理、二次型的秩和二次型的正定性及其判别法重点：化二次型为标准形

难点：化二次型为标准形五、课时分配学时分配章节1234567合计授课学时8610468648实验学时00000000六、考核方式与成绩评定考核方式：闭卷成绩评定：综合成绩＝期末考试成绩×70℅＋平时成绩×30℅备注：平时成绩由作业、考勤、课堂表现等构成七、教学使用的教材和主要参考书教材：《线性代数》主编：管典安倪臣敏出版社：大连理工大学出版社出版或修订时间：2019年1月

教案教案编写说明教案又称课时教学计划，是任课教师的教学实施方案，是教师对一节课进行的总体设计。它的基本内容包括1、授课题目；2、授课类型；3、教学目的；4、教学内容，包括教学的重点与难点；5、教学方法；6、教学资源；7、参考书目；8、讨论、思考题和作业；9、教学过程等。任课教师应遵循专业教学计划制订的培养目标，以教学大纲为依据，在熟悉教材、了解学生的基础上，结合教学实践经验，提前编写设计好每门课程每个章、节或主题的全部教学活动。教案编写的步骤大致如下：一、钻研教材和教学参考书；二、确定本节课的教学目的，教学目的一般说应包含知识教学、能力发展、思想教育三个内容；三、确定本节课的重点和难点；四、根据教材内容，设计授课类型，应采用的教学方法和准备好教学资源（即授课时使用的各种教具和设备）；五、设计一节课的教学全过程的程序及布置作业等。

线性代数课程教案第1次授课题目（教学章、节或主题）：绪论第一章行列式与克拉默法则§1.1二阶和三阶行列式以及克拉默法则§1.2排列和逆序数课时安排第周周共学时授课时间月日第节教学目的、要求（分掌握、熟悉、了解三个层次）：1．掌握二阶和三阶行列式的展开式、克拉默法则和求逆序数2．熟悉二阶和三阶行列式的表述、逆序数的定义及相关定理3．了解高斯消元法、二阶和三阶行列式展开式的对角线法则和排列教学内容（包括基本内容、重点、难点）：问题引导：我国古代《张邱建算经》中的“百鸡百钱问题”，方程组，通解，其中t为任意正实数.一、二阶和三阶行列式定义1对于二元线性方程组，令，称为二阶行列式，称为此行列式的展开式.二阶行列式对角线法则：.二元线性方程组解的结构：设、、，则二元线性方程组的解为、.例题1计算行列式.定义2对于三元线性方程组，称为三阶行列式，其展开式为.三阶行列式展开式的对角线法则：例题2计算行列式.三元线性方程组解的结构：设、、、，则三元线性方程组的解为、、.例题3解方程组.二、克拉默法则定理1（克拉默法则）对含有n个未知量，和n个线性方程的如下方程组若其系数行列式不等于0，即，则n元线性方程组的解为，，…，，其中，，（b替换第i列）.例题4解方程组.三、排列和逆序数定义1由1,2，…，n这n个数排成的有序数组，称为一个阶排列.称12…n为自然排列.定义2对于n个不同的元素，先规定各元素之间有一个标准次序，在这n个不同元素的任一排列中，当某两个元素的先后次序与标准次序不同时，就说该排列有一个逆序.一个排列中所有逆序的总和称作这个排列的逆序数.逆序数为奇数的排列称为奇排列；逆序数为偶数的排列称为偶排列.例题5求1、2、3三个不同元素的全排列.例题6求(32541)、(42531)的逆序数.定义3在一个排列中，任意对调两个元素，其余元素保持原位置不变，这一过程称为对换.相邻两个元素的对换叫作相邻对换.定理1一个排列每经过一次对换，都会改变排列的奇偶性.定理2在全部n（n≥2）阶排列中，奇排列与偶排列个数相等，都等于n!/2个.例题7确定i,j的值，使得213i76j9为偶排列.例题8写出排列25431变成排列12345的相应对换.教学重点：二阶和三阶行列式；对角线法则教学难点：克拉默法则；逆序数作业：练习册P1参考书：《（工程数学）线性代数》（第五版），同济大学数学系编，高等教育出版社，2007年5月教学过程设计：复习5分钟，讲授新课50分钟，安排讨论30分钟，小结和布置作业5分钟授课类型（请打√）：理论课☑讨论课□实验课□练习课□其他□教学方式（请打√）：讲授☑讨论☑示教□指导□其他□教学资源（请打√）：多媒体☑模型□实物□挂图□音像□其他□填表说明：1、每项页面大小可自行添减；2、教学内容与讨论、思考题、作业部分可合二为一。

线性代数课程教案第2次授课题目（教学章、节或主题）：第一章行列式与克拉默法则§1.3n阶行列式的定义§1.4行列式的性质课时安排第周周共学时授课时间月日第、节教学目的、要求（分掌握、熟悉、了解三个层次）：1.掌握行列式性质，可以运用性质简化行列式的计算2.熟悉n阶行列式的定义和行列式的8个性质3.了解三角形行列式和对角形行列式的计算教学内容（包括基本内容、重点、难点）：知识点回顾：二、三阶行列式及其展开式，以及二元、三元线性方程组的解的表达方式.一、二阶及三阶行列式的构造二阶行列式的展开式；三阶行列式的展开式=分析展开式元素角标的排列规律，以及展开式的和式表达方法。二、n阶行列式的定义定义1将个数排成行列：，称为阶行列式，记为或者，也写作.，即其中，称为阶行列式的一般项，的值是一个代数和.例题1计算行列式例题2计算n阶上三角行列式例题3计算行列式例题4求n阶行列式定理1阶行列式的项前的符号为，其中是两个阶排列.三、行列式的性质性质1行列式与它的转置行列式相等，即.性质2互换行列式的两行（列），行列式变号.推论1若一个行列式中有两行(列)的对应元素相等，则此行列式为零.性质3行列式中某行（列）的公因子提到行列式外面来.即.推论2若一个行列式中有一行(列)的元素全部为0，则此行列式为零.推论3若一个行列式中有两行(列)的元素对应成比例，则此行列式为零.性质4若一个行列式的某行（列）元素都可写成两个元素的和，则此行列式可写成两个行列式的和.即.性质5用行列式的某行（列）的元素乘以加到其它行（列）的对应元素上去，行列式的值不变.即.例题5计算例题6计算教学重点：n阶行列式；行列式性质教学难点：行列式性质作业：练习册P2参考书：《（工程数学）线性代数》（第五版），同济大学数学系编，高等教育出版社，2007年5月教学过程设计：复习5分钟，讲授新课50分钟，安排讨论30分钟，小结和布置作业5分钟授课类型（请打√）：理论课☑讨论课□实验课□练习课□其他□教学方式（请打√）：讲授☑讨论☑示教□指导□其他□教学资源（请打√）：多媒体☑模型□实物□挂图□音像□其他□填表说明：1、每项页面大小可自行添减；2、教学内容与讨论、思考题、作业部分可合二为一。

线性代数课程教案第3次授课题目（教学章、节或主题）：第一章行列式与克拉默法则§1.5行列式的计算课时安排第周周共学时授课时间月日第、节教学目的、要求（分掌握、熟悉、了解三个层次）：1.掌握行列式按行展开的基本方法2.熟悉余子式和代数余子式的定义3.了解部分特殊行列式的计算教学内容（包括基本内容、重点、难点）：知识点回顾：行列式性质，以及利用这些性质简化行列式的计算.一、行列式按某一行（列）展开定义1在阶行列式中，将元素所在的第行和第列划去，剩下的元素按原排列构成的阶行列式，称为的余子式，记为；记，称为元素的代数余子式．例题1求a23的余子式和代数余子式例题2用行变换和列展开形式求解行列式引理1若阶行列式的第行元素中，除了以外，其余元素均为零，则.例题3计算行列式定理1阶行列式的值等于它的任意一行（列）各元素与其代数余子式乘积之和.即或.练习1计算行列式；练习2计算行列式.推论1行列式的某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零即或.二、行列式的计算例题4证明范德蒙（Vandermonde）行列式例题5计算行列式例题6计算行列式例题7计算行列式例题8求解方程组教学重点：余子式；代数余子式；行列式的按行（列）展开法则；教学难点：行列式的按行（列）展开法则；范德蒙行列式计算作业：练习册P3、P4参考书：《（工程数学）线性代数》（第五版），同济大学数学系编，高等教育出版社，2007年5月教学过程设计：复习5分钟，讲授新课50分钟，安排讨论30分钟，小结和布置作业5分钟授课类型（请打√）：理论课☑讨论课□实验课□练习课□其他□教学方式（请打√）：讲授☑讨论☑示教□指导□其他□教学资源（请打√）：多媒体☑模型□实物□挂图□音像□其他□填表说明：1、每项页面大小可自行添减；2、教学内容与讨论、思考题、作业部分可合二为一。

线性代数课程教案第4次授课题目（教学章、节或主题）：第一章：行列式与克拉默法则习题课课时安排第周周共学时授课时间月日第、节教学目的、要求（分掌握、熟悉、了解三个层次）：1.通过串讲，辅助学生建立本章的知识结构2.通过典型例题讲解和练习，巩固主要知识点的理解和应用教学内容（包括基本内容、重点、难点）：一、串讲的主要内容1、排列、逆序2、行列式计算1）利用初等变换化为上三角2）行列式按行展开3、n阶行列式计算的常见技巧二、例题及练习例题1求解方程例题2解线性方程组例题3计算行列式.练习1计算行列式例题4计算行列式的值.练习2计算行列式例题5计算行列式练习3计算行列式教学重点：二阶、三阶、n行列式的运算教学难点：n行列式的运算作业：参考书：《（工程数学）线性代数》（第五版），同济大学数学系编，高等教育出版社，2007年5月教学过程设计：串讲20分钟，讨论、练习65分钟，小结和布置作业5分钟授课类型（请打√）：理论课□讨论课□实验课□练习课□习题课☑其他□教学方式（请打√）：讲授☑讨论☑示教□指导□其他□教学资源（请打√）：多媒体☑模型□实物□挂图□音像□其他□填表说明：1、每项页面大小可自行添减；2、教学内容与讨论、思考题、作业部分可合二为一。

线性代数课程教案第5次授课题目（教学章、节或主题）：第二章：矩阵的初等变换与线性方程组的解法§2.1线性方程组的消元法与矩阵的初等变换课时安排第周周共学时授课时间月日第、节教学目的、要求（分掌握、熟悉、了解三个层次）：1.掌握线性方程组的高斯消元法、矩阵概念、矩阵等价概念及等价关系2.熟悉线性方程的初等变换和矩阵的初等变换、行阶梯形矩阵和行最简形矩阵3.了解线性方程组的一般解和通解的表达方式教学内容（包括基本内容、重点、难点）：知识点回顾：克拉默法则及其条件.一、线性方程组的消元法高斯消元法解线性方程组：引例求解线性方程组补充定义1对方程组实施的如下三种变换：（1）交换两个方程的位置；（2）用一个不等于零的数乘以某一个方程；（3）用一个非零数乘以某一个方程后加到另一个方程.称此三种变换称为线性方程的初等变换.补充定义2在线性方程组中，可以任意取值的变量称为自由未知量.补充定义3所求方程组的解中，若含有自由未知量，则称此解为方程组的一般解；若方程组的解中只含有可以任意取值的常数，则称其为方程组的通解.定义1设含有个未知数和个线性方程的线性方程组为,其中表示第个方程未知量的系数，为常数项，，均为已知数.若全为零，则称方程组为齐次线性方程组；否则，称为非齐次线性方程组.若个数使得当时，方程组中的每个方程都变成恒等式，则称有序数组是方程组的一个解.若，称是一个零解；否则，称之为非零解.方程组的所有解构成它的解集合，如果两个方程组的解集合相等，则称他们是同解的.例题1线性方程组，为非齐次线性方程组；一般解为，通解为.二、矩阵的初等变换定义2由个数排成的行列的数表，称为行列的矩阵，简称矩阵，记作（11）数称为矩阵（11）的元素，简称元.位于矩阵（11）的第行第列，称为矩阵（11）的第元.以为元的矩阵可简记作或者，矩阵常用大写字母表示，矩阵也记作或者.补充定义4对线性方程组称为其系数矩阵，用表示，而称为其增广矩阵，用表示.定义3下面三种变换称为矩阵的初等行变换：（i）交换矩阵的两行（对调i行和j行，记作ri←→rj）；（ii）用一个不等于零的数k乘以矩阵的某一行（第i行乘k，记作k×ri）；（iii）用一个非零数乘以矩阵的某一行加到另一行对应的元素上去（数乘以第行加到第行，记作）.把以上三种变换的行改为列，称为矩阵的初等列变换，所用记号分别为；；.矩阵的初等行变换和初等列变换统称矩阵的初等变换.补充定义5如果矩阵A经过初等变换得到矩阵B，则称矩阵A与B等价.矩阵等价的性质：（1）反身性A与A等价（2）对称性A与B等价，则B与A等价（3）传递性A与B等价且B与C等价，则A与C等价例题1对矩阵A进行初等行变换,定义4一个阶梯形矩阵若满足：（i）各非零行的第一个非零元素都等于1；（ii）各非零行的第一个非零元素所在的列中，其余元素均为零.则称它为行最简形矩阵，又叫做行简化阶梯形矩阵.定理1对于任意非零矩阵Am×n，均可进行有限次的初等行变换把它化为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵.例题2将矩阵A利用化为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵，补充定义6如果矩阵主对角线上的元素都为1，而其它元素都为0，则称此矩阵为矩阵的标准形.补充推论1任何一个矩阵经过若干次初等变换（行和列变换），都可以化为标准形.例题3解线性方程组练习1将矩阵A化为行最简形矩阵，练习2求解线性方程组教学重点：线性方程的初等变换；矩阵；矩阵的初等变换；矩阵等价教学难点：矩阵等价；行最简形矩阵；标准形作业：练习册P5-1(1)(2)参考书：《（工程数学）线性代数》（第五版），同济大学数学系编，高等教育出版社，2007年5月教学过程设计：复习_5_分钟，讲授新课50分钟，安排讨论30分钟，小结和布置作业5分钟授课类型（请打√）：理论课☑讨论课□实验课□练习课□其他□教学方式（请打√）：讲授☑讨论☑示教□指导□其他□教学资源（请打√）：多媒体☑模型□实物□挂图□音像□其他□填表说明：1、每项页面大小可自行添减；2、教学内容与讨论、思考题、作业部分可合二为一。

线性代数课程教案第6次授课题目（教学章、节或主题）：第二章：矩阵的初等变换与线性方程组的解法§2.2利用矩阵的初等行变换解齐次线性方程组§2.3利用矩阵的初等行变换解非齐次线性方程组课时安排第周周共学时授课时间月日第、节教学目的、要求（分掌握、熟悉、了解三个层次）：1.掌握齐次和非齐次线性方程组对应的矩阵行变换求解方法2.熟悉齐次和非齐次线性方程组解的存在定理3.了解线性方程组的解的规律教学内容（包括基本内容、重点、难点）：知识点回顾：齐次与非齐次线性方程组，行阶梯形矩阵，行最简形矩阵.一、利用矩阵的初等行变换解齐次线性方程组定理1当时，若齐次线性方程组(1)的系数行列式，则它只有零解（没有非零解）．反之，若齐次线性方程组(1)有非零解，则它的系数行列式.例题1解齐次线性方程组对应的系数矩阵：；经初等变换得；对应解为例题2解齐次线性方程组对应的系数矩阵：；经初等变换得；对应的一般解为通解为（其中为任意常数）.例题3解齐次线性方程组对应的系数矩阵：；经初等变换得；对应的线性方程组的通解为（其中为任意常数）.结论：齐次线性方程组解的规律：(I)若系数矩阵的行阶梯形矩阵中非零行的行数等于未知量的个数，则方程组有唯一的零解；(II)若系数矩阵的行阶梯形矩阵中非零行的行数小于未知量的个数，则方程组有非零解，且非零解中所含自由未知量的个数为.二、利用矩阵的初等行变换解非齐次线性方程组知识回顾：克拉默法则（非齐次线性方程组有唯一解的充要条件是其系数行列式不等于零）例题4解非齐次线性方程组对应的增广矩阵：；经初等变换得；原方程组有唯一的解例题5求非齐次线性方程组对应的增广矩阵：；经初等变换得；原方程组的通解为（其中为任意常数）.非齐次线性方程组解的规律：设方程组中未知量的个数为n，系数矩阵的行阶梯形矩阵中非零行的行数r1，增广矩阵的行阶梯形矩阵中非零行的行数，则：(1)当r1=r2=n时，非齐次线性方程组有唯一解；(2)当r1=r2<n时，非齐次线性方程组有无穷多解，且每个解中所含自由未知量的个数为.(3)当时，非齐次线性方程组有没有解.教学重点：方程组解的存在定理；初等矩阵变换求解教学难点：线性方程组解的规律作业：练习册P6-1(1)(2)，P7-1(1)(2)参考书：《（工程数学）线性代数》（第五版），同济大学数学系编，高等教育出版社，2007年5月教学过程设计：复习5分钟，授新课50分钟，安排讨论30分钟，小结和布置作业5分钟授课类型（请打√）：理论课☑讨论课□实验课□练习课□其他□教学方式（请打√）：讲授☑讨论☑示教□指导□其他□教学资源（请打√）：多媒体☑模型□实物□挂图□音像□其他□填表说明：1、每项页面大小可自行添减；2、教学内容与讨论、思考题、作业部分可合二为一。

线性代数课程教案第7次授课题目（教学章、节或主题）：第二章：矩阵的初等变换与线性方程组的解法习题课课时安排第周周，共学时授课时间月日第、节教学目的、要求（分掌握、熟悉、了解三个层次）：1.通过串讲，辅助学生建立本章的知识结构2.通过典型例题讲解和练习，巩固主要知识点的理解和应用教学内容（包括基本内容、重点、难点）：一、串讲的主要内容1、线性方程组的消元法，利用初等变换解一般线性方程组（化为阶梯型方程组）2、矩阵的初等变换将矩阵化为行阶梯形矩阵和最简形矩阵3、用矩阵的初等行变换求解线性方程组的解二、例题及练习例题1求解方程组.例题2将矩阵化为最简形矩阵.例题3求解方程组.教学重点：矩阵的初等行变换的应用，行阶梯形矩阵和最简形矩阵，线性方程组求解教学难点：矩阵的初等行变换的应用作业：参考书：《（工程数学）线性代数》（第五版），同济大学数学系编，高等教育出版社，2007年5月教学过程设计：串讲15分钟，讨论、练习70分钟，小结和布置作业5分钟授课类型（请打√）：理论课□讨论课□实验课□练习课□习题课☑其他□教学方式（请打√）：讲授☑讨论☑示教□指导□其他□教学资源（请打√）：多媒体☑模型□实物□挂图□音像□其他□填表说明：1、每项页面大小可自行添减；2、教学内容与讨论、思考题、作业部分可合二为一

线性代数课程教案第8次授课题目（教学章、节或主题）：第三章矩阵及其运算§3.1矩阵的运算课时安排第周周共学时授课时间月日第、节教学目的、要求（分掌握、熟悉、了解三个层次）：1.掌握矩阵的运算规律2.熟悉矩阵的相关概念3.了解特殊矩阵的运算特点教学内容（包括基本内容、重点、难点）：知识点回顾：线性方程组，方程组的初等变换，方程组的解，矩阵，增广矩阵，矩阵的初等变换，行最简形矩阵及其与线性方程组解的对应关系等.一、几种特殊矩阵的定义例题1用行初等变换将矩阵化为行最简形矩阵.定义设一个矩阵只有主对角线上存在非零元素，而其它元素均为零，即(aij=0(i≠j))，称之为对角型矩阵，通常简写为，即.特别地，若矩阵中a11=a22=…=ann=1，称之为单位矩阵，n阶单位矩阵通常记为En或In；若矩阵中的所有元素均为零，称之为零矩阵，n阶零矩阵通常记为On.二、矩阵的加减法定义1设有两个A=(aij)m×n和B=(bij)m×n，将它们对应的元素分别相加，得到一个新的矩阵称为矩阵A和矩阵B的和，记为A+B，即A+B=(aij+bij)m×n.例题2已知矩阵，，求A+B.定义2将矩阵A=(aij)的各元素取相反符号，得到的矩阵称为矩阵A的负矩阵，记为-A.即-A=(-aij).称矩阵A+（-B）为矩阵A和矩阵B的差，记为，即A-B=(aij-bij)m×n.例题3已知矩阵，，求A-B.三、矩阵的数乘定义3用数λ乘以矩阵A=(aij)m×n的所有元素，所得到的m×n矩阵，称为数λ与矩阵A的数乘矩阵，简称数乘，记为λA或Aλ.例题4已知λ=5，，求λA.矩阵的加法（含减法）和矩阵的数乘统称为矩阵的线性运算，且满足下列运算规律：设A，B，C均为矩阵，λ，μ为常数，即（1）交换律A+B=B+A（2）结合律（A+B）+C=A+（B+C）（3）A+（-A）=O，A+O=A（4）A-B=A+（-B）（5）（λμ）A=λ（μA）（6）（λμ）A=λ（μA）；λ（A+B）=λA+λB（7）1·A=A（8）λA=O，λ=0或A=O例题5设，，且3A+2B=X，求X.四、矩阵的乘法定义4设，规定矩阵与矩阵的乘积是一个矩阵,其中.并把此乘积记作，即.例题6设，求，并思考是否有意义？例题7设，求，.例题8设，求和.补充定义1如果AB=BA，则称A和B是可交换的.练习已知，证明A和B是可交换的.矩阵乘法的运算规律：（1）结合律：(AB)C=A(BC)（2）分配律：A(B+C)=AB+AC,(B+C)A=BA+CA（3）对任意数λ，有λ(AB)=(λA)B=A(λB)（4）设A是m×n矩阵，则EmAm×n=Am×n，Am×nEn=Am×n，或简记为EA=AE=A补充定义2设A为n阶方阵，k为正整数，则k个A的乘积称为A的k次幂，记为Ak.方阵的幂的运算规律：(1)AkAl=Ak+l；(2)(Ak)l=Akl（k，l为正整数））.例题9设，求和.五、矩阵的转置补充定义3将矩阵A的行换成同序数的列得到一个新矩阵，称为A的转置矩阵，记为AT或A’.若，则.例题10设，求.矩阵转置的运算规律：（1）(AT)T=A；（2）(A+B)T=AT+BT；（3）(λA)T=λAT；（4）(AB)T=BTAT.例题11设，求.六、对称矩阵与反对称矩阵补充定义4设为阶方阵，如果，则称为阶对称矩阵.如果，则称为阶反对称矩阵.例题12证明是一个反对称矩阵.七、方阵的行列式补充定义5一个由n阶矩阵A的元素按原来的排列形式构成的n阶行列式，称为矩阵A的行列式，记作|A|，它表示一个数.方阵的行列式的性质：（1）|AT|=|A|；（2）|λA|=λn|A|；（3）|AB|=|A||B|=|BA|.例题13设A为n阶方阵，且AAT=E，|A|=-1，求证|A+E|=0.教学重点：矩阵的基本运算、矩阵的特殊运算、矩阵的可交换性教学难点：矩阵的特殊运算作业：练习册P6-1(3)、2，P7-1(3)、P8-2参考书：《（工程数学）线性代数》（第五版），同济大学数学系编，高等教育出版社，2007年5月教学过程设计：复习5分钟，授新课60分钟，安排讨论20分钟，布置作业5分钟授课类型（请打√）：理论课☑讨论课□实验课□练习课□其他□教学方式（请打√）：讲授☑讨论□示教□指导□其他□教学资源（请打√）：多媒体☑模型□实物□挂图□音像□其他□填表说明：1、每项页面大小可自行添减；2、教学内容与讨论、思考题、作业部分可合二为一。

线性代数课程教案第9次授课题目（教学章、节或主题）：第三章：矩阵及其运算§3.2矩阵的逆§3.3利用初等变换求方阵的逆课时安排第周周，共学时授课时间月日第、节教学目的、要求（分掌握、熟悉、了解三个层次）：1.掌握逆矩阵的定义、求法、运算规律和性质定理2.熟悉初等矩阵及其相关定理3.了解伴随矩阵、奇异矩阵的定义教学内容（包括基本内容、重点、难点）：知识回顾：线性方程组及其解、对角型矩阵和矩阵的乘法，行列式的代数余子式和行列式的性质.一、伴随矩阵与逆矩阵补充定义1设行列式的各个元素的代数余子式所构成的如下的矩阵，称为矩阵的伴随矩阵，简称伴随阵.例题1设,求例题2证明.定义1对于阶方阵，如果有一个阶方阵，使，则称矩阵是可逆的，并把矩阵称为的逆矩阵，简称逆阵.的逆矩阵记作.即若，则.例题3证明A的逆矩阵是唯一的.定理1若矩阵可逆，则.定理2若，则矩阵可逆，且，其中为矩阵的伴随阵.推论1若或，则.例题4判断下列方阵，,是否可逆?若可逆，求其逆阵。补充定义2当时，称为奇异矩阵，否则称为非奇异矩阵.推论2可逆矩阵是非奇异矩阵.方阵的逆矩阵满足下述运算规律：（1）若可逆，则亦可逆，且.（2）若可逆，数，则可逆，且.（3）若，为同阶矩阵且均可逆，则亦可逆，且.（4）若可逆，则亦可逆，且.例题5设，试问：满足什么条件时，方阵可逆？当可逆时，求.例题6解线性方程组例题7设，，，求矩阵使其满足.例题8若，，，求.补充定义2设为的次多项式，为阶矩阵，记，称为矩阵的次多项式.推论3矩阵的两个多项式和总是可交换的，即总有.（1）如果，则，从而.（2）如果为对角阵，则，从而例题9设，，，求.二、初等矩阵定义2由阶单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵称为阶初等矩阵.三种初等变换对应着三种初等矩阵：（1）对调阶单位矩阵的第两行（或两列），得到的初等矩阵记为；（2）用数乘的第行（或第列）得到的矩阵，记为；（3）用数乘的第行加到第行上（或以乘的第列加到第列上）得到的矩阵，记为.初等矩阵都是可逆矩阵，即，，.定理3（初等变换和初等矩阵的关系）设是一个矩阵，对施行一次初等行变换，相当于在矩阵的左边乘相应的阶初等矩阵；对施行一次初等列变换，相当于在矩阵的右边乘相应的阶初等矩阵.即，，，，，.三、利用初等变换求逆矩阵定理4对于任一的矩阵，一定存在有限个阶初等矩阵和阶初等矩阵，使.定理5对于阶可逆矩阵，一定存在有限个初等矩阵，使得.定理6设为可逆矩阵，则存在有限个初等矩阵，使。例题10设，利用初等变换法求.教学重点：逆矩阵的定义、性质，初等变换与初等矩阵的关系，利用初等变换求逆矩阵教学难点：初等变换与初等矩阵的关系，利用初等变换求逆矩阵作业：练习册P11-1(1)(2)、2(2)，P12-2，P13-1(1)参考书：《（工程数学）线性代数》（第五版），同济大学数学系编，高等教育出版社，2007年5月教学过程设计：复习5分钟，授新课60分钟，安排讨论20分钟，布置作业5分钟授课类型（请打√）：理论课☑讨论课□实验课□练习课□其他□教学方式（请打√）：讲授☑讨论□示教□指导□其他□教学资源（请打√）：多媒体☑模型□实物□挂图□音像□其他□填表说明：1、每项页面大小可自行添减；2、教学内容与讨论、思考题、作业部分可合二为一。

线性代数课程教案第10次授课题目（教学章、节或主题）：第三章：矩阵及其运算§3.4分块矩阵课时安排第周周，共学时授课时间月日第、节教学目的、要求（分掌握、熟悉、了解三个层次）：1.掌握分块矩阵的运算和求逆矩阵2.熟悉分块矩阵的定义教学内容（包括基本内容、重点、难点）：知识回顾：观察几种特殊矩阵、、、一、分块矩阵的概念补充定义1将矩阵用若干条纵线和横线分成许多个小矩阵，每一个小矩阵称为的子块，以子块为元素的矩阵称为分块矩阵.例题1将下列矩阵分块：.二、分块矩阵的运算（1）分块矩阵的加减法设矩阵与的行、列数相同，且分块相同，有，，其中与的行、列数也相同，那么.（2）数与分块矩阵的乘法设，为数，那么.（3）分块矩阵的乘法设为矩阵，为矩阵，分块为，，其中，，…，的列数分别等于，，…，的行数，那么，其中，.分块矩阵的乘法注意的问题：一是要求、按普通矩阵的乘法是能相乘的；二是要求左矩阵列的分法与右矩阵行的分法一致；三是对左矩阵行的分法与对右矩阵列的分法可以是任意的.总之，分块矩阵的乘法应保证每一个元素的运算是合理的、正确的.例题2设，，求.练习1设，，求.（4）分块矩阵的转置设，则对矩阵分块，有两种分块法应予特别重视，这就是按行分块和按列分块.矩阵有行，称为矩阵的个行向量.若第行记作则矩阵便记为.矩阵有列，称为矩阵的个列向量.若第列记作.则.对于线性方程组记，，，，如果把系数矩阵按行分成块，则线性方程组可记作，或这就相当于把每个方程记作.如果把系数矩阵按列分成块，则与相乘的应对应地按行分成块，从而记作，即.（5）分块矩阵的行列式设为阶矩阵，若的分块矩阵只有在对角线上有非零子块，其余子块都是零矩阵，且在对角线上的子块都是方块，即，其中都是方阵，则称为分块对角矩阵.分块对角矩阵的行列式具有下述性质：三、分块矩阵求逆对于某些阶数较高的矩阵的求逆问题，运用分块矩阵可以转化为较低阶矩阵的求逆问题.例题3设，求.教学重点：分块矩阵的定义与性质，分块矩阵的运算与求逆教学难点：分块矩阵的运算与求逆作业：练习册P14-1、2参考书：《（工程数学）线性代数》（第五版），同济大学数学系编，高等教育出版社，2007年5月教学过程设计：复习5分钟，授新课50分钟，安排讨论30分钟，小结和布置作业5分钟授课类型（请打√）：理论课☑讨论课□实验课□练习课□其他□教学方式（请打√）：讲授☑讨论☑示教□指导□其他□教学资源（请打√）：多媒体☑模型□实物□挂图□音像□其他□填表说明：1、每项页面大小可自行添减；2、教学内容与讨论、思考题、作业部分可合二为一。

线性代数课程教案第11次授课题目（教学章、节或主题）：第三章：矩阵及其运算习题课课时安排第周周，共学时授课时间月日第、节教学目的、要求（分掌握、熟悉、了解三个层次）：1.通过串讲，辅助学生建立本章的知识结构2.通过典型例题讲解和练习，巩固主要知识点的理解和应用教学内容（包括基本内容、重点、难点）：一、串讲的主要内容1、矩阵的运算2、矩阵的逆及其求法3、初等矩阵与矩阵的初等变换4、分块矩阵及其运算二、例题及练习例题1设矩阵，求AB.例题2求方阵的逆矩阵.练习1设A是一个三阶方阵，将A的第1列与第2列交换得矩阵B，再把B的第2列加到第3列得到矩阵C，则满足AQ=C的可逆矩阵Q为.（A）；（B）；（C）；（D）例题3设方阵A满足方程，证明A为可逆矩阵，并求例题4设，求矩阵X，使满足.例题5设，，且，求.例题6已知，求.作业：参考书：《（工程数学）线性代数》（第五版），同济大学数学系编，高等教育出版社，2007年5月教学过程设计：串讲15分钟，讨论、练习70分钟，小结和布置作业5分钟授课类型（请打√）：理论课□讨论课□实验课□练习课□习题课☑其他□教学方式（请打√）：讲授☑讨论☑示教□指导□其他□教学资源（请打√）：多媒体☑模型□实物□挂图□音像□其他□填表说明：1、每项页面大小可自行添减；2、教学内容与讨论、思考题、作业部分可合二为一。

线性代数课程教案第12次授课题目（教学章、节或主题）：第四章：向量组的线性相关性§4.1向量组及其线性组合§4.2向量组的线性相关性概述课时安排第周周，共学时授课时间月日第、节教学目的、要求（分掌握、熟悉、了解三个层次）：1.掌握向量组与向量组的线性表述、向量组的等价2.掌握向量组线性相关与无关的定义与判断教学内容（包括基本内容、重点、难点）：定义2对维向量及,若有数组使得，称为的线性组合,或可由线性表示．定理1向量能由向量组线性表示的充分必要条件是矩阵的秩等于矩阵的秩.定义3设有两个向量组及,若组中每个向量都能由向量组线性表示,则称向量组能由向量组线性表示.若向量组与向量组能互相线性表示,则称这两个向量组等价.定理2向量组能由向量组线性表示的充分必要条件是矩阵的秩等于矩阵的秩=的秩,即推论向量组与向量组等价的充分必要条件是,其中和是向量组和所构成的矩阵.线性相关Ⅰ:如果向量组中有一个向量是可以由其余的向量的线性表出，那么向量组线性相关；Ⅱ:向量组如果存在不全为零的数使则称向量组线性相关.线性无关:一向量组不线性相关，即没有不全为零的数，使.定理：向量组线性相关的充要条件是它所构成的矩阵的秩小于向量个数；向量组线性无关的充分必要条件是例1．设，，，证明向量能由向量组线性表示并求出表示式例2．设，，，,证明向量组与向量组等价例1已知向量组,,,判断向量组及向量组的线性相关性例2已知向量组线性无关，试证明向量组线性无关线性相关性重要性质：1、两向量组线性相关，则向量组也线性相关。反之，向量组线性无关，则向量组也线性无关2、两向量组线性无关，则向量组线性相关，则向量必能用向量组线性表示，且表示式唯一3、个维向量组成的向量组，当维数小于向量个数时也一定线性相关。特别地，个维向量一定线性无关4、设有两向量组向量组B能由向量组A线性表示,若,则向量组B线性相关.【重点】1.向量的线性表述、向量组的等价；2.向量组线性相关性的判定【难点】向量组的等价；2.向量组线性相关性的判定方法作业：练习册P16、P17参考书：《（工程数学）线性代数》（第五版），同济大学数学系编，高等教育出版社，2007年5月教学过程设计：复习5分钟，授新课50分钟，安排讨论30分钟，小结和布置作业5分钟授课类型（请打√）：理论课☑讨论课□实验课□练习课□其他□教学方式（请打√）：讲授☑讨论☑示教□指导□其他□教学资源（请打√）：多媒体☑模型□实物□挂图□音像□其他□填表说明：1、每项页面大小可自行添减；2、教学内容与讨论、思考题、作业部分可合二为一。线性代数课程教案第13次授课题目（教学章、节或主题）：第四章：向量组的线性相关性§4.3向量组的秩§4.4向量空间（选学）课时安排第周周，共学时授课时间月日第、节教学目的、要求（分掌握、熟悉、了解三个层次）：1.掌握向量组最大无关组；2.掌握向量组的秩与求法；教学内容（包括基本内容、重点、难点）：设有向量组若在向量组中能选出个向量,满足(1)向量组线性无关;(2)向量组中任意个向量(若有的话)都线性相关.则称向量组是向量组的一个极大线性无关向量组(简称为极大无关组).向量组的极大无关组所含向量的个数称为该向量的秩,记为.规定:由零向量组成的向量组的秩为0.向量组的秩的求法向量组的秩的性质例1.求下列向量组的秩和它的一个最大无关组：例2.设齐次线性方程组的全体解向量构成的向量组为,求的秩。例3.设矩阵求矩阵的列向量组的一个最大无关组,并把不属于最大无关组的列向量用最大无关组线性表示。【重点】极大线性无关向量组；向量组的秩的求法【难点】极大线性无关向量组；作业：练习册P18，P19参考书：《（工程数学）线性代数》（第五版），同济大学数学系编，高等教育出版社，2007年5月教学过程设计：复习5分钟，授新课50分钟，安排讨论30分钟，小结和布置作业5分钟授课类型（请打√）：理论课☑讨论课□实验课□练习课□其他□教学方式（请打√）：讲授☑讨论☑示教□指导□其他□教学资源（请打√）：多媒体☑模型□实物□挂图□音像□其他□填表说明：1、每项页面大小可自行添减；2、教学内容与讨论、思考题、作业部分可合二为一。线性代数课程教案第14次授课题目（教学章、节或主题）：第四章：向量组的线性相关性习题课课时安排第周周，共学时授课时间月日第、节教学目的、要求（分掌握、熟悉、了解三个层次）：1.通过串讲，辅助学生建立本章的知识结构2.通过典型例题讲解和练习，巩固主要知识点的理解和应用教学内容（包括基本内容、重点、难点）：一、串讲的主要内容1.向量组与向量组的线性表示2.向量组的等价3.向量组线性相关性及其判断4.向量组最大无关组5.向量组的秩及其求法二、例题及练习例题1已知向量组A：和向量组B：分别求出两向量组的线性组合的系数，使得线性组合为0向量，并把两向量组中的一个向量用其余的向量线性表示。例题2上题两个向量组是否等价？例题3讨论向量组的线性相关性。例题4设矩阵，求矩阵的列向量组的一个极大无关组，并把不属于极大无关组的列向量用极大无关组线性表示。练习1设，证明向量能由向量组线性表示，并求出表示式。练习2设向量组,（1）当取何值时，向量组与等价？（2）当取何值时，向量组与不等价？练习3设向量组线性无关，讨论向量组线性相关性。练习4设向量组的秩为，求与的值。作业：参考书：《（工程数学）线性代数》（第五版），同济大学数学系编，高等教育出版社，2007年5月教学过程设计：串讲15分钟，讨论、练习70分钟，小结和布置作业5分钟授课类型（请打√）：理论课□讨论课□实验课□练习课□习题课☑其他□教学方式（请打√）：讲授☑讨论☑示教□指导□其他□教学资源（请打√）：多媒体☑模型□实物□挂图□音像□其他□填表说明：1、每项页面大小可自行添减；2、教学内容与讨论、思考题、作业部分可合二为一。线性代数课程教案第15次授课题目（教学章、节或主题）：第五章线性方程组的解的结构§5.1矩阵的秩§5.2齐次线性方程组的解的结构§5.3非齐次线性方程组的解的结构课时安排第周周，共学时授课时间月日第、节教学目的、要求（分掌握、熟悉、了解三个层次）：1.理解矩阵的秩的概念，掌握矩阵的秩的求法2.掌握齐次线性方程组的基础解系及其基础解系的求法3.掌握非齐次线性方程组的解的求法教学内容（包括基本内容、重点、难点）：1．矩阵的秩定义1设是矩阵，经过有限次初等行变换把它变为行阶梯形矩阵，则行阶梯形矩阵中非零行的行数即是矩阵的秩，记作.并规定零矩阵的秩等于0.例题1设，，求矩阵及矩阵的秩.2．齐次线性方程组解的性质:性质1若为方程组(2)的解,则也是该方程组的解.性质2若为方程组(2)的解,为实数,则也是(2)的解.定义齐次线性方程组的有限个解满足:(1)线性无关;(2)的任意一个解均可由线性表示.则称是齐次线性方程组的一个基础解系.设是非齐次线性方程组的一个解,是对应齐次线性方程组的通解是非齐次线性方程组的通解.例题2求下列齐次线性方程组的基础解系与通解.例题3设是齐次方程组的一个基础解系，证明也是这个方程组的一个基础解系,其中数.3.非齐次线性方程组解的结构性质1若为（1）的解，则为对应的齐次线性方程组的解。性质2若为的解，为对应的齐次线性方程组的解，则仍是的解。定理1非齐次线性方程组的通解等于其对应的齐次线性方程组的通解加上它本身的一个特解。例题4求解方程组例题5设线性方程组，问取何值时，方程组有唯一解，无解，有无穷多解？在有无穷多解时求其通解.重点：齐次线性方程组的基础解系难点：齐次线性方程组的基础解系、非齐次线性方程组的解作业：练习册P20第1、2题，P21第3、4题参考书：《（工程数学）线性代数》（第五版），同济大学数学系编，高等教育出版社，2007年5月教学过程设计：复习5分钟，授新课50分钟，安排讨论30分钟，小结和布置作业5分钟授课类型（请打√）：理论课☑讨论课□实验课□练习课□其他□教学方式（请打√）：讲授☑讨论☑示教□指导□其他□教学资源（请打√）：多媒体☑模型□实物□挂图□音像□其他□填表说明：1、每项页面大小可自行添减；2、教学内容与讨论、思考题、作业部分可合二为一。线性代数课程教案第16次授课题目（教学章、节或主题）：第五章线性方程组的解的结构习题课课时安排第周周，共学时授课时间月日第、节教学目的、要求（分掌握、熟悉、了解三个层次）：1.巩固矩阵的秩、齐次线性方程组的基础解系等相关概念2.强化理解非齐次线性方程组的解的结构3.进一步掌握矩阵的秩的求法、齐次线性方程组的基础解系的求法教学内容（包括基本内容、重点、难点）：一、串讲的主要内容1.矩阵的最大非零子式2.矩阵的秩3.齐次线性方程组的基础解系4.非齐次线性方程组的解的结构5.矩阵的秩的求法、齐次线性方程组的基础解系的求法二、例题及练习例题1求下列矩阵的秩，（1）；（2）.例题2求齐次线性方程组，的基础解系与通解。例题3求非齐次线性方程组的通解.练习1设，已知，求与的值。练习2设，且的基础解系含有两个线性无关的解向量，求的通解。练习3讨论取何值时，非齐次线性方程组无解、有解？有解时求出方程组的通解.重点、难点：矩阵的秩、齐次线性方程组的基础解系、非齐次线性方程组的解的结构作业：参考书：《（工程数学）线性代数》（第五版），同济大学数学系编，高等教育出版社，2007年5月教学过程设计：串讲15分钟，讨论、练习70分钟，小结和布置作业5分钟授课类型（请打√）：理论课□讨论课□实验课□练习课□习题课☑其他□教学方式（请打√）：讲授☑讨论☑示教□指导□其他□教学资源（请打√）：多媒体☑模型□实物□挂图□音像□其他□填表说明：1、每项页面大小可自行添减；2、教学内容与讨论、思考题、作业部分可合二为一。线性代数课程教案第17次授课题目（教学章、节或主题）：第六章方阵的特征值和特征向量§6.1向量的內积课时安排第周周，共学时授课时间月日第、节教学目的、要求（分掌握、熟悉、了解三个层次）：1.理解向量的內积的概念，掌握向量的內积的计算方法2.理解向量的角度、长度的概念，掌握向量长度的计算方法3.理解向量正交的概念，掌握向量组正交化方法4.理解正交矩阵的概念，掌握正交矩阵的判别方法教学内容（包括基本内容、重点、难点）：定义1设有维向量令，则称为向量与的内积。向量内积的性质：(1)；(2)；(3)；(4)，当且仅当时等号成立。定义2设有维向量，称为向量的长度(或范数)，记为。向量长度的性质：(1)非负性，当且仅当时，；(2)齐次性；(3)三角不等式。定义3设当时，称向量与正交。定义4如果一个向量组中任意两个向量都正交，则称这个向量组为正交向量组。定理1若维向量是一组两两正交的非零向量，则线性无关。施密特正交化方法：设为线性无关的向量组，令；；；。定义5如果阶方阵，满足，那么称为正交矩阵。显然，如果为正交矩阵，则有。定理2设,都是正交矩阵，则有(1)或者；(2)是正交矩阵；(3)是正交矩阵。定理3实矩阵是正交矩阵的充分必要条件是的行（列）向量组构成标准正交向量组，即记，则有，且.定义6若正交矩阵，则线性变换称为正交变换。例题1将向量组正交规范化.例题2已知，求非零向量，使成为正交向量组。例题3设是正交矩阵，求的值.重点：向量的内积、长度、正交与正交矩阵难点：向量组的正交化方法作业：练习册P23参考书：《（工程数学）线性代数》（第五版），同济大学数学系编，高等教育出版社，2007年5月教学过程设计：复习5分钟，授新课50分钟，安排讨论30分钟，小结和布置作业5分钟授课类型（请打√）：理论课☑讨论课□实验课□练习课□其他□教学方式（请打√）：讲授☑讨论☑示教□指导□其他□教学资源（请打√）：多媒体☑模型□实物□挂图□音像□其他□填表说明：1、每项页面大小可自行添减；2、教学内容与讨论、思考题、作业部分可合二为一。线性代数课程教案第18次授课题目（教学章、节或主题）：第六章方阵的特征值和特征向量§6.2方阵的特征值和特征向量概述课时安排第周周，共学时授课时间月日第、节教学目的、要求（分掌握、熟悉、了解三个层次）：1.理解方阵的特征值和特征向量概念2.理解方阵的特征值和特征向量的性质3.掌握方阵的特征值和特征向量的求解方法教学内容（包括基本内容、重点、难点）：定义1设是阶方阵，如果存在常数和维非零列向量，使得，则称常数为方阵的特征值，非零列向量称为方阵的属于特征值的特征向量。定义2设为阶方阵，称方程的系数矩阵为的特征矩阵，的行列式为的特征多项式，为的特征方程。矩阵的特征值和特征向量的求解步骤：(1)计算阶方阵的特征多项式；(2)求特征方程的所有根，即方阵的的全部特征值；(3)对于每个特征值，求对应的齐次方程组的基础解系，就是对应于特征值的特征向量，基础解系的线性组合（零向量除外）就是对应于的全部特征向量。特征值和特征向量的性质：定理1设是方阵的特征值，则（1）是方阵转置的特征值；（2）当可逆时，是的特征值；（3）是方阵的特征值；（4）是的特征值。定理2设阶方阵的个特征值为，则（1），其中是的主对角线上的元素之和，称为矩阵的迹，记作；（2）推论阶方阵可逆的充要条件是它的任一特征值都不等于零。定理3设是方阵的个特征值，依次是与之对应的特征向量。如果各不相等，则线性无关。推论设阶方阵有个不同的特征值，则有一组由个线性无关的向量组成的特征向量组。例题1已知是矩阵的一个特征向量.例题2求矩阵的特征值和特征向量.例题3求矩阵的特征值和特征向量.例题4设和是矩阵的两个不同的特征值，对应的特征向量依次为，证明不是的特征向量重点：方阵特征值和特征向量的求法难点：方阵特征值和特征向量的性质作业：练习册P24参考书：《（工程数学）线性代数》（第五版），同济大学数学系编，高等教育出版社，2007年5月教学过程设计：复习5分钟，授新课50分钟，安排讨论30分钟，小结和布置作业5分钟授课类型（请打√）：理论课☑讨论课□实验课□练习课□其他□教学方式（请打√）：讲授☑讨论☑示教□指导□其他□教学资源（请打√）：多媒体☑模型□实物□挂图□音像□其他□填表说明：1、每项页面大小可自行添减；2、教学内容与讨论、思考题、作业部分可合二为一。线性代数课程教案第19次授课题目（教学章、节或主题）：第六章方阵的特征值和特征向量§6.3相似矩阵§6.4实对称矩阵的对角化课时安排第周周，共学时授课时间月日第、节教学目的、要求（分掌握、熟悉、了解三个层次）：1.理解相似矩阵的概念及其性质2.掌握求相似矩阵的方法3.掌握实对称矩阵对角化的方法教学内容（包括基本内容、重点、难点）：一、相似矩阵定义1设都是阶方阵，若存在阶可逆矩阵，使得，则称矩阵与相似，记为。矩阵称为把矩阵变成的相似变换矩阵，如果为正交矩阵，则称与正交相似。相似矩阵的性质：性质1反身性：。性质2对称性：若，则。性质3传递性：若，，则。定理1设阶矩阵与相似，则（1）与有相同的秩，即；（2）与有相同的行列式；（3）与有相同的特征多项式，从而有相同的特征值；（4）与有相同的迹，即；（5）与的幂仍然相似，即为任意非负整数）（6）与都可逆或者都不可逆。当它们可逆时，它们的逆矩阵也相似，即。定理2阶矩阵与对角矩阵相似的充分必要条件是有个线性无关的特征向量。推论若阶矩阵有个互异的特征值，则与对角矩阵相似。定理3阶矩阵可对角化的充要条件是的每个重特征值对应有个线性无关的特征向量（即矩阵的秩为）。二、实对称矩阵的对角化定理1实对称矩阵的特征值为实数。定理2实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量相互正交。定理3设为阶实对称矩阵，则必有正交矩阵，使，其中是以的个特征值为对角元的对角矩阵。推论设为阶实对称矩阵，是的特征方程的重根，则矩阵的秩，从而对应特征值恰有个线性无关的特征向量。例题1设，,,则.例题2已知矩阵，求一个可逆矩阵，将矩阵对角化.例题3设，求一个正交矩阵，使为对角矩阵.例题4设三阶实对称矩阵的特征值为，与特征值-1对应的特征向量为，求。重点：相似矩阵及其性质与求法难点：实对称矩阵的对角化作业：练习册P25、P26、P27、P28参考书：《（工程数学）线性代数》（第五版），同济大学数学系编，高等教育出版社，2007年5月教学过程设计：复习5分钟，授新课50分钟，安排讨论30分钟，小结和布置作业5分钟授课类型（请打√）：理论课☑讨论课□实验课□练习课□其他□教学方式（请打√）：讲授☑讨论☑示教□指导□其他□教学资源（请打√）：多媒体☑模型□实物□挂图□音像□其他□填表说明：1、每项页面大小可自行添减；2、教学内容与讨论、思考题、作业部分可合二为一。线性代数课程教案第20次授课题目（教学章、节或主题）：第六章方阵的特征值和特征向量习题课课时安排第周周，共学时授课时间月日第、节教学目的、要求（分掌握、熟悉、了解三个层次）：1.通过串讲巩固相关知识2.通过练习强化解题方法教学内容（包括基本内容、重点、难点）：一、串讲的主要内容1.向量的内积、长度、正交和正交矩阵2.向量组的正交化方法3.方阵的特征值和特征向量4.相似矩阵5.实对称矩阵的对角化二、例题及练习例题1求向量,的长度.例题2试用施密特正交化方法将向量组，，正交化.例题3求矩阵的特征值和特征向量.例题4设矩阵与相似，求.例题5试求一个正交相似变换矩阵，使实对称矩阵化为对角矩阵.练习1已知向量，求一组非零向量，使得两两正交.练习2求矩阵的特征值和特征向量.练习3设矩阵与相似，求一个可逆矩阵，使.练习4试求一个正交相似变换矩阵，使实对称矩阵化为对角矩阵.重点、难点：向量组的正交化、正交矩阵、方阵的特征值和特征向量、相似矩阵、实对称矩阵的对角化作业：参考书：《（工程数学）线性代数》（第五版），同济大学数学系编，高等教育出版社，2007年5月教学过程设计：串讲15分钟，讨论、练习70分钟，小结和布置作业5分钟授课类型（请打√）：理论课□讨论课□实验课□练习课□习题课☑其他□教学方式（请打√）：讲授☑讨论☑示教□指导□其他□教学资源（请打√）：多媒体☑模型□实物□挂图□音像□其他□填表说明：1、每项页面大小可自行添减；2、教学内容与讨论、思考题、作业部分可合二为一。线性代数课程教案第21次授课题目（教学章、节或主题）：第七章二次型§7.1二次型及其矩阵表示§7.2二次型的标准形与规范形课时安排第周周，共学时授课时间月日第、节教学目的、要求（分掌握、熟悉、了解三个层次）：1.理解二次型及其秩的概念2.理解二次型的标准形和规范形3.掌握求解二次型标准形的配方法教学内容（包括基本内容、重点、难点）：定义1含有个变量的二次齐次多项式称为关于变量的一个元二次型。二次型的矩阵表达式为，其中是实对称矩阵，称为二次型的矩阵，矩阵的秩称为二次型的秩。定义2设为阶方阵，若存在可逆矩阵，使，则称矩阵与是合