线性代数试卷及答案2套

第1页/共2页《线性代数》期末试卷(综合卷)一、填空与选择题（本题满分30分，每空3分）1.如果矩阵正定，则的取值范围是.2.设阶方阵，若存在阶非零方阵，使得，则，方阵的秩，.3.行列式.4.已知线性方程组无解，则.5.设阶方阵相似于方阵，若有特征值，则.6.已知线性相关，而线性无关，则中不能用另外3个向量线性表示.7.如果是向量组的极大无关组，则：也是向量组的极大无关组.（A）（B）（C）（D）8.线性无关,而线性相关,则.A)线性相关.(B)线性无关.(C)线性相关.(D线性无关.二、(本题满分10分)已知矩阵，阶方阵满足，求.三、（本题满分15分）已知向量组以及向量，讨论参数取何值时，(1)向量不能由向量组线性表示；(2)向量能由向量组线性表示，且表示式唯一；(3)向量能由向量组线性表示，且表示式不唯一，并求出一般表示式.四、（本题满分15分）已知二次型通过正交变换可以化为标准型.（1）求常数.（2）求所用的正交变换.五．（本题满分15分）已知与分别是的两组基，（1）求从基到基的过渡矩阵.（2）分别求向量在基下的坐标和在基下的坐标.六、证明题(1)(本小题满分7分)已知为3阶方阵，为的三个不同的特征值，分别为相应的特征向量，又，试证：线性无关.(2)(本小题满分8分)设为阶方阵，且，为的伴随矩阵，证明：.

《线性代数》期末试卷(综合卷)一、填空与选择题（本题满分30分，每空3分）1.设阶矩阵，，如果，则.2.设向量在基，，与基，，下有相同的坐标，则.3.若矩阵是对称矩阵，其中、、、都是阶方阵，则、、、应满足的条件为.4.已知是3维实列向量，且，则____________.5.已知3阶方阵满足，其伴随矩阵为，则行列式______________.6.设矩阵，，则秩.7.已知实二次型为正定二次型，则参数的取值范围是.8.已知齐次线性方程组的解空间的一组基为，，则必有.（A）是矩阵（B）是矩阵（C）（D）9.已知n维向量组线性无关,则n维向量组也线性无关的充分必要条件为.A)可用线性表示.(B)可用线性表示.(C)与等价.(D矩阵和等价.10.设三阶实矩阵满足,,则.(A)(B)3(C)(D)二、(本题满分10分)设三阶矩阵，，且，求矩阵.三、（本题满分15分）参数满足什么条件的时侯，线性方程组有解？并在有解的情况下，求出它的通解.四、（本题满分15分）设二次型，其中的特征值之和为1,特征值之积为-12.(1)求.(2)用正交变换化二次型为标准型.五．（本题满分15分）设为实数域上全体2阶方阵关于矩阵的加法和数乘运算所成的线性空间，在中定义映射，(1)证明是中的线性变换，(2)求线性变换在基下的矩阵.六、证明题(1)(本小题满分7分)设是维列向量，证明:线性相关的充分必要条件是.(2)(本小题满分8分)设为阶反对称实矩阵，证明：的特征值只能是零或纯虚数.

《线性代数》期末试卷(综合卷)一、填空与选择题（本题满分30分，每空3分）1.如果矩阵正定，则的取值范围是.2.设阶方阵，若存在阶非零方阵，使得，则，方阵的秩，.3.行列式.4.已知线性方程组无解，则.5.设阶方阵相似于方阵，若有特征值，则.6.已知线性相关，而线性无关，则中不能用另外3个向量线性表示.7.如果是向量组的极大无关组，则：（A）也是向量组的极大无关组.（A）（B）（C）（D）8.线性无关,而线性相关,则(D.A)线性相关.(B)线性无关.(C)线性相关.(D线性无关.二、(本题满分10分)已知矩阵，阶方阵满足，求.解，，，，，又，于是，，从而。三、（本题满分15分）已知向量组以及向量，讨论参数取何值时，(1)向量不能由向量组线性表示；(2)向量能由向量组线性表示，且表示式唯一；(3)向量能由向量组线性表示，且表示式不唯一，并求出一般表示式.解上面三个问题可以转化为讨论线性方程组在参数取何值时无解、有唯一解、有无穷多解。先讨论(2).当，即时，方程组有唯一解，即向量能由向量组线性表示，且表示式唯一。当时，对方程组的增广矩阵作初等行变换，，当时，方程组无解，从而向量不能由向量组线性表示。当时，方程组有无穷多解，通解为，从而向量能由向量组线性表示，且表示式不唯一，一般表示式为。四、（本题满分15分）已知二次型通过正交变换可以化为标准型.（1）求常数.（2）求所用的正交变换.解(1)二次型的矩阵为，由已知条件知矩阵的特征值为，于是由，即，得。(2)时，解方程组，得特征向量为，令。时，解方程组，得特征向量为令，。将、正交化，得，。再将、单位化，得，。令，则由正交变换，二次型化为标准形。五．（本题满分15分）已知与分别是的两组基，（1）求从基到基的过渡矩阵.（2）分别求向量在基下的坐标和在基下的坐标.解(1)由，得从基到基的过渡矩阵为。(2)由及得。六、证明题(1)(本小题满分7分)已知为3阶方阵，为的三个不同的特征值，分别为相应的特征向量，又，试证：线性无关.(2)(本小题满分8分)设为阶方阵，且，为的伴随矩阵，证明：.(1)证明：,,,于是与等价。因为是属于不同特征值的特征向量，从而线性无关，所以也线性无关。(2)证明：由可得，，所以，从而。

《线性代数》期末试卷(综合卷)一、填空与选择题（本题满分30分，每空3分）1.设阶矩阵，，如果，则.2.设向量在基，，与基，，下有相同的坐标，则或.3.若矩阵是对称矩阵，其中、、、都是阶方阵，则、、、应满足的条件为，，.4.已知是3维实列向量，且，则__________.5.已知3阶方阵满足，其伴随矩阵为，则行列式_____________.6.设矩阵，，则秩.7.已知实二次型为正定二次型，则参数的取值范围是.8.已知齐次线性方程组的解空间的一组基为，，则必有（C）.（A）是矩阵（B）是矩阵（C）（D）9.已知n维向量组线性无关,则n维向量组也线性无关的充分必要条件为(D.A)可用线性表示.(B)可用线性表示.(C)与等价.(D矩阵和等价.10.设三阶实矩阵满足,,则(A).(A)(B)3(C)(D)二、(本题满分10分)设三阶矩阵，，且，求矩阵.解由得。又，其中为初等阵，于是。三、（本题满分15分）参数满足什么条件的时侯，线性方程组有解？并在有解的情况下，求出它的通解.解对方程组的增广矩阵作初等行变化，化为行最简形矩阵，，当且时，方程组有解，通解为，为任意常数。四、（本题满分15分）设二次型，其中的特征值之和为1,特征值之积为-12.(1)求.(2)用正交变换化二次型为标准型.解(1)(1)二次型的矩阵为，由已知条件有，得。(2)由(1)知矩阵，令，得矩阵特征值为。时，解方程组，得特征向量为，令。时，解方程组，得特征向量为，。令，，令，则由正交变换，二次型化为标准形。五．（本题满分15分）设为实数域上全体2阶方阵关于矩阵的加法和数乘运算所成的线性空间，在中定义映射，(1)证明是中的线性变换，(2)求线性变换在基下的矩阵.(1)证明：对任意，及任意常数，，，所以是中的线性变换。(2)解，，，，于是。六、证明题(1)(本小题满分7分)设是维列向量，证明:线性相关的