数理统计试卷及答案

PAGE第1页共3页数理统计试题座号班级学号姓名（本试卷共6页，六个大题，满分100分）题号一二三四五六总分得分一、（15分）1.设总体X服从泊松分布，是来自总体的样本，,分别表示样本均值和样本方差.求.2.设总体X服从正态分布，是来自总体的样本，(1)求的分布，并指出自由度.(2)求.

二、(20分)设总体X的概率密度函数为，其中>0为未知参数，是来自总体的样本，为相应的样本观察值.1.求参数的矩估计.2.求参数的极大似然估计，判断是否是的无偏估计和相合估计并证明.

三、（15分）1.设总体X服从正态分布，其中均为未知参数，是来自总体X的样本.求的置信水平为1-α(0<α<1)的置信区间(要求过程).2.设总体X服从两点分布B(1,p)，其中为未知参数，是来自总体的样本.当样本容量n充分大时，用大样本方法求参数p的置信水平为1-α(0<α<1)的近似置信区间(要求过程).

四、（20分）设总体X的概率密度函数为，其中为未知参数.是来自总体X的样本.1.验证样本分布族是指数族，并写出其自然形式(标准形式).2.利用充分完备统计量法和C-R不等式方法证明是的一致最小方差无偏估计.

五、（15分）设总体X服从正态分布，其中未知，已知，是来自总体X的样本，考虑检验问题，若检验的拒绝域取为.1.求该检验的功效函数(结果用标准正态分布函数表示).2.求该检验犯第一类错误的概率.3.求该检验犯第二类错误的概率(结果用标准正态分布函数表示).4.当固定时，说明犯第一类错误的概率和犯第二类错误的概率的变化关系.

六、(15分)设总体X的概率密度函数为,其中为未知参数，是来自总体X的样本，为相应的样本观察值.1.验证，进而验证.2.考虑假设检验问题，给出该检验问题的检验统计量以及水平为的检验的拒绝域.3.求参数的一个置信水平为的置信区间.

数理统计试题参考答案一、（15分）1.设总体X服从泊松分布，是来自总体的样本，,分别表示样本均值和样本方差.求.解：由于X服从泊松分布，得EX=，DX=因此，，2.设总体X服从正态分布，是来自总体的样本，(1)求的分布，并指出自由度.(2)求.解：(1)由已知条件可得，且相互独立，因此，又因为和相互独立，于是(2)由，得，因此所以.

二、(20分)设总体X的概率密度函数为，其中>0为未知参数，是来自总体的样本，为相应的样本观察值.1.求参数的矩估计.2.求参数的极大似然估计，判断是否是的无偏估计和相合估计并证明.解：1.由于令，得的矩估计为2.似然函数为对数似然函数为因此的极大似然估计为。无偏性：由于因此是的无偏估计.相合性：由于当时，根据切比雪夫不等式有下式成立因此是的相合估计.

三、（15分）1.设总体X服从正态分布，其中均为未知参数，是来自总体X的样本.求的置信水平为1-α(0<α<1)的置信区间(要求过程).2.设总体X服从两点分布B(1,p)，其中为未知参数，是来自总体的样本.当样本容量n充分大时，用大样本方法求参数p的置信水平为1-α(0<α<1)的近似置信区间(要求过程).解：1.构造枢轴量为，则有不等式等价变形得到所以σ的置信水平为1−α的置信区间为.2.根据中心极限定理，得因此构造枢轴量参数p的置信水平近似为的置信区间为或者构造枢轴量由此获得参数p的置信水平近似为的置信区间为

四、（20分）设总体X的概率密度函数为，其中为未知参数.是来自总体X的样本.1.验证样本分布族是指数族，并写出其自然形式(标准形式).2.利用充分完备统计量法和C-R不等式方法证明是的一致最小方差无偏估计.解：1.的联合密度函数为符合指数分布族的定义形式：，因此该样本分布族是指数族.令，得到指数族的自然形式为自然参数空间为2.（1）充分完备统计量法：由指数分布族是指数族，且其自然参数空间有内点，可得是充分完备统计量，又.由于是充分完备统计量的函数又是的无偏估计，因此是的一致最小方差无偏估计。（2）C-R不等式法：该分布族是指数族，故C-R正则条件成立，Fisher信息函数为，故C-R下界为，而是的无偏估计，其方差达到了C-R下界，因此是的一致最小方差无偏估计.

五、（15分）设总体X服从正态分布，其中未知，已知，是来自总体X的样本，考虑检验问题，若检验的拒绝域取为.1.求该检验的功效函数(结果用标准正态分布函数表示).2.求该检验犯第一类错误的概率.3.求该检验犯第二类错误的概率(结果用标准正态分布函数表示).4.当固定时，说明犯第一类错误的概率和犯第二类错误的概率的变化关系.解：1.功效函数为2.犯第一类错误的概率为3.犯第二类错误的概率为4.当固定时，，犯第二类错误的概率越小.反之，犯第一类错误的概率越小，则犯第二类错误的概率越大.

六、(15分)设总体X的概率密度函数为,其中为未知参数，是来自总体X的样本，为相应的样本观察值.1.验证，进而验证.2.考虑假设检验问题，给出该检验问题的检验统计量以及水平为的检验的拒绝域.3.求参数的一个置信