上海松江一中2025-2026学年高二下学期数学期末试卷（含答案）

松江一中2025-2026学年第二学期高二年级数学期末2026.6一、填空题（本大题共有12题，满分54分．考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，第1～6题每个空格填对得4分，第7～12题每个空格填对得5分，否则一律得零分）．1.设集合则______．2.若函数是指数函数，则______．3.函数的严格减区间是______．4.总体由编号为的60个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第1行的第6个数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第3个个体的编号为______．504466442166065805626165543502423548963214524152482266221586266375419958423672245.已知随机变量的分布列为：，其中，若，则的最小值为______．6.已知随机变量，且，则展开式的二项式的系数和为______．（用数字作答）7.一个盒子中有4个LABUBU玩偶，3个MOKOKO玩偶．甲每次从盒子中摸取一个玩偶，若甲摸到的玩偶是LABUBU，则不放回盒中；若甲摸到的玩偶是MOKOKO，则放回盒中．甲第二次摸到的玩偶是LABUBU的概率为______．8.从中取两个不同的数作为对数的真数和底数，共可得______个不同的对数值．9.设函数，其中，定义域为．对于，定义，则______．10.已知，函数，若该函数存在最小值，则实数的取值范围是______．11.已知函数，对于，且当时，恒有，则实数的取值范围为______．12.已知和分别是函数（且）的极小值点和极大值点．若，则的取值范围是______．二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13～14题每题4分，第15～16题每题5分），每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸相应位置上，将代表答案的小方格涂黑．13.“”是“”的（）A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充分且必要条件 D.既非充分也非必要条件14.设为两个随机事件，以下命题正确的为（）A.若是对立事件，B.若是互斥事件，，则C.若是独立事件，，则D.若，且，则是独立事件15.下列关于统计概率知识的判断，则下列结论正确是（）A.某医院住院的8位新冠患者的潜伏天数分别为则该样本数据的第60百分位数为8．B.已知关于的经验回归方程为，则样本点的残差为2.2C.某人在10次答题中，答对题数为，则答对5道题的概率最大D.若，记函数，则的图象关于点对称16.已知函数在上的导函数为，若对任意恒成立，关于下列两个命题的判断，说法正确的是（）命题①：方程至多只有一个实数根；命题②：若是以2为周期的周期函数，则对任意，都有．A.①真命题；②假命题 B.①假命题；②真命题C.①真命题；②真命题 D.①假命题；②假命题三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17.（本题满分14分：第1小题满分7分，第2小题满分7分）已知集合，．（1）当时，求；（2）若，求实数的取值范围．18.（本题满分14分：第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知的展开式中的所有二项式系数之和为64．（1）求常数项；（2）将展开式中的各项等可能重新随机排列，求恰有两项有理项相邻的概率．19.（本题满分14分：第1小题满分4分；第2小题满分4分；第3小题满分6分）某校准备在体育锻炼时间提供三项体育活动供学生选择．为了解该校学生对“三项体育活动中要有篮球”这种观点的态度（态度分为同意和不同意），随机调查了200名学生，得到的反馈数据如下：（单位：人）男生女生合计同意7050120不同意305080合计100100200（1）能否有的把握认为学生对“三项体育活动中要有篮球”这种观点的态度与性别有关？（2）假设现有足球、篮球、跳绳这三项体育活动供学生选择．①若甲、乙两名学生从这三项运动中随机选一种，假设他们选择各项运动的概率相同并且相互独立互不影响．记事件为“学生甲选择足球”，事件为“甲、乙两名学生都没有选择篮球”，求，并判断事件是否独立，请说明理由．②若该校所有学生每分钟跳绳个数．根据往年经验，该校学生经过训练后，跳绳个数都有明显进步．假设经过训练后每人每分钟跳绳个数比开始时个数均增加10个，若该校有1000名学生，请预估经过训练后该校每分钟跳169个以上的学生人数（结果四舍五入到整数）．参考公式及数据：，其中．0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828若，则，，20.（本题满分18分：第1小题满分4分；第2小题满分6分；第3小题满分8分）已知函数．（1）解关于的不等式；（2）若存在唯一的实数，使得，求实数的取值范围．（3）对于任意、、，且，当、、能作为一个三角形的三边长时，、、也总能作为某个三角形的三边长，试探究的最小值．21.（本题满分18分：第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）已知区间，函数的定义域为，若函数满足：对任意，均有，则称函数为压缩函数．（1）判断函数是否为压缩函数？并说明理由；（2）若函数为压缩函数，求实数的取值范围：（3）已知函数为压缩函数，求证：为单调函数的充要条件是：对任意，均有．

参考答案一、填空题1.;2.;3.;4.;5.;6.;7.;8.;9.;10.；11.12.12.已知和分别是函数（且）的极小值点和极大值点．若，则的取值范围是______．【答案】【解析】对原函数求导，分析可知：在定义域内至少有两个变号零点，对其再求导可得：，当时，易知在上单调递增，此时若存在使得，、则在单调递减，单调递增，此时若函数在和分别取极小值点和极大值点，应满足，不满足题意；

当时，易知在上单调递减，此时若存在使得，则在单调递增，单调递减，且，此时若函数在和分别取极小值点和极大值点，且，

故仅需满足，即：,

解得：，又因为，故综上所述：的取值范围是．二、选择题13.A14.D15.D16.C16.已知函数在上的导函数为，若对任意恒成立，关于下列两个命题的判断，说法正确的是（）命题①：方程至多只有一个实数根；命题②：若是以2为周期的周期函数，则对任意，都有．A.①真命题；②假命题 B.①假命题；②真命题C.①真命题；②真命题 D.①假命题；②假命题【答案】C【解析】由可得，

对于①，令，则，则为单调递增函数．

假设方程有不止一个实数根，，则，与函数单调递增矛盾，故函数至多只有一个根，即方程至多只有一个实数根．另外，我们也可以假设与只有一个交点.故①为真命题。

对于②，令，则，则函数单调递减，函数单调递增，

不妨令，则，则，即，即．．．．．．＊．对于一个周期时的，有对于定义域内的最大值和最小值，即有．

由式，有，若，则有恒成立；若，不妨设，则，

结合函数周期为2和式，有，即．故②为真命题．

综上，①为真命题，②为真命题．故选：三、解答题17.（1）（2）18.（1）（2）19.（1）有关（2），不独立（3）20.（本题满分18分：第1小题满分4分；第2小题满分6分；第3小题满分8分）已知函数．（1）解关于的不等式；（2）若存在唯一的实数，使得，求实数的取值范围．（3）对于任意、、，且，当、、能作为一个三角形的三边长时，、、也总能作为某个三角形的三边长，试探究的最小值．【答案】（1）（2）或者（3）2【解析】（1）因为函数在上单调递增，所以由得，解得原不等式的解集为．（2）=1\*GB3①；=2\*GB3②；（3）不妨设，此时，21.（本题满分18分：第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）已知区间，函数的定义域为，若函数满足：对任意，均有，则称函数为压缩函数．（1）判断函数是否为压缩函数？并说明理由；（2）若函数为压缩函数，求实数的取值范围：（3）已知函数为压缩函数，求证：为单调函数的充要条件是：对任意，均有．【答案】（1）是，理由见解析（2）（3）证明见解析【解析】（1）函数是压缩函数，理由如下：已知函数，结合新定义：区间，函数的定义域为，

若函数满足：对任意，均有，则称函数为压缩函数，可得．

因为，所以,那么，

所以函数，是压缩函数；

（2）因为函数为压缩函数，所以对于任意，均有．不妨设，则不等式可化为：，即．

有导数的定义，当，

因此需满足对任意恒成立.，则

①对任意恒成立，即1，所以，

又，故，因此e；②对任意恒成立，即，所以，

又，故，因此；

综上