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文档简介

问题的引入：§7.3对非齐次边界条件的处理§7.3对非齐次边界条件的处理方法：利用叠加原理，把非齐次边界条件设法转化为另一未知函数的齐次边界条件的问题。定解问题：方法一：将非齐次边界条件化为齐次边界条件令w(x,t)满足原有边界条件，则v(x,t)满足齐次边界条件。w可以取或

原则上，满足边界条件的w(x,t)

很多，但我们希望w(x,t)愈简单愈好。为什么？求关于v(x,t)的方程v(x,t)的边界条件v(x,t)的初始条件从而，关于v(x,t)的定解问题为这就归结为非齐次方程、齐次边界条件的问题了。对非齐次方程的处理冲量定理法Fourier级数法叠加原理例：求定解问题方法一：令先找一个特解，使它既满足非其次边界条件，又满足泛定方程。方法二：取用傅里叶级数展开法求解取方法二：先找一个特解w(x,t)，使它既满足非齐次边界条件，又满足泛定方程。代入方程及边界条件得得关于v(x,t)的定解问题为最后得到定解问题的解为用分离变量法求解，得§7.4非齐次方程的定解问题

一、冲量定理法二、傅里叶级数法

一、冲量定理法

一、冲量定理法思想：把持续作用力看做许许多多前后相继的“瞬时”力

从上一节的学习中，我们了解到：求解两端固定的弦振动的定解问题，其解具有傅里叶正弦级数形式，而且系数决定于初始条件。当边界条件发生变化，例如第二类齐次边界条件，其解具有傅里叶余弦级数形式。

由此可见，边界条件决定着解的形式

二、傅里叶级数法

以上的结果给了我们一些启示：

不妨把所求的解设为傅里叶级数，令u(x,t)=∑X(x)T(t)

本征函数X(x)为齐次方程对应齐次边界条件的解，使其满足边界条件和泛定方程，尝试能否成功。【解】用傅里叶级数法求解，根据题目已知的边界条件，可确定本征值问题下面以两端固定弦的强迫振动问题为例来介绍具体解法例1分析定解问题：

设尝试解为：代入泛定方程及初始条件，得分离出的常微分方程，得

解方程得最后，代入尝试解，得定解。§7.5泊松方程泊松方程（非齐次拉普拉斯方程）求解方法：特解法特解v满足泊松方程，从而w满足拉普拉斯方程。令u=v+w例1在矩形区域上求解泊松方程的边值问题解：先找泊松方程的一个特解v，令

令从而，得关于w(x,t)的定解问题为这就回到了齐次方程、部分齐次边界条件的问题了。一般解为系数的确定，需代入边界条件中，得最后，把w(x,y)加上x(x-a)就是所求的u(x,y).本章小结一、波动方程和热传导问题

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