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文档简介

例2.设有一半径为a的空心球壳，球壳电势分布为，试求球壳内部的电势分布定解问题：解：轴对称问题令无法确定系数？？解：轴对称问题令

拉普拉斯方程在柱坐标系下分离变量得到了三个方程§9.2贝塞尔函数柱函数

当μ>0时，ρ方程为当μ<0时，ρ方程为贝塞尔方程虚宗量贝塞尔方程半奇数阶贝塞尔方程对圆柱坐标系中的亥姆霍兹方程分离变量可得到m阶贝塞尔方程;对球坐标系中的亥姆霍兹方程分离变量也可得到贝塞尔方程后面贝塞尔方程的阶统一写为通过数学物理方程的幂级数求解方法可以得出结论：

（1）当整数时，贝塞尔方程的通解为一、三类柱函数（2）当取任意值时,第二类柱函数Or诺依曼函数贝塞尔方程的通解可表示为

(3)取任意值时：

第三类柱函数,又称为汉克尔函数．

分别将称为第一种和第二种汉克尔函数．

贝塞尔方程的通解通常有下列三种形式：

（i）整数）

（ii）取任意数）

（iii）取任意数）

cleary=besselj(0:6,(0:.2:10)');figure(1)plot((0:.2:10)',y)cleary=bessely(0:1,(0:.2:10)');figure(1)plot((0:.2:10)',y)Gridon1、特殊点的值二、贝塞尔函数的基本性质若用代表阶的第一或第二或第三类柱函数，总是有把两式左端展开,又可改写为

2、贝塞尔函数的递推公式

消去或消去可得

即为从和推算的递推公式几个有用的推论：例1:求

【解】根据公式

有三、贝塞尔方程本征值问题第一类边界条件

贝塞尔方程的通解为代入边界条件决定本征值及本征函数为有限值，故若用表征的第n个根又则必须决定本征值本征值(1)本征值存在，且都是非负的实数；(2)本征值可编成单调递增的序列；本征值即本征函数与施刘问题的性质对应第二类齐次边界条件

这个条件就是

不过，

本征值

是的第个零点.的零点在一般的数学用表中并未列出。的特例还是容易得到的：至于

的情况,的零点可以利用递推公式的零点可从曲线和的交点得出。第三类齐次边界条件得四、贝塞尔函数正交性和模1．正交性对应不同本征值的同阶贝塞尔函数在区间（0，ρ0）上带权正交的模2．贝塞尔函数的模

五、广义傅立叶－贝塞尔级数

按照施－刘型本征值问题的性质，本征函数族

是完备的，可作为广义傅立叶级数展开的基。定义在区间上的函数可以展开为广义的傅立叶－贝塞尔级数其中,广义傅里叶系数六、贝塞尔函数的母函数

（生成函数）虚宗量贝塞尔方程七、虚宗量贝塞尔方程通解为（

任意值）虚宗量贝塞尔函数

虚宗量汉克尔函数clearI=besseli(0:2,(0.1:0.1:5)');plot((0.1:0.1:5)',I)GridonclearK=besselk(0:1,(0.1:0.1:5)');plot((0.1:0.1:5)',K)

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