chapt10.2 数值计算方法

一、有限差分法的概念基本思想：

通常以差分代替微分，以有限求和代替积分，从而将偏微分方程问题化为求解差分方程或代数方程的过程10.2数值计算方法求解步骤：第一步，把连续的定解区域用有限个离散点构成的网格来代替，这些离散点称为网格的节点；第二步，在节点上，把定解问题方程中的微分项用差分来近似，将微分方程转化为代数方程组。最终将连续场域内的问题转化为离散系统的问题；第三步，解此方程组得到原问题在离散的网格节点上的近似解；第四步，利用插值算法便可从离散解得到定解问题在整个区域上的近似解。一.有限差分法（FiniteDifference）1.差分的基本概念

设有x的解析函数y=f(x)，函数y对x的导数为

函数及自变量的微分,

函数对自变量的微商;

函数及自变量的差分;

函数对自变量的差商；

1.差分的基本概念函数的差分有三种形式

前向差分

后向差分中心差分差商形式因此，在数值计算中常用差商近似代替导数。

1.差分的基本概念二阶导数的定义式也可得到二阶差商泰勒级数展开得到函数导数的有限差分形式解析函数f(x)在x0附近点x的泰勒级数展开式写为1.差分的基本概念只保留泰勒级数的前两项，有任一点x处的泰勒级数写为2.二维静态电磁场差分方程的导出在二维平面场中，我们把场域划分为许多足够小的正方形网格每个网格的边长为h

，称h为步长，两组平行线的交点称为网格的节点2.二维静态电磁场差分方程的导出两式相加，有忽略四阶以上项2.二维静态电磁场差分方程的导出同理有二维静态电磁场中，场域中每一点电势均满足泊松方程，即2.二维静态电磁场差分方程的导出无源问题可得泊松方程的差分形式2.二维静态电磁场差分方程的导出任意点规则正方形网格内某点电位所满足的拉普拉斯方程的差分形式，又称差分方程。2.二维静态电磁场差分方程的导出如果我们求解的问题边界较复杂，对于近邻边界的节点，其边界不一定正好落在正方形网格的节点上，邻近边界节点处拉普拉斯方程的差分格式为3.二维静态电磁场差分方程的求解例：如图所示为一个正方形截面的无限长金属盒，盒子两侧及底部电位为零，顶部电位为1000V，求盒内的电位分布。解：在盒内取3*3个离散的电位节点第一步，给场域内部节点赋电位初始值，为简单起见，可取第二步，将零此解代入差分方程，得出内部节点电位值的一次迭代解，它们分别为3.二维静态电磁场差分方程的求解第三步，重复上述步骤，令每一个内部节点上的二次解电位等于该节点周围四个相邻节点一次解电位值的平均值，并用二次解电位值覆盖内存中原一次解的电位值。3.二维静态电磁场差分方程的求解编写计算机程序：（1）每一网格节点的位置我们用双下标(i,j)予以识别；（2）规定迭代的运算顺序为：从左下角开始进行迭代计算，即i小的先做，对固定的i，j小的先做。

节点(i,j)迭代到第（n+1）次时的近似值可以由下式计算（3）迭代一直进行到所有内节点上相邻两次迭代解的近似值满足条件时终止迭代。3.二维静态电磁场差分方程的求解%M,N分别为分割的行列向量M=5;N=5;%设置网格节点数5*5X=ones(M,N);%设置行列二维数组X(1,:)=ones(1,N)*1000;%设置上边界条件X(M,:)=zeros(1,N);%设置下边界条件X(:,1)=zeros(M,1);%设置左边界条件X(:,N)=zeros(M,1);%设置右边界条件XX=X;maxw=1;w=0;%maxw，w赋初值n=0;a=1%迭代次数n赋初值3.二维静态电磁场差分方程的求解while(maxw>1e-9)n=n+1;%迭代次数加一maxw=0;fori=2:M-1forj=2:N-1XX(i,j)=1/4*(XX(i-1,j)+XX(i,j-1)+X(i+1,j)+X(i,j+1));%运用迭代公式w=abs(XX(i,j)-X(i,j));if(w>