圆函数测试题及详细答案

圆函数测试题及详细答案考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.函数f(x)=sin(2x+π/3)的最小正周期是（）A.π/2B.πC.2πD.4π2.函数f(x)=cos(x-π/6)的图像关于（）对称。A.x=π/6B.x=π/3C.x=π/2D.x=2π/33.若sinα=-√3/2，且α在第三象限，则cosα的值是（）A.1/2B.-1/2C.√3/2D.-√3/24.函数f(x)=3sin(4x-π/4)的振幅是（）A.3B.4C.√2D.π/45.将函数f(x)=sin(2x)的图像向右平移π/4个单位长度，得到的函数是（）A.sin(2x+π/4)B.sin(2x-π/4)C.-sin(2x)D.-sin(2x+π/4)6.已知点(π/6,a)是函数f(x)=sinx的图像上的一个最高点，则a的值是（）A.0B.1/2C.√3/2D.17.函数f(x)=cos(x+π/3)在区间[0,π]上的最小值是（）A.-1/2B.-√3/2C.0D.1/28.如果sinθ+cosθ=√2/2，那么tanθ的值是（）A.-1B.1C.-√3/3D.√3/39.函数f(x)=sin(3x+π/2)的图像与直线y=1的交点中，相邻两个交点之间的距离是（）A.π/3B.π/2C.2π/3D.π10.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是周期函数的是（）A.y=sin(x^2)B.y=cos(1/x)C.y=-sinxD.y=|cosx|二、多选题：本大题共5小题，每小题6分，共30分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对但有不选或选错的得3分，有选错的得0分。11.下列关于函数f(x)=sin(2x+π/3)的说法中，正确的有（）A.其图像关于点(π/6,0)中心对称B.其图像关于直线x=π/6对称C.在区间(π/6,π/2)上是增函数D.函数值为√3/2的一个x值是π/312.函数f(x)=cos(x-π/4)的图像可以通过以下哪种方式变换得到函数g(x)=cos(2x+π/4)的图像？（）A.将f(x)的图像向左平移π/4个单位长度B.将f(x)的图像向右平移π/8个单位长度C.将f(x)的图像的横坐标缩短为原来的一半D.将f(x)的图像的横坐标伸长为原来的两倍13.下列函数中，在区间(0,π/2)上是增函数的有（）A.y=sin(2x)B.y=cos(3x)C.y=-sin(x-π/4)D.y=1-cosx14.已知sinα+cosα=1，则下列结论中正确的有（）A.α=0B.α=π/2C.sinα=cosαD.α=kπ+π/4(k∈Z)15.函数f(x)=sin(x+π/6)+cos(x-π/3)的图像具有以下哪些性质？（）A.周期是2πB.振幅是√3C.是奇函数D.图像关于直线x=π/4对称三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16.(本小题满分12分)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)，其图像的一个最高点为(π/3,1)，且周期为π。(1)求ω和φ的值；(2)求函数f(x)在区间[0,2π]上的解析式；(3)求函数f(x)在区间[0,2π]上取得最大值和最小值时对应的x值。17.(本小题满分14分)已知函数f(x)=2cos^2(x-π/4)-1。(1)求函数f(x)的最小正周期和振幅；(2)求函数f(x)在区间[-π/2,π/2]上的单调递增区间；(3)求函数f(x)的一个对称中心点。18.(本小题满分14分)设函数f(x)=sin(x+α)+√3cos(x-α)，其中α是一个常数。(1)若f(x)的最小值是-1，求α的一个可能值；(2)当α=π/3时，求函数f(x)的最大值，并求取得最大值时x的一个值。19.(本小题满分15分)在直角坐标系中，点A的坐标为(1,0)，点B的坐标为(0,√3)。点P是函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,φ∈(-π,π])的图像上任意一点，记AP长为|AP|，BP长为|BP|。(1)若点P的坐标为(π/3,√3/2)，求|AP|+|BP|的值；(2)求函数f(x)的解析式，使得|AP|^2+|BP|^2的最小值最大。20.(本小题满分15分)已知函数f(x)=sin(2x+δ)-cos(2x)。(1)若函数f(x)的最小正周期为π，求δ的值；(2)在(0,π/2)内，是否存在一个x值，使得f(x)=1？若存在，求出这个x值；若不存在，说明理由。(3)求函数f(x)在区间[0,π]上的值域。试卷答案一、选择题1.B2.B3.B4.A5.B6.C7.A8.A9.C10.C二、多选题11.A,C,D12.A,C13.A,D14.A,B,C,D15.A,B,D三、解答题16.解：(1)函数f(x)=sin(ωx+φ)的周期T=2π/ω。由题意T=π，得ω=2。又图像的一个最高点为(π/3,1)，代入f(x)=1得sin(2*π/3+φ)=1。解得2π/3+φ=2kπ+π/2(k∈Z)，即φ=2kπ-π/6(k∈Z)。取k=0，得φ=-π/6。所以ω=2，φ=-π/6。(2)由(1)知f(x)=sin(2x-π/6)。定义域为R。(3)令2x-π/6=2kπ+π/2(k∈Z)，得x=kπ+π/3(k∈Z)。令2x-π/6=2kπ-π/2(k∈Z)，得x=kπ-π/6(k∈Z)。函数在[0,2π]上的最高点对应的x值为π/3,5π/3；最低点对应的x值为2π/3,8π/3。由于8π/3>2π，取0≤x≤2π内的最低点x=2π/3。所以最大值对应的x值为π/3,5π/3；最小值对应的x值为2π/3。17.解：(1)f(x)=2cos^2(x-π/4)-1=cos(2(x-π/4))=cos(2x-π/2)=-sin(2x)。函数的周期T=2π/|ω|=2π/2=π。振幅A=|-1|=1。(2)令-π/2+2kπ≤2x≤π/2+2kπ(k∈Z)，得-π/4+kπ≤x≤π/4+kπ(k∈Z)。函数在区间[-π/2,π/2]上单调递增的区间为[-π/4,π/4]。(3)令2x-π/4=kπ(k∈Z)，得x=kπ/2+π/8(k∈Z)。取k=0，得x=π/8。当x=π/8时，f(π/8)=cos(2*π/8-π/4)=cos(0)=1。所以函数的一个对称中心点为(π/8,1)。18.解：(1)f(x)=sin(x+α)+√3cos(x-α)=sinxcosα+cosxsinα+√3(cosxcosα+sinxsinα)=(1+√3)sinxcosα+(√3-1)cosxsinα。振幅M=√[(1+√3)^2+(√3-1)^2]=√(8+2√3)=√((√3+1)^2)=√3+1。最小值是-M=-(√3+1)。若f(x)的最小值是-1，则M=1，即√3+1=1，矛盾。因此，题目条件“最小值是-1”有误，但若理解为求一个α使得振幅最大，则α使得(1+√3)sinα+(√3-1)cosα取最大值。即求α使得sin(α+π/3)取最大值1。此时α+π/3=2kπ+π/2(k∈Z)，得α=2kπ+π/6(k∈Z)。取k=0，得α=π/6。(2)当α=π/3时，f(x)=sin(x+π/3)+√3cos(x-π/3)=sinxcos(π/3)+cosxsin(π/3)+√3(cosxcos(π/3)-sinxsin(π/3))=(1/2)sinx+(√3/2)cosx+(√3/2)cosx-(√3/2)sinx=√3cosx-1/2sinx=sin(π/3)cosx-cos(π/3)sinx=sin(x-π/6)。函数的最大值是1。令x-π/6=2kπ+π/2(k∈Z)，得x=2kπ+2π/3(k∈Z)。取k=0，得x=2π/3。19.解：(1)函数f(x)=sin(ωx+φ)的图像上点P的坐标为(π/3,√3/2)。所以sin(ω*π/3+φ)=√3/2。由点A(1,0)，点P(π/3,√3/2)，得AP=√[(π/3-1)^2+(√3/2-0)^2]=√[(π/3-1)^2+3/4]=√[(π^2/9-2π/3+1+3/4)]=√[(π^2/9-2π/3+7/4)]。由点B(0,√3)，点P(π/3,√3/2)，得BP=√[(π/3-0)^2+(√3/2-√3)^2]=√[(π^2/9)+(-√3/2)^2]=√[π^2/9+3/4]=√[(π^2/9+3/4)]。所以|AP|+|BP|=√[(π^2/9-2π/3+7/4)]+√[(π^2/9+3/4)]。(2)|AP|^2+|BP|^2=(π/3-1)^2+(√3/2)^2+(π/3)^2+(√3/2-√3)^2=(π^2/9-2π/3+1+3/4)+(π^2/9)+(3/4-3√3/2+3)=2π^2/9-2π/3+13/4-3√3/2。令x=π/3，得|AP|^2+|BP|^2=x^2-2x+13/4-3√3/2=(x-1)^2+5/4-3√3/2。函数g(x)=(x-1)^2+5/4-3√3/2在[0,π/3]上是减函数。当x=0时，g(x)取得最大值(0-1)^2+5/4-3√3/2=1+5/4-3√3/2=9/4-3√3/2。所以|AP|^2+|BP|^2的最小值最大值为9/4-3√3/2。此时x=0。代入f(x)=sin(ωx+φ)=sin(0+φ)=√3/2。得sinφ=√3/2。由于φ∈(-π,π]，所以φ=π/3或φ=2π/3。又由(1)知sin(ω*π/3+φ)=√3/2，代入x=π/3得sin(ωπ/3+φ)=√3/2。若φ=π/3，则sin(ωπ+π/3)=√3/2，不可能。所以φ=2π/3。函数的解析式为f(x)=sin(ωx+2π/3)。|AP|^2+|BP|^2的最小值最大值为9/4-3√3/2当且仅当x=0且f(0)=√3/2，即sin(φ)=√3/2且φ=2π/3。此时需满足sin(ωπ+2π/3)=√3/2，即sin(ωπ)=0。由于ω>0，得ωπ=kπ(k∈Z*)，即ω=k(k∈Z*)。取ω=1。所以函数的解析式为f(x)=sin(x+2π/3)。20.解：(1)函数f(x)=sin(2x+δ)-cos(2x)=√2sin(2x+δ-π/4)。函数的最小正周期为π，即2π/|2|=π。所以|δ-π/4|=π/2。解得δ-π/4=π/2或δ-π/4=-π/2，即δ=3π/4或δ=-π/4。(2)在(0,π/2)内，假设存在一个x值，使得f(x)=1。即√2sin(2x+δ-π/4)=1。得sin(2x+δ-π/4)=√2/2。得2x+δ-π/4=kπ+π/4或2x+δ-π/4=kπ+3π/4(k∈Z)。即2x=kπ+π/2-δ或2x=kπ+3π/2-δ。即x=kπ/2+π/4-δ/2或x=kπ/2+3π/4-δ/2(k∈Z)。由于x∈(0,π/2)，需要满足0<kπ/2+π/4-δ/2<π/2或0<kπ/2+3π/4-δ/2<π/2。考虑k=0，得0<π/4-δ/2<π/2，即-π/2<-δ/2<-π/4，即π/4<δ/2<π/2，即π/2<δ<π。这与δ=3π/4或δ=-π/4矛盾。考虑k=1，若δ=3π/4，则0<π/2+π/4-3π/8<π/2，即0<π/8<π/2，成立。此时x=π/4-3π/8=π/8。若δ=-π/4，则0<π/2+π/4+π/8<π/