数学物理方法-使用MATLAB建模与仿真（第2版）课件 第10章 其它解法

第十章其它解法

保角变换法数值计算方法

有限差分法有限元法时域有限差分法10.1保角变换法求解定解问题

复杂的边界形状下求解平面场的拉普拉斯方程或泊松方程的问题。基本思想：

通过解析函数的变换或映射将z平面上具有复杂边界形状的边值问题变换为w平面上具有简单形状（通常是圆、上半平面或带形域）的边值问题，而后一问题的解易于求得,再通过逆变换求得原始定解问题的解。1.z平面上两相互正交曲线变换到w平面上两曲线仍相互正交。2.可以把一个给定的、其场域几何特征比较复杂的两维场问题变换为另一个场域几何特征比较简单的两维场问题。3.解析函数的保角性（）泊松方程亥姆霍玆方程解析函数的保角性（）方程类型不变；当

时，交角不变；满足拉普拉斯方程的物理量不变（如无源区的电势）；总电量不变；电容/电导不变。保角变换的几个不变求解步骤：1.通过解析函数的映射将z平面上的边值问题变换为w平面上的边值问题（通常是上半平面或带形域）；

2.在w平面上求解定解问题；3.再通过逆变换得到原始定解问题的解。

一、平移变换将z平面上的图形整体平移一个矢量a。二、线性变换

解析函数令故三、对数变换思考:(1)z平面上的圆周变换到w平面是什么曲线？(2)z平面上的原点出发的射线变换到w平面是什么曲线？特点:(1)z平面的圆周变换到w平面上线段(2)z平面的射线变换到w平面上直线z平面

w平面lnr0θ0z平面(3)z平面的圆环域变换到w平面的带形域

(4)z平面的以原点为顶点的角形域变换为w平面上平行于u轴的带形域；r2

w平面lnr1θ0lnr2思考：对数变换可以用于解决什么形状边界的二维场问题？θ0

例10.1试求平面静电场的电势分布，其中例题

在w平面上求定解问题，假设

运用边界条件有对w平面上的解作反变换求得原定解问题的解由

分离变量法

因此观察边界条件特征分离变量法

因此有扩展

解：运用保角变换法，选择对数函数变换。例10.2一无限长电容器的横截面结构如图所示，极板间填充的是空气(介电常数为ε0)。用保角变换法求该电容器沿轴向单位长度的电容。z平面R2

w平面lnR1lnR2R1在w平面上的计算单位长电容

w平面lnR1lnR2扩展：z

planeR2R1wplanelnR1lnR2例10.3两个同轴圆柱构成柱形电容器，内外半径分别为R1、R2，电势分别为、。求导体间任一点的电势（假设R1和R2差值很小）。解：用保角变换法，采用对数函数变换来进行计算。z平面R2

w平面lnR1lnR2将z平面上的圆变成w平面上的直线区域，其宽度为，忽略边缘效应代换回去，有

w平面lnR1lnR2四.幂函数变换令则有解析函数思考:(1)z平面上的圆周变换到w平面是什么曲线？(2)z平面上的原点出发的射线变换到w平面是什么曲线？特点:(1)z平面的圆周变换到w平面上的圆周(2)z平面的射线变换到w平面的射线(3)z平面的单位圆变换到w平面的单位圆，正实轴变换到w平面的正实轴(4)z平面的圆环域变换到w平面的圆环域；(5)z平面的以原点为顶点的角形域变换为

以原点为顶点的角形域；思考：哪个特点具有实用价值？例10.4设z平面上有半径为2，

且在内的扇形域，请问经过映射后扇形域变成了什么图形。例10.5一个非常大的金属导体，挖去一个二面角，大小为45。，让导体充电到电势为V0，求二面角内电势和电场分布。

在w平面上求定解问题反变换求得原定解的解五.Schwarz-Chrictoffel变换平板电容器带状微波传输线电机空槽中的磁场等等带状线上式对应的变换即Schwarz-Chrictoffel变换。z-planew-plane五.Schwarz-Chrictoffel变换例9.6求角形域到上半平面的变换函数i1002∞∞因为，z=0对应w=0，可以得到B=0若要求w=1对应z=1,则A=1/4,即i1002∞∞例9.7求广义四边形到上半平面的变换函数i1∞∞20-h3hi040h因为，z=hi对应w=0，可以得到A=1,B=0因此无限长电容器的横截面结构如图所示，极板间填充空气，用保角变换法求该电容器沿轴向单位长度的电容。一、有限差分法的概念基本思想：

通常以差分代替微分，以有限求和代替积分，从而将偏微分方程问题化为求解差分方程或代数方程的过程10.2数值计算方法求解步骤：第一步，把连续的定解区域用有限个离散点构成的网格来代替，这些离散点称为网格的节点；第二步，在节点上，把定解问题方程中的微分项用差分来近似，将微分方程转化为代数方程组。最终将连续场域内的问题转化为离散系统的问题；第三步，解此方程组得到原问题在离散的网格节点上的近似解；第四步，利用插值算法便可从离散解得到定解问题在整个区域上的近似解。一.有限差分法（FiniteDifference）1.差分的基本概念

设有x的解析函数y=f(x)，函数y对x的导数为

函数及自变量的微分,

函数对自变量的微商;

函数及自变量的差分;

函数对自变量的差商；

1.差分的基本概念函数的差分有三种形式

前向差分

后向差分中心差分差商形式因此，在数值计算中常用差商近似代替导数。

1.差分的基本概念二阶导数的定义式也可得到二阶差商泰勒级数展开得到函数导数的有限差分形式解析函数f(x)在x0附近点x的泰勒级数展开式写为1.差分的基本概念只保留泰勒级数的前两项，有任一点x处的泰勒级数写为2.二维静态电磁场差分方程的导出在二维平面场中，我们把场域划分为许多足够小的正方形网格每个网格的边长为h

，称h为步长，两组平行线的交点称为网格的节点2.二维静态电磁场差分方程的导出两式相加，有忽略四阶以上项2.二维静态电磁场差分方程的导出同理有二维静态电磁场中，场域中每一点电势均满足泊松方程，即2.二维静态电磁场差分方程的导出无源问题可得泊松方程的差分形式2.二维静态电磁场差分方程的导出任意点规则正方形网格内某点电位所满足的拉普拉斯方程的差分形式，又称差分方程。2.二维静态电磁场差分方程的导出如果我们求解的问题边界较复杂，对于近邻边界的节点，其边界不一定正好落在正方形网格的节点上，邻近边界节点处拉普拉斯方程的差分格式为3.二维静态电磁场差分方程的求解例：如图所示为一个正方形截面的无限长金属盒，盒子两侧及底部电位为零，顶部电位为1000V，求盒内的电位分布。解：在盒内取3*3个离散的电位节点第一步，给场域内部节点赋电位初始值，为简单起见，可取第二步，将零此解代入差分方程，得出内部节点电位值的一次迭代解，它们分别为3.二维静态电磁场差分方程的求解第三步，重复上述步骤，令每一个内部节点上的二次解电位等于该节点周围四个相邻节点一次解电位值的平均值，并用二次解电位值覆盖内存中原一次解的电位值。3.二维静态电磁场差分方程的求解编写计算机程序：（1）每一网格节点的位置我们用双下标(i,j)予以识别；（2）规定迭代的运算顺序为：从左下角开始进行迭代计算，即i小的先做，对固定的i，j小的先做。

节点(i,j)迭代到第（n+1）次时的近似值可以由下式计算（3）迭代一直进行到所有内节点上相邻两次迭代解的近似值满足条件时终止迭代。3.二维静态电磁场差分方程的求解%M,N分别为分割的行列向量M=5;N=5;%设置网格节点数5*5X=ones(M,N);%设置行列二维数组X(1,:)=ones(1,N)*1000;%设置上边界条件X(M,:)=zeros(1,N);%设置下边界条件X(:,1)=zeros(M,1);%设置左边界条件X(:,N)=zeros(M,1);%设置右边界条件XX=X;maxw=1;w=0;%maxw，w赋初值n=0;a=1%迭代次数n赋初值3.二维静态电磁场差分方程的求解while(maxw>1e-9)n=n+1;%迭代次数加一maxw=0;fori=2:M-1