福建省泉州市惠安县2027届高中毕业班7月质量检测数学试卷（含答案）

/福建省泉州市惠安县2027届高中毕业班7月质量检测数学试题一、单选题1、已知，则的虚部为（）A．-1B．1C．D．22、已知集合，，则（）A．B．C．D．3、已知随机变量X~，且，则（）A．0.5B．0.6C．0.8D．0.94、已知圆锥的高为4，侧面积是底面积的3倍，则圆锥的体积为（）A．B．C．D．5、在正项等比数列中，，则的最小值为（）A．4B．8C．12D．166、已知，，则（）A．B．C．D．7、《周髀算经》记载了“盖天说”宇宙模型，认为天地呈平行平面状．后世数学家将其抽象为：设底面为平面，天顶为平面．一束光从天顶的点射向地面的点，经地面反射后又回到天顶，其入射光线记为向量．由于地面不平整，反射光线与入射光线向量满足：反射光线的单位水平投影向量与入射光线的单位水平投影向量关于点处的南北方向（即轴方向）对称．若反射光线的模长，则（）A．B．C．D．08、有编号为1，2，3，4的四个箱子，第个箱子中有1个红球和个白球．从每个箱子中各随机抽取一球，设取出的红球数为，则（）A．B．C．D．二、多选题9、下表为日常生活中部分数字出现频率的统计结果（单位：%），则（）数字234567频率181310876A．频率的极差等于12B．频率的平均数大于11C．频率的中位数等于9D．频率的标准差大于510、已知点在抛物线C：上，圆E：与相切于两点，设点，则（）A．B．当在圆上时，C．D．11、设定义在上的，均为奇函数，当时，，且，均为奇函数，设，则（）A．当且仅当B．当且仅当，C．当且仅当D．当且仅当三、填空题12、展开式中项的系数为___________．13、已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，O为坐标原点，为上一点．延长至点，使得，设为线段的中点，则___________；四边形的面积的最大值为___________．14、设定义在上的函数恰好有3个最值点和3个零点，则的取值范围为___________．四、解答题15、记的内角的对边分别为,已知

(1)求的最大值；

(2)若的面积为，，求．16、如图，在棱锥中，动点在线段上运动，平面，正方形的边长为2，，．(1)证明：平面平面；

(2)求二面角余弦值的取值范围．17、已知函数．

(1)当时，求曲线在点处的切线方程；

(2)当时，证明：在区间单调递增；

(3)当时，证明：有三个零点．18、已知双曲线C：的左顶点为A，P为C右支上一点且位于第一象限，P，Q关于x轴对称．

(1)若，求的面积；

(2)设M为x轴正半轴上一点，N为x轴负半轴上一点，直线与直线交于点D．

（ⅰ）设，，求P的横坐标（用a，m表示）．

（ⅱ）证明：存在定点M，N使得始终平分．19、设数列各项均为正整数，对任意正整数，定义集合．

(1)若，且有4项，，，直接写出；

(2)若，且存在使得，求；

(3)若有无穷多项，且对任意正整数，．

（ⅰ）证明：；

（ⅱ）求数列的前项和．试卷答案/解析一、单选题1、【答案】C【详解】由z=1+2i得故z的虚部为−2.2、【答案】B【详解】因为集合A=集合B=所以A∩3、【答案】D【详解】由随机变量X∼N(3,σ2)，可知正态分布曲线的对称轴为直线已知P(2≤X≤4)=0.8因此P(4、【答案】D【分析】根据圆锥的侧面积和底面积以及体积公式来求得正确答案.【详解】设圆锥的底面半径为r，母线长为l，高为h，由题意知S侧S底=πrl所以r=2，所以圆锥的体积故选：D5、【答案】B【详解】因为数列an为正项等比数列，则a5a又因为a2a6则a2+16a6=所以a26、【答案】A【详解】cos2cos2sin=1−=1−37、【答案】C【分析】设b⃗=x,y,1，根据题意得出【详解】由题意得，a=AB⃗设b⃗=x,y,1，因为则bxy因为axy，bxy关于点B处的南北方向（即所以−12=x22，则a8、【答案】D【分析】首先计算出每个箱子抽出红球的概率，变量X表示取出的红球总数，X的可能取值为0，1，2，3，4，我们需要计算X为偶数（即X=0,2,4【详解】每个箱子中抽到红球的概率：第1个箱子：1红1白，共2球，抽到红球的概率p1=第2个箱子：1红2白，共3球，抽到红球的概率p2=1第3个箱子：1红3白，共4球，抽到红球的概率p3=1第4个箱子：1红4白，共5球，抽到红球的概率p4=1题目要求X为偶数时的概率，即X=0,2,4当X=0PX当X=2第1个箱子和第2个箱子抽到红球，第1个箱子和第3个箱子抽到红球，第1个箱子和第4个箱子抽到红球，第2个箱子和第3个箱子抽到红球，第2个箱子和第4个箱子抽到红球，第3个箱子和第4个箱子抽到红球，则P==1当X=4PX则PX二、多选题9、【答案】AC【详解】首先将频率数据从小到大排序为：6，7，8，10，13，18；选项A：极差为最大值减去最小值，即18−6=12，A正确；选项B：平均数为6+7+8+10+13+186选项C：共6个数据，中位数为第3个和第4个数据的平均值，即8+102选项D：计算得方差s2=110、【答案】ACD【分析】对于A选项，代入点的坐标求解即可；对于B选项，联立圆与抛物线方程，根据交点与方程间的关系即可求解；对于C选项，讨论参数a与b和圆与抛物线的位置关系即可求解；对于D选项，根据参数间关系，以及抛物线定义即可求解；【详解】对于A选项，将点A代入抛物线方程y2=2px对于B选项，当点A在圆E上时，代入圆方程x−a2联立圆与抛物线方程得，x2圆与抛物线相切于两点，因此方程应有两个相等的实数根，且均为正根，则Δ=(4−2解得b2将其代入联立后的圆的方程(1−a解得a=3代入b2=4a因为b<0，因此b故B选项错误；对于C选项，由相切条件，方程的二重根为x0若x0因此x0>0，即a>2，代入b2=4a−4故C选项正确；对于D选项，点B(a,−b)，由b2=4(因此B点的轨迹为抛物线y2=4(x−1)，该抛物线的焦点为F'(2,0)，准线为因此BF点A(1,2)到焦点F'(2,0)由三角不等式AB≤AF当AB=故D选项正确.11、【答案】ABD【分析】根据分析fx的性质，得出fx的分段表达式，由fx=x的解判定A；分析gx的性质，得出gx的分段表达式及递推关系利用gx的图像分析不等式gx≥kx【详解】对于A，fx是定义在R上的奇函数⇒f−当x∈0,1时，fx=x由fx+1−则h0又h−x=−h整理得f1−所以函数fx的图像关于点1,1由f1−所以fx令x=2n,令x=2n+1,所以对于所有整数n，都有fn①考虑x∈fx令fx⇒xΔ=(4解得x=4n+1±12因为两个根都在区间的端点上，所以在fx=x②考虑x∈2nfx令fx⇒xΔ=(4解得x=4n+3±12因为两个根都在开区间的端点上，所以在fx=x综上所述，fx=x对于B，gx是奇函数⇒g−当x∈0,1时，gx=x又gx+1+则k−x=−g−g1−g1−x+g1+又gx为奇函数，故g1+x令x=2n，令x=2n+1所以对于所有整数n，都有gn①当x∈gx所以当x∈2n,2n②当x∈2ngx对称轴为直线x=2所以当x∈2n+1,2n综上所述，当x=2n时，当x∈2n当x=2n+1当x∈2n当x=2n+2所以当x∈2n,2n令2n+1=x−2n所以当gx≥kx+b对于C，fx是偶函数，gx也是偶函数，考虑x≥0当x∈2ng(可知fx对于D，①当x∈2nfx=(因为gx+2=又x−4n∈所以gx所以当x∈2n②当x∈2n则fxgx又x−4n∈所以gx所以当x∈2n③当x=2n,n∈所以当x=2n时，④当x=2n−1,n∈所以当x=2n−1⑤当x=2n+1,n∈所以当x=2n+1综上所述，当且仅当2n−1<x三、填空题12、【答案】80【详解】2x−15的通项为Tr+1T3=C5213、【答案】512【分析】利用椭圆定义求得F1Q=2【详解】空1：对于椭圆C:x225+y216=1，由椭圆标准方程得a2=25，b2=16因为|PF1故|F如图所示，M为线段QF2的中点，O为F1F2由中位线性质得|OM空2：由中位线性质得OM//F1Q，即OM//PF故|y0|≤4，当且仅当x0=0当|y0|=4此时Q坐标为(3,8)或(3,−8)，M为QF2中点，坐标为(3,4)或(3,−4)，四边形OPMF2为邻边长分别为3和14、【答案】8【分析】通过换元，确定函数在相应区间上取得对应零点和最值点时参数的范围，取交集即可.【详解】设t=ωx+因此函数的三个最值点对应t=π2、t则5π解得136同样的，函数的三个零点对应t=π、因此，3π≤ωπ故ω的取值范围为83四、解答题15、【答案】(1)B的最大值为30∘(2)b=【分析】（1）结合题干和正弦定理建立关于tanB的不等式求解即可；（2）由三角形面积公式和已知可得asinB=2，设x=acosB，可得【详解】（1）在△ABC中，由正弦定理得ab=可得sinAsinB=3因为sinA≤1，所以tanB又因为acosB=3b所以cosB>0，故B为锐角，可得当A=90°,所以B的最大值为30（2）由三角形面积公式S△ABC=12设x=acosB，由a2又因为a⋅cos在△ABC中，由余弦定理b因为c=2，且x=代入a2=x因此b=16、【答案】(1)因为AB⊥平面BCDEF，CE⊂平面BCDEF，所以正方形BCEF中CE⊥BC，因为AB∩所以CE⊥平面ABC动点G在线段AC上运动，所以平面AGE即平面ACE，所以由CE⊂平面ACE，得平面AGE⊥平面(2)6【分析】（1）根据线面垂直的判定定理可证CE⊥平面ABC，再由面面垂直的判定定理得平面AGE⊥平面（2）建立空间直角坐标系，求出平面DEG与平面BDE的法向量，并表示出两个法向量夹角的余弦值，求得该余弦值的取值范围，从而求得二面角G−【详解】（1）略（2）因为正方形BCEF的边长为2，CD=所以CD2+如图所示，以B为坐标原点，分别以BC,BF,则B0,0,0所以DE=因为动点G在线段AC上运动，所以设AG=则EG=设平面DEG的法向量为n=则n·令x=λ−1所以平面DEG的一个法向量为n=因为平面BDE即平面BCDEF，AB⊥平面BCDEF所以平面BDE的一个法向量为m=cos.λ由0≤λ≤1，得所以0≤1λ−21≤223所以−1≤−1由图易知，二面角G−所以二面角G−DE−17、【答案】(1)y(2)证明：函数fx=ln所以f′设函数gx=e当a≤0时，g'x>0，所以函数所以gx>g所以函数fx在区间−当0<a若x>0，g′x>0，所以函数若−a<x<0，g′所以gx当a≤1时，1−a≥0，又exx所以当0<a≤1时，函数fx综上所述，当a≤1时，函数fx在区间(3)证明：由（2）f′设函数gx=e因为a>1，所以当x>0时，g′x>0当−a<x<0时，g′所以函数gx的最小值为g由g−则存在x1∈−又ga令ha=e所以函数ha在1,+∞上单调递增，所以h所以当a>1时，g又g0<0，所以存在x2当x∈−a,x1时，当x∈x1,x2时，当x∈x2,+∞时，gx所以函数fx的极大值为fx1当x→−a时，fx→−∞，当又f1−令ma=e所以函数ma在1,+∞上单调递增，所以m所以f1−又f0=lna则n′所以函数na在1,+∞所以na<n由a>1⇒−a<1−a<0，且当根据零点存在性定理可得函数fx在−由f1−a>0,f0当x→+∞时，fx→+∞根据零点存在性定理可得函数fx在0,+∞综上所述当a>1时，函数f【分析】（1）根据函数求出切点和利用函数导数求出切线斜率，再利用点斜式求切线方程即可；（2）利用函数导数与单调性分析证明即可；（3）利用函数导数与单调性，零点存在性定理分析证明即可.【详解】（1）当a=1时，fx=所以f′所以曲线y=fx在点0,又f0=ln所以曲线y=fx在点0,0处的切线方程为：y（2）略.（3）略.18、【答案】(1)254(2)（i）xP（ii）法一：由（i）知Pam将点P代入C中，有am+2化简整理得(15−5m设点N(n,0)，因为DA始终平分∠所以b2化简整理得(m即点D在圆（部分）上运动（阿波罗尼斯圆），（I）（II）对照系数可得m+115−5m经检验，此时（I）（II）的方程均为a2即存在M73,0,N方法二：与（i）同理：由等比定理易知：y0所以a+1=作∠MDN的外角平分线交x轴于点A′，易知DA⊥因为kDA=b所以直线DA令y=0得：x因为b2所以y0所以xA易知A′为定点，所以6m+42=因为m>0，所以m=7由角平分线定理易知|AM||解得n=−11，故存在定点M73,0和N(−11,0)【分析】（1）直接求出xP（2）（i）法一：计算出直线PD,PM的方程，再联立即可得到点P坐标；法二：设（ii）将点P坐标代入双曲线方程，再结合角平分线性质即可得到点D的轨迹，再对比系数即可得到关于M,N的方程组，解出即可；法二：根据等比定理得到a+1,b的表达式，再作∠MDN的外角平分线交x【详解】（1）易知A(−1,0),代入双曲线得xP2−15（2）（i）法一：由题意得PD:因为kMQ=b所以PM:联立y=ba则xP法二：设Px因为A，D，P三点共线，所以y0因为M，D，Q三点共线，所以−y所以y0由等比定理易知y0解得x0=am19、【答案】(1)H(2)k(3)（ⅰ）证明：由数列an各项均为