湖南省岳阳市汨罗市第二中学2026届高三上学期9月月考数学试卷（含答案）

/湖南省岳阳市汨罗市第二中学2025-2026学年高三上册9月月考数学试题一、单选题1．“”的一个必要不充分条件是（

）A． B． C． D．2．若，则（

）A． B． C． D．3．设m、n是两条不同的直线，、、是三个不同的平面．下列命题中正确的命题是（

）A．若，，则B．若，，则C．若，，，则D．若，，则4．已知实数满足，则的最小值为（

）A． B． C． D．5．已知函数满足为奇函数，为偶函数，则下列一定成立的是（

）A． B．C． D．6．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，若边上的中线，则的外接圆面积是（

）A． B． C． D．7．甲、乙、丙、丁、戊五名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次．甲和乙去询问成绩，回答者对甲说“很遗憾，你和乙都没有得到冠军．”对乙说“你当然不会是最差．”从这两个回答分析，5人的名次排列可能有多少种不同情况？（

）A．27种 B．36种 C．54种 D．72种8．已知实数满足，，其中为自然对数的底数，则的大小关系是（

）A． B． C． D．二、多选题9．下列说法中，正确的是（

）A．回归直线可以不经过样本中心B．可以用相关系数刻画两个变量的相关程度强弱，值越大两个变量的相关程度越强C．残差图中，残差点所在的水平带状区域越窄，则回归方程的预报精确度越高D．根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验，可判断与有关联，此推断犯错误的概率不超过10．已知抛物线的焦点为F，过F的直线l与抛物线C交于两点，则（

）A．抛物线C的准线方程为B．若，则C．的最大值为16D．为钝角11．已知函数及其导函数的定义域均为，记，且，，则（

）A． B．的图象关于点对称C． D．（）三、填空题12．的展开式中的系数是________．（用数字作答）13．若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________________．14．已知，是平面内三个不同的单位向量．若，则的取值范围是_______．四、解答题15．已知函数，，函数在处有极值．(1)求函数的解析式；(2)求函数在上的最值．16．如图，在四棱锥中，平面平面，，，，为棱的中点.(1)证明：平面；(2)若，，在线段上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.17．已知函数．(1)若，且，求的最小值；(2)证明：曲线是中心对称图形；(3)若，证明：当时，在区间上恒成立．18．已知函数．(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)若曲线与在上至少有一个交点，求的取值范围；(3)若，、，且，，求的最小值．19．已知函数(1)若恒成立，求实数a的取值集合；(2)在（1）的条件下，若函数，的两个零点分别为与且，求证：；(3)已知正整数n满足，试求出所有满足条件的n.(已知参考答案1．B【详解】，因为，所以是的必要不充分条件.故选：B.2．C【详解】故选：C3．C【详解】若，，则与相交或平行，故A错误；若，,则或，故B错误；若，，，则，故C正确；若，，则或或者与相交，故D错误；故选：C4．A解：因为满足，则，当且仅当时取等号，故选：．5．A【详解】函数的定义域为，由是偶函数，得，即，得函数的图象关于对称由为奇函数，得，得函数的图象关于点对称，所以，由，令，得，故A项正确；由函数的图象关于点对称，得，但无法判断，故B，C两项错误；由，令，得，由，令，得，得，则也无法判断，故D项错误．故选：A6．A【详解】因为，所以，又，所以，又是中点，所以，又，所以，即，解得（负值舍去），所以，则，所以，即，所以的外接圆面积为，故选：A.7．C解：由题意得：甲、乙都不是第一名且乙不是最后一名．乙的限制最多，故先排乙，有3种情况；再排甲，也有3种情况；余下3人有种排法．故共有种不同的情况．故选：C.8．D【详解】设函数，其定义域为，且，当时，可得，在上单调递增；当时，可得，在上单调递减，因为，可得，即且，所以且，所以.故选：D.9．CD【详解】A中，根据回归直线方程的特征，可得回归直线一定经过样本中心，所以A错误；B中，相关系数是用来刻画两个变量的相关程度强弱，值越大两个变量的相关程度越强，所以B错误；C中，在残差图中，若残差点所在的水平带状区域越窄，则回归方程的预报精确度越高，所以C正确；D中，根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验，根据独立性检验的定义，可得变量与有关联，且推断犯错误的概率不超过，所以D正确.故选：CD.10．BD【详解】如图：对于A，抛物线的焦点，准线方程为，A错误；对于B，，而，则，B正确；显然直线不垂直于，设其方程为，由消去得，则，，，对于C，，当且仅当时取等号，C错误；对于D，，则为钝角，D正确.故选：BD11．ABD【详解】因为，所以，即，令，得，故A正确；因为，当时，，所以的图象关于点对称，故B正确；对于C，假设成立，求导得，即，又，所以，所以与矛盾，故C错误；对于D，因为，，所以，，，，所以有，所以数列的奇数项是以为首项，为公差的等差数列，数列的偶数项是以为首项，为公差的等差数列，又，，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，所以，所以，故D正确．故选：ABD．12．【详解】根据题意,的项在的展开式中有两项，分别为：和，即和，则的系数为：.故答案为：.13．【详解】∵，∴，设切点为,则,切线斜率,切线方程为：,∵切线过原点，∴,整理得：,∵切线有两条，∴,解得或,∴的取值范围是,故答案为：14．【详解】若，则，又三个向量均为平面内的单位向量，故向量两两垂直，显然不成立；故.不妨设，则，不妨设，，则，则，则，由，，则，故.故答案为：.15．(1)；(2)最小值为，最大值为．【详解】（1）由题，.因在处有极值，则.又时，，，因时，，时，.得在上单调递增，在上单调递减，则函数在处有极大值，满足题意，故.（2）当时，令，得，令，得.故在上单调递增，在上单调递减.则，.故函数在上的最大值为，最小值.16．(1)取中点，如图，连接，∵是中点，∴且，又，，∴且，∴是平行四边形，∴，又∵平面，平面，∴平面；(2)∵，，，∴，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，又，因此以为原点，为轴建立空间直角坐标系，如图，则，，，，，，，，设平面的一个法向量是，则，取得，假设线段上是否存在点，使得点到平面的距离是，设，，，∴点到平面的距离为，（舍去），所以．17．(1)(2)的定义域为，设为图象上任意一点，故，而，所以，所以的图象为中心对称图形，且对称中心为．(3)若，，原命题等价于证明在区间上恒成立，设，则需满足在区间上恒成立，设，则，因为，所以，，若，则，故恒成立，故在区间上为增函数，故，即在区间上恒成立．【详解】（1）当时，，其中，则，因为，当且仅当时等号成立，故，而成立，故，即，所以的最小值为．（2）略（3）略18．(1)(2)(3)最小值为【详解】（1）解：当时，，，可得，，即切点坐标为，切线斜率，所以切线方程为，即．（2）解：由，得，令，其中，则，其中，当时，，则单调递减，当时，，则单调递增．所以，，所以，则的取值范围为．（3）解：因为、，且，，所以，设函数，则，可得在上单调递减，所以在上恒成立，即对时恒成立．设，则．设，则，令，解得．当时，，则单调递减，当时，，则单调递增．，，当时，，，则，，所以存在，使得，即．当时，，则单调递增，当时，，则单调递减，所以当时，取得最大值．，当时，，又整数，所以的最小值为．19．(1)；(2)由（1）知，，，函数的定义域为，求导得，由，解得，要证，即证，只证，，令函数，求导得，函数在上单调递减，，函数在上单调递减，，