山东省东营市多校2027届高三上学期开学考试数学试卷（含答案）

/山东东营多校2026-2027学年高三上学期开学考试数学试卷一、单选题1．已知，若，则在方向上的投影向量的坐标为（）A． B． C． D．2．下列说法正确的个数为（

）

①命题“中，若，则”的逆命题是真命题②若命题，则③“命题为真命题”是“命题为假命题”的充要条件④设均为非零向量，则“”是“与的夹角为锐角”的必要不充分条件A．1 B．2 C．3 D．43．设函数，则（

）A． B． C．1 D．4．已知，，则的最大值为（

）A． B． C． D．5．数集，其中，若，且，求（

）A．6 B．8 C．10 D．126．如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线的左､右焦点分别为，从发出的光线经过图2中的两点反射后，分别经过点和，且，，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．7．函数的定义域为，若函数是奇函数，下列结论中正确的是（

）A． B．C． D．8．在等比数列中，，，则（

）A．81 B．243 C．729 D．二、多选题9．下列说法错误的是（

）A． B．C．对任意向量都有 D．，则与中至少有一个为10．在△ABC中，有以下四个说法：①若△ABC锐角三角形，则；②存在三边为连续自然数的三角形，使得最大角是最小角的两倍；③存在三边为连续自然数的三角形，使得最大角是最小角的三倍；④若，则．其中正确的说法有（

）A．① B．② C．③ D．④11．已知数列满足，则下列说法正确的有（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则三、填空题12．已知角α的终边与单位圆交于点，则的值为___________.13．已知函数的部分图象如图所示，则______.

14．若函数，，且和在一共有三个零点，则__________.四、解答题15．已知数列{an}满足an≠0恒成立.（1）若anan+2＝kan+12且an＞0，当{lgan}成等差数列时，求k的值；（2）若anan+2＝2an+12且an＞0，当a1＝1，a4＝16时，求a2以及an的通项公式；（3）若anan+2＝﹣an+1an+3，a1＝﹣1，a3∈[4，8]，a2020＜0，设Sn是{an}的前n项之和，求S2020的最大值.16．已知函数，，最小值为；的一个对称中心且在单调递减；(1)求函数的解析式，并求的单调递增区间；(2)将的图象，先向右平移个单位长度，再将所得点横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得图象，令，若，总，使得成立，求实数的取值范围.17．从①；②；③；这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答．在锐角中，分别是角的对边，若________________．(1)求角的大小；(2)求取值范围；(3)当取得最大值时，在所在平面内取一点（与在两侧），使得线段，求面积的最大值．（注：若选择多个条件，按第一个解答计分）18．已知函数，.（1）证明：；（2）若时，恒成立，求实数a的取值范围；（3）求的最小值.19．如图所示，某风景区在一个直径AB为400m的半圆形花园中设计一条观光路线，在点A与圆弧上一点C之间设计为直线段小路，在路的两侧边缘种植绿化带；从点C到点B设计为沿圆弧BC的弧形小路，在路的一侧边缘种植绿化带．（注:小路及绿化带的宽度忽略不计）(1)设（弧度），将绿化带总长度表示为的函数；(2)试确定的值，使得绿化带总长度最大，并求最大值．

《山东东营多校2026-2027学年高三上学期开学考试数学试卷》参考答案题号12345678910答案DCDADBCBABCDABD题号11答案ACD1．D【详解】因为，所以，解得，即，因为，，所以在方向上的投影向量的坐标为.2．C【详解】①命题“中，若，则”的逆命题是：命题“中，若，则”，若，由正弦定理得，所以，是真命题，故正确.②因为全称命题的否定是特称命题，故正确.③因为“命题为真命题”，则p，q都为真命题，则“命题为假命题”，故充分，因为“命题为假命题”，说明为真命题，但的真假不确定，则的真假不确定，故不必要，故错误.④因为，当与的夹角为锐角时，，故必要，当时，满足条件，但不是锐角，故不充分，故必要不充分，故正确.故选：C3．D【详解】因为，，所以.故选：D4．A【详解】因为，所以，两边同除以，得，所以，因为，所以，所以，当且仅当，即时取等号，所以最大值为．5．D【详解】由题设，又且，若，则，，，此时中不存在元素，不合题设；若，则，，，此时中存在一个大于的元素，不合题设；所以，则，，，所以，可得且且，所以，则.故选：D6．B【详解】如图，由，有，可得，可得，有.在Rt中，由，不妨设，则，由勾股定理得，又由双曲线的定义可得，，根据可得，解得，所以，在Rt中，，可得，故双曲线的离心率为.故选：B.【点睛】7．C【详解】函数是奇函数，即，则，故选：C.8．B【详解】设等比数列的公比为，由，则，所以.故选：B9．ABCD【详解】对于A，，故A错误；对于B，，故B错误；对于C，因为与都是实数，则向量与共线，向量与共线，而与是任意两个向量，故C错误；.对于D，若，则或或，故D错误.故选：ABCD.10．ABD【详解】对于①：由为锐角三角形，则，即，所以，故①正确；对于②：设三边长为为大于1的正整数，对角分别为A、B、C，若，则，∴，解得（舍去），所以存在三边为连续自然数4，5，6的三角形，使得最大角是最小角的两倍，故②正确；对于③：若，由正弦定理得，，由此两式消去得，又由余弦定理得，所以，而该方程无正整数解，所以这样的三角形不存在，故③不正确；对于④：由，可知，∴，∴，即，故④正确.故选：ABD.11．ACD【详解】对于A，若，，所以数列是以2为公比，以1为首项的等比数列，则，故A正确；对于B，若，则，即，累加法可得，故B错误；对于C，若，，即，又，所以数列是以2为公比，2为首项的等比数列，所以，所以，故C正确；对于D，若，则若，即，解得，即，设，展开可得，即，所以，即数列是以为首项，2为公比的等比数列，所以，则，故，故D正确；故选：ACD12．/【详解】由题意可得，故，故答案为：13．【详解】由题图可知，因为，所以，由图像可知，，解得，，又，即且，所以，所以或或；当时，函数，令，，解得，，所以函数的单调递减区间为，，又，，所以不符合题意；当时，，此时，不符合题意；当时，，此时，且令，，解得，，所以函数的单调递减区间为，，又，，所以符合题意，所以，故答案为：.14．或【详解】当时，，，不成立；当时，，，在上有，两个零点，不成立；当时，，时，，即；，当时，，即，设，，，则，，当，相切时，设切点为，则，解得，；当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增.画出，的简图，如图所示：，最多有两个交点，故最多有2个零点，当时，没有零点，最多有2个零点，不成立；当时，有1个零点，，有2个零点，成立；现说明，即，构造函数，，，，设，，设，，设，恒成立，故单调递增，，故单调递增，，故单调递减，，故函数单调递减，，故，当，有2零点，有2个零点，若是一个零点，则有两个零点重合，满足，此时.综上所述：或故答案为：或15．（1）1；（2）a2＝，an＝；（3）.【详解】（1）因为anan+2＝kan+12且an＞0，且{lgan}成等差数列，所以2lgan+1＝lgan+lgan+2，所以an•an+2，所以.（2）因为an•an+2＝2，所以，所以，因为，所以，因为，所以，又由，所以构成首项为，公比为的等比数列，所以，则.（3）由，因为，可得对于任意恒成立，所以，故，设，则，又由，故，显然最大与T1最大同时发生，因为，又因为，所以，故，所以，考虑函数的性质知，的最大值在端点处取得，故取得到，最大值在时取得，故S2020的最大值为.16．(1)，单调递增区间，；(2).【详解】（1）由题意知，则.函数的一个对称中心，则，得，，所以的可能取值为、.若，则，当时，此时，函数在区间上单调递增，不合乎题意；若，则，当时，此时，函数在区间上单调递减，合乎题意；所以，；令，，解得，，所以，的单调增区间为，；（2）由（1）可知，将的图象先向右平移个单位长度，得，再将所得点横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得图象，所以，，所以，由于，所以，因为，所以，则，由，可得，所以，能成立，由，根据对勾函数的性质，当时上式右侧取得最小值为，所以.17．(1)(2)(3).【详解】（1）若选①：由正弦定理得，即因为，所以，所以，整理得，又因为,则，所以若选②：因为，由正弦定理得，即，所以，由，得，所以，即，因为，所以；若选③：因为，所以，即，又因为，所以又因为，所以，因为，所以；（2）在锐角中，由（1）得，，所以，由，所以所以的取值范围为.（3）当取得最大值时，，解得；在中，令，

则，所以；又，所以，所以．所以，而,故当时等号成立,所以面积的最大值为．18．（1）证明见解析；（2）；（3）1.【详解】（1）∵，∴证明即证明即证明.设，∴，

∴时，单调递增；时，单调递减.∴，∴即成立.

（2）时，即，由（1）知，当时，成立，

当时，显