陕西省汉中东辰外国语学校2027届高三上学期第二次模拟考试数学试卷（含答案）

/陕西汉中东辰外国语学校高中部2026-2027学年高三上学期第二次模拟考试数学试卷一、单选题1．已知复数满足（是虚数单位），则的虚部为（

）A． B． C． D．2．已知，则（

）A． B． C． D．23．已知扇形的周长为，则该扇形面积的最大值为（

）A． B． C． D．4．下列函数是奇函数，且在上单调递减的是（

）A． B．C． D．5．已知奇函数满足，且当时，（）．则的值为（

）A． B． C． D．6．函数的图象的对称中心为（

）A． B． C． D．7．已知，，则（

）A． B． C． D．8．如果对一切正实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．二、多选题9．下列函数中，值域正确的是（

）A．当时，函数的值域为B．函数的值域为C．函数的值域为D．函数的值域为10．已知正实数a，b满足，则（

）A．的最大值为 B．的最小值为C．的最大值为2 D．的最小值为11．已知的内角、、的对边分别为、、，则下列说法正确的是（

）A．若，则为锐角三角形B．若，，只有一解，则的取值范围为C．若，点为的外心，满足，则的值为D．若，则为等腰三角形三、填空题12．不等式的解集为______．13．已知函数，若，则实数t的取值范围是__________．14．将曲线绕坐标原点逆时针旋转后，所得曲线是某个函数的图象，求实数的取值范围______．四、解答题15．中国社会福利与养老服务协会、当代社会服务研究院与社会科学文献出版社6日共同发布《银发经济蓝皮书：中国银发经济发展报告（2024）》．报告预计，中国将在2030年前后进入超级老龄化社会，到2060年，老年人口约占总人口的37.4%，随着我国人口老龄化的不断加深，养老问题已成为社会关注的焦点．现在某社区采用分层抽样的方法对老年人居家养老的情况进行调查，其结果如下：男性女性合计居家养老60100160不居家养老n2040合计80m200(1)求m，n；(2)若显著性水平，是否有95%的把握能认为“居家养老与性别有关”？(3)已知在被调查的男性老人中有5名是单身，其中有2名不居家养老，现在从这5名男性老人中随机抽取3人，设在抽到的3人中不居家养老的人数为X，求X的分布列及数学期望．附：参考公式：，其中，．16．如图，三棱锥中，，是的中点，平面平面，．(1)证明：平面平面；(2)若，求直线与平面所成角的正弦值．17．已知数列的前项和为，且．(1)证明：数列是等差数列；(2)若，求数列的前项和．18．在平面直角坐标系中，已知点、，点的轨迹为.（1）求的方程；（2）设点在直线上，过的两条直线分别交于、两点和，两点，且，求直线的斜率与直线的斜率之和.19．已知函数，其中．(1)求的单调区间；(2)若恒成立．①求实数的值；②判断方程的根的个数．1．A【详解】因为，所以,所以的虚部为.2．C先利用三角函数诱导公式化简原式，再转化为仅含的齐次分式，代入已知条件计算即可.【详解】原式，因为，所以，分子、分母同时除以得原式.3．B利用扇形的周长和面积公式进行转化后计算最大值.【详解】设扇形半径为，弧长为，则由题意得：，则，其中，当时，.4．B先利用奇函数定义排除不符合奇偶性要求的选项，再对剩余符合奇偶性的选项求导判断单调性，最终选出符合要求的选项.【详解】选项A：，，显然，不是奇函数，排除；选项B：，，满足奇函数定义；对其求导得，对任意，，故恒成立，因此在上单调递减，符合要求；选项C：，，，不是奇函数，排除；选项D：，，是奇函数，求导得恒成立，在上单调递增，不符合递减要求，排除.5．A先利用奇函数性质求出参数，再推导函数周期，将转化为区间内的函数值计算即可．【详解】因为是定义域包含的奇函数，故，即，由，可得，所以是周期为4的周期函数，因为，所以，又，令得，所以．6．B先求出函数的定义域，根据定义域关于直线对称，猜测的对称中心横坐标为，再根据中心对称的性质即可求解．【详解】要使得有意义，则，解得或，则的定义域关于直线对称．又，所以的图象的对称中心为．7．A确定角度范围得到，变换，展开计算得到答案.【详解】因为，则，可得，所以.故选：A.8．C将不等式恒成立转化为恒成立.构造函数，利用基本不等式可求得，于是问题转化为恒成立．通过参变分离结合基本不等式求解即可得到答案.【详解】对一切正实数，不等式恒成立恒成立，令，则，∵，当且仅当时取“＝”，；所以，即恒成立．，所以恒成立令,则，恒成立.令,，则．因为，，则，当且仅当时等号成立.所以.所以.9．ACD本题考查了函数值域的求法，配方法、分离常数法和换元法的应用，掌握根据函数类型选择合适方法求值域的技巧是解题的关键．对每个选项，使用配方法、分离常数法或换元法，结合函数单调性求值域，逐一判断正误．【详解】对于A，（配方法），由，再结合函数的图象（如图①所示），可得函数的值域为．对于B，（分离常数法），显然，．故函数的值域为．对于C，（换元法）设，则，且，，由，再结合函数的图象（如图②所示），可得函数的值域为．对于D，函数的定义域为，与在上均单调递增，在上为增函数，当时，，即函数的值域为．故选：ACD．10．AD对于A：利用基本不等式求最值即可；对于B：消元整理可得，进而分析最值；对于C：平方整理可得，进而分析最值；对于D：整理可得，利用“”的妙用结合基本不等式运算求解.【详解】对于A，因为，当且仅当时等号成立，的最大值为，A正确；对于B，将代入得，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为，B错误；对于C，因为，故，所以的最大值为，C错误；对于D，因为，即，则，当且仅当，时取等号，所以的最小值为，D正确.11．AC对于A选项，利用正切和角公式及三角形内角和，得出，由正切值乘积大于0判断锐角三角形，对于B选项，根据正弦定理及已知条件，分析不同取值时三角形解的情况，得出的取值范围，对于C选项，通过外心性质、正弦定理及向量数量积化简等式，求出的值，对于D选项，由正弦定理和二倍角公式，根据得到三角形可能是等腰或直角三角形.【详解】在A选项中，在中，，故，利用正切和角公式得，整理可得，又因为，即，三角形最多1个钝角，若存在钝角则乘积为负，只有三个角均为锐角时乘积为正，故是锐角三角形，A正确，在B选项中，已知，，三角形解的个数结论：当时，三角形为直角三角形，只有一解；当时，也只有一解，故的取值范围是或，B错误，在选项C中，设外接圆半径为，对等式两边同时点乘，由外心性质得，结合正弦定理，，，得到，代入化简得，，故，特殊值法（取等边三角形）验证也成立，C正确，在选项D中，由，正弦定理得，即，可得：（即，等腰三角形），或（即，直角三角形），故三角形可能是直角三角形，不一定是等腰三角形，D错误.12．/【详解】由，得，则，解得，故不等式的解集为．13．根据函数性质判断函数单调性，根据定义域及单调性，列出不等式，求出范围【详解】已知，其中和均为单调递增函数，且定义域为，所以在上单调递增，且，可得，可得，解得，故答案为：.14．问题等价于曲线与直线在至多一个交点，即函数单调，转化为满足的条件求解.【详解】要使旋转后的曲线仍是函数图象，则旋转后的曲线与直线至多一个交点，直线倾斜角为，顺时针旋转得到直线倾斜角为，斜率为，则曲线与直线的交点不超过1个，所以函数在单调递增或单调递减，所以或在恒成立，所以或在恒成立，令，则，在单调递减，所以，且当时，所以或，即实数的取值范围是.15．(1)，(2)没有95%的把握认为居家养老与性别有关(3)（1）通过表格的行列加和关系补全列联表数据，（2）将列联表的数据代入卡方公式进行独立性检验即可求解，（3）利用超几何分布概率公式及组合数公式即可求出随机变量的分布列与数学期望.【详解】（1）由题意得，解得，，解得.（2）零假设：居家养老与性别无关，由题意得，根据小概率值的独立性检验，我们推断成立，因此，没有的把握认为居家养老与性别有关.（3）已知名单身男性老人中，有名“不居家养老”，名“居家养老”，由题意得“不居家养老”的人数服从超几何分布，其可能的取值为，，，，的分布列如下:.16．(1)证明：因为，是的中点，所以,又平面平面，是交线，平面，所以平面，又平面，所以，又，平面，所以平面，因为平面，所以平面平面.(2)（1）根据面面垂直的性质及线面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理证明即可；（2）建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法计算即可.【详解】（1）略（2）如图，分别以所在直线为轴，以过平行于的直线为轴，建立空间直角坐标系，则，所以,设平面的法向量，则，令，可得，设直线与平面所成角为，则，即直线与平面所成角的正弦值为.17．(1)证明：因为，所以，即，所以，所以数列是公差为4的等差数列．(2)【详解】（1）略（2）因为，所以，，

所以，

所以，，两式相减得，

所以．18．（1）；（2）.(1)利用双曲线的定义可知轨迹是以点、为左、右焦点双曲线的右支，求出、的值，即可得出轨迹的方程；(2)方法一：设出点的坐标和直线方程，联立直线方程与曲线C的方程，结合韦达定理求得直线的斜率，最后化简计算可得的值.【详解】(1)因为，所以，轨迹是以点、为左、右焦点的双曲线的右支，设轨迹的方程为，则，可得，，所以，轨迹的方程为.（2）[方法一]【最优解】：直线方程与双曲线方程联立如图所示，设,设直线的方程为．

联立,化简得，，则．故．则．设的方程为，同理．因为，所以，化简得，所以，即．因为，所以．[方法二]：参数方程法设．设直线的倾斜角为，则其参数方程为，联立直线方程与曲线C的方程，可得，整理得．设，由根与系数的关系得．设直线的倾斜角为，，同理可得由，得．因为，所以．由题意分析知．所以，故直线的斜率与直线的斜率之和为0．[方法三]：利用圆幂定理因为，由圆幂定理知A，B，P，Q四点共圆．设,直线的方程为，直线的方程为,则二次曲线．又由，得过A，B，P，Q四点的二次曲线系方程为：，整理可得：，其中．由于A，B，P，Q四点共圆，则xy项的系数为0，即.【整体点评】(2)方法一：直线方程与二次曲线的方程联立，结合韦达定理处理圆锥曲线问题是最经典的方法，它体现了解析几何的特征，是该题的通性通法，也是最优解；方法二：参数方程的使用充分利用了参数的几何意义，要求解题过程中对参数有深刻的理解，并能够灵活的应用到题目中.方法三：圆幂定理的应用更多的提现了几何的思想，二次曲线系的应用使得计算更为简单.19．(1)当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，的单调递减区间为，单调递增区间为.(2)①；②（1）先确定定义域，求导后按参数与的大小分类讨论导数符号，从而得到函数单调区间；（2）先分类判断单调性得到函数最小值，由恒成立条件知最小值，构造新函数研究最值，仅当时满足最小值等于；（3）构造差函数，利用的结论，分区间结合零点存在定理与单调性分析零点数量，得到一共有个根.【详解】（1）函数的定义域为，，当时，对任意，，所以，单调递增；当时，若，则，单调递减；若，则，单调递增.综上，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，的单调递减区间为，单调递增区间为.（2）①当时，由（1）可知，在单调递增，又，所以当时，，不合题意；当时，由（1）可知，在处取得最小值，若恒成立，则，即，令，则，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以当时，取得最大值，所以即，此时，所以实数的值为；②