河北省石家庄玉城中学2026-2027学年高一上学期9月开学考试数学试卷（含答案）

/河北省石家庄玉城中学2026-2027学年高一上学期9月开学考试校考数学试卷一．选择题（共11小题，满分55分）1.2026的相反数是（）A.2026 B. C. D.【答案】B【解析】【详解】2026的相反数是.2.若，则下列结论正确的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【详解】根据不等式的基本性质逐一分析：A：由，两边同乘，不等号方向改变，得，错误.B：由，两边同时加，得，即，正确.C：由得，两边同时加，得，错误.D：由得，两边同时加，得，错误.3.已知多项式能分解因式为，则的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【详解】因为，由已知可得，所以，，所以，.4.已知点到两条坐标轴的距离相等，则点的坐标为（）A.和 B.和 C.和 D.和【答案】A【解析】【分析】由点到两坐标轴距离相等列出绝对值方程，用等价于或分类求解，再回代求出点的坐标.【详解】点到轴、轴的距离分别为与，由两距离相等得.于是或，分别解得或，对应或.5.如图，点、、在边长为1的正方形网格格点上，则下列结论不正确的是（）A.是直角三角形 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先判断出为直角，然后根据正弦、余弦、正切的知识确定正确答案.【详解】由图可知，，所以，所以，所以是直角三角形，A选项正确.所以，，所以BD选项正确，C选项错误.6.已知抛物线(为常数，且)，当时，随的增大而减小，当时，的最大值为4，则的值为（）A. B. C.3 D.或【答案】B【解析】【详解】，抛物线的对称轴为直线.当时，随的增大而减小，抛物线的开口向下，即.，随的增大而增大，则时，取得最大值；，即，解得或.又，.7.已知实数，满足，，且，则下列结论正确的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由条件可得为方程的两个相异的实数根，根据根与系数关系可得，，由此可判断结论.【详解】因为，，且，所以为方程的两个相异的实数根，即为方程的两个相异的实数根，所以，，所以，，所以选项C正确.8.已知，，，下列关于，，之间的数量关系式中，不正确的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【详解】对于选项：，故，正确；对于选项：，，故，即，正确；对于选项：，，故，错误；对于D选项：，，故，即，正确.9.二次函数的图象在平面直角坐标系中的位置如图所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴位置及与轴交点位置确定的符号，进而判断一次函数与反比例函数图象的特征.【详解】由二次函数的图象可知，抛物线开口向下，所以．又因为抛物线的对称轴在轴右侧，所以，所以，由于抛物线与轴的交点在轴上方，所以，所以对于一次函数，因为，所以该函数图象经过第一、二、四象限，对于反比例函数，因为，所以该函数图象位于第一、三象限，观察各选项，只有C选项符合题意．故C正确．10.如图，菱形的边长为2，以为圆心，长为半径作弧，分别与，交于，两点，若与的长之比为，则的长为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【详解】∵四边形是菱形，∴，，．连接．由题意知，圆弧是以为圆心，长为半径，∴．∵，，∴与均为等腰三角形，∴，．∴，，∴．设，则．∵与的长之比为1：2，且半径相等，∴，即．∴．在中，．∵，∴．∴，解得．∴．∴的长为．11.如图1，在中，是边的中点．点在斜边上，从点出发，运动到点时停止，设为，为，如图2，关于的函数图象与轴交于点，且经过和最高点两点．下列选项正确的是（）A. B. C. D.的最小值为【答案】B【解析】【分析】当点与点重合时，可得出，可求出的长，过点作，垂足为点，利用勾股定理可知关于的函数为二次函数，结合题意求出二次函数图象的对称轴方程，可得出的长，结合二次函数图象的最高点可得出，由可求出的值，进而可判断AC选项；当点与点重合时，取最小值，结合勾股定理求出的最小值，可判断D选项；可得出二次函数图象的顶点坐标，将点的坐标代入二次函数的关系式，求出参数值，可得出二次函数的关系式，再将点的坐标代入二次函数的关系式，可求出的值，即可判断B选项.【详解】当点与点重合时，，此时，则，过点作，垂足为点，如下图所示：设，，则，，当时，，由勾股定理可得；当时，，，综上所述，关于的函数为二次函数，其关系式为，二次函数的图象过点、，则该二次函数图象的对称轴为直线，图象开口向上，结合图象可知，当时，取最小值，即取最小值，此时，即当点与点重合时，取最小值，故，由二次函数的增减性可知，当时，随着的增大而增大，因为关于的函数图象的最高点为，结合图象可知，在和，由锐角三角函数的定义知，即，整理可得，易知，解得，C错；，故，A错；易知点、，二次函数的对称轴为直线，由前面分析可知，当时，即当点与点重合时，取最小值，则，且最小值为，故二次函数图象的顶点坐标为，可设二次函数的关系式为，将点的坐标代入二次函数的关系式可得，解得，故二次函数的关系式为，因为，则，B对，D错.二．填空题（共4小题，满分24分）12.已知，且，则的值为______．【答案】16【解析】【详解】由，得，由于，因此，故，代入，可得，把代入，得，当时，，方程化为，解得，代入得，符合取值要求；当时，，方程化为，矛盾，无实数解.综上得唯一解，，因此.13.如图，四边形内接于，，连结，，若△与△的面积相等，则的长为______．【答案】【解析】【分析】利用三角形面积公式及公共底边得出到的距离相等，进而证得被平分，结合圆周角定理证明求解．【详解】如图，设与交于点，分别过点作，垂足分别为．因，则

，即．在和中，由可得≌，则得

，即为的中点，.因

，则

．又因,故，

又因,则得，则

，即，又因,则,故.14.如图，热气球探测器显示，从热气球处测得一栋楼顶部处的仰角是，测得这栋楼的底部处的俯角是，热气球与这栋楼的水平距离是米，那么这栋楼的高度是__米（精确到米）．（参考数据：，，，【答案】【解析】【分析】根据题意，建立几何模型，结合三角函数的定义即可求解.【详解】根据题意，得示意图如下，作交于，已知，，，根据三角函数的定义，有，，所以，即这栋楼的高度是米.15.如图，在长方形中，,,分别是边上的动点，且，则的最小值为______．【答案】【解析】【分析】先设，再根据勾股定理，用表示出，再通过式子中的几何意义，根据“将军饮马”模型解决即可.【详解】设，在长方形中，,，，又，∴，∴，这个式子的几何意义是轴上的动点，到点与点的距离之和，如图，作关于轴对称点，则，则，∵两点之间线段最短，∴最小值就是线段的长，即.三．解答题（共4小题，满分60分）16.共享单车是高校学生最喜爱的“绿色出行”方式之一，某高校为了解本校学生出行使用共享单车的情况，随机调查了部分学生出行使用共享单车的情况，并整理成如下统计表：使用次数012345人数191413112根据以上信息，解答下列问题：（1）这组数据的中位数是，众数是；（2）若该校某天有2000名学生出行，请你估计这天使用共享单车的次数在4次及4次以上的学生人数．【答案】（1）3，2（2）520【解析】【小问1详解】样本总人数为(人)，则中位数是排序后第25个和第26个数据的平均数.由表可知，第25个数据和第26个数据对应的使用次数均为3，则中位数为.由表可知，使用次数为2次的人数最多（14人），则众数为2.【小问2详解】由表可知，样本总人数为(人)，使用共享单车次数在4次及4次以上的人数为(人)；估计该校2000名学生中，使用共享单车的次数在4次及4次以上的学生人数为(人).答：估计这天使用共享单车的次数在4次及4次以上的学生人数为520人.17.如图，一次函数的图象与x轴交于点C，交y轴于点D（点C与点D不重合），与反比例函数的图象交于，B两点，已知．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）点是x轴上一点，若的面积是面积的6倍，求点P的坐标．【答案】（1）一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为（2）点的坐标为或【解析】【分析】（1）将点坐标代入一次函数求出，进而求出，再利用建立关于的方程求解；（2）先求出的面积，根据面积倍数关系列出关于的方程求解．【小问1详解】因为点在一次函数的图象上，则有，即点的坐标为．又因点在反比例函数的图象上，则有，即反比例函数的解析式为．对于一次函数，令，得，则，令，得，解得，则．，且点与点不重合，，且，，则得，即，经检验符合题意，故一次函数的解析式为．反比例函数的解析式为．【小问2详解】由（1）得，代入可得点，点，则，．则，因点是x轴上一点，又点，则．点的坐标为，点到轴的距离为，即边上的高为．又因，则，即，解得或．点的坐标为或．18.在平面直角坐标系中，已知抛物线为为常数，．（1）当时，求抛物线的顶点坐标；（2）将抛物线向下平移个单位后与轴交于、两点，求的长；（3）当时，的最大值与最小值之差为，求的取值范围．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）当时，结合配方法可得出抛物线的顶点坐标；（2）求出平移后所得函数的关系式，解方程，即可得出的长；（3）分、两种情况讨论，分析二次函数在时的增减性，求出的最大值与最小值，根据可得出与的关系式，即可求出实数的取值范围.【小问1详解】当时，函数关系式为，此时抛物线的顶点坐标为.【小问2详解】设点、，将抛物线向下平移个单位后得到的函数的关系式为，解方程，因为，故原方程为，解得，，此时.【小问3详解】因为，二次函数的图象开口向下，对称轴为直线，因为，则，①当时，则，此时随着的增大而增大，所以，，所以，解得，符合题意；②当时，若时，则随着的增大而增大，若时，则随着的增大而减小，当时，取最大值，即，当时，，当时，，因为，所以，故，所以，所以，因为，则，则，所以，即，解得.综上所述，.19.如图1，在△中，点，分别在，边上，连结，，，，，平分．（1）求证：．（2）若，，求．（3）如图2，过点作的垂线交延长线于点，作，垂足为，求的值．【答案】（1）因为，所以，又因为平分，所以，所以，在和中，，所以，所以，所以，即；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）根据等边对等角结合角平分线的性质证明，从而证得，根据全等三角形的性质即可得证；（2）过点作交于点，通过证明，根据等腰三角