河南省部分高中2026-2027学年高二上学期9月联考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页河南省部分高中2026-2027学年高二上学期9月联考数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知点M在z轴上，且点M到点A(1,0,2)与到点B(1,−3,1)的距离相等，则点M的坐标为(

)A.(0,0,3) B.(0,0,−3) C.(0,0,−2) D.(0,0,2)2.在三棱锥P−ABC中，AB=BC=AC=3，PA=PB=PC=2，则三棱锥P−ABC的体积是(

)A.94 B.334 C.3.用平行于底面的平面截高为3的正四棱锥，该棱锥底面边长为6，截面面积为4，则截去一个小四棱锥后剩下几何体的侧面积为(

)A.32 B.72 C.322 4.已知一个圆台的上、下底面半径分别为1和4，若该圆台内部存在一个与上下底面和侧面都相切的球，则该圆台的体积为(

)A.19π3 B.763π C.28π5.在直四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱AA1=2A.1313 B.32626 6.由斜二测画法得到的一个水平放置的▵ABO的直观图▵A′B′O′是如图所示的等腰三角形，其中A′B′=B′O′=2，底角为30∘，则在水平放置图中，▵ABOA.22 B.23 C.7.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠ABC=π2，D是棱AC的中点，且A.22 B.23 C.8.如图，在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，上底面A1B1C1DA.若平面ADE∩平面BCE=l，则CC1⊥l

B.当CE=2时，点E的轨迹长度为π2

C.若E是D1B1上一动点，则AE+C1E的最小值为二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知直线m，n和平面α，β，能使m⊥α的充分条件是(

)A.∀n⊂α，m⊥n B.α//β，m⊥β

C.α⊥β，m//β D.α⊥β，α∩β=n，m//β，m⊥n10.下列说法正确的有(

)A.若a,b,c是空间的一个基底，则a+c,a−b,a也是空间的一个基底

B.在三棱锥O−ABC中，OA+AB−CB=CO

C.11.将一副直角三角板按图1所示的方式拼接，从中抽象出图2所示的平面四边形ABCD，其中∠BAD=60∘，∠ABD=90∘，AB=2，BC=CD.现将▵BCD沿着BD折起，连接AC，得到图3所示的三棱锥C−ABD，AD，BD的中点分别为E，F.记二面角C−BD−A的平面角为θ，下列结论正确的是(

)A.CE⊥BD

B.存在θ使得直线AB与CE所成的角为90∘

C.当θ=90∘时，三棱锥C−ABD的外接球表面积为4π

D.当θ=30三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知平面α的一个法向量为u=1,2,−1，平面β的一个法向量为v=λ2,2,8，若α⊥β，则13.已知正六棱锥的底面边长为3，高为3，则该正六棱锥的外接球的体积为

．14.如图，在棱长为3的正四面体P−ABC中，M是棱PB上一点，且PM=2MB，过点M作平面α，PC//α，且平面α分别交AP，BC，AC于点N，G，H.若四边形MNHG的周长为7，则NH=

．

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

如图，已知平面四边形ABCP中，D为PA的中点，PA⊥AB，CD//AB，且PA=CD=2AB=4.将此平面四边形ABCP沿CD折成直二面角P−DC−B，连接PA、PB，设点E是棱PC上的一点．

(1)若PC=3PE，证明：AP//平面BDE；

(2)若E为PC的中点，求直线BE与平面PAB16.(本小题15分)如图，底面由矩形ABCD与以AD为直径的半圆拼接而成，已知PA⊥底面ABCD，且BC=2PA=2，AB=3.点E为半圆弧AD上的动点(不与A、D(1)证明：DE⊥平面PAE；(2)若二面角P−DE−A的夹角为30∘，求平面PBC与平面PDE17.(本小题15分)如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，(1)求证：BD⊥AC(2)求AC(3)求AC1与A18.(本小题17分)如图，在四棱锥P−ABCD中，▵PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，BC//AD，CD⊥AD，AD=2DC=2BC=2，PC=3，E为(1)证明：CE//平面PAB；(2)求平面PBC与平面PCD的夹角；(3)棱PD上是否存在点Q，使得点Q到平面PAB的距离是41545？若存在，求出19.(本小题17分)空间直角坐标系O−xyz中，任何一个平面的方程都能表示成Ax+By+Cz+D=0(其中A，B，C，D∈R，A2+B(1)若平面α:x+y+z=2，β:mx+y+z=2，且α⊥β，求实数m的值；(2)请利用法向量和投影向量的相关知识证明：点Px0,y0,z0到平面Ax+By+Cz+D=0的距离为(3)记集合T=x,y,zx+y≤2,y+z≤2,1.【答案】B

2.【答案】D

3.【答案】C

4.【答案】C

5.【答案】B

6.【答案】A

7.【答案】D

8.【答案】D

9.【答案】ABD

10.【答案】ACD

11.【答案】ABD

12.【答案】±2

13.【答案】32π314.【答案】2+215.【答案】证明：折叠前，因为PA⊥AB，CD/​/AB，

所以PA⊥CD，所以PD⊥CD，AD⊥CD，

折叠后，PD⊥CD，AD⊥CD仍然成立，

又因为二面角P−DC−B为直二面角，

所以PD⊥AD，

建立如图所示的空间直角坐标系D−xyz，

由已知条件可知D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,4,0)，P(0,0,2)，

则AB=(0,2,0)，DB=(2,2,0)，AP=(−2,0,2)，

因为PC=3PE，所以E(0,43,43)，DE=(0,43,43)，

设平面BDE的法向量为m=(x1,y1,z1)，

则m⋅DB=2x1+216.【答案】解：(1)证明：因为点E在以AD为直径的半圆上(不与A、D两点重合)，故DE⊥AE，又因PA⊥底面ABCD，DE⊂平面ABCD，有PA⊥DE．因为AE∩PA=A，AE、PA⊂平面PAE，所以DE⊥平面PAE．(2)因为DE⊥平面PAE，PE⊂平面PAE，所以DE⊥PE，又因为DE⊥AE，所以二面角P−DE−A的平面角为∠PEA，即∠PEA=30因为PA⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD，所以PA⊥AE，因为PA=1，所以PE=2PA=2，AE=又因为AD=BC=2，所以DE=以点A为坐标原点，AB、AD、AP分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系．则A0,0,0、D0,2,0、P0,0,1、E−所以DE=−32,−1设平面PDE的一个法向量为m=则m⋅DE=−3设平面PBC的一个法向量为n=则n⋅BC=2y2所以cosm所以平面PBC与平面PDE所成夹角的余弦值为58

17.【答案】解：(1)由题意知BD=AD−因为AB=AD=2,AA则AD⋅所以BD==0+4+3−4−0−3=0，所以BD⊥AC(2)由(1)知AC所以AC=4+4+9+0+2×3+2×3=29，所以AC(3)因为A1所以A=又A==0+4+3−3−3−3所以cosA所以AC1与A1

18.【答案】解：(1)证明：取AD中点O，连接PO，OC．▵PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，∴PO⊥AD，PO=1，OD=OA=1．BC//AD，BC=1，CD⊥AD，四边形OBCD是矩形，OC=PC=3，POOC∩AD=O，OC、AD⊂底面ABCD，故PO⊥底面ABCD．以O为原点，OB为x轴，OD为y轴，OP为z轴建立空间直角坐标系．O0,0,0，C(1,1,0)，D(0,1,0)，A(0,−1,0)，B(1,0,0)，P0,0,1，E为PD中点：CE=−1,−12,设平面PAB法向量n1n令y=1，则z=−1，代入得x+1=0⇒x=−1，n1CE⋅∴CE⊥n1，又CE⊄平面PAB，故(2)PB=(1,0,−1)设平面PBC法向量n2n2⋅PB=x−z=0n2⋅PC=(1,1,−1)，CD设平面PCD法向量n3n3⋅PC=x+y−z=0n3⋅cosθ=

平面PBC与平面PCD的夹角为60(3)PD=(0,1,−1)，设PQ=λPD，平面PAB法向量n1=(−1,1,−1)，取平面内点P0,0,1点Q到平面PAB距离：d=|PQ⋅解得λ=2515∈0,1，所以存在点Q，使得点此时Q点坐标为Q0,|PD|=

19.【答案】解：(1)根据题意，平面α的法向量n1=1,1,1，平面β所以n1⋅n(2)不妨设C≠0，在平面Ax+By+Cz+D=0内取一点Q0,0,−DC取平面Ax+By+Cz+D=0的一个法向量n=所以点Px0,y对于Q=x,y,z当x，y，z>0时，x+y+z=2表示经过2,0,0，0,2,0，0,0,2的平面在第一象限的部分．由对称性可知U表示±2,0,0，0,±2,0，0,0,±2这六个顶点形成的正八面体．法1：设内切球的半径为r，则r即为原点O到平面x+y+z=2的距离，则r=0+0+0+21法2：考虑Q′=x,y,z即为三个坐标平面与x+y+z=2围成的四面体，其四个顶点分别为0,0,0，2,0,0，0,2,0，0,0,2，此四面体的体积为VQ′=13×2×设内切球的半径为r，正八面体U的表面积为S=8×1所以V1=13S×r=(3)由(2)可知Q=x,y,zx+y+z=2其在第一卦限的形状为正三棱锥，如图其中OA、OB、OC两两垂直，且OA=OB=OC=2．集合T=x,y,zx+y≤2,y+z≤2,其在第一卦限内的部分T′=x,y,zx+y≤2,y+z≤2,z+x≤2的图形如图如图2，就是把图1