5.5.4经济与集合问题 课件 -2026-2027学年浙教版数学七年级上册

#浙教版数学七年级上册5.5.4经济与集合问题专项练习（1321字）##一、核心知识点梳理本节两大题型：**经济（销售利润）问题**、**集合（容斥原理）问题**。###经济问题基础公式-利润=售价−进价（成本）-利润率=$\dfrac{利润}{进价}\times100\%$-售价=标价×折扣（打几折就乘零点几，八折就是标价×0.8）###集合（容斥原理，两个集合）总数量=A集合数量+B集合数量−A、B重叠部分数量理解：重叠部分被重复算了两次，要减去一次。列方程解应用题七步：审、设、找、列、解、验、答。高频易错点：经济问题，折扣直接乘标价不是进价；混淆“利润”和“利润率”；容斥问题忘记减去重叠部分；设未知数不带单位；结果要符合实际，商品数量、人数不能为负数或小数。经济、容斥是期末大题高频考点。##二、专项练习题###（一）选择题（每题4分，共20分）1.一件商品进价100元，标价150元，打八折出售，则售价为（）A.100元B.120元C.140元D.150元2.一件商品进价80元，售价100元，利润是（）A.20元B.80元C.100元D.180元3.班级一共45人，参加美术22人，参加音乐25人，两项都参加$x$人，容斥方程（）A.$\(22+25+x=45\)$B.$22+25-x=45$C.$22+x-25=45$D.$25-x=45$4.一件商品标价200元，打九折销售，仍获利50元，设进价$x$元，方程（）A.$200\times0.9-x=50$B.$200-x\times0.9=50$C.$200\times0.9=x-50$D.$200\times9-x=50$5.对容斥原理说法正确的是（）A.两类人数相加直接等于总人数B.重叠部分重复计算，要减去C.重叠部分需要再加一遍D.总人数一定等于两类人数之差###（二）填空题（每题4分，共20分）1.利润=售价−________。2.标价300元，打七五折，售价是________元。3.一个班40人，参加跑步21人，参加跳绳24人，两项都参加的有________人。4.商品进价200元，售价260元，利润是________元。5.两个集合容斥公式：总数=A数量+B数量−________。###（三）解答题（共60分）1.（15分）一件商品标价为300元，打八折销售后仍可获利40元，求这件商品的进价。2.（15分）七年级某班共有学生48人，参加围棋社团的有26人，参加象棋社团的有28人，每人至少参加一个社团。求两个社团都参加的人数。3.（15分）一件商品进价150元，标价225元，商店打折出售，要保证利润不低于30元，最低可以打几折？4.（15分）简述销售利润三个核心公式、两集合容斥公式；举例说明两类典型错误：①折扣误乘进价；②容斥问题忘记减去重叠部分。##三、参考答案与解析选择题：1.B2.A3.B4.A5.B解析：八折：$150\times0.8=120$；利润=售价−进价；容斥：A+B−重叠=总数。填空题：1.进价；2.$225$；3.$5$；4.$60$；5.重叠部分数量。解析：$21+24-40=5$；$260-200=60$。解答题：1.解：设商品进价为$x$元。$300\times0.8-x=40$$240-x=40$$\(x=200\)$答：这件商品进价200元。2.解：设两个社团都参加的有$x$人。$26+28-x=48$$54-x=48$$\(x=6\)$答：两个社团都参加的有6人。3.解：设最低打$x$折。$225\times0.1x-150=30$$\(22.5x=180\)$$\(x=8\)$答：最低打8折。4.核心公式：利润=售价−进价；利润率=$\dfrac{利润}{进价}\times100\%$；售价=标价×折扣；两集合容斥：总数量=A数量+B数量−重叠数量。错误①：标价300元，八折，错写成$300\times0.8-x=40$写成$300-x\times0.8=40$，折扣是对标价打折，不是进价。错误②：全班48人，围棋26人，象棋28人，错写成$\(26+28=48\)$，忽略有同学两项都参加，这部分被重复加了，必须减去重叠人数。##小结经济题抓住：折扣乘标价，利润是售价减成本；容斥题记住：两类相加，减去重叠等于总数。高频易错坑：打折计算时小数点搞错；容斥原理分不清什么时候加、什么时候减；检验答案，人数、商品价格不能为负数。到这里一元一次方程应用题全部题型学完，接下来就是**期末综合复习卷**，要不要继续保持这套格式？浙教版（新教材）数学七年级上册5.5.4经济与集合问题授课教师：.

班

级：

7年级（

）班.

时

间：.

2026/10/4

学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。第五章一元一次方程教学目标：1、继续体验方程是刻画现实世界的有效的数学模型；

2、掌握利率、税率问题、集合问题的基本数量关系，进一步

掌握分析数量关系、列方程的方法；

3、会用面积法分析应用题中的数量关系．02新知导入某商场在国庆节期间，开展商品促销活动.该商场将某型号的电脑按进价提高50%后，以打8折再送50元路费的方式销售，每台电脑仍获利350元，问每台电脑的进价是多少元?02新知导入“双11”期间，各个电商平台、网络店铺都展开了促销活动，小黄是一家服装网店的店主，为了吸引顾客搭配了的一套套装进行促销，上衣是裤子进价两倍，其中上衣标价1240元，裤子标价560元，商家盘算着如果按自己的促销活动买一套打八折还能赚20%，请问上衣的进价是多少?思考：销售问题应如何作解？02新知导入解:设上衣的进价是2x元，裤子的进价是x元.由题意，得(1240+560)×0.8-2x-x=(2x+x)·20%，解得x=400，则2×400=800(元).答:上衣的进价是800元.02新知导入

02新知导入分段计费问题常见类型:我国公民个人所得税按分段累进税制计算;为鼓励节约用水、用电、用气，水费、电费、燃气费实行分段收费标准;解决这些分段问题的关键是理顺部分与整体的关系:①各段费用之和=总费用；②每一段的计费标准不同。02新知导入

利息问题：(1)本金×利率×期数=利息;(若未特别说明，银行定期存款的利率是指年利率，期数是年数)(2)本金+利息=本息和;本息和=本金×(1+利率×期数).02新知导入容斥原理:容斥原理是解决计数问题的重要方法，在计数时要求注意无一重复无一遗漏，为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。常见的容斥问题有两者容斥、三者容斥两种。知识过关①售价×毛利率＝售价－

进价

.②毛利润＝售价－进价.③利息＝本金×

利率

×

存期

.进价利率存期

经济问题1.

某种商品进价为100元，标价为200元后再打8折销售，则

利润为(

B

)A.50元B.60元C.70元D.80元B12345678910111213142.

某商场购进一批服装，每件进价为200元，由于换季

滞销，商场决定将这批服装按标价的八折销售.若打折

后每件服装仍能获利30％，则这批服装每件的标价

为

元.3.

小杰将今年春节收到的2

500元压岁钱的80％存入银行，

存期一年，到期后得到2

050元，那么这项储蓄的年利率

是

⁠.325

2.5％

12345678910111213144.

[2024·宁波期末]一种商品每件按进价的1.5倍标价，再降

价15元售出后每件可以获得30％的利润，那么该商品每件

的进价为

元.75

123456789101112131402新知导入例：03新知讲解

03新知讲解如果设进价为x元，那么根据前两个数量关系，就能用含x的代数式表示售价。然后根据第三个数量关系列方程、求解。解：设一副该款无线耳机的进价为x元，则售价为［（1+30%）x－15］元。根据题意，得（1＋30%）x－15－x＝［（1＋30%）x－15］×20%，解得x＝300。所获得的毛利润为300×30%－15＝75（元）。答：销售一副该款耳机所得的毛利润是75元。03新知讲解用一元一次方程解决实际问题时，可以先用文字表述数量关系，再将其中的一个未知量设为未知数，把其他的未知量用含该未知数的代数式表示，根据相等关系列出方程。03新知讲解▶例8七年级二班有45人报名参加了文学社或书画社。已知参加文学社的人数比参加书画社的人数多5人，两个社都参加的有20人。问：参加书画社的有多少人？分析：我们可通过画示意图来分析数量关系。在图中，左边圆的面积表示参加书画社的人数，右边圆的面积表示参加文学社的人数，则两圆公共部分的面积表示两个社都参加的人数。03新知讲解根据图中的面积关系，有下面的相等关系：根据上面的分析，可列方程求解。解：设参加书画社的有x人，那么参加文学社的有（x＋5）人。根据题意，得x＋(x＋5)－20＝45。解这个方程，得x＝30。答：参加书画社的有30人。哪一部分的面积表示只参加文学社的数？想一想【解】设这种商品的成本价是x元，根据题意得(1＋40％)x×0.8＝224，解得x＝200.答：这种商品的成本价是200元.5.

[2024·西安新城区三模]红星超市将某种商品按成本价提高

40％后标价，端午期间为答谢顾客，这种商品打八折销

售，售价为224元，这种商品的成本价是多少元？(列方程

解决问题)1234567891011121314

集合问题6.

九(3)班的50名同学进行物理、化学两种实验测试，经最

后统计知：物理实验做对的有40人，化学实验做对的有31

人，两种实验都做错的有4人，则这两种实验都做对的有

(

C

)A.17人B.21人C.25人D.37人C12345678910111213147.

七年级参加体育小组和舞蹈小组的共有30人，其中参加体

育小组的有18人，参加舞蹈小组的有20人，两个小组都参

加的有

人.8

12345678910111213148.

[2024·北京朝阳区月考]为让学生们感受书香文化，学校组

织学生们去省图书馆阅读，计划将学生分若干小组管理，

每个小组由一位教师带领.若每位教师带19名学生，则剩

余26名学生；若每位教师带20名学生，则最后一位教师只

需带5名学生.求此次带队的教师人数.1234567891011121314【解】设此次带队的教师有x人，根据题意得19x＋26＝20(x－1)＋5，解得x＝41.答：此次带队的教师有41人.1234567891011121314[易错题]因混淆“部分”与“整体”而出错9.

[情境题·商场购车]“盛中”商场为了促销新上市的新款A

牌汽车，决定2024年“国庆节”期间购买该车者可以分两

期付款：在购买时先付一笔款，余下部分及它的利息(年

利率为8％)在2025年“国庆节”付清.已知该汽车每辆售

价为74

074元，若购车者的两次付款恰好相同，则每次应

付款约多少元？(结果保留整数)1234567891011121314【解】设每次应付款x元，根据题意得(74

074－x)＋(74

074－x)×8％＝x，解得x＝38461.5≈38

462.答：每次应付款约38

462元.123456789101112131410.

[2024·深圳南山区期末]某种商品原先的利润率为20％，

为了促销，现降价20元销售，此时利润率下降为10％.那

么这种商品的进价是(

D

)A.20元B.100元C.150元D.200元D123456789101112131411.

[2024·东莞期末]某种商品的进价为120元，出售时标价为

180元，后来由于商品积压，商店打折出售，打折后利润

率为20％，则该商品打了

折销售.八123456789101112131412.

[母题

教材P153作业题T6]如图所示，每个圆纸片的面积

都是30.圆纸片A与B、B与C、C与A的重叠部分面积

分别为6，8，5.三个圆纸片覆盖的总面积为73.则三个圆

纸片重叠部分的面积为

，图中阴影部分的面积

为

.

2

58

123456789101112131413.

[新考法·表格信息法][2024·杭州期末]某商店用70

000元

的资金购进A，B两种商品共600件.类型进价(元/件)标价(元/件)A150220B1001501234567891011121314(1)求A商品购进的数量；【解】设A商品购进的数量为x件，则B商品购进的

数量为(600－x)件，由题意得150x＋100(600－x)＝70

000，解得x＝200.答：A商品购进的数量为200件.1234567891011121314(2)商店为了促销，决定推出优惠活动，A商品在标价的

基础上打8折，B商品在标价的基础上打9折.当600件

商品销售完时，求商店获得的总利润.(总利润＝总售

价－总进价)【解】220×0.8×200＋150×0.9×(600－200)－70

000＝19

200(元).答：商店获得的总利润为19

200元.123456789101112131414.

[2024·南宁月考]小李在“双十一”期间逛超市，看到如

下两家超市的促销信息：甲超市：全场均按八八折优惠；乙超市：购物不超过200元，不给予优惠；超过了200

元，其中的200元打九折，超过200元的部分打八折.已知两家超市相同商品的标价都一样.1234567891011121314(1)当一次性购物总额是300元时，甲、乙两家