第三章 函数的概念与性质 单元质量测评（含解析）高中数学 人教A版（2019）必修 第一册

第三章单元质量测评eq\a\vs4\al()时间：120分钟eq\a\vs4\al()满分：150分一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．函数f(x)＝eq\r(1＋x)＋eq\f(1,x)的定义域是()A．[－1，＋∞)B．(－∞，0)∪(0，＋∞)C．[－1，0)∪(0，＋∞)D．R2．设集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|1≤y≤2}，下列图形表示集合A到集合B的函数的图象的是()3．下列各组函数中，表示同一个函数的是()A．y＝1，y＝x0 B．y＝x－1，y＝eq\f(x2－1,x＋1)C．y＝x，y＝eq\r(3,x3) D．y＝|x|，y＝(eq\r(x))24．在股票买卖过程中，经常用两种曲线来描述价格变化情况：一种是即时价格曲线y＝f(x)，另一种是平均价格曲线y＝g(x)，如f(2)＝3表示股票开始买卖后2小时的即时价格为3元；g(2)＝3表示2小时内的平均价格为3元．下面给出了四个图象，实线表示y＝f(x)，虚线表示y＝g(x)，其中可能正确的是()5．已知函数y＝f(x)的定义域为R，值域为[－1，2]，则下列函数中值域也为[－1，2]的是()A．y＝2f(x)＋1 B．y＝f(2x＋1)C．y＝－f(x) D．y＝|f(x)|6．设f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\r(x)，0<x<1，,3（x－1），x≥1，))若f(m)＝f(m＋1)，则m＝()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,9) D.eq\f(1,16)7．已知定义在[a－1，2a]上的偶函数f(x)，且当x∈[0，2a]时，f(x)单调递减，则关于x的不等式f(x－1)>f(2x－3a)的解集是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2,3))) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,6)，\f(5,6)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(2,3))) D.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(5,6)))8．(新课标Ⅰ卷)已知函数f(x)的定义域为R，f(x)>f(x－1)＋f(x－2)，且当x<3时，f(x)＝x，则下列结论中一定正确的是()A．f(10)>100 B．f(20)>1000C．f(10)<1000 D．f(20)<10000二、选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)9．如图是函数f(x)的图象，则下列说法正确的是()A．f(0)＝2B．函数f(x)的定义域为[－2，2]C．函数f(x)的值域为[－3，2]D．若f(x)＝0，则x＝eq\f(1,2)或210．如果幂函数f(x)＝mxα的图象过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(1,4)))，则下列说法正确的是()A．m＝1且α＝－2B．f(x)是偶函数C．f(x)是减函数D．f(x)的值域为(0，＋∞)11．已知函数f(x)对任意x，y∈R都有f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)，且f(0)≠0，则下列结论正确的是()A．f(x)为偶函数B．若f(3)＝0，则f(6)＝0C．f(2x)＝[f(x)]2－2D．若f(1)＝0，则f(x＋4)＝f(x)三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)12．函数y＝eq\f(x＋2,x－3)，x∈[4，8]的值域为________．13．已知偶函数f(x)和奇函数g(x)均定义在R上，且满足f(x)＋g(x)＝3x2－eq\f(4x,x2＋9)＋5，则f(－1)＝________．14．记max{x，y，z}表示x，y，z中的最大者，设函数f(x)＝max{－x2＋4x－2，－x，x－3}，则f(2)＝________；若f(m)>1，则实数m的取值范围是________________．四、解答题(本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分13分)已知f(x)＝eq\f(ax,x2＋1)(a≠0)．(1)判断f(x)的奇偶性；(2)当a＞0时，判断f(x)在[1，＋∞)上的单调性，并给出证明．16．(本小题满分15分)已知函数f(x)＝x－[x]，x∈[－1，2)，其中[x]表示不超过x的最大整数，例[－3.05]＝－4，[2.1]＝2.(1)将f(x)的解析式写成分段函数的形式；(2)作出函数f(x)的图象；(3)根据图象写出函数f(x)的值域和单调区间．17．(本小题满分15分)已知幂函数y＝f(x)的图象过点(2，eq\r(2))．(1)求出函数y＝f(x)的解析式，判断并证明y＝f(x)在[0，＋∞)上的单调性；(2)函数g(x)是R上的偶函数，当x≥0时，g(x)＝f(x)，求满足g(1－m)≤eq\r(5)的实数m的取值范围．18．(本小题满分17分)近年来，伴随着骑行运动的蓬勃兴起，越来越多的体育爱好者投身于骑行的行列中．科学研究表明：骑行运动一般分为两个阶段，第一阶段为前1小时的稳定阶段，第二阶段为调整阶段．现一体重为60千克的专业骑行运动员进行4小时骑行训练，假设其稳定阶段是速度为v1＝40km/h的匀速运动，该阶段每千克体重消耗体力ΔQ1＝t1×1.5v1(t1表示该阶段所用时间)，调整阶段由于体力消耗过大，速度变为v2＝40－10t2的减速运动(t2表示该阶段所用时间)．调整阶段速度降低，体力得到一定恢复，该阶段每千克体重消耗体力ΔQ2＝eq\f(t2×1.5v2,t2＋1)，已知该运动员的初始体力为Q0＝9600kJ，不考虑其他因素，所用时间为t(单位：h)，请解决下列问题：(1)请写出该运动员的剩余体力Q关于时间t的函数Q(t)；(2)该运动员在4小时内何时体力达到最低值，最低值为多少？19．(本小题满分17分)已知函数f(x)＝－x2＋mx－m.(1)若函数f(x)的最大值为0，求实数m的值；(2)若函数f(x)在[－1，0]上单调递减，求实数m的取值范围；(3)是否存在实数m，使得f(x)在[2，3]上的值域恰好是[2，3]？若存在，求出实数m的值；若不存在，说明理由．第三章单元质量测评eq\a\vs4\al()时间：120分钟eq\a\vs4\al()满分：150分一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．函数f(x)＝eq\r(1＋x)＋eq\f(1,x)的定义域是()A．[－1，＋∞)B．(－∞，0)∪(0，＋∞)C．[－1，0)∪(0，＋∞)D．R答案：C解析：要使函数有意义，需满足eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1＋x≥0，,x≠0，))即x≥－1且x≠0.2．设集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|1≤y≤2}，下列图形表示集合A到集合B的函数的图象的是()答案：D解析：A和B中y的取值范围是[0，2]，不符合题意；C中x的取值范围不是[0，2]，不符合题意；D中，0≤x≤2，1≤y≤2，且对于定义域中的每一个x值，都有唯一的y值与之对应，符合题意．3．下列各组函数中，表示同一个函数的是()A．y＝1，y＝x0 B．y＝x－1，y＝eq\f(x2－1,x＋1)C．y＝x，y＝eq\r(3,x3) D．y＝|x|，y＝(eq\r(x))2答案：C解析：对于A，y＝1的定义域为R，y＝x0的定义域为{x|x≠0}，两个函数的定义域不相同，不符合题意；对于B，y＝x－1的定义域为R，y＝eq\f(x2－1,x＋1)的定义域为{x|x≠－1}，两个函数的定义域不相同，不符合题意；对于C，y＝eq\r(3,x3)＝x，所以两个函数是同一个函数，符合题意；对于D，y＝|x|的定义域为R，y＝(eq\r(x))2的定义域为{x|x≥0}，两个函数的定义域不相同，不符合题意．故选C.4．在股票买卖过程中，经常用两种曲线来描述价格变化情况：一种是即时价格曲线y＝f(x)，另一种是平均价格曲线y＝g(x)，如f(2)＝3表示股票开始买卖后2小时的即时价格为3元；g(2)＝3表示2小时内的平均价格为3元．下面给出了四个图象，实线表示y＝f(x)，虚线表示y＝g(x)，其中可能正确的是()答案：C解析：根据即时价格与平均价格的相互依赖关系，可知，当即时价格升高时，对应平均价格也升高；反之，当即时价格降低时，对应平均价格也降低，故C中的图象可能正确．5．已知函数y＝f(x)的定义域为R，值域为[－1，2]，则下列函数中值域也为[－1，2]的是()A．y＝2f(x)＋1 B．y＝f(2x＋1)C．y＝－f(x) D．y＝|f(x)|答案：B解析：函数y＝f(x)的定义域为R，值域为[－1，2]，即－1≤f(x)≤2.对于A，y＝2f(x)＋1的值域为[－1，5]，所以A不符合题意；对于B，y＝f(2x＋1)的值域为[－1，2]，所以B符合题意；对于C，y＝－f(x)的值域为[－2，1]，所以C不符合题意；对于D，y＝|f(x)|的值域为[0，2]，所以D不符合题意．6．设f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\r(x)，0<x<1，,3（x－1），x≥1，))若f(m)＝f(m＋1)，则m＝()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,9) D.eq\f(1,16)答案：C解析：由题意可知m>0，当0<m<1时，m＋1>1，所以由f(m)＝f(m＋1)得eq\r(m)＝3m，解得m＝eq\f(1,9)；当m≥1时，m＋1>1，所以由f(m)＝f(m＋1)得3(m－1)＝3m，无解．综上，m＝eq\f(1,9).故选C.7．已知定义在[a－1，2a]上的偶函数f(x)，且当x∈[0，2a]时，f(x)单调递减，则关于x的不等式f(x－1)>f(2x－3a)的解集是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2,3))) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,6)，\f(5,6)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(2,3))) D.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(5,6)))答案：D解析：由题意知a－1＋2a＝0，故a＝eq\f(1,3)，f(x)的定义域为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，\f(2,3)))，当x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(2,3)))时，f(x)单调递减，又f(x)是偶函数，因此不等式f(x－1)>f(2x－3a)转化为f(|x－1|)>f(|2x－1|)，|x－1|<|2x－1|≤eq\f(2,3)，(x－1)2<(2x－1)2≤eq\f(4,9)，解得eq\f(2,3)<x≤eq\f(5,6).故选D.8．(新课标Ⅰ卷)已知函数f(x)的定义域为R，f(x)>f(x－1)＋f(x－2)，且当x<3时，f(x)＝x，则下列结论中一定正确的是()A．f(10)>100 B．f(20)>1000C．f(10)<1000 D．f(20)<10000答案：B解析：因为当x<3时，f(x)＝x，所以f(1)＝1，f(2)＝2，又因为f(x)>f(x－1)＋f(x－2)，则f(3)>f(2)＋f(1)＝3，f(4)>f(3)＋f(2)>5，f(5)>f(4)＋f(3)>8，f(6)>f(5)＋f(4)>13，f(7)>f(6)＋f(5)>21，f(8)>f(7)＋f(6)>34，f(9)>f(8)＋f(7)>55，f(10)>f(9)＋f(8)>89，f(11)>f(10)＋f(9)>144，f(12)>f(11)＋f(10)>233，f(13)>f(12)＋f(11)>377，f(14)>f(13)＋f(12)>610，f(15)>f(14)＋f(13)>987，f(16)>f(15)＋f(14)>1597>1000，则依次下去可知f(20)>1000，B正确；且无证据表明A，C，D一定正确．故选B.二、选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)9．如图是函数f(x)的图象，则下列说法正确的是()A．f(0)＝2B．函数f(x)的定义域为[－2，2]C．函数f(x)的值域为[－3，2]D．若f(x)＝0，则x＝eq\f(1,2)或2答案：CD解析：由图象知f(0)＝－2，故A错误；函数f(x)的定义域为[－3，2]，故B错误；函数f(x)的值域为[－3，2]，故C正确；若f(x)＝0，则x＝eq\f(1,2)或2，故D正确．故选CD.10．如果幂函数f(x)＝mxα的图象过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(1,4)))，则下列说法正确的是()A．m＝1且α＝－2B．f(x)是偶函数C．f(x)是减函数D．f(x)的值域为(0，＋∞)答案：ABD解析：∵f(x)为幂函数，∴m＝1，又f(x)的图象过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(1,4)))，∴2α＝eq\f(1,4)，解得α＝－2，A正确；∵f(x)＝x－2＝eq\f(1,x2)，∴f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，∴f(－x)＝eq\f(1,（－x）2)＝eq\f(1,x2)＝f(x)，∴f(x)为偶函数，B正确；当x∈(0，＋∞)时，f(x)单调递减，由偶函数的性质知，f(x)在(－∞，0)上单调递增，C错误；∵x2>0，∴eq\f(1,x2)>0，即f(x)的值域为(0，＋∞)，D正确．故选ABD.11．已知函数f(x)对任意x，y∈R都有f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)，且f(0)≠0，则下列结论正确的是()A．f(x)为偶函数B．若f(3)＝0，则f(6)＝0C．f(2x)＝[f(x)]2－2D．若f(1)＝0，则f(x＋4)＝f(x)答案：ACD解析：因为函数f(x)对任意x，y∈R都有f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)，且f(0)≠0，所以令x＝y＝0可得f(0)＋f(0)＝[f(0)]2，所以f(0)＝2，令x＝0，可得f(y)＋f(－y)＝f(0)f(y)＝2f(y)，所以f(y)＝f(－y)，所以f(x)为偶函数，故A正确；令x＝y＝3，可得f(6)＋f(0)＝f(3)f(3)，所以f(6)＝－2，故B错误；令y＝x可得f(2x)＝[f(x)]2－2，故C正确；若f(1)＝0，则f(x＋1)＋f(x－1)＝f(x)f(1)＝0，所以f(x＋1)＝－f(x－1)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，故D正确．故选ACD.三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)12．函数y＝eq\f(x＋2,x－3)，x∈[4，8]的值域为________．答案：[2，6]解析：由y＝eq\f(x＋2,x－3)＝eq\f(x－3＋5,x－3)＝1＋eq\f(5,x－3)，函数y＝1＋eq\f(5,x－3)在[4，8]上单调递减，所以当x＝4时，ymax＝1＋eq\f(5,4－3)＝6，当x＝8时，ymin＝1＋eq\f(5,8－3)＝2，所以函数y＝eq\f(x＋2,x－3)，x∈[4，8]的值域为[2，6]．13．已知偶函数f(x)和奇函数g(x)均定义在R上，且满足f(x)＋g(x)＝3x2－eq\f(4x,x2＋9)＋5，则f(－1)＝________．答案：8解析：∵偶函数f(x)和奇函数g(x)均定义在R上，∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，∵f(x)＋g(x)＝3x2－eq\f(4x,x2＋9)＋5，∴令x＝1，可得f(1)＋g(1)＝eq\f(38,5)，∴f(－1)－g(－1)＝eq\f(38,5)①，令x＝－1，得f(－1)＋g(－1)＝eq\f(42,5)②，①＋②得2f(－1)＝16，∴f(－1)＝8.14．记max{x，y，z}表示x，y，z中的最大者，设函数f(x)＝max{－x2＋4x－2，－x，x－3}，则f(2)＝________；若f(m)>1，则实数m的取值范围是________________．答案：2(－∞，－1)∪(1，3)∪(4，＋∞)解析：作出函数f(x)＝max{－x2＋4x－2，－x，x－3}的图象，如图所示．由图象知，f(2)＝－22＋4×2－2＝2.令－x2＋4x－2＝1，解得x＝1或x＝3；令－x＝1，解得x＝－1；令x－3＝1，解得x＝4.由图象知，当f(m)>1时，m<－1或1<m<3或m>4，所以实数m的取值范围是(－∞，－1)∪(1，3)∪(4，＋∞)．四、解答题(本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分13分)已知f(x)＝eq\f(ax,x2＋1)(a≠0)．(1)判断f(x)的奇偶性；(2)当a＞0时，判断f(x)在[1，＋∞)上的单调性，并给出证明．解：(1)f(x)的定义域为R，又f(－x)＝eq\f(－ax,（－x）2＋1)＝－eq\f(ax,x2＋1)＝－f(x)，故f(x)是奇函数．(2)f(x)在[1，＋∞)上单调递减．证明如下：∀x1，x2∈[1，＋∞)，且x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝eq\f(ax1,xeq\o\al(2,1)＋1)－eq\f(ax2,xeq\o\al(2,2)＋1)＝eq\f(a（x2－x1）（x1x2－1）,（xeq\o\al(2,1)＋1）（xeq\o\al(2,2)＋1）)，因为a＞0，1≤x1＜x2，所以x2－x1＞0，x1x2－1＞0，而(xeq\o\al(2,1)＋1)(xeq\o\al(2,2)＋1)>0，所以f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，所以f(x)在[1，＋∞)上单调递减．16．(本小题满分15分)已知函数f(x)＝x－[x]，x∈[－1，2)，其中[x]表示不超过x的最大整数，例[－3.05]＝－4，[2.1]＝2.(1)将f(x)的解析式写成分段函数的形式；(2)作出函数f(x)的图象；(3)根据图象写出函数f(x)的值域和单调区间．解：(1)当－1≤x<0时，[x]＝－1，所以f(x)＝x＋1；当0≤x<1时，[x]＝0，所以f(x)＝x；当1≤x<2时，[x]＝1，所以f(x)＝x－1.综上，f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋1，－1≤x<0，,x，0≤x<1，,x－1，1≤x<2.))(2)函数f(x)的图象如图所示．(3)由图象可得函数f(x)的值域为[0，1)，单调递增区间为[－1，0)，[0，1)，[1，2)，无单调递减区间．17．(本小题满分15分)已知幂函数y＝f(x)的图象过点(2，eq\r(2))．(1)求出函数y＝f(x)的解析式，判断并证明y＝f(x)在[0，＋∞)上的单调性；(2)函数g(x)是R上的偶函数，当x≥0时，g(x)＝f(x)，求满足g(1－m)≤eq\r(5)的实数m的取值范围．解：(1)根据题意，设幂函数的解析式为y＝f(x)＝xα，将点(2，eq\r(2))代入解析式中得eq\r(2)＝2α，解得α＝eq\f(1,2)，所以所求幂函数的解析式为f(x)＝xeq\s\up6(\f(1,2)).幂函数f(x)＝xeq\s\up6(\f(1,2))＝eq\r(x)在[0，＋∞)上是增函数．证明：任取x1，x2∈[0，＋∞)，且x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝eq\r(x1)－eq\r(x2)＝eq\f(（\r(x1)－\r(x2)）（\r(x1)＋\r(x2)）,\r(x1)＋\r(x2))＝eq\f(x1－x2,\r(x1)＋\r(x2))，因为0<x1<x2，所以eq\r(x1)＋eq\r(x2)>0，x1－x2<0，所以f(x1)<f(x2)，即幂函数f(x)＝eq\r(x)在[0，＋∞)上是增函数．(2)当x≥0时，g(x)＝f(x)，而幂函数f(x)＝eq\r(x)在[0，＋∞)上是增函数，所以当x≥0时，g(x)在[0，＋∞)上是增函数．又因为函数g(x)是R上的偶函数，所以g(x)在(－∞，0]上是减函数．由g(1－m)≤eq\r(5)＝g(5)，可得|1－m|≤5，即－4≤m≤6，所以满足g(1－m)≤eq\r(5)的实数m的取值范围为[－4，6]．18．(本小题满分17分)近年来，伴随着骑行运动的蓬勃兴起，越来越多的体育爱好者投身于骑行的行列中．科学研究表明：骑行运动一般分为两个阶段，第一阶段为前1小时的稳定阶段，第二阶段为调整阶段．现一体重为60千克的专业骑行运动员进行4小时骑行训练，假设其稳定阶段是速度为v1＝40km/h的匀速运动，该阶段每千克体重消耗体力ΔQ1＝t1×1.5v1(t1表示该阶段所用时间)，调整阶段由于体力消耗过大，速度变为v2＝40－10t2的减速运动(t2表示该阶段所用时间)．调整阶段速度降低，体力得到一定恢复，该阶段每千克体重消耗体力ΔQ2＝eq\f(t2×1.5v2,t2＋1)，已知该运动员的初始体力为Q0＝9600kJ，不考虑其他因素，所用时间为t(单位：h)，请解决下列问题：(1)请写出该运动员的剩余体力Q关于时间t的函数Q(t)；(2)该运动员在4小时内何时体力达到最低值，最低值为多少？解：(1)由题意写出速度v关于时间t的函数v(t)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(40，0<t≤1，,40－10（t－1），1<t≤4，))代入ΔQ1与ΔQ2公式，可得Q(t)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(9600－60×t×1.5×40，0<t≤1，,6000－\f(60（t－1）×1.5[40－10（t－1）],t－1＋1)，1<t≤4，))即Q(t)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(9600－3600t，0<t≤1，,600＋900\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t＋\f(5,t)))，1<t≤4.))(2)由一次函数性质得①稳定阶段中Q(t)单调递减，此过程中Q(t)min＝Q(1)＝6000kJ；②调整阶段Q(t)＝600＋900eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t＋\f(5,t)))(1<t≤4)，则有Q(t)＝600＋900eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t＋\f(5,t)))≥600＋900×2eq\r(