第五章 三角函数 单元质量测评（含解析）高中数学 人教A版（2019）必修 第一册

第五章单元质量测评eq\a\vs4\al()时间：120分钟eq\a\vs4\al()满分：150分一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．与－37°角终边相同的角是()A．37° B．367°C．－323° D．－397°2．已知角α为第三象限角，则点P(tanα，sinα)在()A．第一象限 B.第二象限C．第三象限 D.第四象限3．已知一个扇形的面积为eq\f(π,3)，半径为2，则其圆心角为()A.eq\f(π,6) B.eq\f(π,3)C.eq\f(π,4) D.eq\f(π,2)4．已知角α的始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点(1，－2)，则sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(3π,2)))－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))＋tan(π－α)＝()A.eq\f(10－\r(5),5) B.eq\f(10＋\r(5),5)C.eq\f(－10＋\r(5),5) D．－eq\f(10＋\r(5),5)5．已知taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))＝eq\f(1,2)，则cos2α＋sin2α＋2＝()A.eq\f(7,5) B.eq\f(8,5)C.eq\f(9,5) D．26．已知函数f(x)＝－2tan(2x＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0<φ<\f(π,2)))，其函数图象的一个对称中心是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)，0))，则该函数的一个单调递减区间是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5π,6)，\f(π,6))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(π,3)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(π,6))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5π,12)，\f(π,12)))7．筒车在古代是进行灌溉引水的工具，亦称“水转筒车”，是一种以水流作动力，取水灌田的工具．据史料记载，筒车发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征．如图是一个半径为R的筒车，一个水斗从点A(eq\r(2)，－eq\r(6))出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒，经过t秒后，水斗旋转到点P，设点P的坐标为(x，y)，其纵坐标满足y＝f(t)＝Rsin(ωt＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t≥0，ω>0，|φ|<\f(π,2)))，则函数y＝f(t)的解析式是()A．f(t)＝2eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,60)t＋\f(π,3)))B．f(t)＝2eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,30)t－\f(π,3)))C．f(t)＝－2eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,60)t＋\f(π,3)))D．f(t)＝－2eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,30)t－\f(π,3)))8．已知f(x)＝cos[2(x＋α)]eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0<α<\f(π,2)))在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6)))内有零点，且在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(π,6)))上单调递减，则α的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)，\f(π,4))) B.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,12)，\f(π,6)))C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,4))) D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,3)))二、选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)9．函数f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))的图象可由函数g(x)＝eq\r(3)sin2x－cos2x的图象如何变换得到()A．先将g(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移eq\f(π,3)个单位长度B．先将g(x)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的eq\f(1,2)，纵坐标不变，再向左平移eq\f(π,3)个单位长度C．先将g(x)图象上所有的点向左平移eq\f(π,3)个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的eq\f(1,2)，纵坐标不变D．先将g(x)图象上所有的点向左平移eq\f(π,6)个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变10．下列选项化简后值为1的是()A．sin8°sin52°－sin82°cos52°B.eq\f(2cos40°－\r(3)sin20°,cos20°)C.eq\f(cos20°cos10°,sin20°)＋eq\r(3)sin10°tan70°－2cos40°D.eq\r(3)－(1＋eq\r(3))tan15°11．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A>0，ω>0)的部分图象如图所示，下列结论正确的是()A．f(0)＝1B．f(x)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－x))C．f(x)在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，0))上单调递增D．若f(a)＝f(b)＝1，则|a－b|的最小值为eq\f(π,3)三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)12．已知sin(α－β)cosα－cos(α－β)sinα＝eq\f(4,5)，且β为第三象限角，则coseq\f(\a\vs4\al(β),2)的值为________．13．已知函数f(x)＝cosωx－1(ω>0)在区间[0，2π]内有且仅有3个零点，则ω的取值范围是________．14．已知函数f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))，若方程f(x)＝eq\f(3,5)的解为x1，x2(0＜x1＜x2＜π)，则x1＋x2＝________，sin(x1－x2)＝________．四、解答题(本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分13分)已知角α的终边过点P(x，－1)(x<0)，且cosα＝eq\f(\r(5),5)x.(1)求eq\f(sin（π－α）＋2sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－α)),3sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))－2sin（π＋α）)的值；(2)求eq\f(1－cos2α,\r(2)cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))＋sin（π＋α）)的值．16．(本小题满分15分)设函数f(x)＝sinωxcosφ＋cosωxsinφeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ω>0，|φ|<\f(π,2))).(1)若f(0)＝－eq\f(\r(3),2)，求φ的值；(2)已知f(x)在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(2π,3)))上单调递增，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)))＝1，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数f(x)存在，求ω，φ的值．条件①：feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))＝eq\r(2)；条件②：feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)))＝－1；条件③：f(x)在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，－\f(π,3)))上单调递减．注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．17．(本小题满分15分)如图，某污水处理厂要在一个矩形污水处理池(ABCD)的池底水平铺设污水净化管道(Rt△FHE，H是直角顶点)来处理污水，管道越长，污水净化效果越好．设计要求管道的接口H是AB的中点，E，F分别落在线段BC，AD上．已知AB＝20米，AD＝10eq\r(3)米，记∠BHE＝θ.(1)试将污水净化管道的总长度L(即Rt△FHE的周长，单位：米)表示为θ的函数，并求出定义域；(2)问当θ取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管道的总长度．18．(本小题满分17分)函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ω＞0，0≤φ≤\f(π,2)))的部分图象如图所示．(1)求函数f(x)的解析式；(2)已知点Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，0))，点N是该函数图象上一点，点P(x0，y0)是MN的中点，当y0＝eq\f(1,2)，x0∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))时，求x0的值．19．(本小题满分17分)设函数f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx－\f(π,3)))＋2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx－\f(π,6)))(0<ω<3)，将该函数的图象向左平移eq\f(π,6)个单位长度后得到函数g(x)的图象，函数g(x)的图象关于y轴对称．(1)求ω的值，并在给定的坐标系内，用“五点法”列表并画出函数f(x)在一个周期内的图象；(2)求函数f(x)的单调递增区间；(3)设关于x的方程mfeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)))＋geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))＋eq\r(3)(m＋1)＝0在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(7π,6)，0))上有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围．第五章单元质量测评eq\a\vs4\al()时间：120分钟eq\a\vs4\al()满分：150分一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．与－37°角终边相同的角是()A．37° B．367°C．－323° D．－397°答案：D解析：与－37°角终边相同的角的集合为{θ|θ＝－37°＋k·360°，k∈Z}，令k＝－1，可得θ＝－397°，所以－37°与－397°终边相同，其他选项均不符合题意．故选D.2．已知角α为第三象限角，则点P(tanα，sinα)在()A．第一象限 B.第二象限C．第三象限 D.第四象限答案：D解析：∵角α为第三象限角，∴tanα>0，sinα<0，∴点P(tanα，sinα)在第四象限．故选D.3．已知一个扇形的面积为eq\f(π,3)，半径为2，则其圆心角为()A.eq\f(π,6) B.eq\f(π,3)C.eq\f(π,4) D.eq\f(π,2)答案：A解析：由扇形的面积公式S＝eq\f(1,2)αr2，得eq\f(π,3)＝eq\f(1,2)α·22，∴α＝eq\f(π,6).故选A.4．已知角α的始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点(1，－2)，则sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(3π,2)))－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))＋tan(π－α)＝()A.eq\f(10－\r(5),5) B.eq\f(10＋\r(5),5)C.eq\f(－10＋\r(5),5) D．－eq\f(10＋\r(5),5)答案：B解析：由题意知，sinα＝－eq\f(2,\r(5))，cosα＝eq\f(1,\r(5))，tanα＝－2，所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(3π,2)))－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))＋tan(π－α)＝－cosα－sinα－tanα＝－eq\f(1,\r(5))＋eq\f(2,\r(5))＋2＝eq\f(10＋\r(5),5).故选B.5．已知taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))＝eq\f(1,2)，则cos2α＋sin2α＋2＝()A.eq\f(7,5) B.eq\f(8,5)C.eq\f(9,5) D．2答案：C解析：由taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))＝eq\f(1,2)，得eq\f(tanα－1,1＋tanα)＝eq\f(1,2)，解得tanα＝3，因为cos2α＝cos2α－sin2α＝eq\f(cos2α－sin2α,cos2α＋sin2α)＝eq\f(1－tan2α,1＋tan2α)＝－eq\f(4,5)，sin2α＝2sinαcosα＝eq\f(2sinαcosα,cos2α＋sin2α)＝eq\f(2tanα,1＋tan2α)＝eq\f(3,5)，故cos2α＋sin2α＋2＝－eq\f(4,5)＋eq\f(3,5)＋2＝eq\f(9,5).故选C.6．已知函数f(x)＝－2tan(2x＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0<φ<\f(π,2)))，其函数图象的一个对称中心是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)，0))，则该函数的一个单调递减区间是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5π,6)，\f(π,6))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(π,3)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(π,6))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5π,12)，\f(π,12)))答案：D解析：函数f(x)＝－2tan(2x＋φ)图象的一个对称中心是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)，0))，所以2×eq\f(π,12)＋φ＝eq\f(kπ,2)，k∈Z，解得φ＝eq\f(kπ,2)－eq\f(π,6)，k∈Z，又0<φ<eq\f(π,2)，所以φ＝eq\f(π,3)，所以f(x)＝－2taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3))).令－eq\f(π,2)＋kπ<2x＋eq\f(π,3)<eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z，解得－eq\f(5π,12)＋eq\f(kπ,2)<x<eq\f(π,12)＋eq\f(kπ,2)，k∈Z，所以函数f(x)的单调递减区间为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5π,12)＋\f(kπ,2)，\f(π,12)＋\f(kπ,2)))，k∈Z.当k＝0时，得f(x)的一个单调递减区间为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5π,12)，\f(π,12))).7．筒车在古代是进行灌溉引水的工具，亦称“水转筒车”，是一种以水流作动力，取水灌田的工具．据史料记载，筒车发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征．如图是一个半径为R的筒车，一个水斗从点A(eq\r(2)，－eq\r(6))出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒，经过t秒后，水斗旋转到点P，设点P的坐标为(x，y)，其纵坐标满足y＝f(t)＝Rsin(ωt＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t≥0，ω>0，|φ|<\f(π,2)))，则函数y＝f(t)的解析式是()A．f(t)＝2eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,60)t＋\f(π,3)))B．f(t)＝2eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,30)t－\f(π,3)))C．f(t)＝－2eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,60)t＋\f(π,3)))D．f(t)＝－2eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,30)t－\f(π,3)))答案：B解析：由题意，得R＝eq\r(（\r(2)）2＋（－\r(6)）2)＝2eq\r(2)，T＝60，所以ω＝eq\f(2π,T)＝eq\f(π,30)，因为从点A(eq\r(2)，－eq\r(6))出发，所以f(0)＝－eq\r(6)，即－eq\r(6)＝2eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,30)×0＋φ))，解得sinφ＝－eq\f(\r(3),2)，又|φ|<eq\f(π,2)，所以φ＝－eq\f(π,3)，故函数y＝f(t)的解析式为f(t)＝2eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,30)t－\f(π,3))).故选B.8．已知f(x)＝cos[2(x＋α)]eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0<α<\f(π,2)))在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6)))内有零点，且在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(π,6)))上单调递减，则α的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)，\f(π,4))) B.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,12)，\f(π,6)))C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,4))) D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,3)))答案：C解析：f(x)＝cos(2x＋2α)，由f(x)＝0，得2x＋2α＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，得x＝eq\f(kπ,2)＋eq\f(π,4)－α(k∈Z)，因为f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6)))内有零点，且0<α<eq\f(π,2)，所以eq\f(π,4)－α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6)))，得α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)，\f(π,4))).令2kπ≤2x＋2α≤2kπ＋π，k∈Z，得kπ－α≤x≤kπ－α＋eq\f(π,2)，k∈Z，又由f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(π,6)))上单调递减，得－α≤－eq\f(π,6)且－α＋eq\f(π,2)≥eq\f(π,6)，即α∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,3)))，所以α∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,4))).故选C.二、选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)9．函数f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))的图象可由函数g(x)＝eq\r(3)sin2x－cos2x的图象如何变换得到()A．先将g(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移eq\f(π,3)个单位长度B．先将g(x)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的eq\f(1,2)，纵坐标不变，再向左平移eq\f(π,3)个单位长度C．先将g(x)图象上所有的点向左平移eq\f(π,3)个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的eq\f(1,2)，纵坐标不变D．先将g(x)图象上所有的点向左平移eq\f(π,6)个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变答案：AD解析：将函数g(x)＝eq\r(3)sin2x－cos2x＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))图象上所有的点向左平移eq\f(π,6)个单位长度，可得y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))的图象，再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，可得函数f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))的图象；或者先将g(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，可得y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))的图象，再向左平移eq\f(π,3)个单位长度，可得函数f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))的图象．10．下列选项化简后值为1的是()A．sin8°sin52°－sin82°cos52°B.eq\f(2cos40°－\r(3)sin20°,cos20°)C.eq\f(cos20°cos10°,sin20°)＋eq\r(3)sin10°tan70°－2cos40°D.eq\r(3)－(1＋eq\r(3))tan15°答案：BD解析：对于A，sin8°sin52°－sin82°cos52°＝sin8°sin52°－cos8°cos52°＝－cos(8°＋52°)＝－cos60°＝－eq\f(1,2)，A不符合题意；对于B，eq\f(2cos40°－\r(3)sin20°,cos20°)＝eq\f(2cos（60°－20°）－\r(3)sin20°,cos20°)＝eq\f(cos20°＋\r(3)sin20°－\r(3)sin20°,cos20°)＝1，B符合题意；对于C，eq\f(cos20°cos10°,sin20°)＋eq\r(3)sin10°tan70°－2cos40°＝eq\f(cos20°cos10°,sin20°)＋eq\f(\r(3)sin10°sin70°,cos70°)－2cos40°＝eq\f(cos20°cos10°,sin20°)＋eq\f(\r(3)sin10°cos20°,sin20°)－2cos40°＝eq\f(2cos20°sin（30°＋10°）,sin20°)－2cos40°＝eq\f(2cos20°sin40°－2cos40°sin20°,sin20°)＝eq\f(2sin（40°－20°）,sin20°)＝2，C不符合题意；对于D，eq\r(3)－(1＋eq\r(3))tan15°＝eq\r(3)－(1＋eq\r(3))×eq\f(tan60°－tan45°,1＋tan60°tan45°)＝eq\r(3)－(1＋eq\r(3))×eq\f(\r(3)－1,1＋\r(3))＝1，D符合题意．故选BD.11．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A>0，ω>0)的部分图象如图所示，下列结论正确的是()A．f(0)＝1B．f(x)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－x))C．f(x)在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，0))上单调递增D．若f(a)＝f(b)＝1，则|a－b|的最小值为eq\f(π,3)答案：BCD解析：由图象可知A＝2，eq\f(3T,4)＝eq\f(7π,12)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)))＝eq\f(3π,4)，故T＝π，ω＝eq\f(2π,T)＝2，将eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7π,12)，－2))代入f(x)＝Asin(ωx＋φ)，得2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×\f(7π,12)＋φ))＝－2，则φ＝2kπ＋eq\f(π,3)，k∈Z，则函数f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))，故f(0)＝2sineq\f(π,3)＝eq\r(3)，故A错误；feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－x))＝2sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－x))＋\f(π,3)))＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－2x))＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))＝f(x)，故B正确；当x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，0))时，2x＋eq\f(π,3)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(π,3)))⊆eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，故C正确；令f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))＝1，则2x＋eq\f(π,3)＝eq\f(π,6)＋2kπ或2x＋eq\f(π,3)＝eq\f(5π,6)＋2kπ，k∈Z，则x＝－eq\f(π,12)＋kπ或x＝eq\f(π,4)＋kπ，k∈Z，故f(a)＝f(b)＝1时，|a－b|的最小值为eq\f(π,4)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,12)))＝eq\f(π,3)，故D正确．故选BCD.三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)12．已知sin(α－β)cosα－cos(α－β)sinα＝eq\f(4,5)，且β为第三象限角，则coseq\f(\a\vs4\al(β),2)的值为________．答案：±eq\f(\r(5),5)解析：由已知，得sin[(α－β)－α]＝sin(－β)＝eq\f(4,5)，得sinβ＝－eq\f(4,5).∵β为第三象限角，∴cosβ＝－eq\f(3,5)，eq\f(β,2)是第二象限角或第四象限角，∴coseq\f(\a\vs4\al(β),2)＝±eq\r(\f(1＋cosβ,2))＝±eq\r(\f(1,5))＝±eq\f(\r(5),5).13．已知函数f(x)＝cosωx－1(ω>0)在区间[0，2π]内有且仅有3个零点，则ω的取值范围是________．答案：[2，3)解析：因为0≤x≤2π，ω>0，所以0≤ωx≤2ωπ，令f(x)＝cosωx－1＝0，则cosωx＝1有3个解，令t＝ωx，则cost＝1有3个解，其中t∈[0，2ωπ]，结合余弦函数y＝cost的图象性质可得4π≤2ωπ<6π，故2≤ω<3.14．已知函数f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))，若方程f(x)＝eq\f(3,5)的解为x1，x2(0＜x1＜x2＜π)，则x1＋x2＝________，sin(x1－x2)＝________．答案：eq\f(2π,3)－eq\f(4,5)解析：∵0＜x＜π，∴2x－eq\f(π,6)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(11π,6))).∵函数f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))，且方程f(x)＝eq\f(3,5)的解为x1，x2(0＜x1＜x2＜π)，∴2x1－eq\f(π,6)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x2－\f(π,6)))＝2×eq\f(π,2)，则x1＋x2＝eq\f(2π,3)，∴x2＝eq\f(2π,3)－x1，∴sin(x1－x2)＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－x1))))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x1－\f(2π,3)))＝－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x1－\f(π,6))).由0＜x1＜x2＜π，可得0＜x1＜eq\f(π,3)，故2x1－eq\f(π,6)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(π,2))).再根据sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x1－\f(π,6)))＝eq\f(3,5)，可得coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x1－\f(π,6)))＝eq\f(4,5)，故sin(x1－x2)＝－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x1－\f(π,6)))＝－eq\f(4,5).四、解答题(本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分13分)已知角α的终边过点P(x，－1)(x<0)，且cosα＝eq\f(\r(5),5)x.(1)求eq\f(sin（π－α）＋2sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－α)),3sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))－2sin（π＋α）)的值；(2)求eq\f(1－cos2α,\r(2)cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))＋sin（π＋α）)的值．解：由条件知cosα＝eq\f(\r(5),5)x＝eq\f(x,\r(1＋x2))，又x<0，得x＝－2，故P(－2，－1)．故sinα＝－eq\f(\r(5),5)，tanα＝eq\f(－1,－2)＝eq\f(1,2).(1)原式＝eq\f(sinα－2cosα,3cosα＋2sinα)＝eq\f(tanα－2,3＋2tanα)＝eq\f(\f(1,2)－2,3＋1)＝－eq\f(3,8).(2)原式＝eq\f(2sin2α,\r(2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)cosα＋\f(\r(2),2)sinα))－sinα)＝eq\f(2sin2α,cosα)＝2sinαtanα＝－eq\f(\r(5),5).16．(本小题满分15分)设函数f(x)＝sinωxcosφ＋cosωxsinφeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ω>0，|φ|<\f(π,2))).(1)若f(0)＝－eq\f(\r(3),2)，求φ的值；(2)已知f(x)在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(2π,3)))上单调递增，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)))＝1，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数f(x)存在，求ω，φ的值．条件①：feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))＝eq\r(2)；条件②：feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)))＝－1；条件③：f(x)在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，－\f(π,3)))上单调递减．注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．解：(1)因为f(x)＝sinωxcosφ＋cosωxsinφ＝sin(ωx＋φ)，所以f(0)＝sinφ＝－eq\f(\r(3),2)，因为|φ|<eq\f(π,2)，所以φ＝－eq\f(π,3).(2)因为f(x)＝sin(ωx＋φ)，ω>0，|φ|<eq\f(π,2)，所以f(x)的最大值为1，最小值为－1.若选条件①：因为f(x)＝sin(ωx＋φ)的最大值为1，最小值为－1，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))＝eq\r(2)无解，故条件①不能使函数f(x)存在．若选条件②：因为f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(2π,3)))上单调递增，且feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)))＝1，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)))＝－1，所以eq\f(T,2)＝eq\f(2π,3)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)))＝π，所以T＝2π，ω＝eq\f(2π,T)＝1，所以f(x)＝sin(x＋φ)，又因为feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)))＝－1，所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)＋φ))＝－1，所以－eq\f(π,3)＋φ＝－eq\f(π,2)＋2kπ，k∈Z，所以φ＝－eq\f(π,6)＋2kπ，k∈Z，因为|φ|<eq\f(π,2)，所以φ＝－eq\f(π,6).所以ω＝1，φ＝－eq\f(π,6).若选条件③：因为f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(2π,3)))上单调递增，在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，－\f(π,3)))上单调递减，所以f(x)在x＝－eq\f(π,3)处取得最小值－1，即feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)))＝－1.以下与选条件②解法相同．17．(本小题满分15分)如图，某污水处理厂要在一个矩形污水处理池(ABCD)的池底水平铺设污水净化管道(Rt△FHE，H是直角顶点)来处理污水，管道越长，污水净化效果越好．设计要求管道的接口H是AB的中点，E，F分别落在线段BC，AD上．已知AB＝20米，AD＝10eq\r(3)米，记∠BHE＝θ.(1)试将污水净化管道的总长度L(即Rt△FHE的周长，单位：米)表示为θ的函数，并求出定义域；(2)问当θ取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管道的总长度．解：(1)EH＝eq\f(10,cosθ)，FH＝eq\f(10,sinθ)，EF＝eq\r(EH2＋FH2)＝eq\f(10,sinθcosθ).由于BE＝10tanθ≤10eq\r(3)，AF＝eq\f(10,tanθ)≤10eq\r(3)，所以eq\f(\r(3),3)≤tanθ≤eq\r(3)，故θ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,3))).管道的总长度L＝eq\f(10,cosθ)＋eq\f(10,sinθ)＋eq\f(10,sinθcosθ)，定义域为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,3))).(2)L＝eq\f(10,cosθ)＋eq\f(10,sinθ)＋eq\f(10,sinθcosθ)＝10·eq\f(sinθ＋cosθ＋1,sinθcosθ).设sinθ＋cosθ＝t，则sinθcosθ＝eq\f(t2－1,2)，由于θ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,3)))，所以t＝sinθ＋cosθ＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(3)＋1,2)，\r(2)))，因为L＝eq\f(20,t－1)在t∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(3)＋1,2)，\r(2)))上单调递减，所以当t＝eq\f(\r(3)＋1,2)时，L取得最大值20(eq\r(3)＋1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(此时θ＝\f(π,6)或θ＝\f(π,3))).故当θ＝eq\f(π,6)或θ＝eq\f(π,3)时，污水净化效果最好，此时管道的总长度为20(eq\r(3)＋1)米．18．(本小题满分17分)函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ω＞0，0≤φ≤\f(π,2)))的部分图象如图所示．(1)求函数f(x)的解析式；(2)已知点Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，0))，点N是该函数图象上一点，点P(x0，y0)是MN的中点，当y0＝eq\f(1,2)，x0∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))时，求x0的值．解：(1)由题意可得eq\f(7π,12)－eq\f(π,3)＝eq\f(T,4)，解得T＝π，又T＝eq\f(2π,|ω|)，且ω＞0，所以ω＝2，所以f(x)＝2sin(2x＋φ)．将点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7π,12)，－2))代入可得2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×\f(7π,12)＋φ))＝－2，所以eq\f(7π,6)＋φ＝－eq\f(π,2)＋2kπ，k∈Z，解得φ＝－eq\f(5π,3)＋2kπ，k∈Z，又0≤φ≤eq\f(π,2)，所以φ＝eq\f(π,3)，所以f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3))).(2)由点Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，0))，P(x0，y0)是MN的中点，y0＝eq\f(1,2)，得点N的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x0－\f(π,2)，1))，又点N在f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))的图象上，所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x0－\f(2π,3)))＝eq\f(1,2)，又x0∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))，所以－eq\f(2π,3)＜4x0－eq\f(2π,3)＜eq\f(2π,3)，从而得4x0－eq\f(2π,3)＝eq\f(π,6)，解得x0＝eq\f(5π,24).19．(本小题满分17分)设函数f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx－\f(π,3)))＋2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx－\f(π,6)))(0<ω<3)，将该函数的图象向左平移eq\f(π,6)个单位长度后得到函数g(x)的图象，函数g(x)的图象关于y轴对称．(1)求ω的值，并在给定的坐标系内，用“五点法”列表并画出函数f(x)在一个周期内的图象；(2)求函数f(x)的单调递增区间；(3)设关于x的方程mfeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)))＋geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))＋eq\r(3)(m＋1)＝0在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(7π,6)，0))上有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围．解