第一章 空间向量与立体几何 单元质量测评（含解析）2026秋高中数学 人教A版（2019） 选择性必修 第一册

第一章单元质量测评时间：120分钟满分：150分一、选择题：本题共8小题,每小题5分,共40分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．已知向量a＝(1,－3,2),b＝(－2,1,1),则|a＋b|＝()A.eq\r(6) B．14C.eq\r(26) D.eq\r(14)2．在空间直角坐标系Oxyz中,已知点B是点A(1,－2,1)在坐标平面Oyz内的射影,则eq\o(OB,\s\up6(→))＝()A．(1,－2,1) B．(1,－2,0)C．(0,－2,1) D．(1,0,1)3．已知两个不同的平面α和β,平面α的一个法向量为v1＝(1,2,1),平面β的一个法向量为v2＝(2,4,2),则平面α与平面β的位置关系是()A．平行 B．垂直C．相交 D．不能确定4．已知向量a＝(2,x,1),b＝(1,0,1),c＝(0,1,1),若a,b,c共面,则x＝()A．－1 B．1C．1或－1 D．1或05.如图所示,三棱柱ABC－A1B1C1中,N是A1B的中点,若eq\o(CA,\s\up6(→))＝a,eq\o(CB,\s\up6(→))＝b,eq\o(CC1,\s\up6(→))＝c,则eq\o(CN,\s\up6(→))＝()A.eq\f(1,2)(a＋b－c) B.eq\f(1,2)(a＋b＋c)C．a＋b＋eq\f(1,2)c D．a＋eq\f(1,2)(b＋c)6．我国古代数学名著《九章算术》商功中记载：“斜解立方,得两堑堵”,堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱．在堑堵ABC－A1B1C1中,AB＝AC＝AA1＝2,P为B1C1的中点,则eq\o(AC1,\s\up6(→))·eq\o(BP,\s\up6(→))＝()A．6 B．－6C．2 D．－27．已知直线l的一个方向向量为n＝(1,2,－2),A(3,0,1)为直线l上一点,若点P(4,3,0)为直线l外一点,则点P到直线l上任意一点Q的距离的最小值为()A．2 B.eq\r(3)C.eq\r(2) D．18.如图,在正方体ABCD－A1B1C1D1中,点P在线段A1C1上,若直线DP与平面A1BC1所成的角为θ,则sinθ的取值范围是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),3)，\f(\r(3),3))) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,2)))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),4)，\f(\r(3),3))) D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),3)，\f(2\r(2),3)))二、选择题：本题共3小题,每小题6分,共18分．在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求．全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分．9．已知向量a＝(－1,0,－3),b＝(2,2,1),c＝(－1,－2,2),则()A．与b方向相同的单位向量是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(2,3)，\f(1,3)))B．(a＋b)∥cC．(a－b)⊥cD．cos〈a,b〉＝－eq\f(\r(10),6)10．如图,在圆台OO′中,AB,A′B′分别为圆O,O′的直径,AB∥A′B′,AB＝3A′B′＝12,圆台OO′的体积为eq\f(104π,3),C为内侧eq\o(A′B′,\s\up8(︵))上更靠近B′的三等分点,以O为原点,下底面垂直于AB的直线为x轴,OB,OO′所在直线分别为y轴、z轴,建立空间直角坐标系,则()A．点O′的坐标为(0,0,2)B.eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－eq\r(3),7,2)C．平面ABC的一个法向量为(2,1,eq\r(3))D．点O′到平面ABC的距离为eq\f(2\r(21),7)11．已知正三棱柱ABC－A1B1C1的各棱长都为2,则下列结论正确的是()A．异面直线AB1与BC1垂直B．BC1与平面AA1B1B所成角的正弦值为eq\f(\r(6),4)C．平面ABC1与平面ABC夹角的余弦值为eq\f(\r(21),7)D．点C到直线AB1的距离为eq\f(\r(7),2)三、填空题：本题共3小题,每小题5分,共15分．12．已知点A(－1,1,1),B(0,2,3),eq\o(CD,\s\up6(→))＝(a－1,b＋1,2),若AB∥CD,则a－b＝________．13．有很多立体图形都体现了数学的对称美,其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体,半正多面体因其最早由阿基米德研究发现,故也被称作阿基米德体．如图是一个棱数为24,棱长都相等的半正多面体,它的所有顶点都在同一个正方体的表面上,可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得．已知E为线段BC上一点,且eq\o(BE,\s\up6(→))＝λeq\o(BC,\s\up6(→)),若直线DE与直线AF所成角的余弦值为eq\f(5\r(13),26),则λ＝________．14.如图,正方形ABCD,ABEF的边长都是1,而且平面ABCD,ABEF互相垂直,点M在AC上移动,点N在BF上移动,若CM＝BN＝a(0<a<eq\r(2)),则线段MN的长最小为________．四、解答题：本题共5小题,共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．(本小题满分13分)已知点A(1,－2,0)和向量a＝(－3,4,12)．(1)若eq\o(AB,\s\up6(→))＝a,求点B的坐标；(2)若x轴上的一点C满足〈a,eq\o(AC,\s\up6(→))〉＝eq\f(π,2),求AC的长．16.(本小题满分15分)如图,在边长为4的正三角形ABC中,E,F分别为BC,AC的中点,PA＝2,且PA⊥平面ABC,设Q是CE的中点．(1)求证：AE∥平面PFQ；(2)求直线AE到平面PFQ的距离．17.(2023·新课标Ⅱ卷,20)(本小题满分15分)如图,三棱锥A－BCD中,DA＝DB＝DC,BD⊥CD,∠ADB＝∠ADC＝60°,E为BC的中点．(1)证明：BC⊥DA；(2)点F满足eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(DA,\s\up6(→)),求二面角D－AB－F的正弦值．18．(本小题满分17分)如图,在平行四边形ABCD中,AB＝1,BD＝eq\r(2),∠ABD＝90°,将△ABD沿对角线BD折起,折后的点A变为A1,且A1C＝2.(1)求证：平面A1BD⊥平面BCD；(2)求异面直线BC与A1D所成角的余弦值；(3)若E为线段A1C上的一个动点,当线段EC的长为多少时,DE与平面BCD所成角的正弦值为eq\f(\r(7),7)？19．(本小题满分17分)中国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍甍者,下有袤有广,而上有袤无广,刍,草也,甍,屋盖也．”翻译为“底面有长有宽为矩形,顶部只有长没有宽为一条棱．刍甍是茅草屋顶．”现有一个刍甍如图所示,四边形ABCD为正方形,四边形ABFE,CDEF为两个全等的等腰梯形,AB＝4,EF∥AB,AB＝2EF,EA＝ED＝FB＝FC＝3.(1)当N为线段AD的中点,且eq\o(CM,\s\up6(→))＝2eq\o(MF,\s\up6(→))时,求证：NF∥平面BDM；(2)当点N在线段AD上时(包含端点),求平面BFN与平面ADE夹角的余弦值的取值范围．第一章单元质量测评时间：120分钟满分：150分一、选择题：本题共8小题,每小题5分,共40分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．已知向量a＝(1,－3,2),b＝(－2,1,1),则|a＋b|＝()A.eq\r(6) B．14C.eq\r(26) D.eq\r(14)答案：D解析：由题意知向量a＝(1,－3,2),b＝(－2,1,1),则a＋b＝(－1,－2,3),故|a＋b|＝eq\r(（－1）2＋（－2）2＋32)＝eq\r(14).故选D.2．在空间直角坐标系Oxyz中,已知点B是点A(1,－2,1)在坐标平面Oyz内的射影,则eq\o(OB,\s\up6(→))＝()A．(1,－2,1) B．(1,－2,0)C．(0,－2,1) D．(1,0,1)答案：C解析：点A(1,－2,1)在坐标平面Oyz内的射影B的坐标为(0,－2,1),所以eq\o(OB,\s\up6(→))＝(0,－2,1)．故选C.3．已知两个不同的平面α和β,平面α的一个法向量为v1＝(1,2,1),平面β的一个法向量为v2＝(2,4,2),则平面α与平面β的位置关系是()A．平行 B．垂直C．相交 D．不能确定答案：A解析：由题意知v1＝(1,2,1),v2＝(2,4,2),则v2＝2v1,即v1,v2共线,则α∥β.故选A.4．已知向量a＝(2,x,1),b＝(1,0,1),c＝(0,1,1),若a,b,c共面,则x＝()A．－1 B．1C．1或－1 D．1或0答案：A解析：因为a,b,c共面,所以存在λ,μ,使a＝λb＋μc,则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2＝λ，,x＝μ，,1＝λ＋μ，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝2，,μ＝－1，,x＝－1.))故选A.5.如图所示,三棱柱ABC－A1B1C1中,N是A1B的中点,若eq\o(CA,\s\up6(→))＝a,eq\o(CB,\s\up6(→))＝b,eq\o(CC1,\s\up6(→))＝c,则eq\o(CN,\s\up6(→))＝()A.eq\f(1,2)(a＋b－c) B.eq\f(1,2)(a＋b＋c)C．a＋b＋eq\f(1,2)c D．a＋eq\f(1,2)(b＋c)答案：B解析：因为eq\o(CN,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(BN,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BA1,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(BB1,\s\up6(→)))＝eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(CA,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(BB1,\s\up6(→)))＝b＋eq\f(1,2)(a－b＋c)＝eq\f(1,2)(a＋b＋c)．故选B.6．我国古代数学名著《九章算术》商功中记载：“斜解立方,得两堑堵”,堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱．在堑堵ABC－A1B1C1中,AB＝AC＝AA1＝2,P为B1C1的中点,则eq\o(AC1,\s\up6(→))·eq\o(BP,\s\up6(→))＝()A．6 B．－6C．2 D．－2答案：A解析：根据堑堵的几何性质,知AB⊥AC,AA1⊥AB,AA1⊥AC.因为eq\o(AC1,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→)),eq\o(BP,\s\up6(→))＝eq\o(BB1,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(B1C1,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))),所以eq\o(AC1,\s\up6(→))·eq\o(BP,\s\up6(→))＝(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→)))·eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\o(AA1,\s\up6(→))＋\f(1,2)（\o(AC,\s\up6(→))－\o(AB,\s\up6(→))）))＝eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))2－eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))2＋eq\f(1,2)eq\o(AA1,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AA1,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝2＋4＝6.故选A.7．已知直线l的一个方向向量为n＝(1,2,－2),A(3,0,1)为直线l上一点,若点P(4,3,0)为直线l外一点,则点P到直线l上任意一点Q的距离的最小值为()A．2 B.eq\r(3)C.eq\r(2) D．1答案：C解析：eq\o(PA,\s\up6(→))＝(3,0,1)－(4,3,0)＝(－1,－3,1),eq\o(PA,\s\up6(→))·n＝(－1,－3,1)·(1,2,－2)＝－1－6－2＝－9,eq\f(\o(PA,\s\up6(→))·n,|n|)＝eq\f(－9,\r(1＋4＋4))＝－3,点P到直线l的距离为eq\r(\o(PA,\s\up6(→))2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(PA,\s\up6(→))·n,|n|)))\s\up12(2))＝eq\r(1＋9＋1－（－3）2)＝eq\r(2),则点P到直线l上任意一点Q的距离的最小值为eq\r(2).故选C.8.如图,在正方体ABCD－A1B1C1D1中,点P在线段A1C1上,若直线DP与平面A1BC1所成的角为θ,则sinθ的取值范围是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),3)，\f(\r(3),3))) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,2)))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),4)，\f(\r(3),3))) D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),3)，\f(2\r(2),3)))答案：D解析：设正方体的棱长为1,且eq\f(A1P,A1C1)＝λ(0≤λ≤1),以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,如图所示,则D(0,0,0),P(1－λ,λ,1),A1(1,0,1),B(1,1,0),C1(0,1,1),则eq\o(DP,\s\up6(→))＝(1－λ,λ,1),eq\o(A1B,\s\up6(→))＝(0,1,－1),eq\o(A1C1,\s\up6(→))＝(－1,1,0),设平面A1BC1的法向量为n＝(x,y,z),则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n·\o(A1B,\s\up6(→))＝y－z＝0，,n·\o(A1C1,\s\up6(→))＝－x＋y＝0，))令z＝1,可得x＝1,y＝1,所以n＝(1,1,1),则sinθ＝|cos〈n,eq\o(DP,\s\up6(→))〉|＝eq\f(|n·\o(DP,\s\up6(→))|,|n||\o(DP,\s\up6(→))|)＝eq\f(|1－λ＋λ＋1|,\r(3)×\r(（1－λ）2＋λ2＋1))＝eq\f(2,\r(6)×\r(λ2－λ＋1)),设f(λ)＝λ2－λ＋1,λ∈[0,1],即f(λ)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(λ－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(3,4),λ∈[0,1],当λ＝eq\f(1,2)时,f(λ)取得最小值eq\f(3,4)；当λ＝0或1时,f(λ)取得最大值1,所以sinθ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),3)，\f(2\r(2),3))).故选D.二、选择题：本题共3小题,每小题6分,共18分．在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求．全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分．9．已知向量a＝(－1,0,－3),b＝(2,2,1),c＝(－1,－2,2),则()A．与b方向相同的单位向量是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(2,3)，\f(1,3)))B．(a＋b)∥cC．(a－b)⊥cD．cos〈a,b〉＝－eq\f(\r(10),6)答案：ABD解析：b＝(2,2,1),|b|＝eq\r(22＋22＋12)＝3,可得与b方向相同的单位向量是eq\f(1,3)(2,2,1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(2,3)，\f(1,3))),A正确；因为a＋b＝(1,2,－2)＝－c,所以(a＋b)∥c,B正确；因为a－b＝(－3,－2,－4),(a－b)·c＝－1,所以a－b与c不垂直,C错误；cos〈a,b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(－2－3,\r(10)×3)＝－eq\f(\r(10),6),D正确．故选ABD.10．如图,在圆台OO′中,AB,A′B′分别为圆O,O′的直径,AB∥A′B′,AB＝3A′B′＝12,圆台OO′的体积为eq\f(104π,3),C为内侧eq\o(A′B′,\s\up8(︵))上更靠近B′的三等分点,以O为原点,下底面垂直于AB的直线为x轴,OB,OO′所在直线分别为y轴、z轴,建立空间直角坐标系,则()A．点O′的坐标为(0,0,2)B.eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－eq\r(3),7,2)C．平面ABC的一个法向量为(2,1,eq\r(3))D．点O′到平面ABC的距离为eq\f(2\r(21),7)答案：ABD解析：由圆台OO′的体积为eq\f(104π,3),可得eq\f(π,3)OO′·(OB2＋O′B′2＋OB·O′B′)＝eq\f(104π,3),解得OO′＝2,则O′(0,0,2),A正确；连接O′C,设点C在下底面的射影为点D,连接CD,OD,如图所示,易得OD＝O′C＝2,∠BOD＝eq\f(π,3),则D(－eq\r(3),1,0),C(－eq\r(3),1,2),因为A(0,－6,0),所以eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－eq\r(3),7,2),B正确；设平面ABC的法向量为n＝(x,y,z),由B(0,6,0)可知eq\o(AB,\s\up6(→))＝(0,12,0),则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n·\o(AB,\s\up6(→))＝12y＝0，,n·\o(AC,\s\up6(→))＝－\r(3)x＋7y＋2z＝0，))令x＝2,可得y＝0,z＝eq\r(3),所以n＝(2,0,eq\r(3)),C错误；因为eq\o(OO′,\s\up6(→))＝(0,0,2),所以点O′到平面ABC的距离为eq\f(|\o(OO′,\s\up6(→))·n|,|n|)＝eq\f(2\r(3),\r(7))＝eq\f(2\r(21),7),D正确．故选ABD.11．已知正三棱柱ABC－A1B1C1的各棱长都为2,则下列结论正确的是()A．异面直线AB1与BC1垂直B．BC1与平面AA1B1B所成角的正弦值为eq\f(\r(6),4)C．平面ABC1与平面ABC夹角的余弦值为eq\f(\r(21),7)D．点C到直线AB1的距离为eq\f(\r(7),2)答案：BC解析：以AB,AA1所在直线分别为x轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(2,0,0),C(1,eq\r(3),0),A1(0,0,2),B1(2,0,2),C1(1,eq\r(3),2),eq\o(AB1,\s\up6(→))＝(2,0,2),eq\o(BC1,\s\up6(→))＝(－1,eq\r(3),2),eq\o(AB1,\s\up6(→))·eq\o(BC1,\s\up6(→))＝－2＋4＝2≠0,所以AB1与BC1不垂直,A错误；平面AA1B1B的一个法向量为m＝(0,1,0),cos〈eq\o(BC1,\s\up6(→)),m〉＝eq\f(\o(BC1,\s\up6(→))·m,|\o(BC1,\s\up6(→))||m|)＝eq\f(\r(3),2\r(2)×1)＝eq\f(\r(6),4),所以BC1与平面AA1B1B所成角的正弦值为eq\f(\r(6),4),B正确；设平面ABC1的法向量为n＝(x,y,z),又eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2,0,0),由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n·\o(AB,\s\up6(→))＝0，,n·\o(BC1,\s\up6(→))＝0))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＝0，,－x＋\r(3)y＋2z＝0，))令y＝2,得n＝(0,2,－eq\r(3)),平面ABC的一个法向量是p＝(0,0,1),所以cos〈n,p〉＝eq\f(n·p,|n||p|)＝eq\f(－\r(3),\r(7)×1)＝－eq\f(\r(21),7),所以平面ABC1与平面ABC夹角的余弦值为eq\f(\r(21),7),C正确；eq\o(AC,\s\up6(→))＝(1,eq\r(3),0),eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AB1,\s\up6(→))＝2,d＝eq\f(|\o(AC,\s\up6(→))·\o(AB1,\s\up6(→))|,|\o(AB1,\s\up6(→))|)＝eq\f(2,2\r(2))＝eq\f(\r(2),2),所以点C到直线AB1的距离为h＝eq\r(|\o(AC,\s\up6(→))|2－d2)＝eq\r(4－\f(1,2))＝eq\f(\r(14),2),D错误．故选BC.三、填空题：本题共3小题,每小题5分,共15分．12．已知点A(－1,1,1),B(0,2,3),eq\o(CD,\s\up6(→))＝(a－1,b＋1,2),若AB∥CD,则a－b＝________．答案：2解析：因为A(－1,1,1),B(0,2,3),所以eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1,1,2),因为AB∥CD,所以eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(CD,\s\up6(→)),又eq\o(CD,\s\up6(→))＝(a－1,b＋1,2),所以eq\f(a－1,1)＝eq\f(b＋1,1)＝eq\f(2,2),解得a＝2,b＝0,故a－b＝2.13．有很多立体图形都体现了数学的对称美,其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体,半正多面体因其最早由阿基米德研究发现,故也被称作阿基米德体．如图是一个棱数为24,棱长都相等的半正多面体,它的所有顶点都在同一个正方体的表面上,可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得．已知E为线段BC上一点,且eq\o(BE,\s\up6(→))＝λeq\o(BC,\s\up6(→)),若直线DE与直线AF所成角的余弦值为eq\f(5\r(13),26),则λ＝________．答案：eq\f(1,3)解析：将半正多面体补成正方体,建立如图所示的空间直角坐标系．设半正多面体的棱长为eq\r(2),则正方体的棱长为2,所以A(2,1,0),F(2,2,1),B(1,0,2),C(0,1,2),D(1,2,2),eq\o(AF,\s\up6(→))＝(0,1,1),eq\o(BC,\s\up6(→))＝(－1,1,0),所以eq\o(BE,\s\up6(→))＝λeq\o(BC,\s\up6(→))＝(－λ,λ,0),λ∈[0,1],则E(1－λ,λ,2),eq\o(DE,\s\up6(→))＝(－λ,λ－2,0),设直线DE与直线AF所成的角为θ,则cosθ＝|cos〈eq\o(AF,\s\up6(→)),eq\o(DE,\s\up6(→))〉|＝eq\f(|\o(AF,\s\up6(→))·\o(DE,\s\up6(→))|,|\o(AF,\s\up6(→))||\o(DE,\s\up6(→))|)＝eq\f(|λ－2|,\r(2)×\r(λ2＋（λ－2）2))＝eq\f(5\r(13),26),即6λ2＋λ－1＝0,解得λ＝eq\f(1,3)或λ＝－eq\f(1,2)(舍去)．14.如图,正方形ABCD,ABEF的边长都是1,而且平面ABCD,ABEF互相垂直,点M在AC上移动,点N在BF上移动,若CM＝BN＝a(0<a<eq\r(2)),则线段MN的长最小为________．答案：eq\f(\r(2),2)解析：建立空间直角坐标系如图所示,则A(1,0,0),F(1,1,0),C(0,0,1)．因为CM＝BN＝a(0<a<eq\r(2)),且四边形ABCD,ABEF为正方形,所以Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)a，0，1－\f(\r(2),2)a)),Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)a，\f(\r(2),2)a，0)),所以eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2)a，\f(\r(2),2)a－1)),所以|eq\o(MN,\s\up6(→))|＝eq\r(a2－\r(2)a＋1)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(\r(2),2)))\s\up12(2)＋\f(1,2)),即线段MN的长为eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(\r(2),2)))\s\up12(2)＋\f(1,2)).当a＝eq\f(\r(2),2)时,|eq\o(MN,\s\up6(→))|min＝eq\f(\r(2),2),即M,N分别为AC,BF的中点时,线段MN的长最小,为eq\f(\r(2),2).四、解答题：本题共5小题,共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．(本小题满分13分)已知点A(1,－2,0)和向量a＝(－3,4,12)．(1)若eq\o(AB,\s\up6(→))＝a,求点B的坐标；(2)若x轴上的一点C满足〈a,eq\o(AC,\s\up6(→))〉＝eq\f(π,2),求AC的长．解：(1)设O为原点．∵A(1,－2,0),a＝(－3,4,12),eq\o(AB,\s\up6(→))＝a,∴eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋a＝(1,－2,0)＋(－3,4,12)＝(－2,2,12)．∴点B的坐标为(－2,2,12)．(2)设C(x,0,0),则eq\o(AC,\s\up6(→))＝(x－1,2,0),∵x轴上的一点C满足〈a,eq\o(AC,\s\up6(→))〉＝eq\f(π,2),∴eq\o(AC,\s\up6(→))·a＝－3(x－1)＋8＝0,则x－1＝eq\f(8,3),∴AC的长为eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,3)))\s\up12(2)＋22)＝eq\f(10,3).16.(本小题满分15分)如图,在边长为4的正三角形ABC中,E,F分别为BC,AC的中点,PA＝2,且PA⊥平面ABC,设Q是CE的中点．(1)求证：AE∥平面PFQ；(2)求直线AE到平面PFQ的距离．解：(1)证明：如图所示,以A为原点,平面ABC内垂直于AC边的直线为x轴,AC,AP所在直线分别为y轴、z轴,建立空间直角坐标系．∵AP＝2,AB＝BC＝AC＝4,又E,F分别是BC,AC的中点,∴A(0,0,0),B(2eq\r(3),2,0),C(0,4,0),F(0,2,0),E(eq\r(3),3,0),Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，\f(7,2)，0)),P(0,0,2)．∵eq\o(FQ,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，\f(3,2)，0)),eq\o(AE,\s\up6(→))＝(eq\r(3),3,0),∴eq\o(AE,\s\up6(→))＝2eq\o(FQ,\s\up6(→)).∵AE与FQ无交点,∴AE∥FQ.又FQ⊂平面PFQ,AE⊄平面PFQ,∴AE∥平面PFQ.(2)由(1)知,AE∥平面PFQ,∴点A到平面PFQ的距离就是直线AE到平面PFQ的距离．设平面PFQ的法向量为n＝(x,y,z),则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n⊥\o(PF,\s\up6(→))，,n⊥\o(FQ,\s\up6(→))，))∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n·\o(PF,\s\up6(→))＝0，,n·\o(FQ,\s\up6(→))＝0.))又eq\o(PF,\s\up6(→))＝(0,2,－2),eq\o(FQ,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，\f(3,2)，0)),∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2y－2z＝0，,\f(\r(3),2)x＋\f(3,2)y＝0，))∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－\r(3)y，,z＝y，))令y＝1,则x＝－eq\r(3),z＝1,∴n＝(－eq\r(3),1,1)．又eq\o(QA,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，－\f(7,2)，0)),∴直线AE到平面PFQ的距离d＝eq\f(|\o(QA,\s\up6(→))·n|,|n|)＝eq\f(2\r(5),5).17.(2023·新课标Ⅱ卷,20)(本小题满分15分)如图,三棱锥A－BCD中,DA＝DB＝DC,BD⊥CD,∠ADB＝∠ADC＝60°,E为BC的中点．(1)证明：BC⊥DA；(2)点F满足eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(DA,\s\up6(→)),求二面角D－AB－F的正弦值．解：(1)证明：连接AE,DE,因为E为BC的中点,DB＝DC,所以DE⊥BC,因为DA＝DB＝DC,∠ADB＝∠ADC＝60°,所以△ACD与△ABD均为等边三角形,所以AC＝AB,所以AE⊥BC,又AE∩DE＝E,AE,DE⊂平面ADE,所以BC⊥平面ADE,而DA⊂平面ADE,所以BC⊥DA.(2)不妨设DA＝DB＝DC＝2,因为BD⊥CD,所以BC＝2eq\r(2),DE＝eq\r(2),因为△ACD与△ABD均为等边三角形,所以AC＝AB＝2,所以AE⊥BC,AE＝eq\r(2),所以AE2＋DE2＝4＝DA2,所以AE⊥DE,又DE∩BC＝E,DE,BC⊂平面BCD,所以AE⊥平面BCD.以E为原点,ED,EB,EA所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,如图所示,则E(0,0,0),D(eq\r(2),0,0),A(0,0,eq\r(2)),B(0,eq\r(2),0),设平面DAB与平面ABF的法向量分别为n1＝(x1,y1,z1),n2＝(x2,y2,z2),二面角D－AB－F的平面角为θ,而eq\o(AB,\s\up6(→))＝(0,eq\r(2),－eq\r(2)),因为eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(DA,\s\up6(→))＝(－eq\r(2),0,eq\r(2)),所以F(－eq\r(2),0,eq\r(2)),即有eq\o(AF,\s\up6(→))＝(－eq\r(2),0,0),所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n1·\o(DA,\s\up6(→))＝0，,n1·\o(AB,\s\up6(→))＝0，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\r(2)x1＋\r(2)z1＝0，,\r(2)y1－\r(2)z1＝0，))取x1＝1,所以n1＝(1,1,1)．eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n2·\o(AB,\s\up6(→))＝0，,n2·\o(AF,\s\up6(→))＝0，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\r(2)y2－\r(2)z2＝0，,－\r(2)x2＝0，))取y2＝1,所以n2＝(0,1,1),所以|cosθ|＝eq\f(|n1·n2|,|n1||n2|)＝eq\f(2,\r(3)×\r(2))＝eq\f(\r(6),3),所以sinθ＝eq\r(1－\f(6,9))＝eq\f(\r(3),3),所以二面角D－AB－F的正弦值为eq\f(\r(3),3).18．(本小题满分17分)如图,在平行四边形ABCD中,AB＝1,BD＝eq\r(2),∠ABD＝90°,将△ABD沿对角线BD折起,折后的点A变为A1,且A1C＝2.(1)求证：平面A1BD⊥平面BCD；(2)求异面直线BC与A1D所成角的余弦值；(3)若E为线段A1C上的一个动点,当线段EC的长为多少时,DE与平面BCD所成角的正弦值为eq\f(\r(7),7)？解：(1)证明：在Rt△ABD中,AD＝eq\r(AB2＋BD2)＝eq\r(3).∵四边形ABCD是平行四边形,∴BC＝AD＝eq\r(3),CD＝AB＝1,又A1C＝2,∴A1B2＋BC2＝A1C2,∴A1B⊥BC,又A1B⊥BD,BC∩BD＝B,且BC,BD⊂平面BCD,∴A1B⊥平面BCD,又A1B⊂平面A1BD,∴平面A1BD⊥平面BCD.(2)如图,以B为原点,在平面BCD内过点B作BD的垂线为x轴,建立空间直角坐标系,则B(0,0,0),A1(0,0,1),D(0,eq\r(2),0),C(1,eq\r(2),0),从而eq\o(BC,\s\up6(→))＝(1,eq\r(2),0),eq\o(DA1,\s\up6(→))＝(0,－eq\r(2),1),|cos〈eq\o(BC,\s\up6(→)),eq\o(DA1,\s\up6(→))〉|＝eq\f(|\o(BC,\s\up6(→))·\o(DA1,\s\up6(→))|,|\o(BC,\s\up6(→))||\o(DA1,\s\up6(→))|)＝eq\f(2,\r(3)×\r(3))＝eq\f(2,3),∴异面直线BC与A1D所成角的余弦值为eq\f(2,3).(3)eq\o(DC,\s\up6(→))＝(1,0,0),eq\o(CA1,\s\up6(→))＝(－1,－eq\r(2),1)．设eq\o(CE,\s\up6(→))＝λeq\o(CA1,\s\up6(→))＝(－λ,－eq\r(2)λ,λ),0≤λ≤1,则eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6(→))＝(1－λ,－eq\r(2)λ,λ),取平面BCD的一个法向量为n＝(0,0,1),设DE与平面BCD所成的角为θ,则sinθ＝|cos〈eq\o(DE,\s\up6(→)),n〉|＝eq\f(|\o(DE,\s\up6(→))·n|,|\o(DE,\s\up6(→))||n|)＝eq\f(|λ|,\r(（1－λ）2＋2λ2＋λ2))＝eq\f(\r(7),7),解得λ＝eq\f(1,3)或λ＝－1(舍去),∴eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(CA1,\s\up6(→)),即EC＝eq\f(2,3).∴当线段EC的长为eq\f(2,3)时,DE与平面BCD所成角的正弦值为eq\f(\r(7),7).19．(本小题满分17分)中国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍甍者,下有袤有广,而上有袤无广,刍,草也,甍,屋盖也．”翻译为“底面有长有宽为矩形,顶部只有长没有宽为一条棱．刍甍是茅草屋顶．”现有一个刍甍如图所示,四边形ABCD为正方形,四边形ABFE,CDEF为两个全等的等腰梯形,AB＝4,EF∥AB,AB＝2EF,EA＝ED＝FB＝FC＝3.(1)当N为线段AD的中点,且eq\o(CM,\s\up6(→))＝2eq\o(MF,\s\up6(→))时,求证：NF∥平面BDM；(2)当点N在线段AD上时(包含端点),求平面BFN与平面ADE夹角的余弦值的取值范围．解：(1)证明：如图所示,连接DM,BM,BD,CN,BD∩CN＝Z,连接ZM,在正方形ABCD中,易知△DNZ∽△BCZ,即eq\f(NZ,CZ)＝eq\f(ND,CB)＝eq\f(1,2)＝eq\f(FM,MC),所以ZM∥NF,而ZM⊂平面BDM,NF⊄平面BDM,所以NF∥平面BDM.(2)设正方形ABCD的中心为O,分别取AB,BC,EF的中点为P,Q,S,