中考数学难题突破之四边形

2027年中考数学复习难题速递之四边形（2026年7月）一．选择题（共10小题）1．如图，点E是正方形ABCD内一点，连接AE、BE、CE，DE，若AD＝5，AE⊥BE，∠ADE+∠ABE＝45°，则△CDE的面积为（）A．152 B．52 C．8 D2．在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，已知AO＝CO，BO＝DO（）A．若AC＝AD，则四边形ABCD是菱形 B．若AC＝BD，则四边形ABCD是正方形 C．若AO＝DO，则四边形ABCD是矩形 D．若AO⊥DO，则四边形ABCD是正方形3．如图，在▱ABCD中，点E为边AD上一点，连接CE，以CE为边在左侧作正方形CEFG，若∠DCE＝40°，∠AEF＝20°，则∠B的大小是（）A．120° B．110° C．70° D．60°4．如图，在▱ABCD中，AB＝5，BC＝4，BE⊥AN，垂足为E，BE＝4，∠DCB的平分线分别交EB，AB于点F，G，BM⊥GC，垂足为M，延长BM交AD的延长线于点N．下列结论正确的是（）①AG＝1；②△ABN为等边三角形；③F为BE的中点；④点A到BN的距离为25A．①③ B．②④ C．①④ D．①③④5．如图，E，F分别是▱ABCD的边AB，CD上的点，AF与DE相交于点H，BF与CE相交于点G，若S△AHD＝a，S△BGC＝b，则四边形HEGF的面积为（）A．a+b B．b﹣a C．2a﹣b D．2a+b6．如图，四边形ABCD是矩形，AB＝2，以C为圆心，以AB的长为半径画弧交BC边于点E，F是CD的中点，且AE⊥EF，G是AF的中点，则EG的长为（）A．52 B．102 C．5 D7．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，BC＝4，动点E，F分别在线段AB，AD上，且BE＝AF．则EF长度的最小值为（）A．23 B．32 C．4 D8．如图，剪两张对边平行的纸条，交叉叠放在一起，转动其中一张纸条，重合的部分构成了一个四边形，则下列结论不一定成立的是（）A．AD＝CD B．∠DAB＝∠DCB C．AB＝CD D．AO＝CO9．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DE⊥BD交BC的延长线于点E，F为OC上一动点，连接FD，FE．若AC，BD为定值，则下列三角形面积为定值的是（）A．△ODF B．△CEF C．△ADF D．△DEF10．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，且∠ADC＝60°，AB=12BC，连OE．下列结论：①AE＝CE；②S▱ABCD＝AB•AC；③S△ABC＝2S△ACE；④OE=A．1 B．2 C．3 D．4二．填空题（共5小题）11．如图，在▱ABCD中，AC⊥CD，F是AD的中点，CE平分∠ACD，CE⊥AE，连结CF，EF．若AB＝6，CF＝5，则△CEF的周长为．12．如图，在长方形ABCD中，AB＝2，AD＝4，E、F分别是边AD、BC上的动点，且DE＝BF，则CE+DF的最小值为．13．如图，在▱ABCD中，E为BC的中点，DF⊥AB于点F，DE＝6，DF＝8，AD＝10，则AF＝，△DEF的面积为．14．如图，在▱ABCD中，AB＝12，AD＝8，∠ADC＝60°，AC与BD交于点O，∠ABC和∠DCB的角平分线交于点E，则图中阴影部分的面积为．15．如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O又是另一个正方形A′B′C′O的一个顶点，AB交OA′于点E，BC交OC′于点F，连结EF．给出下面四个结论：①△AOE≌△BOF；②CF＝EF；③四边形EBFO的面积为正方形ABCD面积的14④当AB＝2.8，AE＝1.2时，OE=2上述结论中，正确结论的序号有．三．解答题（共5小题）16．某款便携折叠椅抽象出的几何图形如图所示，测得GD＝CE＝DF＝50cm，AB＝20cm，EF＝80cm，∠GBA+∠E＝180°，∠GFE＝90°，已知AB∥CD∥EF．（1）求证：四边形ACDB是平行四边形；（2）求椅子最高点G到地面EF的距离．17．如图，在长方形ABCD中，AB＝12cm，AD＝8cm，动点P从点C出发沿CD边以2cm/s的速度运动，达到点D后再以同样的速度沿DC返回到点C，四边形ABCP的面积是ycm2．（1）请写出当0＜t＜6时，y与点P的运动时间t的关系式；（2）当四边形ABCP的面积是56时，求t的值．18．在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，AD＝8cm，AB＝5cm，DC＝3cm，BC＝12cm．点P从点B出发，沿BC方向以每秒3cm的速度运动，点Q同时从点D出发，沿DA方向以每秒2cm的速度运动．设运动时间为t（秒）（0＜t≤4）．（1）CP的长为cm；（用含t的代数式表示）（2）设四边形ABPQ的面积为ycm2，求y与t之间的关系式；（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使得四边形ABPQ的面积是四边形ABCD面积的920？若存在，求出此时t（4）作点P关于直线BQ的对称点P′，是否存在某一时刻t，使点P′在AB上．若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．19．已知：在▱ABCD中，CE，AF分别平分∠BCD，∠DAB，分别交BD于点E，F，连接AE，CE．（1）求证：△BEC≌△DFA；（2）求证：四边形AECF是平行四边形．20．已知：如图，在▱ABCD中，分别在AB，CB的延长线上取点E，F，使BE＝AB，BF＝BC，直线EF分别交DA，DC的延长线于点M，N．（1）求证：四边形AFEC是平行四边形；（2）若AC＝6，求MN的长度．

2027年中考数学复习难题速递之四边形（2026年7月）参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）题号12345678910答案ACCDABAADD一．选择题（共10小题）1．如图，点E是正方形ABCD内一点，连接AE、BE、CE，DE，若AD＝5，AE⊥BE，∠ADE+∠ABE＝45°，则△CDE的面积为（）A．152 B．52 C．8 D【考点】正方形的性质；三角形的面积；等腰三角形的判定与性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形菱形正方形；运算能力；推理能力．【答案】A【分析】将△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△AGD，连接GE，证明△AGE和△GED都是等腰直角三角形，求得BE＝2AE，利用勾股定理求得AE=5，BE=25，过点E作AB的垂线分别交AB和CD于点M和N，利用等积法求得EM＝【解答】解：如图，将△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△AGD，连接GE，∴∠AGD＝∠AEB＝90°，∠ADG＝∠ABE，AG＝AE，DG＝BE，∠GAE＝90°，∴GE=2AE，∠AEG＝∠AGE＝45°，∠DGE＝90°﹣∠AGE＝∵∠ADE+∠ABE＝45°，∴∠ADE+∠ADG＝45°，即∠GDE＝45°，∴∠GED＝90°，∴△GED是等腰直角三角形，∴GD=2∴BE＝2AE，∵AD＝5，AE2+BE2＝AB2，∴AE2+（2AE）2＝52，解得AE=5，BE=2过点E作AB的垂线分别交AB和CD于点M和N，则四边形AMND是矩形，∴MN＝AD＝5，∵S△ABE∴EM=5∴EN＝5﹣2＝3，∴△CDE的面积为12故选：A．【点评】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的面积，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．2．在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，已知AO＝CO，BO＝DO（）A．若AC＝AD，则四边形ABCD是菱形 B．若AC＝BD，则四边形ABCD是正方形 C．若AO＝DO，则四边形ABCD是矩形 D．若AO⊥DO，则四边形ABCD是正方形【考点】正方形的判定；平行四边形的判定与性质；菱形的判定；矩形的判定．【专题】多边形与平行四边形；矩形菱形正方形；推理能力．【答案】C【分析】先根据AO＝CO，BO＝DO，可判定四边形ABCD是平行四边形，对于选项A，若AC＝AD，则△ACD是等腰三角形，不能判定平行四边形ABCD是菱形，由此得选项A不正确；对于选项B，若AC＝BD，则根据对角线相等的平行四边形ABCD是矩形，不是正方形，由此得选项B不正确；对于选项C，若AO＝DO时，则AC＝BD，根据对角线相等的平行四边形ABCD是矩形，由此得选项C正确；对于选项D，若AO⊥DO，则AC⊥BD，根据对角线互相垂直的平行四边形ABCD是菱形，由此得选项D不正确，综上所述即可得出答案．【解答】解：在四边形ABCD中，AO＝CO，BO＝DO，∴四边形ABCD是平行四边形，对于选项A，若AC＝AD，则△ACD是等腰三角形，不能判定平行四边形ABCD是菱形，∴选项A不正确，不符合题意；对于选项B，若AC＝BD，则平行四边形ABCD是矩形，不是正方形，∴选项B不正确，不符合题意；对于选项C，∵AO＝CO，BO＝DO，∴AC＝2AO，BD＝2DO，∴若AO＝DO时，则AC＝BD，∴平行四边形ABCD是矩形，∴选项C正确，符合题意；对于选项D，若AO⊥DO，则AC⊥BD，∴平行四边形ABCD是菱形，∴选项D不正确，不符合题意，故选：C．【点评】此题主要考查了平行四边形的判定与性质，正方形，矩形和菱形的判定，熟练掌握形的判定与性质，正方形，矩形和菱形的判定是解决问题的关键．3．如图，在▱ABCD中，点E为边AD上一点，连接CE，以CE为边在左侧作正方形CEFG，若∠DCE＝40°，∠AEF＝20°，则∠B的大小是（）A．120° B．110° C．70° D．60°【考点】正方形的性质；平行线的性质；平行四边形的性质．【专题】多边形与平行四边形；推理能力．【答案】C【分析】根据正方形的性质得出∠FEC＝90°，进而得出∠DEC＝70°，利用三角形内角和得出∠D，进而解答即可．【解答】解：∵四边形CEFG是正方形，∴∠FEC＝90°，∵∠AEF＝20°，∴∠DEC＝180°﹣90°﹣20°＝70°，∵∠DCE＝40°，∴∠D＝180°﹣40°﹣70°＝70°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B＝∠D＝70°，故选：C．【点评】此题考查正方形的性质，平行四边形的性质，关键是根据正方形的性质得出∠FEC＝90°解答．4．如图，在▱ABCD中，AB＝5，BC＝4，BE⊥AN，垂足为E，BE＝4，∠DCB的平分线分别交EB，AB于点F，G，BM⊥GC，垂足为M，延长BM交AD的延长线于点N．下列结论正确的是（）①AG＝1；②△ABN为等边三角形；③F为BE的中点；④点A到BN的距离为25A．①③ B．②④ C．①④ D．①③④【考点】平行四边形的性质；等边三角形的判定与性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；几何直观；运算能力；推理能力．【答案】D【分析】①由AB∥CD及CG平分∠DCB得∠BGC＝∠DCG＝∠BCG，由此得BG＝BC＝4，进而得AG＝AB﹣BG＝1，则结论①正确；②证明∠N＝∠ABN得AN＝AB＝5，在Rt△ABE中，由勾股定理得AE＝3，则EN＝2，在Rt△BEN中，由勾股定理得BN=25，由此得△ABN不是等边三角形，则结论②③延长CG交DA的延长线于点H，连接CE，HB，先求出EH＝BC＝4，再根据AD∥BC得四边形HECB是平行四边形，由此得BF＝EF，则结论③正确；④设点A到BN的距离为h，由三角形的面积公式得S△ABN=12BN•h=12AN•BE，据此得h【解答】解：①∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝5，BC＝4，∴AD＝BC＝4，CD＝AB＝5，AB∥CD，AD∥BC，∴∠BGC＝∠DCG，∵∠DCB的平分线交AB于点G，∴∠BCG＝∠DCG，∴BG＝BC＝4，∴AG＝AB﹣BG＝5﹣4＝1，故结论①正确；②∵点D在AD的延长线上，AD∥BC，∴AN∥BC，∴∠N＝∠CBN，在△BCG中，BG＝BC＝4，BM⊥CG，∴BM是∠ABC的平分线，∴∠CBN＝∠ABN，∴∠N＝∠ABN，∴AN＝AB＝5，∵BE⊥AN，垂足为E，∴∠BEA＝∠BEN＝90°，在Rt△ABE中，∠BEA＝90°，AB＝5，BE＝4，由勾股定理得：AE=AB∴EN＝AN﹣AE＝5﹣3＝2，在Rt△BEN中，∠BEN＝90°，由勾股定理得：BN=B在△ABN中，AB＝AN＝5，BN=25∴△ABN不是等边三角形，故结论②不正确；③延长CG交DA的延长线于点H，连接CE，HB，如图所示：∴AD∥BC，∴∠H＝∠BCH，∵∠DCB的平分线，∴∠BCH＝∠DCH，∴∠H＝∠DCH，∴HD＝CD＝5，∵AD＝4，AE＝3，∴DE＝AD﹣AE＝1，∴HE＝HA﹣DE＝4，∴EH＝BC＝4，又∵AD∥BC，∴HE∥BC，∴四边形HECB是平行四边形，∴BF＝EF，∴点F为BE的中点，故结论③正确；④设点A到BN的距离为h，由三角形的面积公式得：S△ABN=12BN•h=12∵BN=25，AN＝5，BE＝4∴h=AN⋅BE∴点A到BN的距离为25故结论④正确，综上所述：结论正确的是①③④．故选：D．【点评】此题主要考查了平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，灵活利用勾股定理及三角形的面积公式进行计算是解决问题的关键．5．如图，E，F分别是▱ABCD的边AB，CD上的点，AF与DE相交于点H，BF与CE相交于点G，若S△AHD＝a，S△BGC＝b，则四边形HEGF的面积为（）A．a+b B．b﹣a C．2a﹣b D．2a+b【考点】平行四边形的性质；三角形的面积．【专题】多边形与平行四边形；推理能力．【答案】A【分析】连接EF，利用平行四边形对边平行可得平行线间距离相等，从而得出同底等高的三角形面积相等，通过面积割补法将四边形HEGF的面积转化为已知三角形面积之和．【解答】解：连接EF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴点A、E、B到直线CD的距离相等，设为h，∵S△EDF=1∴S△ADF＝S△EDF，∵S△EDF＝S△EFH+S△DHF，S△ADF＝S△AHD+S△DHF，∴S△EFH＝S△AHD＝a，同理得：∵S△BCF=1∴S△BCF＝S△ECF，∵S△ECF＝S△EFG+S△CGF，S△BCF＝S△BGC+S△CGF，∴S△EFG＝S△BGC＝b，∴S四边形HEGF＝S△EFH+S△EFG＝a+b，故选：A．【点评】本题考查平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键．6．如图，四边形ABCD是矩形，AB＝2，以C为圆心，以AB的长为半径画弧交BC边于点E，F是CD的中点，且AE⊥EF，G是AF的中点，则EG的长为（）A．52 B．102 C．5 D【考点】矩形的性质；直角三角形斜边上的中线．【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；矩形菱形正方形；几何直观；运算能力；推理能力．【答案】B【分析】由矩形性质得CD＝AB＝2，AD＝BC，∠B＝∠C＝∠D＝90°，进而得CF＝DF＝1，证明△ABE和△ECF全等得BE＝CF＝1，则AD＝BC＝3，在Rt△ADF中，由勾股定理得AF=10，然后根据直角三角形斜边中线的性质可得EG=12【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，且AB＝2，∴CD＝AB＝2，AD＝BC，∠B＝∠C＝∠D＝90°，∵点F是CD的中点，∴CF＝DF=12CD＝以C为圆心，以AB的长为半径画弧交BC边于点E，∴AB＝EC，∵AE⊥EF，∴∠AEF＝90°，∴∠BEA+∠CEF＝180°﹣∠AEF＝90°，在△ABE中，∠B＝90°，∴∠BEA+∠BAE＝90°，∴∠BAE＝∠CEF，在△ABE和△ECF中，∠B=∠C=90°AB=EC∴△ABE≌△ECF（ASA），∴BE＝CF＝1，∴BC＝BE+EC＝1+2＝3，∴AD＝BC＝3，在△ADF中，∠D＝90°，由勾股定理得：AF=A在△AEF中，∠AEF＝90°，点G是AF的中点，∴EG是Rt△AEF的斜边AF上的中线，∴EG=12AF故选：B．【点评】此题主要考查了矩形的性质，全等三角形判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，理解矩形的性质，熟练掌握全等三角形判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理是解决问题的关键．7．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，BC＝4，动点E，F分别在线段AB，AD上，且BE＝AF．则EF长度的最小值为（）A．23 B．32 C．4 D【考点】菱形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质．【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；矩形菱形正方形；运算能力；推理能力．【答案】A【分析】连接AC，先证△BCE≌△ACF（SAS），得CE＝CF，∠BCE＝∠ACF，再证△CEF是等边三角形，得EF＝CE，当CE最小时，EF也最小，然后求出CE的最小值，即可解决问题．【解答】解：如图，连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝4，AD∥BC，∵∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AC＝BC，∠ACB＝60°，∵AD∥BC，∴∠CAF＝∠ACB＝60°，∴∠B＝∠CAF，在△BCE和△ACF中，BE=AF∠B=∠CAF∴△BCE≌△ACF（SAS），∴CE＝CF，∠BCE＝∠ACF，∴∠ACF+∠ACE＝∠BCE+∠ACE＝∠ACB＝60°，∴△CEF是等边三角形，∴EF＝CE，∴当CE最小时，EF也最小，当CE⊥AB时，CE最小，此时∠BCE＝90°﹣∠B＝30°，∴BE=12BC＝∴CE=BC2∴EF的最小值为23，故选：A．【点评】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质、勾股定理以及最小值等知识，熟练掌握菱形的性质和等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．8．如图，剪两张对边平行的纸条，交叉叠放在一起，转动其中一张纸条，重合的部分构成了一个四边形，则下列结论不一定成立的是（）A．AD＝CD B．∠DAB＝∠DCB C．AB＝CD D．AO＝CO【考点】菱形的判定与性质；平行四边形的判定与性质．【专题】多边形与平行四边形；推理能力．【答案】A【分析】由条件可知AB∥CD，AD∥BC，可证明四边形ABCD为平行四边形，可得到∠DAB＝∠DCB，AB＝CD，AO＝CO．【解答】解：由题意可知：AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD为平行四边形，∴∠DAB＝∠DCB，AB＝CD，AO＝CO，故选：A．【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质；证明四边形ABCD为平行四边形是解题的关键．9．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DE⊥BD交BC的延长线于点E，F为OC上一动点，连接FD，FE．若AC，BD为定值，则下列三角形面积为定值的是（）A．△ODF B．△CEF C．△ADF D．△DEF【考点】菱形的性质；三角形的面积．【专题】三角形；矩形菱形正方形；推理能力；科学文化情境．【答案】D【分析】根据菱形的性质得到AB＝BC＝CD＝AD，∥D⊥AC，根据平行四边形的性质得到AD＝CE＝BC，AC∥DE，AC＝DE，根据三角形的面积公式即可得到结论．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∥D⊥AC，∵DE⊥BD，∴AC∥DE，∴四边形ACED是平行四边形，∴AD＝CE＝BC，AC∥DE，AC＝DE，∵AC，BD为定值，∴AB＝BC＝CD＝AD＝CE为定值，OD为定值，∵F为OC上一动点，∴CF，AF，OF的值随点F的移动而变化，∴三角形面积为定值的是△DEF，故选：D．【点评】本题考查了菱形的性质，平行四边形的判定和性质，三角形的面积，熟练掌握平行四边形的判定和性质定理是解题的关键．10．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，且∠ADC＝60°，AB=12BC，连OE．下列结论：①AE＝CE；②S▱ABCD＝AB•AC；③S△ABC＝2S△ACE；④OE=A．1 B．2 C．3 D．4【考点】平行四边形的性质；角平分线的性质．【专题】线段、角、相交线与平行线；多边形与平行四边形；运算能力；推理能力．【答案】D【分析】由平行四边形的性质及AE平分∠BAD，可得△ABE是等边三角形，则AE＝CE，∠AEB＝60°，则可判定①；由三角形外角性质得∠EAC＝30°，从而得AC⊥BC，由平行四边形的面积可判定②；由E是BC的中点可判定③；由三角形中位线及AB=12BC【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BAD＝180°﹣∠ADC＝120°，∠ABC＝∠ADC＝60°，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=1∴∠AEB＝∠ABC＝∠BAE＝60°，∴△ABE是等边三角形，∴AB＝AE＝BE；∵AB=1∴AE=BE=12BC，即点E∴AE＝CE，故①正确，符合题意；∴∠EAC=∠ECA=1∴∠BAC＝∠BAE+∠EAC＝90°，∴AC⊥BC，平行四边形的面积＝AB•BC，故②正确，符合题意；∵E是BC的中点，∴AE是△ABC的中线，∴S△ABE＝S△ACE，即S△ABC＝2S△ACE，故③正确，符合题意；由平行四边形的性质知，O是AC的中点，∵E是BC的中点，∴OE=1∵AB=1∴OE=1故④正确，符合题意；故选：D．【点评】本题考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定与性质，三角形中位线的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．二．填空题（共5小题）11．如图，在▱ABCD中，AC⊥CD，F是AD的中点，CE平分∠ACD，CE⊥AE，连结CF，EF．若AB＝6，CF＝5，则△CEF的周长为6+42．【考点】平行四边形的性质；等腰三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；三角形中位线定理．【专题】多边形与平行四边形；运算能力．【答案】6+42．【分析】如图，右侧EF交AC于点T．利用勾股定理求出AC，再求出EC，EF可得结论．【解答】解：如图，右侧EF交AC于点T．∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD＝AB＝6，∵AC⊥CD，∴∠ACD＝90°，∵F是AD的中点，∴AD＝2CF＝10，∴AC=AD∵CE平分∠ACD，∴∠ACE＝∠ECD＝45°，∵AE⊥EC，∴∠EAC＝∠ACE＝45°，∴AE＝EC=22AC＝4∵FA＝FC，EA＝EC，∴EF垂直平分线段AC，∴AT＝CT，ET=12AC＝∵AF＝DF，AT＝TC，∴FT=12CD＝∴EF＝ET﹣TF＝4﹣3＝1，∴△ECF的周长＝EF+CF+EC＝1+5+42=6+42故答案为：6+42．【点评】本题考查平行四边形的性质，等腰三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，三角形中位线定理，解题的关键是掌握相关知识解决问题．12．如图，在长方形ABCD中，AB＝2，AD＝4，E、F分别是边AD、BC上的动点，且DE＝BF，则CE+DF的最小值为42．【考点】矩形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理．【专题】矩形菱形正方形；推理能力．【答案】42．【分析】连接BE，作B关于AD的对称点B'，连接B'C，交AD于点E'，利用轴对称的性质和勾股定理得出最小值解答即可．【解答】解：连接BE，作B关于AD的对称点B'，连接B'C，交AD于点E'，∵四边形ABCD是矩形，∴BA⊥AD，AD＝BC，AD∥BC，∵DE＝BF，∴四边形BFDE是平行四边形，∴BE＝DF，∴CE+DF＝CE+BE，由轴对称可知，B'E'＝BE'，当B'，E'，C三点共线时，CE'+B'E最小，CB'=BB即CE+DF的最小值为42，故答案为：42．【点评】此题考查矩形的性质，轴对称的性质，关键是利用轴对称的性质和勾股定理得出最小值解答．13．如图，在▱ABCD中，E为BC的中点，DF⊥AB于点F，DE＝6，DF＝8，AD＝10，则AF＝6，△DEF的面积为85【考点】平行四边形的性质；三角形的面积；全等三角形的判定与性质；勾股定理．【专题】等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；几何直观；推理能力．【答案】6；85【分析】根据已知条件利用勾股定理即可求得AF的长度；延长DE，AB交于点G，利用倍长中线模型结合平行四边形的性质证明△GEB≌△DEC（ASA），从而得到GD的长度，利用勾股定理求得GF的长度，结合直角三角形斜边上的中线定理可得FE=12GD【解答】解：在Rt△ADF中，DF⊥AB，AD＝10，DF＝8，由勾股定理得：AF=A如图，延长DE，AB交于点G，在▱ABCD中，AD＝BC＝10，AB＝CD，AB∥CD，∴∠GBC＝∠C，∵E为BC中点，∴BE＝EC，在△GEB和△DEC中，∠GBC=∠CBE=EC∴△GEB≌△DEC（ASA），∴GE＝DE＝6，∴GD＝GE+DE＝6+6＝12，GB＝CD＝AB，在Rt△GFD中，由勾股定理得：GF=G∵FE=1∴S△DEF故答案为：6；85【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形的面积，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键．14．如图，在▱ABCD中，AB＝12，AD＝8，∠ADC＝60°，AC与BD交于点O，∠ABC和∠DCB的角平分线交于点E，则图中阴影部分的面积为43．【考点】平行四边形的性质．【专题】多边形与平行四边形；运算能力；推理能力．【答案】43．【分析】过A作AH⊥BC于H，由平行四边形的性质推出DC＝AB＝12，BC＝AD＝8，∠ABC＝∠ADC＝60°，AB∥DC，由sin∠ADC=AHAD=32，求出AH＝43，得到▱ABCD的面积＝DC•AH＝483，因此△BOC的面积＝▱ABCD面积的14=123，由角平分线的定义得到∠CBE+∠BCE=12（∠ABC+∠BCD）＝90°，求出∠BEC＝90°，由含30度角的直角三角形的性质得到CE=12BC＝4，求出BE=【解答】解：过A作AH⊥BC于H，∴∠AHD＝90°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC＝AB＝12，BC＝AD＝8，∠ABC＝∠ADC＝60°，∵sin∠ADC＝sin60°=AH∴AH＝43，∴▱ABCD的面积＝DC•AH＝12×43=483∵四边形ABCD是平行四边形，∴△BOC的面积＝▱ABCD面积的14=123，AB∥∴∠ABC+∠BCD＝180°，∵∠ABC和∠DCB的角平分线交于点E，∴∠CBE=12∠ABC，∠BCE=1∴∠CBE+∠BCE=12（∠ABC+∠BCD）＝∴∠BEC＝90°，∵∠CBE=12∠ABC＝∴CE=12BC＝∴BE=3CE＝43∴△BCE的面积=12BE•CE=12×43∴图中阴影部分的面积＝△BOC的面积﹣△BCE的面积＝43．故答案为：43．【点评】本题考查平行四边形的性质，三角形的面积，解直角三角形，角平分线的定义，含30度角的直角三角形，关键是掌握平行四边形的性质，判定△BCE是直角三角形．15．如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O又是另一个正方形A′B′C′O的一个顶点，AB交OA′于点E，BC交OC′于点F，连结EF．给出下面四个结论：①△AOE≌△BOF；②CF＝EF；③四边形EBFO的面积为正方形ABCD面积的14④当AB＝2.8，AE＝1.2时，OE=2上述结论中，正确结论的序号有①③④．【考点】四边形综合题．【专题】几何综合题；运算能力；推理能力；科学文化情境．【答案】①③④．【分析】根据正方形的性质得到OA＝OB，∠OAB＝∠OBA＝45°，∠AOB＝90°，∠EOF＝90°，根据全等三角形的性质得到AE＝BF，得到BE＝CF，求得CF＜EF，故②错误；推出S四边形EBFO＝S△AOB=14S正方形ABCD，故③正确；过O作OH⊥AB于H，根据三角形的中位线定理得到AH＝BH＝OH=122.8＝1.4，根据勾股定理得到OE【解答】解：∵正方形ABCD的对角线相交于点O，∴OA＝OB，∠OAB＝∠OBA＝45°，∠AOB＝90°，∵四边形A′B′C′O是正方形，∴∠EOF＝90°，∴∠AOE＝∠BOF，∴△AOE≌△BOF（ASA），故①正确；∴AE＝BF，∵AB＝BC，∴BE＝CF，∵EF＞BE，∴CF＜EF，故②错误；∵△AOE≌△BOF，∴S四边形EBFO＝S△AOB=14S正方形ABCD，故过O作OH⊥AB于H，∴OH∥BC，∵AO＝CO，∴AH＝BH＝OH=122.8＝∵AE＝1.2，∴EH＝AH﹣AE＝0.2，∴OE=OH2故答案为：①③④．【点评】本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．三．解答题（共5小题）16．某款便携折叠椅抽象出的几何图形如图所示，测得GD＝CE＝DF＝50cm，AB＝20cm，EF＝80cm，∠GBA+∠E＝180°，∠GFE＝90°，已知AB∥CD∥EF．（1）求证：四边形ACDB是平行四边形；（2）求椅子最高点G到地面EF的距离．【考点】平行四边形的判定与性质；勾股定理．【专题】等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；推理能力．【答案】（1）∵AB∥EF，∴∠A+∠E＝180°，∵∠GBA+∠E＝180°，∴∠A＝∠GBA，∴AC∥BD，∵AB∥CD，∴四边形ACDB是平行四边形；（2）80cm．【分析】（1）由平行线的性质推出∠A+∠E＝180°，由补角的性质推出∠A＝∠GBA，得到AC∥BD，而AB∥CD，即可证明四边形ACDB是平行四边形；（2）延长GD交EF于M，由平行四边形的性质推出CD＝AB＝20cm，判定四边形CEMD是平行四边形，得到DM＝CE＝50cm，ME＝CD＝20cm，求出MF＝60cm，MG＝100cm，由勾股定理求出FG＝80cm，即可得到椅子最高点G到地面EF的距离．【解答】（1）证明：∵AB∥EF，∴∠A+∠E＝180°，∵∠GBA+∠E＝180°，∴∠A＝∠GBA，∴AC∥BD，∵AB∥CD，∴四边形ACDB是平行四边形；（2）解：延长GD交EF于M，由（1）知四边形ACDB是平行四边形，∴CD＝AB＝20cm，∵DM∥CE，CD∥EM，∴四边形CEMD是平行四边形，∴DM＝CE＝50cm，ME＝CD＝20cm，∴MF＝EF﹣ME＝80﹣20＝60（cm），MG＝MD+DG＝50+50＝100（cm），∵∠GFE＝90°，∴FG=MG2-M∴椅子最高点G到地面EF的距离为80cm．【点评】本题考查平行四边形的判定和性质，勾股定理，关键是掌握两组对边分别平行的四边形是平行四边形，由勾股定理求出FG的长．17．如图，在长方形ABCD中，AB＝12cm，AD＝8cm，动点P从点C出发沿CD边以2cm/s的速度运动，达到点D后再以同样的速度沿DC返回到点C，四边形ABCP的面积是ycm2．（1）请写出当0＜t＜6时，y与点P的运动时间t的关系式；（2）当四边形ABCP的面积是56时，求t的值．【考点】矩形的性质；动点问题的函数图象．【专题】函数及其图象；矩形菱形正方形；运算能力；推理能力．【答案】（1）y＝48+8t（0＜t＜6）；（2）t＝1或t＝11．【分析】（1）根据题意可得CP，进而得到DP，再根据y＝S长方形ABCD﹣S△ADP求解；（2）求出6≤t＜12时，y与t的关系式，再分情况求解即可．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝12cm，∵动点P从点C出发沿CD边以2cm/s的速度运动，∴当0＜t＜6时，点P从点C出发沿CD运动，∴CP＝2t（cm），则DP＝CD﹣CP＝12﹣2t（cm），S△ADPS长方形∴y＝S长方形ABCD﹣S△ADP＝96﹣（48﹣8t）＝48+8t（0＜t＜6）；（2）∵动点P从点C出发沿CD边以2cm/s的速度运动，达到点D后再以同样的速度沿DC返回到点C，∴当6≤t＜12时，DP＝2（t﹣6），S△ADP∴y＝S长方形ABCD﹣S△ADP＝96﹣（8t﹣48）＝144﹣8t（6≤t＜12），当6≤t＜12时，y＝144﹣8t＝56，解得t＝11，当0＜t＜6时，y＝48+8t＝56，解得t＝1，综上，当四边形ABCP的面积是56时，t＝1或t＝11．【点评】本题考查矩形的性质，动点问题的函数图象，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．18．在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，AD＝8cm，AB＝5cm，DC＝3cm，BC＝12cm．点P从点B出发，沿BC方向以每秒3cm的速度运动，点Q同时从点D出发，沿DA方向以每秒2cm的速度运动．设运动时间为t（秒）（0＜t≤4）．（1）CP的长为（12﹣3t）cm；（用含t的代数式表示）（2）设四边形ABPQ的面积为ycm2，求y与t之间的关系式；（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使得四边形ABPQ的面积是四边形ABCD面积的920？若存在，求出此时t（4）作点P关于直线BQ的对称点P′，是否存在某一时刻t，使点P′在AB上．若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．【考点】四边形综合题．【专题】几何综合题．【答案】（1）（12﹣3t）；（2）y=3（3）t＝1；（4）t=3【分析】（1）根据路程＝速度×时间用含t的式子表示出BP的长即可得到答案；（2）根据y＝S梯形ABCD﹣S四边形CDQP列式求解即可；（3）求出四边形ABCD的面积，再根据（2）所求建立方程求解即可；（4）由轴对称的性质可得∠P′BQ＝∠PBQ，当点P在AB上时，可证明∠AQB＝∠ABQ，得到AB＝AQ＝5cm，据此建立方程求解即可．【解答】解：（1）由题意得，BP＝3tcm，∴CP＝BC﹣BP