中考数学难题突破之一次函数

2027年中考数学复习难题速递之一次函数（2026年7月）一．选择题（共10小题）1．已知函数y1＝x，y2=13x+23，y3=-13x+2的图象如图所示，若无论x取何值，y总取yA．1 B．43 C．32 D2．如图1，点C是线段AB上的定点，点P，Q是线段AB上的动点．已知点P，Q同时分别从点C，B出发相向匀速运动，当点Q到达点C后，继续保持原速向点A运动．而点P到达点B后立即掉头，并保持原速也向点A运动，经过一段时间后，P，Q两点同时到达A点．设P，Q两点的运动时间为xmin，两点之间的距离为ycm，y与x之间的关系如图2所示，有如下结论：①线段BC的长度为90cm；②点P的速度为18cm/min；③运动时间x＝15min时，P，Q两点同时到达A点；④在运动过程中，P，Q两点相距15cm时，运动时间为2.5min或3.5min或12.5min．以上结论正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．在物理实验“探究重力的大小跟质量的关系”中，同学们测得六组数据并绘制了函数图象的一部分如图所示．已知重力G（N）与质量m（kg）满足一次函数关系，下列说法错误的是（）A．当物体质量为0kg时，重力为0N B．物体的质量越大，它受到的重力也越大 C．物体质量每增加0.1kg，受到的重力增加1N D．物体质量为0.4kg时，受到的重力是3.8N4．在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx﹣6与x轴，y轴分别交于A，B，直线y＝kx+2k与x轴，y轴分别交于C，D．其中k＞0，M、N为线段AB上任意两点，P、Q为线段CD上任意两点，记点M，N，P，Q组成的四边形为图形G．下列四个结论中，①对于任意的k，都存在无数个图形G是平行四边形；②对于任意的k，都存在无数个图形G是矩形；③存在唯一的k，使得此时有一个图形G是菱形；④至少存在一个k，使得此时有一个图形G是正方形．所有正确结论的序号是（）A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④5．在同一平面直角坐标系中，函数y＝﹣kx（k≠0）和y＝x+k的图象可能是（）A． B． C． D．6．如图，在平面直角坐标系中，A（﹣2，2），B（6，2），C（2，3），D是线段AB上一点（不与点A，B重合），直线CD的表达式为y＝kx+b（k≠0），当y随x的增大而减小时，点D的坐标可以是（）A．（﹣1，2） B．（2，2） C．（7，2） D．（3，2）7．甲、乙两人赛跑，两人所跑的路程y（米）与所用的时间x（分）的函数关系如图所示．给出下面四个结论：①比赛全程1500米；②2分钟时，甲、乙相距200米；③乙到达终点时，甲距离终点还有150米；④3分40秒时，乙追上甲．上述结论中，所有正确选项的序号是（）A．②③④ B．①③ C．①②④ D．①③④8．人工智能的发展使得智能机器人送餐成为时尚．如图，某餐厅的机器人小数和小语从厨房门口出发，准备给相距450cm的客人送餐，小数比小语先出发，且速度保持不变，小语出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．设小数行走的时间为x（s），小数和小语行走的路程分别为y1（cm），y2（cm），y1，y2与x之间的函数图象如图所示，则下列说法正确的有（）个．①小数比小语先出发15s；②小语提速后的速度为30cm/s；③n＝45；④从小数出发至送餐结束，小语和小数最远相距160cm．A．1 B．2 C．3 D．49．关于函数y＝﹣2x﹣3，下列说法正确的是（）A．其图象与直线y＝﹣2x+3平行 B．其图象经过点（1，1） C．其图象经过第一、二、四象限 D．y随x的增大而增大10．如图，在平面直角坐标系中，直线l：y＝2x﹣1与x轴相交于点A1，以OA1为边向上作正方形OA1B1C1，延长C1B1交直线l于点A2；以C1A2为边向上方作正方形C1A2B2C2，延长C2B2交直线l于点A3；以C2A3为边向上方作正方形C2A3B3C3…，则点B100的横坐标为（）A．3992100 BC．31002100 二．填空题（共5小题）11．暑假期间，张亮和王鹏同学为锻炼自己的社会实践能力，他们以每千克1.4元的价格购进一批西瓜到市场销售．售出部分西瓜后，余下的每千克降价0.4元全部售完．销售金额与售出质量之间的关系如图所示，则两人共获利元．12．在直角坐标坐标系中，已知直线l：y＝mx+n（m，n为常数，且m≠0）经过点（﹣1，a）与点（2，2﹣a），下列结论：①方程mx+n＝a的解为x＝﹣1；②若直线l与x轴，y轴分别交于点A，点B，△AOB为等腰三角形，则n=3③无论m取何值，直线l一定经过某个定点；④过点O作OP⊥l，垂足为P，则OP的最大值为52其中正确的结论有（填写所有正确结论的序号）．13．如图是物理实验课上探究“拉力与斜面高度关系”的示意图，其中BA是倾斜程度可以调整的斜面（斜面足够长）．实验者用弹簧测力计拉着适当大小的木块，沿斜面从B到A的方向做匀速直线运动．某项目小组经过探索得到：在弹簧的弹性限度内，沿斜面的拉力F（N）是斜面高度h（cm）的一次函数，且当h＝10cm时，F＝2N；当h＝30cm时，F＝4N；如果弹簧测力计的最大量程是5N，为了不损坏测力计，那么斜面的高度最多不能超过cm．14．在平面直角坐标系xOy中，A（1，0），B（0，2），菱形ABCD关于x轴、y轴对称，点M，N分别是AB，AD的中点，若菱形内部一点P关于直线MN的对称点在直线y＝x﹣2上，设点P的横坐标为t，则t的取值范围是．15．已知点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）都在直线y＝﹣2x+4上，当x1＜x2＜x3时，下列结论：①若x2+x3＜0，则y1+y3＞0；②若x1+x2＜0，则y2y3＞0；③若x2+x3＜0，则y1y2＞0；④若y1y3＞0，则x2x3＞0；⑤若y1y2＜0，则x2x3＞0．其中正确的结论有（直接填序号）．三．解答题（共5小题）16．刻漏是中国古代科技的重要发明．体现了古人对“匀速运动”“流体力学”的早期探索，其原理影响了后续计时工具的发展，如图1所示为唐代制造的一种四级漏刻的示意图．如图2所示，综合实践小组用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作了一个简易计时装置．【实验操作】综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为10cm，开始放水后每隔1min观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如表：t（min）01234观察值h（cm）1098.16.95.8【建立模型】小组讨论发现：“t＝0，h＝10”是初始状态下的数据，水面高度值的变化不均匀，但根据表中的数据绘制散点图．观察各点的分布特征，发现其大致分布在一条直线附近，表明h与t之间存在近似的一次函数关系．基于此，综合实践小组将表中的观察值数据取近似值保留整数位后，用一次函数近似的刻画水面高度h与流水时间t的关系．【解决问题】根据以上信息，解答下列问题：（1）依照综合实践小组的方法，求水面高度h与流水时间t的函数表达式；（2）当甲容器的水刚好放完时，求流水时间t；（3）小天同学用这个装置也进行了实验，记录了以下一组数据，结合（1）中的函数表达式，判断这组数据的准确性并说明原因．t（min）01234观察值h（cm）54.053.152.221.317．在一条笔直的城市绿道上，有驿站A（起点），观景台B（终点），补给站C三处打卡点，补给站C位于驿站A和观景台B之间．甲从驿站A出发前往观景台B，全程匀速步行打卡；乙同时出发，匀速步行15分钟到达补给站C，休息一段时间后，再骑观光自行车匀速前往观景台，已知乙骑行的速度是自己步行速度的3倍，最终两人同时到达观景台B．甲、乙两人各自离驿站A的距离（米）与所用时间（分）的关系如图所示，请结合图象解答下列问题：（1）出发时，甲和乙之间的距离是米；（2）乙在补给站休息了多少分钟？（3）甲步行多少分钟时，甲、乙两人之间的距离为400米．18．【问题背景】某商场员工需利用扶梯将45辆购物车从一层转运到商场负一层．【阅读素材】素材1：购物车在整齐叠放的状态下，数量每增加1辆，购物车列的车身总长变化情况相同，如表为整齐叠放的购物车列的车身总长y（单位：米）与购物车数量x（单位：辆）的关系：购物车数量x/辆12345车身总长y/米0.91.21.51.82.1素材2：如图，商场扶梯AB的总长为12.5米，为保证安全，在利用扶梯运输购物车时，规定一次只能转运一列购物车，且购物车列的车头与车尾需同时处于扶梯AB内．【问题解决】（1）请直接写出y与x之间的关系式；（2）若忽略其余客观因素，请判断员工能否一次性转运45辆购物车？若能，请通过计算说明理由；若不能，请求出一次最多可转运的购物车数量．19．某校数学小组为解决饭堂汤碗从厨房到就餐区的转运问题，进行调研，得到了以下信息：信息1如图1所示，单个汤碗平放高度为8cm．为节省空间，一般将汤碗如图2叠放，每增加一个汤碗，总高度增加1.5cm．信息2安全起见，使用推车运送汤碗时，一次最多运4叠．请根据以上信息，解决下列问题：（1）如图2，当4个汤碗叠放，总高度为cm；（2）当叠放n个汤碗时，总高度hcm，则h与n的关系式是；（3）若要使用一辆推车运送汤碗，每叠汤碗总高度为26cm，一次最多运送多少汤碗？20．某电站巡检基地距离一远端光伏监测点1200米，巡检人员李师傅匀速步行前往该监测点，基地的调度员发现李师傅忘带故障检测仪，立刻放飞同路线匀速飞行的巡检无人机追赶李师傅．无人机中途追上李师傅，交接时间忽略不计，后保持原速原路返回基地．如图，线段OA表示李师傅离基地的距离和时间x（分）的关系；折线BCD表示无人机离基地的距离和时间x（分）的关系，请根据图象回答下列问题：（1）李师傅出发分钟后，无人机起飞，无人机飞行了米追上李师傅；（2）求无人机飞行速度是多少米/分？（3）当李师傅与无人机相距120米时，请直接写出x的值．

2027年中考数学复习难题速递之一次函数（2026年7月）参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）题号12345678910答案BDDBADDCAA一．选择题（共10小题）1．已知函数y1＝x，y2=13x+23，y3=-13x+2的图象如图所示，若无论x取何值，y总取yA．1 B．43 C．32 D【考点】正比例函数的性质；正比例函数的图象．【专题】一次函数及其应用；运算能力．【答案】B【分析】根据无论x取何值，y总取y1、y2、y3中的最小值，y最大值即求三个函数的公共部分的最大值．【解答】解：由于y总取y1、y2、y3中的最小值，设y1与y2交于点A，y1与y3交于点B，y2与y3交于点C，∴x﹣y的图象如图所示．分别求出y1，y2，y3交点的坐标A（1，1），B（32，32），C（2，∴当x＜1时，y＝y1；当1≤x≤2时，y＝y2；当x＞2时，y＝y3．∴y最大值为43故选：B．【点评】此题主要考查了一次函数与一次不等式的综合应用，要先画出函数的图象根据数形结合解题，锻炼了学生数形结合的思想方法．2．如图1，点C是线段AB上的定点，点P，Q是线段AB上的动点．已知点P，Q同时分别从点C，B出发相向匀速运动，当点Q到达点C后，继续保持原速向点A运动．而点P到达点B后立即掉头，并保持原速也向点A运动，经过一段时间后，P，Q两点同时到达A点．设P，Q两点的运动时间为xmin，两点之间的距离为ycm，y与x之间的关系如图2所示，有如下结论：①线段BC的长度为90cm；②点P的速度为18cm/min；③运动时间x＝15min时，P，Q两点同时到达A点；④在运动过程中，P，Q两点相距15cm时，运动时间为2.5min或3.5min或12.5min．以上结论正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【考点】一次函数的应用．【专题】一次函数及其应用；应用意识．【答案】D【分析】根据当x＝0时，y＝90，可判断①正确；根据P点5min到达B地，可判断②正确；根据P，Q两点3min相遇，求出Q的速度为30﹣18＝12（cm/min），根据P，Q两点同时到达A点得AC+2BCvP=AC+BCvQ，求出AC＝90【解答】解：由图可知：当x＝0时，y＝90，∴线段BC的长度为90cm，故结论①正确，符合题意；∵P点5min到达B地，∴P的速度为：90÷5＝18（cm/min），故结论②正确，符合题意；∵当x＝3时，y＝0，∴P，Q两点3min相遇，∴vP+vQ＝90÷3＝30（cm/min），∴Q的速度为30﹣18＝12（cm/min），∵P，Q两点同时到达A点，∴AC+2BCvP=解得：AC＝90，∴总时间为：90+9012=15（故结论③正确，符合题意；当P，Q相遇前，18x+12x＝90﹣15，解得：x＝2.5；当P，Q相遇后P未到B地，相距15cm时，依题意得：18x+12x＝90+15，解得：x＝3.5；当P到达B地掉头后，相距15cm时，依题意得：18x﹣90＝12x﹣15，解得：x＝12.5．综上所述，则P，Q出发2.5min或3.5min或12.5min后相距15cm，故结论④正确，符合题意；综上所述，结论正确的有①②③④，共4个，故选：D．【点评】本题主要考查了一次函数的应用，找准数量之间的关系，列出一次函数解析式是解答本题的关键．3．在物理实验“探究重力的大小跟质量的关系”中，同学们测得六组数据并绘制了函数图象的一部分如图所示．已知重力G（N）与质量m（kg）满足一次函数关系，下列说法错误的是（）A．当物体质量为0kg时，重力为0N B．物体的质量越大，它受到的重力也越大 C．物体质量每增加0.1kg，受到的重力增加1N D．物体质量为0.4kg时，受到的重力是3.8N【考点】一次函数的应用．【专题】跨学科；数形结合；待定系数法；应用意识；生活情境．【答案】D【分析】设出一次函数解析式，从表格中任取两对数值代入求解得到相应的函数解析式，进而判断各个选项是否正确即可．【解答】解：设重力G（N）与质量m（kg）的函数关系式为：G＝km+b，∵经过（0.1，1），（0.2，2），∴0.1k+b=10.2k+b=2解得：k=10b=0∴G＝10m，当m＝0时，G＝0，∴当物体质量为0kg时，重力为0N，故A选项正确，不符合题意；∵10＞0，∴G随m的增大而增大，故B选项正确，不符合题意；当质量为mkg时，G＝10mN，当质量为（m+0.1）kg时，G＝（10m+1）N，∴物体质量每增加0.1kg，受到的重力增加1N，故C选项正确，不符合题意．当m＝0.4时，G＝10×0.4＝4，故D选项错误，符合题意，故选：D．【点评】本题考查一次函数的应用．用待定系数法求得一次函数的解析式是解决本题的关键．4．在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx﹣6与x轴，y轴分别交于A，B，直线y＝kx+2k与x轴，y轴分别交于C，D．其中k＞0，M、N为线段AB上任意两点，P、Q为线段CD上任意两点，记点M，N，P，Q组成的四边形为图形G．下列四个结论中，①对于任意的k，都存在无数个图形G是平行四边形；②对于任意的k，都存在无数个图形G是矩形；③存在唯一的k，使得此时有一个图形G是菱形；④至少存在一个k，使得此时有一个图形G是正方形．所有正确结论的序号是（）A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④【考点】一次函数图象上点的坐标特征；菱形的判定与性质；正方形的判定；一次函数的性质．【专题】一次函数及其应用；应用意识．【答案】B【分析】根据两个一次函数的比例系数都是k，得两个一次函数图象平行，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判断①；根据有一个角是直角的平行四边形是矩形判断②；根据一组邻边相等的平行四边形是菱形判断③；根据有一个角是直角的菱形是正方形判断④．【解答】解：∵y＝kx﹣6与x轴，y轴分别交于点A，B，y＝kx+2k与x轴，y轴分别交于点C，D，k＞0，∴AB∥CD，∴只要满足MN＝PQ，则图形G是平行四边形，∴①正确；∴只要满足MP垂直于直线y＝kx﹣6或直线y＝kx+2k，即可得图形G是矩形，∴②正确；当k＝3时，四边形四边形ABCD是菱形，∴存在唯一的k，使得此时有一个图形G是菱形∴③正确；∵不存在一个k，使得此时有一个图形G是正方形，∴④错误；故选：B．【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质、平行四边形的判定、菱形的判定、矩形的判定、正方形的判定，熟练掌握四个特殊平行四边形图形的判定定理的应用是解题关键．5．在同一平面直角坐标系中，函数y＝﹣kx（k≠0）和y＝x+k的图象可能是（）A． B． C． D．【考点】正比例函数的图象；一次函数的图象．【专题】一次函数及其应用；运算能力．【答案】A【分析】根据k＞0、k＜0两种情况作答即可．【解答】解：根据k＞0、k＜0两种情况讨论如下：当k＞0时，直线经过二、四象限，y＝x+k经过一、二、三象限，A选项符合；当k＜0时，y＝﹣kx（k≠0）经过一、三象限，y＝x+k经过一、三、四象限，无符合的选项；故选：A．【点评】本题考查了正比例函数的性质，一次函数的性质．熟练掌握以上知识点是关键．6．如图，在平面直角坐标系中，A（﹣2，2），B（6，2），C（2，3），D是线段AB上一点（不与点A，B重合），直线CD的表达式为y＝kx+b（k≠0），当y随x的增大而减小时，点D的坐标可以是（）A．（﹣1，2） B．（2，2） C．（7，2） D．（3，2）【考点】一次函数的性质；坐标与图形性质．【专题】一次函数及其应用；推理能力．【答案】D【分析】由点A和点B的坐标判断出AB∥x轴，则yD＝2，且﹣2＜xD＜6，结合一次函数的增减性可得xD＞xC＝2，从而判断出选项．【解答】解：由题意得，AB∥x轴，∵D是线段AB上一点（不与点A，B重合），A（﹣2，2），B（6，2），∴yD＝2，且﹣2＜xD＜6，∵y随x的增大而减小，又∵yD＜yC，∴xD＞xC，即xD＞2，综上，2＜xD＜6，yD＝2，∴D点坐标可以为（3，2）故选：D．【点评】本题考查的是一次函数的性质，坐标与图形性质，熟知一次函数的增减性是解题的关键．7．甲、乙两人赛跑，两人所跑的路程y（米）与所用的时间x（分）的函数关系如图所示．给出下面四个结论：①比赛全程1500米；②2分钟时，甲、乙相距200米；③乙到达终点时，甲距离终点还有150米；④3分40秒时，乙追上甲．上述结论中，所有正确选项的序号是（）A．②③④ B．①③ C．①②④ D．①③④【考点】一次函数的应用．【专题】一次函数及其应用；应用意识．【答案】D【分析】①由甲（乙）到达终点时y值为1500，可得出比赛全程1500米；②利用速度＝路程÷时间，可求出甲的速度，利用路程＝速度×时间，可得出y甲关于x的函数关系式，代入x＝2，求出y甲的值，结合此时y乙＝300，可得出2分钟时，甲、乙相距300米；③代入x＝4.5，求出y甲的值，结合比赛全程1500米，可得出乙到达终点时，甲距离终点还有150米；④根据图中点的坐标，利用待定系数法可求出当2≤x≤4.5时，y乙关于x的函数关系式，令y甲＝y乙，可得出300x＝480x﹣660，解之即可得出3分40秒时，乙追上甲．【解答】解：①根据题意得：比赛全程1500米，结论①正确；②∵甲的速度为1500÷5＝300（米/分），∴y甲关于x的函数关系式为y甲＝300x．当x＝2时，y甲＝300×2＝600，∵600﹣300＝300（米），∴2分钟时，甲、乙相距300米，结论②不正确；③当x＝4.5时，y甲＝300×4.5＝1350，∵1500﹣1350＝150（米），∴乙到达终点时，甲距离终点还有150米，结论③正确；④当2≤x≤4.5时，设y乙关于x的函数关系式为y乙＝kx+b（k≠0），将（2，300），（4.5，1500）代入y乙＝kx+b得：300=2k+b1500=4.5k+b解得：k=480b=-660∴y乙关于x的函数关系式为y乙＝480x﹣660．令y甲＝y乙，则300x＝480x﹣660，解得：x＝323∴3分40秒时，乙追上甲，结论④正确．综上所述，正确的结论是①③④．故选：D．【点评】本题考查了一次函数的应用，根据各数量之间的关系，求出y甲，y乙关于x的函数关系式是解题的关键．8．人工智能的发展使得智能机器人送餐成为时尚．如图，某餐厅的机器人小数和小语从厨房门口出发，准备给相距450cm的客人送餐，小数比小语先出发，且速度保持不变，小语出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．设小数行走的时间为x（s），小数和小语行走的路程分别为y1（cm），y2（cm），y1，y2与x之间的函数图象如图所示，则下列说法正确的有（）个．①小数比小语先出发15s；②小语提速后的速度为30cm/s；③n＝45；④从小数出发至送餐结束，小语和小数最远相距160cm．A．1 B．2 C．3 D．4【考点】一次函数的应用．【专题】一次函数及其应用；运算能力．【答案】C【分析】根据图象信息求出运动速度进而判断①②③；分别求得y1以及y2各段的函数解析式，结合函数图象即可判断④．【解答】解：结合图象可知，小数比小语早出发15秒，故①正确；∵当x＝15秒时，y2＝0，当x＝17秒时，y2＝30厘米，故小语提速前的速度是3017-15=15（厘米∴小语提速后速度为30厘米/秒，故②正确；故提速后小语行走所用时间为：450-3030∴m＝17+14＝31（秒），∴A（31，310），∴小数的速度为31031=10（厘米∴n=45010=45设OD段y1＝k1x（k1≠0），将点（45，450）代入y1＝k1x（k1≠0），可得450＝45k1，可得k1＝10，∴可有y1＝10x，当0≤x≤15时，小数和小语之间距离最大值为10×15＝150（厘米）；当15≤x≤17时，设y2＝k2x+b2（k2≠0），将（15，0），（17，30）代入，可得0=15k解得k2∴此阶段有y2＝15x﹣225，∴小数和小语之间距离y1﹣y2＝10x﹣（15x﹣225）＝﹣5x+225，当x＝15时，y1﹣y2取最大值，最大值为﹣75+225＝15（厘米）；设BC段y2′＝k3x+b3（k3≠0），将（17，30），（31，450）代入y2′＝k3x+b3（k3≠0），可得30=17k解得k3∴此阶段有y2′＝30x﹣480，当17≤x＜31时，小数和小语之间距离y1﹣y2′＝10x﹣（30x﹣480）＝﹣20x+480，当x＝17时，y1﹣y2′取最大值，最大值为﹣20×17+480＝140（厘）；当31≤x＜45时，小数和小语之间距离最大值为450﹣310＝140（厘）．从小数出发直至送餐结束，小数和小语之间距离的最大值为150厘米，故选项④不正确．故选：C．【点评】本题考查了一次函数的应用，从函数图象获取信息，正确进行计算是解题关键．9．关于函数y＝﹣2x﹣3，下列说法正确的是（）A．其图象与直线y＝﹣2x+3平行 B．其图象经过点（1，1） C．其图象经过第一、二、四象限 D．y随x的增大而增大【考点】两条直线相交或平行问题；一次函数的性质．【专题】一次函数及其应用；运算能力．【答案】A【分析】根据一次函数的图象性质判断平行、点是否在函数上、象限判断和增减性即可．【解答】解：根据一次函数的图象性质逐项判断平行、点是否在函数上、象限判断和增减性如下：选项A：函数y＝﹣2x﹣3的一次项系数为﹣2，直线y＝﹣2x+3的一次项系数也为﹣2，则两条直线平行，故A正确；选项B：当x＝1时，y＝﹣2×1﹣3＝﹣5≠1，则图象不经过点（1，1），故B错误；选项C：由于﹣2＜0，b＝﹣3＜0，则图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限，故C错误；选项D：由于﹣2＜0，则y随x的增大而减小，故D错误；故选：A．【点评】本题考查一次函数的图象性质，熟练掌握一次函数的图象性质是解题的关键．10．如图，在平面直角坐标系中，直线l：y＝2x﹣1与x轴相交于点A1，以OA1为边向上作正方形OA1B1C1，延长C1B1交直线l于点A2；以C1A2为边向上方作正方形C1A2B2C2，延长C2B2交直线l于点A3；以C2A3为边向上方作正方形C2A3B3C3…，则点B100的横坐标为（）A．3992100 BC．31002100 【考点】一次函数图象上点的坐标特征；规律型：点的坐标．【专题】一次函数及其应用；运算能力．【答案】A【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征结合正方形性质，可得到A1、B1的坐标，同理可得A2、A3的坐标，进而得到B2、B3的横坐标，根据点的坐标变化可找到变化规律，依此规律即可得出结论．【解答】解：对于y＝2x﹣1，当y＝0时，即2x﹣1＝0，解得x=1∴A1∴B1当y=12时，即2x-1=1∴A2∴B2当y=54时，即2x-1=5∴A3∴B3的横坐标是98……，∴Bn的横坐标为3n-1∴B100的横坐标为399故选：A．【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握该知识点是关键．二．填空题（共5小题）11．暑假期间，张亮和王鹏同学为锻炼自己的社会实践能力，他们以每千克1.4元的价格购进一批西瓜到市场销售．售出部分西瓜后，余下的每千克降价0.4元全部售完．销售金额与售出质量之间的关系如图所示，则两人共获利260元．【考点】一次函数的应用．【专题】一次函数及其应用；应用意识．【答案】260．【分析】根据题意，未降价前的销售单价为2.4（元/千克），降价后销售西瓜的质量为100（千克），可算出总成本，结合图象即可求解．【解答】解：由图象可知，未降价前销售200千克西瓜的销售金额为480元，∴未降价前的销售单价为480÷200＝2.4（元/千克），∵余下的每千克降价0.4元，∴降价后的销售单价为2.4﹣0.4＝2（元/千克），由图象可知，降价后销售的金额为680﹣480＝200（元），∴降价后销售西瓜的质量为200÷2＝100（千克），∴西瓜的总质量为200+100＝300（千克），∵购进价格为每千克1.4元，∴总成本为300×1.4＝420（元）∴两人共获利680﹣420＝260（元）．故答案为：260．【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能正确识图．12．在直角坐标坐标系中，已知直线l：y＝mx+n（m，n为常数，且m≠0）经过点（﹣1，a）与点（2，2﹣a），下列结论：①方程mx+n＝a的解为x＝﹣1；②若直线l与x轴，y轴分别交于点A，点B，△AOB为等腰三角形，则n=3③无论m取何值，直线l一定经过某个定点；④过点O作OP⊥l，垂足为P，则OP的最大值为52其中正确的结论有①③④（填写所有正确结论的序号）．【考点】一次函数与一元一次方程；等腰三角形的性质；一次函数图象与系数的关系．【专题】一次函数及其应用；运算能力．【答案】①③④．【分析】先表示出一次函数的表达式，再结合一次函数的性质，一次函数与一元一次方程的关系，先根据已知两点坐标求出m与n的关系，再逐一判断各结论即可．【解答】解：由条件可得a=-m+n2-a=2m+n两式相加得2＝m+2n，即n=1-1整理得y=mx+1-1①∵直线经过点（﹣1，a），∴x＝﹣1时，mx+n＝a，即方程mx+n＝a的解为x＝﹣1，①正确；②令y＝0，则x=-nm，则直线l与x轴交于令x＝0，则y＝n，则直线l与y轴交于B（0，n），若△AOB为等腰三角形，且∠AOB＝90°，则OA＝OB，即|-nm|=|n|，其中n因此|m|＝1，得m＝1或m＝﹣1，代入m＝2﹣2n得n=12或n=3③由y=mx+1-1当x=12时，y=1因此直线恒过定点(12，④设直线恒过定点Q(1∵OP⊥l，P为垂足，当点P与点Q不重合时，在Rt△OPQ中，OP≤OQ，则由勾股定理可得OQ=(因此OP的最大值为52，④故正确的结论有①③④．故答案为：①③④．【点评】本题考查了一次函数与一元一次方程，熟练掌握该知识点是关键．13．如图是物理实验课上探究“拉力与斜面高度关系”的示意图，其中BA是倾斜程度可以调整的斜面（斜面足够长）．实验者用弹簧测力计拉着适当大小的木块，沿斜面从B到A的方向做匀速直线运动．某项目小组经过探索得到：在弹簧的弹性限度内，沿斜面的拉力F（N）是斜面高度h（cm）的一次函数，且当h＝10cm时，F＝2N；当h＝30cm时，F＝4N；如果弹簧测力计的最大量程是5N，为了不损坏测力计，那么斜面的高度最多不能超过40cm．【考点】一次函数的应用．【专题】一次函数及其应用；应用意识．【答案】40．【分析】根据给定数据，利用待定系数法，可求出F关于h的函数解析式，再代入F＝5，求出h即可．【解答】解：设F关于h的函数解析式为F＝kh+b（k≠0），将（10，2），（30，4）代入F＝kh+b得：2=10k+b4=30k+b解得：k=0.1b=1∴F关于h的函数解析式为F＝0.1h+1．当F＝5时，0.1h+1＝5，解得：h＝40，∴为了不损坏测力计，那么斜面的高度最多不能超过40cm．故答案为：40．【点评】本题考查了一次函数的应用，根据给定数据，利用待定系数法求出F关于h的函数解析式是解题的关键．14．在平面直角坐标系xOy中，A（1，0），B（0，2），菱形ABCD关于x轴、y轴对称，点M，N分别是AB，AD的中点，若菱形内部一点P关于直线MN的对称点在直线y＝x﹣2上，设点P的横坐标为t，则t的取值范围是﹣1＜t＜13【考点】一次函数图象上点的坐标特征；三角形中位线定理；菱形的性质；关于x轴、y轴对称的点的坐标；坐标与图形变化﹣对称．【专题】一次函数及其应用；运算能力；推理能力．【答案】﹣1＜t＜1【分析】设P点关于直线MN的对称点为（a，a﹣2），则P（1﹣a，a﹣2），可知P点在直线y＝﹣x﹣1上，再结合函数图象求解即可．【解答】解：∵菱形ABCD关于x轴、y轴对称，∴C（﹣1，0），D（0，﹣2），∵13点M，N分别是AB，AD∴M（12，1），N（-12∴直线MN为x=1设P点关于直线MN的对称点为（a，a﹣2），∴P（1﹣a，a﹣2），∴P点在直线y＝﹣x﹣1上，直线AD的解析式为y＝2x﹣2，当2x﹣2＝﹣x﹣1时，解得x=1∵P点在菱形内，∴﹣1＜t＜1故答案为：﹣1＜t＜1【点评】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握菱形的性质，轴对称的性质是解题的关键．15．已知点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）都在直线y＝﹣2x+4上，当x1＜x2＜x3时，下列结论：①若x2+x3＜0，则y1+y3＞0；②若x1+x2＜0，则y2y3＞0；③若x2+x3＜0，则y1y2＞0；④若y1y3＞0，则x2x3＞0；⑤若y1y2＜0，则x2x3＞0．其中正确的结论有①③⑤（直接填序号）．【考点】一次函数图象上点的坐标特征．【专题】一次函数及其应用；推理能力．【答案】①③⑤．【分析】根据一次函数的图象与性质，对所给结论依次进行判断即可．【解答】解：∵x2+x3＜0且x1＜x2，∴x1+x3＜x2+x3＜0．∵y1＝﹣2x1+4，y3＝﹣2x3+4，∴y1+y3＝﹣2（x1+x3）+8＞0．故①正确；∵x1+x2＜0，但是此时无法判断出y2和y3的正负，∴无法得出y2y3的正负，故②错误；∵x2+x3＜0且x2＜x3，∴x2＜0．∴x1＜x2＜0，由函数图象可知，此时y1＞y2＞0，∴y1y2＞0，故③正确；∵y1y3＞0，∴y1＞0，y3＞0或y1＜0，y3＜0．由y1＞0，y3＞0得，x1＜2，此时无法判断x2和x3的正负，故④错误；∵y1y2＜0且y1＞y2，∴y1＞0，y2＜0．由y2＜0得，x2＞2，∴x3＞x2＞2，∴x2x3＞0．故⑤正确．故答案为：①③⑤．【点评】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟知一次函数的图象与性质是解题的关键．三．解答题（共5小题）16．刻漏是中国古代科技的重要发明．体现了古人对“匀速运动”“流体力学”的早期探索，其原理影响了后续计时工具的发展，如图1所示为唐代制造的一种四级漏刻的示意图．如图2所示，综合实践小组用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作了一个简易计时装置．【实验操作】综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为10cm，开始放水后每隔1min观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如表：t（min）01234观察值h（cm）1098.16.95.8【建立模型】小组讨论发现：“t＝0，h＝10”是初始状态下的数据，水面高度值的变化不均匀，但根据表中的数据绘制散点图．观察各点的分布特征，发现其大致分布在一条直线附近，表明h与t之间存在近似的一次函数关系．基于此，综合实践小组将表中的观察值数据取近似值保留整数位后，用一次函数近似的刻画水面高度h与流水时间t的关系．【解决问题】根据以上信息，解答下列问题：（1）依照综合实践小组的方法，求水面高度h与流水时间t的函数表达式；（2）当甲容器的水刚好放完时，求流水时间t；（3）小天同学用这个装置也进行了实验，记录了以下一组数据，结合（1）中的函数表达式，判断这组数据的准确性并说明原因．t（min）01234观察值h（cm）54.053.152.221.3【考点】一次函数的应用．【专题】函数思想；一次函数及其应用；应用意识；生活情境．【答案】（1）水面高度h与流水时间t的函数表达式为：h＝﹣t+10；（2）甲容器的水刚好放完时，流水时间为10min；（3）准确性较高．这组数据水面高度h与流水时间t的函数表达式h＝﹣t+5，因为两个一次函数的比例系数均为﹣1，与综合实践小组的水流速度相等，所以这组数据的准确性较高．【分析】（1）设出一次函数解析式，把表格中的两组数据代入即可求得相应的一次函数解析式；（2）取h＝0，求得t的值即可；（3）设出一次函数解析式，把表格中的两组数据代入即可求得相应的一次函数解析式，与（1）中得到的函数解析式中的比例系数比较即可判断这组数据的准确性．【解答】解：（1）设h＝kt+b，∵经过点（0，10），（1，9），∴b=10k+b=9解得：k=-1b=10∴h＝﹣t+10，答：水面高度h与流水时间t的函数表达式为：h＝﹣t+10；（2）当h＝0时，﹣t+10＝0，解得：t＝10．答：甲容器的水刚好放完时，流水时间为10min；（3）准确性较高．设h＝mt+n，∵经过点（0，5），（1，4.05），∴经过点（0，5），（1，4），∴n=5m+n=4解得：m=-1n=5∴这组数据水面高度h与流水时间t的函数表达式h＝﹣t+5，因为两个一次函数的比例系数均为﹣1，与综合实践小组的水流速度相等，所以这组数据的准确性较高．【点评】本题考查一次函数的应用．用待定系数法求得相应的一次函数解析式是解决本题的关键．17．在一条笔直的城市绿道上，有驿站A（起点），观景台B（终点），补给站C三处打卡点，补给站C位于驿站A和观景台B之间．甲从驿站A出发前往观景台B，全程匀速步行打卡；乙同时出发，匀速步行15分钟到达补给站C，休息一段时间后，再骑观光自行车匀速前往观景台，已知乙骑行的速度是自己步行速度的3倍，最终两人同时到达观景台B．甲、乙两人各自离驿站A的距离（米）与所用时间（分）的关系如图所示，请结合图象解答下列问题：（1）出发时，甲和乙之间的距离是600米；（2）乙在补给站休息了多少分钟？（3）甲步行多少分钟时，甲、乙两人之间的距离为400米．【考点】一次函数的应用；有理数的混合运算；一元一次方程的应用．【专题】一次方程（组）及应用；一次函数及其应用；应用意识．【答案】（1）600；（2）10分钟；（3）10分钟或22分钟或1907【分析】（1）根据当时间为0时，甲、乙离驿站A的距离之差为600米，可得出出发时，甲和乙之间的距离是600米；（2）利用速度＝路程÷时间，可求出乙步行的速度，利用乙骑行的时间＝乙骑行的路程÷乙骑行的速度，可求出乙骑行的时间，再利用乙在补给站休息的时间＝乙全程所用时间﹣乙步行的时间﹣乙骑行的时间，即可求出乙在补给站休息的时间；（3）利用速度＝路程÷时间，可求出甲步行的速度，设甲步行x分钟时，甲、乙两人之间的距离为400米，分0≤x≤15，15＜x≤25及25＜x≤30三种情况考虑，根据甲、乙两人之间的距离为400米，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．【解答】解：（1）根据题意得：出发时，甲和乙之间的距离是600米．故答案为：600；（2）根据题意得：乙步行的速度为（1800﹣600）÷15＝80（米/分钟），乙骑行的时间为（3000﹣1800）÷（80×3）＝5（分钟），乙在补给站休息的时间为30﹣15﹣5＝10（分钟）．答：乙在补给站休息了10分钟；（3）甲步行的速度为3000÷30＝100（米/分钟）．设甲步行x分钟时，甲、乙两人之间的距离为400米，当0≤x≤15时，600+80x﹣100x＝400，解得：x＝10；当15＜x≤25时，100x﹣1800＝400，解得：x＝14（不符合题意，舍去），x＝22；当25＜x≤30时，100x﹣[1800+80×3（x﹣25）]＝400，解得：x=190答：甲步行10分钟或22分钟或1907分钟时，甲、乙两人之间的距离为400【点评】本题考查了一次函数的应用、一元一次方程的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）关系函数图象，找出出发时甲和乙之间的距离；（2）根据各数量之间的关系，列式计算；（3）分0≤x≤15，15＜x≤25及25＜x≤30三种情况，列出关于x的一元一次方程．18．【问题背景】某商场员工需利用扶梯将45辆购物车从一层转运到商场负一层．【阅读素材】素材1：购物车在整齐叠放的状态下，数量每增加1辆，购物车列的车身总长变化情况相同，如表为整齐叠放的购物车列的车身总长y（单位：米）与购物车数量x（单位：辆）的关系：购物车数量x/辆12345车身总长y/米0.91.21.51.82.1素材2：如图，商场扶梯AB的总长为12.5米，为保证安全，在利用扶梯运输购物车时，规定一次只能转运一列购物车，且购物车列的车头与车尾需同时处于扶梯AB内．【问题解决】（1）请直接写出y与x之间的关系式；（2）若忽略其余客观因素，请判断员工能否一次性转运45辆购物车？若能，请通过计算说明理由；若不能，请求出一次最多可转运的购物车数量．【考点】一次函数的应用．【专题】一次函数及其应用；运算能力．【答案】（1）y＝0.3x+0.6；（2）不能；39辆．【分析】（1）根据表格增加1辆购物车，车身总长增加0.3米，据此结合已知列关系式即可；（2）求出当x＝45时的y值，和1