人教A版高一数学秋季培优班 第13讲 对数函数的图象与性质（总部定稿版）（教师版）

第13讲对数函数的图象与性质目录题型01对数函数定义与参数题型02对数函数解析式与定点题型03对数函数图象问题题型04对数函数定义域、值域与最值题型05对数函数单调性与不等式题型06对数比较大小题型07对数函数性质综合应用强化训练（共12题）知识小测（共5题）知识解读对数函数知识点01对数函数的概念1、函数叫做对数函数．其中是自变量，函数的定义域是，值域为．2、判断一个函数是否为对数函数，关键看它是否具有的形式，并满足以下条件：（1）系数为1；（2）底数为大于0且不等于1的常数；（3）对数的真数仅有自变量．知识点02对数函数的图象与性质图象性质定义域：值域：过定点，即时，在上增函数在上是减函数当时，，当时，当时，，当时，知识点03底数对对数函数图象的影响1、底数制约着图象的升降．如图2、底数变化与图象变化的规律在同一坐标系内，当时，随a的增大，对数函数的图像愈靠近x轴；当时，对数函数的图象随a的增大而远离x轴．（见下图）知识点04反函数1、反函数的定义设分别为函数的定义域和值域，如果由函数所解得的也是一个函数（即对任意的一个，都有唯一的与之对应），那么就称函数是函数的反函数，记作，在中，是自变量，是的函数，习惯上改写成（）的形式．函数（）与函数（）为同一函数，因为自变量的取值范围即定义域都是B，对应法则都为．由定义可以看出，函数的定义域A正好是它的反函数的值域；函数的值域B正好是它的反函数的定义域．2、反函数的性质（1）互为反函数的两个函数的图象关于直线对称．（2）若函数图象上有一点，则必在其反函数图象上，反之，若在反函数图象上，则必在原函数图象上．题型精讲题型1对数函数定义与参数【典例1】已知函数的定义域为D，，，，则可以是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】A：，，，错；B：，，，错；C：，，，对；D：，，，错.故选：C题型点播判断一个函数是否为对数函数，关键看它是否具有的形式，并满足以下条件：（1）系数为1；（2）底数为大于0且不等于1的常数；（3）对数的真数仅有自变量．【典例2】已知函数为偶函数，则（）A． B． C． D．【答案】C【详解】因为函数为偶函数，所以，即，，即，即，即，化简得，解得.故选：C.【变式1】已知函数的图象恒过定点，且点又在函数的图像上，则（

）A．3 B．5 C．8 D．11【答案】D【详解】函数的图象恒过定点，又点在的图象上，，即，故选：D.题型2对数函数解析式与定点【典例1】已知定义在上的奇函数满足：，且当时，（为常数），则的值为（

）A． B．3 C．2 D．4【答案】D【详解】因为在上的奇函数，所以，解得，所以，因为，所以的周期为6，所以，又，其中，则，，所以.故选：D题型点播待定系数法【典例2】函数且的图象恒过定点，若且，，则的最小值为（

）A．8 B．9 C． D．【答案】C【详解】对于对数函数，当时，（且）.对于指数函数，当时，（且）.所以当时，.即函数的图象恒过定点，所以，.已知，把，代入可得.将进行变形，.展开式子得.因为，，根据均值不等式，有.则.当且仅当时等号成立.故选：C【变式1】已知函数，，其中且.(1)若和的图象过相同定点，求实数的值；(2)若当时，对任意，都有恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)；(2).【详解】（1）由对数函数的性质可知的图象过定点，所以的图象也过点，故，即，所以.（2）由题意得当时，恒成立，即对于恒成立，因为，所以恒成立，整理可得.因为，当时，取得最大值，所以.当时，，所以，故，综上所述，实数的取值范围是.题型3对数函数图象问题【典例1】函数的部分图象大致为（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【详解】函数的定义域为，因为，所以函数为奇函数，图象关于原点对称，故排除BD.又当时，，故排除A.故选：C.题型点播“数”是数学的特征，它精确、量化，最有说服力；而“形”则形象、直观，能简化思维过程，降低题目的难度，简化解题过程，把它们的优点集中在一起就是最佳组合．利用图形的形象直观快速地得到答案，简化了解题过程．正因为如此，数形结合成为中学数学的四个最基本的数学思想方法之一，因此我们必须熟练地掌握这一思想方法，并能灵活地运用它来分析和解决问题．在涉及方程与不等式的问题时，往往构造两个函数与，则=的实数解等价于两个函数与的图象的交点的横坐标；而的解，等价于函数的图象位于函数图象下方部分所对应的横坐标取值范围．利用图象的形象性、直观性，可使问题得到顺利地解决，而且分散了问题解决的难度、简化了思维过程．因此，我们要善于用数形结合的方法来解决方程与不等式的问题．【变式1】函数的图象如图所示，则的解析式可能为（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】由题可得函数的图象关于原点对称，定义域为，对于A，，函数关于y轴对称，故A错误；对于C，因为的定义域为，故C错误；对于D，当，时，，不符合图象，故D错误；对于B，，函数的图象关于原点对称，且时，，符合题意，所以B正确.故选：B.题型4对数函数定义域、值域与最值【典例1】下列与函数定义域相同的函数是（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】函数的定义域为的定义域为，A错误；的定义域为，B正确；的定义域为，C错误；的定义域为，D错误．故选：B.题型点播与对数函数有关的复合函数的定义域：求定义域时，要考虑到真数大于0，底数大于0，且不等于1．若底数和真数中都含有变量，或式子中含有分式、根式等，在解答问题时需要保证各个方面都有意义．一般地，判断类似于的定义域时，应首先保证．【典例2】若函数的值域为，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为函数的值域为，可知在内单调递减，则，解得，可得当时，，即在内值域为，符合题意；且在内不单调递减，若在内单调递增，则，解得，此时，符合题意；若在内为常函数，则，解得，此时，符合题意；综上所述：实数的取值范围是．故选：A．【变式1】已知函数．(1)证明：的图象关于直线对称；(2)求的最大值．【答案】(1)证明见解析；(2).【详解】（1）由的定义域为，关于对称，任取，则，所以，所以的图象关于直线对称.（2），在上单调递增，在上单调递减，当时，有最大值，则.题型5对数函数单调性与不等式【典例1】已知正实数满足：，则的值是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】，故，即，故，且，即，设，则，是增函数，故，所以，故选：B．题型点播研究型复合函数的单调性，一般用复合法来判定即可．复合函数的单调性就是内函数与外函数的单调性“同增异减”．研究对数型复合函数的单调性，一定要注意先研究函数的定义域，也就是要坚持“定义域优先”的原则．【典例2】已知，若，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】由题意，得解得，函数的定义域为．又，所以函数是定义在上的偶函数．，所以在上单调递减．又，所以解得．【变式1】已知函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递减.若实数a满足，则实数a的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】由题意，知，所以.又函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递减，所以，即或，所以或.故选：D.题型6对数比较大小【典例1】已知，则（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】因为，所以.又，所以.故选：B.题型点播比较两个对数值的大小的基本方法是：（1）比较同底的两个对数值的大小，常利用对数函数的单调性．（2）比较同真数的两个对数值的大小，常有两种方法：①先利用对数换底公式化为同底的对数，再利用对数函数的单调性和倒数关系比较大小；②利用对数函数图象的互相位置关系比较大小．（3）若底数与真数都不同，则通过一个恰当的中间量来比较大小．题型7对数函数性质综合应用【典例1】已知函数与的零点分别为a，b，则下列说法正确的是（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】根据题意，，所以且，，所以且，对比和可知，结合和只有一个交点，所以，故，故选项A错误；因为在定义域内单调递增，易知在单调递增，若，则，与a是的零点矛盾，故选项B错误；若成立，则有，即有，即有，故矛盾，所以选项C错误；，故选项D正确．故选：D．题型点播如果函数的定义域为，那么函数在的任意子集上都有意义；如果函数在集合上有意义，则必有．考查对数函数性质和指数函数性质的关系，提问方式灵活．灵活掌握转化的思想，基础知识扎实是解决此类问题的关键．【变式1】已知函数：，.(1)若过定点，求的单调递增区间；(2)若值域为，求的取值范围.【答案】(1)(2)【详解】（1）由过定点，则，即，解得，所以，由得函数的定义域是：，因为在上单调递增，在上单调递减，可得在上单调递增，在上单调递减，所以的单调递增区间是；（2）若值域为，则可以取到的任何数，令，当时，，显然可以取到的任何数，故成立；当时，开口向上，只需要其，即，即，解得，又，故；当时，开口向下，不可以取到的所有值，故不符合；综上可知，的取值范围是.强化训练（共12题）1．已知函数在上单调递减，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】由函数在上单调递减，得，解得，所以的取值范围是.故选：C2．下列说法中正确的是（

）A．函数与是同一个函数B．函数的单调递增区间是C．若函数的最大值为3，最小值为1，则的值域是D．若是偶函数，则函数的图象关于直线对称【答案】D【详解】对于选项A：令，解得，可知函数的定义域为，令，解得或，可知函数的定义域为，两者定义域不同，所以函数与不是同一个函数，故A错误；对于B：令，解得或，可知函数的定义域为，又因为在定义域内单调递增，且在内单调递减，在内单调递增，可知在内单调递减，在内单调递增，所以函数的单调递增区间是，故B错误；对于选项C：例如，可知函数的最大值为3，最小值为1，但的值域是，故C错误；对于选项D：若是偶函数，则，所以函数的图象关于直线对称，故D正确；故选：D.3．若实数a，b，c满足，则a，b，c的大小关系不可能是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】令，则．函数的大致图象如图所示．当时，，即；当时，，即；当时，，即；当时，，即．故选：C.4．已知且，函数是减函数，则a的取值范围为（

）．A． B． C． D．【答案】B【详解】因为是减函数，所以，解得．故选：B.5．若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为函数在区间上单调递增，所以在区间上单调递增，且在区间上恒成立.所以，解得.故选：A.6．（多选）已知函数，若包含于的值域，则满足条件的实数m可以是（

）A． B． C． D．【答案】AC【详解】当时，单调递增，所以；当时，单调递增，所以，因为包含于的值域，所以或，解得或.所以满足条件的实数m可以是或.故选：AC7．已知函数，则不等式的解集为．【答案】【详解】，的定义域为，，所以函数是偶函数．令，取，则，因为，在R上单调递增，所以，故，所以，故在上单调递增，由复合函数单调性满足同增异减，可知在上单调递增，所以不等式，等价于，两边平方得，，解得．故答案为：8．已知函数，若，则的最小值为.【答案】2【详解】由题设，则，所以，又函数在上单调递增，且，所以，且，则，当且仅当时取等号，即的最小值为2.故答案为：2.9．已知函数．(1)当时，求函数的值域；(2)若的定义域为，求实数的取值范围；(3)若在上单调递增，求实数的取值范围.【答案】(1);(2);(3).【详解】（1）当时，，令，则,对数函数在上单调递增，所以，所以函数的值域为.（2）若的定义域为，则在上恒成立，所以.所以实数的取值范围是.（3）二次函数开口向上，对称轴为，对数函数在上单调递增，若在上单调递增，则.所以实数的取值范围是.10．已知函数，其中且．(1)求的定义域，判断的奇偶性，并说明理由；(2)求不等式的解集．【答案】(1)，奇函数，理由见解析(2)答案见解析【详解】（1）因为，解得，所以的定义域为．又，所以为奇函数．（2），当时，，解得，因为，所以；当时，，解得，因为，所以．综上所述：当时，；当时，．11．已知函数，记不等式的解集为.(1)求（用区间的形式表示）；(2)若对任意的，有，求的最大值.【答案】(1)(2)【详解】（1）因为，可得，解得，所以解集为.（2）因为，即，令，则，可得在上恒成立，只需，因为，当且仅当时，等号成立，可得，即，所以故的最大值为.12．已知函数．(1)求函数的定义域M；(2)判断函数的奇偶性，若，求的值．【答案】(1)函数的定义域为；(2).【详解】（1）由题意，，由，解得，则函数的定义域为．（2）由（1）知函数的定义域关于原点对称．又，所以函数为奇函数，又，所以．知识小测（共5题）1．函数的图象大致是（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】函数的定义域为，，函数是奇函数，其图象关于原点对称，排除CD；当时，，排除B，选项A符合要求.故选：A2．若函数为奇函数，则（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】B【详解】令，解得，可知函数的定义域为，若函数为奇函数，则，可得，即，则，可得，即，可知函数为奇函数，所以.故选：B.3．函数，若，则（

）A． B． C． D．