人教A版高一数学秋季培优班 第4讲 不等式的性质与比较大小（总部定稿版）（学生版）

第4讲不等式的性质与比较大小目录题型01作差法比较大小题型02利用不等式性质证明不等式题型03不等式性质的判断与比较题型04代数式取值范围题型05用不等式表示实际关系强化训练（共10题）知识小测（共5题）知识解读等式性质与不等式性质知识点01符号法则与比较大小两实数的加、乘运算结果的符号具有以下符号性质：①两个同号实数相加，和的符号不变符号语言：；②两个同号实数相乘，积是正数符号语言：； ③两个异号实数相乘，积是负数符号语言：④任何实数的平方为非负数，0的平方为0符号语言：，.比较两个实数大小的法则：对任意两个实数、①；②；③.知识点02不等式的性质基本性质有：(1)对称性：(2)传递性：(3)可加性：(c∈R)(4)可乘性：a>b，运算性质有：(1)可加法则：(2)可乘法则：(3)可乘方性：知识点03比较两代数式大小的方法作差法：任意两个代数式、，可以作差后比较与0的关系，进一步比较与的大小.①；②；③.作商法：任意两个值为正的代数式、，可以作商后比较与1的关系，进一步比较与的大小.①；②；③.中间量法：若且，则（实质是不等式的传递性）.一般选择0或1为中间量.题型精讲题型1作差法比较大小【典例1】（多选）设，则P，Q，R的大小关系是（

）A． B． C． D．题型点播作差法比较大小的步骤【变式1】已知，，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件题型2利用不等式性质证明不等式【典例1】（1）已知，，，求证：；（2）证明：．题型点播对利用不等式的性质证明不等式(1)不等式的性质是证明不等式的基础，对任意两个实数a，b有a-b>0⇒a>b；a-b=0⇒a=b；a-b<0⇒a<b.这是比较两个实数大小的依据，也是证明不等式的基础.(2)利用不等式的性质证明不等式，关键要对性质正确理解和运用，要弄清楚每一条性质的条件和结论，注意条件的加强和减弱、条件和结论之间的相互联系.(3)比较法是证明不等式的基本方法之一，是实数大小比较和实数运算性质的直接应用.【变式1】设，，，证明：．题型3不等式性质的判断与比较【典例1】设，则M与N的大小关系是．题型点播①记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用；②应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则【变式1】有下列四个命题：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则．其中正确命题的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4题型4代数式取值范围【典例1】已知，若，则的取值范围是；若，且，则的取值范围是．题型点播利用不等式的性质求取值范围的策略建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用一次不等式的性质进行运算，求得待求的范围.如已知20＜x＋y＜30，15＜x－y＜18，要求2x＋3y的范围，不能分别求出x，y的范围，再求2x＋3y的范围，应把已知的“x＋y”“x－y”视为整体，即2x＋3y＝eq\f(5,2)(x＋y)－eq\f(1,2)(x－y)，所以需分别求出eq\f(5,2)(x＋y)，－eq\f(1,2)(x－y)的范围，两范围相加可得2x＋3y的范围．“范围”必须对应某个字母变量或代数式，一旦变化出其他的范围问题，则不能再间接得出，必须“直来直去”，即直接找到要求的量与已知的量间的数量关系，然后去求．注意同向(异向)不等式的两边可以相加(相减)，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围.【变式1】已知，，求下列各式的取值范围.(1)；(2)；(3)；(4).题型5用不等式表示实际关系【典例1】某公司准备对一项目进行投资，提出两个投资方案：方案A为一次性投资300万；方案B为第一年投资80万，以后每年投资20万．下列不等式表示“经过年之后，方案B的投入不少于方案A的投入”的是（

）A． B．C． D．题型点播将不等关系表示成不等式(组)的思路(1)读懂题意，找准不等式所联系的量.(2)用适当的不等号连接.(3)多个不等关系用不等式组表示.【变式1】用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m，要求菜园的面积不小于，设靠墙的一边长为．试用不等式表示其中的不等关系．强化训练（共10题）1．设，为正实数，有下列命题：①若，则；②若，则；③若，则．其中为真命题的有（写出所有正确命题的序号）．2．已知，，则的取值范围是（）A． B．C． D．3．（多选）已知，则下列不等式中恒成立的是（

）A． B． C． D．4．已知实数，，，则下列命题中正确的是（

）A．若，则B．若，，则C．若，，则D．若，，则5．若，，，则的取值范围为6．已知，且，则（

）A． B． C． D．7．已知a，b，c，d为实数，以下6个命题中，真命题的序号是．①若，则；

②若，则；③若，则；

④若，则；⑤若，则；

⑥若，则；8．已知，，分别求，，，的取值范围．9．设，则的大小顺序是（

）A． B．C． D．10．已知实数x，y满足，，则y的取值范围是（

）A． B．C． D．知识小测（共5题）1．若，则下列不等式中一定成立的是（）A． B． C． D．2．某大学在校学生中，理科生多于文科生，女生多于男生，则下述关于该大学在校学生的结论中，一定成立的是（

）A．理科男生多于文科女生 B．文科女生多于文科男生C．理科女生多于文科男生 D．理科女