人教A版高二数学秋季培优班 第17讲 等差数列的概念（总部定稿版）（学生版）

第17讲等差数列的概念目录题型01等差数列的判断题型02等差数列通项公式及应用题型03等差中项及应用题型04等差数列的实际应用题型05等差数列性质的应用题型06等差数列对称设项法强化训练（共10题）知识小测（共5题）知识解读知识点01等差数列的定义一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母表示．对于数列，若（，，为常数）或（，为常数），则此数列是等差数列，其中常数叫做等差数列的公差．等差中项如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项，即．知识点02等差数列的通项公式首项为,公差为的等差数列的通项公式为.(1)等差数列的通项公式是关于三个基本量,和的表达式,所以由首项和公差可以求出数列中的任意一项.(2)等差数列的通项公式可以推广为,由此可知,已知等差数列中两个不同序号的项,就可以确定公差,进而求出其他任意一项.推导过程：（1）观察归纳，得到猜想：根据等差数列定义可得：，所以，，，……当n=1时，上式也成立所以观察归纳可猜想等差数列的通项公式为：（）．（2）叠加法：根据等差数列定义，有：，，，…把这个等式的左边与右边分别相加（叠加），并化简得，所以．（3）迭代法：所以．知识点03等差数列的性质等差数列中，公差为，则①若，且，则，特别地，当时．②下标成公差为的等差数列的项，，，…组成的新数列仍为等差数列，公差为．③若数列也为等差数列，则，，（k，b为非零常数）也是等差数列．④仍是等差数列．⑤数列（为非零常数）也是等差数列．题型精讲题型1等差数列的判断【典例1】（多选）已知数列的前项和为，满足，则（

）A．存在，满足B．C．构成公差为4的等差数列D．题型点播对于数列，若（，，为常数）或（，为常数），则此数列是等差数列，其中常数叫做等差数列的公差．【变式1】数学家杨辉在其专著《详解九章算术法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的高阶等差数列，其中二阶等差数列是一个常见的等差数列，如数列2，4，7，11，16，从第二项起，每一项与前一项的差组成新数列2，3，4，5，新数列2，3，4，5为等差数列，则称数列2，4，7，11，16为二阶等差数列，现有二阶等差数列，其中前几项分别为2，5，10，17，26，37，记该数列的后一项与前一项之差组成新数列，则（

）A．15 B．101 C．21 D．19题型2等差数列通项公式及应用【典例1】已知等差数列的首项，公差，在的每相邻两项之间都插入个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列，当时，（

）A．4042 B．4050 C．4056 D．4058题型点播等差数列通项公式的求法与应用技巧（1）等差数列的通项公式可由首项与公差确定，所以要求等差数列的通项公式，只需求出首项与公差即可．（2）等差数列的通项公式中共含有四个参数，即，，，，如果知道了其中的任意三个数，那么就可以由通项公式求出第四个数，这一求未知量的过程，我们通常称之为“知三求一”．（3）通项公式可变形为，可把看作自变量为的一次函数．【变式1】（1）已知数列的前n项和，求的通项公式；（2）已知数列满足，，求数列的通项公式．题型3等差中项及应用【典例1】在等差数列中，，则（

）A．0 B．1 C．4 D．49题型点播若a，A，b成等差数列，则；反之，由也可得到a，A，b成等差数列，所以A是a，b的等差中项．【变式1】，若存在使得成等差数列，则的取值范围为（

）A． B． C． D．题型4等差数列的实际应用【典例1】通常情况下，海拔每升高米气温就降低.已知南阳市的海拔最高点是老界岭的崎角尖.若在某天测得老界岭的山脚的气温是，崎角尖的气温是，则崎角尖相对于山脚的高度是（

）A．米 B．米 C．米 D．米题型点播1.解决实际应用问题，首先要认真领会题意，根据题目条件，寻找有用的信息．若一组数按次序“定量”增加或减少时，则这组数成等差数列．合理地构建等差数列模型是解决这类问题的关键，在解题过程中，一定要分清首项、项数等关键的问题．2.能在具体的问题情境中，识别数列的等差关系，抽象出数列的模型，并能用有关知识解决相应的问题，是数学建模的核心素养的体现．【变式1】2024年春节前夕，某商城针对顾客举办了一次“购物送春联”的促销活动，活动规则如下：将一天内购物不少于800元的顾客按购物顺序从1开始依次编号，编号能被3除余1，也能被4除余1的顾客可以获得春联1对，否则不能获得春联．若某天符合条件的顾客共有2000人，则恰好获得1对春联的人数为.题型5等差数列性质的应用【典例1】已知等差数列中，，则．题型点播等差数列运算的两种常用思路（1）基本量法：根据已知条件，列出关于，的方程（组），确定，，然后求其他量．（2）巧用性质法：观察等差数列中项的序号，若，且，则．【变式1】已知等差数列前9项的和等于前4项的和，若，则（

）A．11 B．13 C．15 D．17题型6等差数列对称设项法【典例1】如果三个数，4成等差数列，则a的值为（

）A． B．1 C．2 D．5题型点播等差数列中对称设项法的应用1、某两个数是等差数列中的连续两个数且知其和，可设这两个数为：，，公差为；2、三个数成等差数列且知其和，常设此三数为：，，，公差为；3、四个数成等差数列且知其和，常设成，，，，公差为．【变式1】已知等差数列中，，，若在数列每相邻两项之间插入三个数，使得新数列也是一个等差数列，则新数列的第41项为.强化训练（共10题）1．记正数满足为和的等差中项，设甲：为整数；乙：为整数，则（

）A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件2．已知数列为等差数列，若是正整数，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件3．（多选）已知数列是等差数列，则下列一定是等差数列的是（

）A． B． C． D．4．已知数列中，，则（

）A． B． C． D．5．数学家杨辉在其专著中提出了一些新的高阶等差数列，其中二阶等差数列是一个常见的高阶等差数列，如数列1，2，4，7，11从第二项起，每一项与前一项的差组成的新数列1，2，3，4为等差数列，则称数列1，2，4，7，11为二阶等差数列．现有二阶等差数列，其中前几项分别为5，8，13，20，记该数列从第二项起，每一项与前一项之差组成新数列，则（

）A．13 B．15 C．17 D．196．设数列是公差为的等差数列，且，则（

）A．15 B． C． D．7．已知数列中，且且，则（

）A． B． C． D．98．某公司购置了一台价值为230万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年减少．经验表明，每经过一年其价值就会减少20万元，设备使用n年后，其价值将低于购进价值的5%，设备将报废，则n的最小值为（

）A．10 B．11 C．12 D．139．（多选）已知正项数列的首项，前项积为，且，则（

）A． B．数列是等差数列C．是递增数列 D．10．已知数列，的通项公式分别为，，由，的公共项从小到大排列得到的数列为，则（

）A．1941 B．1961 C．1981 D．2001知识小测（共5题）1．在等差数列中，，，则2．若为等差数列，则“”是