人教A版高二数学秋季培优班 第19讲 等比数列的概念（总部定稿版）（教师版）

第19讲等比数列的概念目录题型01等比数列的判断题型02等比数列通项公式及应用题型03等比数列的证明题型04等比中项及应用题型05等比数列的实际应用题型06等比数列性质的应用强化训练（共9题）知识小测（共5题）知识解读知识点01等比数列的定义一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母表示（），即：．①由于等比数列每一项都可能作分母，故每一项均不为0，因此q不能是0；②“从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数”，这里的项具有任意性和有序性，常数是同一个；③隐含条件：任一项且；“”是数列成等比数列的必要非充分条件；④常数列都是等差数列，但不一定是等比数列．不为0的常数列是公比为1的等比数列；⑤证明一个数列为等比数列，其依据．利用这种形式来判定，就便于操作了知识点02等比中项如果三个数、、成等比数列，那么称数为与的等比中项．其中．①只有当与同号即时，与才有等比中项，且与有两个互为相反数的等比中项．当与异号或有一个为零即时，与没有等比中项．②任意两个实数与都有等差中项，且当与确定时，等差中项唯一．但任意两个实数与不一定有等比中项，且当与有等比中项时，等比中项不唯一．③当时，、、成等比数列．④是、、成等比数列的必要不充分条件．知识点03等比数列的通项公式等比数列的通项公式首项为，公比为的等比数列的通项公式为：①通项公式由首项和公比完全确定，一旦一个等比数列的首项和公比确定，该等比数列就唯一确定了．②通项公式中共涉及a₁、n、q、aₙ四个量，在数据相容且方程有唯一解的条件下，可以由其中三个量求另一个量；求解时需结合n∈N*、q≠0及题目其他条件检验解的合理性和唯一性．等比数列的通项公式的推广已知等比数列中，第项为，公比为，则：证明：∵，∴∴由上可知，等比数列的通项公式可以用数列中的任一项与公比来表示，通项公式可以看成是时的特殊情况．知识点04等比数列的性质设等比数列的公比为①若，且，则，特别地，当时．②下标成等差数列且公差为的项，，，…组成的新数列仍为等比数列，公比为．③若，是项数相同的等比数列，则、、（是常数且）、、（，是常数）、、也是等比数列；④连续项和（不为零）仍是等比数列．即，，，…成等比数列．知识点05等比数列中的函数关系等比数列中，，若设，则：（1）当时，，等比数列是非零常数列．它的图象是在直线上均匀排列的一群孤立的点．（2）当时，等比数列的通项公式是关于的指数型函数；它的图象是分布在曲线（）上的一些孤立的点．①当且时，等比数列是递增数列；②当且时，等比数列是递减数列；③当且时，等比数列是递减数列；④当且时，等比数列是递增数列．（3）当时，等比数列是摆动数列．题型精讲题型1等比数列的判断【典例1】已知数列满足，且，，则数列的通项公式为.【答案】【分析】法一：设、，结合递推关系得到，再根据已知得，进一步有，利用等比数列的定义写出通项公式；法二：由递推关系得，讨论的奇偶性写出通项公式即可.【详解】法一：因为，所以.设，则，所以.设，则.因为，，所以，，所以，即，即，所以.因为，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，所以，.法二：因为，所以，由，，得，，所以数列的奇数项是首项为2，公比为4的等比数列，偶数项是首项为4，公比为4的等比数列，当为奇数时，，即；当为偶数时，，即.综上，.故答案为：题型点播一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母表示（），即：．【变式1】在数列中，为其前项和，且满足．判断数列是否为等比数列，并说明理由．【答案】是等比数列，理由见解析【分析】根据，构造数列的递推公式，再根据等比数列的定义判断数列是否为等比数列.【详解】因为，所以当时，，当时，，整理可得，因为，又.所以数列是以为首项，以为公比的等比数列．题型2等比数列通项公式及应用【典例1】已知等比数列的前n项的积为，即，又已知，则的最大值为．【答案】8【分析】分析数列的单调性，确定时，的值，即可求的最大值.【详解】因为为等比数列，且，所以，由.所以，所以为的最大值，且.故答案为：8题型点播等比数列的通项公式涉及4个量，，，，只要知道其中任意三个就能求出另外一个，在这四个量中，和是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，问题便迎刃而解．【变式1】某公司于2022年初花费150万元购买了一台生产设备，其第一年的维护费用为4万元，且往后每年较上一年上涨10%，设备生产厂家为提高设备出售率，在每年的维护费用中给予补贴，第一年补贴5000元，且往后每年增加1000元，当该公司每年的最终维护费用超过8万元时，该生产设备下一年将不再使用，则该生产设备可以使用年（参考数据：）．【答案】10【分析】由题意可得设备维护费用构成等比数列，补贴费用构成等差数列，求出两数列后即可得最终维护费用，再结合数列的单调性计算即可得解.【详解】由题可知设备维护费用构成等比数列，记为，补贴费用构成等差数列，记为，则该公司每年最终维护费用为数列，即，有，故数列为递增数列，当时，，当时，，故该生产设备可以使用10年．故答案为：10.题型3等比数列的证明【典例1】数列的前项和为，且，数列满足，．(1)求数列的通项公式；(2)求证：数列是等比数列；(3)求数列的通项公式.【答案】(1)(2)证明见解析(3)【分析】（1）利用公式求通项，但要注意检验首项；（2）利用递推关系证明比值为常数，即可得证；（3）利用等比数列通项公式即可求解.【详解】（1）当时，．当时，．检验，当时符合．所以．（2）当时，，而，所以数列是等比数列，且首项为3，公比为3．（3）由（2）得：，所以.题型点播1、定义法：（常数）为等比数列；2、中项法：（）为等比数列；3、通项公式法：aₙ=kqⁿ（k，q为常数，且kq≠0）为等比数列．4、构造法：在条件中出现aₙ₊₁=kaₙ+b关系时，往往构造数列aₙ+x，方法是把aₙ₊₁+x与k(aₙ+x)对照，求出x即可．该方法需满足k≠1；若要构造出符合本讲定义的等比数列，还需k≠0且首项平移后不为0．【变式1】若数列满足，且．证明：数列为等比数列．【答案】证明见解析【分析】根据已知的递推关系式应用等比数列定义证明等比数列即可.【详解】因为，所以，则，因为，所以，所以，又，所以数列为等比数列．题型4等比中项及应用【典例1】数列为等差数列，，，且，，成等比数列，当最大时，n=（

）A．8或9 B．9或10 C．10或11 D．11或12【答案】B【分析】根据给定条件，根据，，成等比数列，得到，再根据等差数列的求和通项公式和性质得到，分析出正负相邻的项，得解.【详解】，故，，∴，，∴最大时，或10，故选：B.题型点播（1）由等比中项的定义可知，所以只有a，b同号时，a，b的等比中项有两个，异号时，没有等比中项．（2）在一个等比数列中，从第二项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项和后一项的等比中项．（3）a，G，b成等比数列等价于．【变式1】已知数列为等比数列，为其前项积，若，则当取最小值时，．【答案】3或4【分析】根据等比数列的性质，求得，，得到时，；当时，；时，，即可求解.【详解】由等比数列的前之积为，且，可得，则，即，所以，可得，所以，，当时，；当时，；时，，故当取最小值时或4．故答案为：或.题型5等比数列的实际应用【典例1】如图，等边三角形的边长为4，取各边的中点，，，作第2个等边三角形，然后再取各边的中点，，，作第3个等边三角形，依此方法一直继续下去，记为第1个三角形，为第2个三角形，为第3个三角形，，依此类推，则第10个三角形与第5个三角形的面积之和为（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意和图形，可得第1，第2，…，第个三角形的面积满足，即是首项为，公比为的等比数列，利用等比数列的基本量运算即得答案.【详解】设的面积为，后续各三角形的面积依次为，，，，则，，，，可见，即是首项为，公比为的等比数列，则，于是，，，故.故选：D.题型点播等比数列实际应用问题的关键是：建立数学模型即将实际问题转化成等比数列的问题，解数学模型即解等比数列问题．【变式1】（多选）在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.现对数列1，2进行构造，第一次得到数列1，2，2；第二次得到数列1，2，2，4，2，依次构造，第次得到的数列的所有项的积记为，令.给出下列四个结论，正确的是（

）A．第三次得到的数列共9项B．C．数列是等比数列D．对每个正整数，以为边长能构成一个三角形【答案】AC【分析】由数列的新定义可判断AB；根据递推关系构造数列，根据等比数列的定义判断C；根据等比数列的通项公式求出，再根据函数的单调性化简即可判断D.【详解】第三次得到的数列，在第二次得到的数列的基础上增加4项，共9项，所以A正确；由已知，，所以，当时，设第次构造后得到的数列为，则，则第次构造后得到的数列为，则，所以B不正确；因，则，所以，因，则，所以，数列是以为首项，3为公比的等比数列，所以C正确；因为数列是以为首项，3为公比的等比数列，所以，所以，函数在定义域上单调递增，所以对每一个正整数有，假设以为边长能构成一个三角形，所以，从而，即，即，显然不成立，所以D不正确.故选：AC题型6等比数列性质的应用【典例1】已知数列是各项为正数的等比数列，其前项和为，且与的等差中项为4，则公比为．【答案】2【分析】根据条件得，再由，得，解方程即可,注意公比为正数的取舍问题.【详解】因为与的等差中项为4，所以，又，各项为正数,所以公比为正数，所以，解得:或(舍).故答案为：2题型点播利用等比数列的性质解题（1）基本思路：充分发挥项的“下标”的指导作用，分析等比数列项与项之间的关系，选择恰当的性质解题．（2）优缺点：简便快捷，但是适用面窄，有一定的思维含量．【变式1】已知为等比数列的前项和，为常数列，则（

）A．是的充分不必要条件 B．是的必要不充分条件C．是充要条件 D．是的既不充分也不必要条件【答案】B【详解】由，可得，所以即，所以不一定为常数列；若为常数列，则成立，所以是的必要不充分条件，故选：B强化训练（共9题）1．记为数列的前项和，已知，求的通项公式.【答案】【分析】利用来求得的通项公式.【详解】当时，，解得．当时，，所以即，而，故，故，∴数列是以4为首项，为公比的等比数列，所以．2．已知函数，数列是正项等比数列，且，(1)计算的值；(2)用书本上推导等差数列前n项和的方法，求的值.【答案】(1)1；(2).【分析】（1）直接代入化简即可；（2）由（1），结合等比数列性质，即可求解.【详解】（1）因为函数，所以（2）因数列是正项等比数列，且，则，所以，同理，令，又，则有，故，所以.3．已知单调递增的等差数列各项均为整数，其前项和为，且成等比数列，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据等差数列的和计算得出，再应用等比中项列式求，再计算通项及求和即可得出选项.【详解】由题可得，即，设公差为，因为成等比数列，所以，即，整理可得，各项均为整数,解得或（舍去），则，所以．故选：C.4．已知数列为等比数列，，若恒成立，则的取值范围是．【答案】【分析】先应用等比数列基本量运算得出，再代入检验并结合数列单调性分析求解.【详解】令，则，，解得，则，即，所以，即，因为，所以，当时，，成立；当时，，成立；当时，，成立；当时，，成立；当时，，成立；当时，，成立；当时，，成立；当时，令，则，令，则，可知数列在当时为递增数列，则，可知数列在当时为递增数列，则，所以当，，不合题意；故的取值范围为．故答案为：．5．已知数列中，．(1)求，并猜想的通项公式（不需证明）；(2)证明：数列是等比数列．【答案】(1)，(2)证明见解析【分析】（1）先根据递推公式得出，再计算得出等比的通项公式；（2）结合已知应用递推公式,根据等比数列定义证明等比数列.【详解】（1）由得．结合可猜想数列的通项公式为．（2）因为，所以为正项递增数列，所以，所以，故数列是等比数列．6．已知正项等比数列满足．(1)求数列的通项公式；(2)若，请判断是否存在使得，若存在，求出的最大（小）值，若不存在，说明理由．【答案】(1)(2)6【分析】（1）由等比通项列出方程组，求解得出数列的通项公式；（2）由（1）得出，判断其单调性，即可求解.【详解】（1）依题意，解得或（舍），则，即．（2）由（1）知，则．因为，即数列递减，当时，，所以数列递减，要使，当时，，当时，，故满足的的最小值为6．7．已知数列为等比数列，，若为数列的前项和，则满足的的最小值为．【答案】【分析】根据题意，求得，得到，利用等差数列的求和公式，以及对数的运算性质，得到不等式，结合，即可求解.【详解】由数列为等比数列，，可得，因为为数列的前项和，可得，所以，即，又因为，解得，故的最小值为．故答案为：．8．已知数列为正项等比数列，，若是数列的前项积，则当取最大值时的值为．【答案】【分析】设等比数列的公比为，根据题意，列出方程求得，得到，结合，，进而得到答案.【详解】设等比数列的公比为，其中，因为，可得，所以，解得或（舍去），则，又当时，，当时，所以当取最大值时的值为．故答案为：.9．在正项数列中，，且，则数列的通项公式为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先证明数列为等比数列，再根据首项和公比求数列的通项公式.【详解】因为，所以，即，则数列是等比数列，公比为．又因为，