人教A版高二数学秋季培优班 第6讲 直线的方程（总部定稿版）（教师版）

第6讲直线的方程目录题型01点斜式与斜截式题型02两点式与截距式题型03直线的一般式与参数题型04直线方程综合与定点题型05直线与坐标轴围成三角形强化训练（共10题）知识小测（共5题）知识解读知识点01直线的点斜式方程方程由直线上一定点及其斜率决定，我们把叫做直线的点斜式方程，简称点斜式．知识点02直线的斜截式方程如果直线的斜率为，且与轴的交点为，根据直线的点斜式方程可得，即．我们把直线与轴的交点的纵坐标叫做直线在轴上的截距，方程由直线的斜率与它在轴上的截距确定，所以方程叫做直线的斜截式方程，简称斜截式．知识点03直线的两点式方程经过两点（其中）的直线方程为，称这个方程为直线的两点式方程，简称两点式．知识点04直线的截距式方程若直线与轴的交点为，与y轴的交点为，其中，则过AB两点的直线方程为，这个方程称为直线的截距式方程．a叫做直线在x轴上的截距，b叫做直线在y轴上的截距．知识点05直线方程几种表达方式的选取在待定系数法中，采用斜截式通常设k、b两个待定参数；采用点斜式时，若所过点已知，则只需根据其他条件确定斜率k。在求直线方程时，要根据给出的条件采用适当的形式。一般地，已知一点的坐标，求过这点的直线，通常采用点斜式，再由其他条件确定斜率；已知直线的斜率，常用斜截式，再由其他条件确定在y轴上的截距；已知截距或两点选择截距式或两点式。从结论上看，若求直线与坐标轴所围成的三角形的面积或周长，则选择截距式求解较方便，但不论选用哪一种形式，都要注意各自的限制条件，以免遗漏。知识点06直线方程的一般式关于x和y的一次方程都表示一条直线．我们把方程写为，这个方程（其中A、B不全为零）叫做直线方程的一般式．知识点07直线方程的不同形式间的关系直线方程的五种形式的比较如下表：名称方程的形式常数的几何意义适用范围点斜式是直线上一定点，是斜率不垂直于轴斜截式是斜率，是直线在y轴上的截距不垂直于轴两点式，是直线上两定点不垂直于轴和轴截距式是直线在x轴上的非零截距，是直线在y轴上的非零截距不垂直于轴和轴，且不过原点一般式、、为系数任何位置的直线知识点08直线方程的综合应用1．已知所求曲线是直线时，用待定系数法求．2．根据题目所给条件，选择适当的直线方程的形式，求出直线方程．对于两直线的平行与垂直，直线方程的形式不同，考虑的方向也不同．（1）从斜截式考虑已知直线，，；于是与直线y=kx+b平行的直线可以设为y=kx+b₁，其中b₁≠b；当k≠0时，其垂线可设为y=-1/kx+b₂；当k=0时，其垂线应设为x=x₀。（2）从一般式考虑：且或，比例记忆式仅在各分母均有意义时使用（）与重合，，，于是与直线Ax+By+C=0平行的直线可以设为Ax+By+D=0（D≠C）；垂直的直线可以设为Bx-Ay+D=0。题型精讲题型1点斜式与斜截式【典例1】已知两点，以下各点一定在直线上的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用两点可求出直线的斜率，再利用点斜式写出直线的方程，最后代入即可得解.【详解】因为，，所以，所以直线的方程为：，即，当时，，所以点在直线上.故选：A.题型点播点斜式（1）利用点斜式求直线方程的步骤是：①判断斜率是否存在，并求出存在时的斜率；②在直线上找一点，并求出其坐标．（2）要注意点斜式直线方程的逆向运用，即由方程可知该直线过定点且斜率为．斜截式（1）选用斜截式表示直线方程的依据是知道（或可以求出）直线的斜率和直线在轴上的截距．（2）直线的斜截式方程的好处在于它比点斜式方程少一个参数，即斜截式方程只要两个参数、即可确定直线的方程，而点斜式方程则需要三个参数、、才能确定，而且它的形式简洁明了，这样当我们仅知道直线满足一个条件时，由参数选用斜截式方程具有化繁为简的作用．（3）若直线过某一点，则这一点坐标一定满足直线方程，这一隐含条件应充分利用．【典例2】一次函数与为常数，且，它们在同一坐标系内的图象可能为（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】根据图象分析b、k取值符号进行判断即可．【详解】对于选项A中，直线的直线的∴A错；对于选项B中，直线的直线的，∴B错；对于选项C中，直线的直线的∴C对；对于选项D中，直线的直线的∴D错．故选：C．【变式1】已知直线不过第一象限，则实数t的取值范围为．【答案】【分析】分析得到直线经过的象限，结合一次函数的性质求解即可.【详解】当时，，故直线不过原点，则直线一定通过三个象限，而直线不过第一象限，故其必过第二，三，四象限，得到，解得.故答案为：题型2两点式与截距式【典例1】若，则直线的方程为；设直线与两坐标轴的交点为且点在线段上，则的最大值为．【答案】【详解】由两点式得，整理为．又在上，，当且仅当，即时，等号成立．所以的最大值为．题型点播当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件，若满足即可考虑用两点式求方程．在斜率存在的情况下，也可以先应用斜率公式求出斜率，再用点斜式写出方程．应用截距式求直线方程时，一定要注意讨论截距是否为零【典例2】过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（

）A． B．C．或 D．或【答案】C【分析】分直线过原点和不过原点两种情况讨论，结合直线的截距式即可得解.【详解】当直线过原点时在两坐标轴上的截距都为，满足题意，又因为直线过点，所以直线的斜率为，所以直线方程为，即，当直线不过原点时，设直线方程为，因为点在直线上，所以，解得，所以直线方程为，故所求直线方程为或.故C项正确.故选：C.【变式1】直线经过点，在轴上的截距为，在轴上的截距为，且满足，则直线的斜率为（

）A．2 B． C． D．或【答案】C【分析】由题意设直线的方程为，列出关于的方程组，求解即可.【详解】由题意设直线的方程为，则①，又，∴②，由①②解得，或，，又由知，则，，则直线的斜率为．故选：C．题型3直线的一般式与参数【典例1】已知直线的一个方向向量为，向量，若与是共线向量，则实数的值为（

）A． B．2 C． D．8【答案】A【分析】根据直线方程，可得，利用向量共线的坐标表示可求.【详解】取，由可得，解得．故选：A.题型点播让学生体会直线方程的各种形式，以及各种形式向一般式的转化。对于直线方程的一般式，一般作如下约定：若x的系数不为0，通常令其为正；若x的系数为0，通常令y的系数为正；x、y的系数及常数项一般不出现分数，一般按含x项、y项、常数项顺序排列。求直线方程的题目，无特别要求时，结果写成直线方程的一般式。【变式1】设，若直线与线段AB有交点，则a的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】直线恒过定点，若直线与线段有交点，画图图形，求出临界时直线的斜率与直线的斜率，即可得解.【详解】由得，因此直线过定点，且斜率，如图所示，当直线由直线按顺时针方向旋转到直线的位置时，符合题意．

易得，．结合图形知或，解得或，即的取值范围是．故选：C题型4直线方程综合与定点【典例1】已知函数的图象经过点和点，直线经过点，且直线交线段于点，记的周长为的周长为，若，则（

）A．2 B．4 C．-2 D．-4【答案】D【分析】先判断的图象关于直线对称，可得，设根据求出，从而可得答案.【详解】因为所以的图象关于直线对称，故.因为在都单调递增，在都单调递减在单调递增；在单调递减.所以直线与的图象只有两个交点和点，设则，设直线与交点为，所以，则，即，因为直线经过点，，所以.故选：D题型点播求直线的方程的关键是选择适当的直线方程的形式．合并含参数的项，令参数的系数为零，解方程组。【典例2】已知点，，若直线与线段（含端点）有公共点，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】先求出直线的定点，再结合直线的斜率公式，即可求解．【详解】直线，即，则直线过定点，，，，，，直线与线段（含端点）有公共点，或，解得或，故实数的取值范围为．故选：D．【变式1】已知两点直线与线段AB相交，则直线的斜率的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据直线方程可得直线经过定点．根据直线与线段相交，结合图形则可得直线的斜率取值范围．【详解】直线，即，令，可得直线经过定点，又，．直线与线段相交，由图可得，则直线的斜率取值范围是．故选：D．题型5直线与坐标轴围成三角形【典例1】直线的倾斜角是直线倾斜角的一半，且直线与坐标轴所围成的三角形的面积为，则直线的方程可能是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由斜率的几何意义结合二倍角公式可以先求出所求直线的斜率，再结合已知条件即可求出直线方程.【详解】由题意不妨设直线与直线的斜率分别为，倾斜角分别为，而，，又由二倍角公式，所以有，整理得，解得或（舍去），所以设直线的方程为，则直线与坐标轴分别交于，所以由题意直线与坐标轴所围成的三角形的面积为，解得，所以设直线的方程为，当时，它可以变形为.故选：C.题型点播（1）由于已知直线的倾斜角（与斜率有关）及直线与坐标轴围成的三角形的面积（与截距有关），因而可选择斜截式直线方程，也可选用截距式直线方程，故有“题目决定解法”之说．例如：已知一点的坐标，求过这点的直线方程，通常选用点斜式，再由其他条件确定直线的斜率；已知截距或两点，则选择截距式或两点式。在求直线方程的过程中，确定方程类型后，第一步是把该方程的基本形式写出来，然后根据题意求待定参数。【变式1】已知过定点作直线与两坐标轴围成的三角形面积为，这样的直线有（

）条A． B． C． D．【答案】B【分析】设直线的方程为，求出直线与两坐标轴的交点坐标，由已知条件可得出关于的方程，判断出方程根的个数，即可得解.【详解】由题意可知，直线的斜率存在且不为零，设直线的方程为，即.在直线的方程中，令，可得；令，可得.所以，直线交轴于点，交轴于点.由题意可得，即.①当时，可得，即，；②当时，可得，即，.综上所述，符合条件的直线有条.故选：B.强化训练（共10题）1．，和围成的三角形内部和边上的整点有（

）个.A．35 B．36 C．37 D．38【答案】C【分析】做出直线的图像，依据图像进行求解.【详解】显然直线，上无整点，当，，有1个点；当，，有1个点；当，，有2个点；当，，有3个点；当，，有3个点；当，，有4个点；当，，有5个点；当，，有5个点；当，，有6个点；当，，有7个点；得到37个整点.故选：C.2．若直线的截距式方程化为斜截式方程为，化为一般式方程为，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】将化为一般式，结合条件有，且，即可求解.【详解】易知，由，得到，由已知一般式方程为，所以有，则，解得，又，，所以，则，故选：A.3．已知为直线上的动点，点满足，记的轨迹为，则（

）A．是一个半径为的圆B．上的点到的距离均为C．是两条平行直线D．是一条与相交的直线【答案】B【分析】由向量关系得到坐标关系后可得的轨迹方程，再逐项判断后可得正确的选项.【详解】设，则，故，故，故即，故为一条直线，该直线与平行，它到的距离为，故ACD错误，B正确，故选：B.4．以为端点的线段的垂直平分线的方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】线段的垂直平分线过线段中点，且斜率与线段所在直线斜率相乘等于，据此即可求出线段垂直平分线方程.【详解】因为则，所以线段AB的中垂线的斜率为，又线段的中点为，即，所以线段中垂线方程为：，即.故选：C．5．已知直线.(1)证明：对任意实数，直线都经过一个定点；(2)若直线在轴、轴上截距相等，求直线的方程.【答案】(1)证明见解析(2)或.【分析】（1）令，解方程组即可得解；（2）由已知条件可知，求得直线与轴、轴的交点分别为，列方程即可求解.【详解】（1）将直线整理得对任意实数都成立，所以，解得所以对任意实数，直线都经过一个定点；（2）由已知条件可知，求得直线与轴、轴的交点分别为，则有，化简得，当时，直线的方程为当时，直线的方程为所以直线的方程为或.6．已知直线：，：．(1)若，求m的值．(2)设直线过的定点为A，直线过的定点B，且当时，直线与交点为C，求中BC边上的高所在直线l的方程.【答案】(1)0(2)【分析】（1）两直线平行可得，解方程再检验即可得解；（2）求出两点，再由直线方程联立求出，根据直线垂直得的斜率，即可求出直线方程.【详解】（1），解得或当时，：，：满足；当时，：，：,即，两直线重合，舍去；故.（2）由直线：，即，令，可得，所以定点，由：，令，可得，可知定点，当时，联立与的方程得，解得，，从而，又直线过点，故直线的方程为，即.7．已知直线经过点.(1)若不过原点且在两坐标轴上截距和为零，求的方程；(2)设的斜率与两坐标轴的交点分别为，当的面积最小时，求的斜截式方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）设的点斜式方程为，求出两坐标轴上的截距，求出，即可得解；（2）求出两坐标轴上的截距，再根据的面积结合基本不等式求出的面积最小时的值，即可得解.【详解】（1）由题意知，的斜率存在且不为0，设斜率为，则的点斜式方程为，则它在两坐标轴上截距分别为和，所以，解得（此时直线过原点，舍去）或，所以的点斜式方程为，即；（2）由（1）知，，，所以的面积，当且仅当即时，等号成立，的点斜式方程为，所以的斜截式方程为.8．如图所示，将一块直角三角形板置于平面直角坐标系中，已知，，点是三角板内一点，现因三角板中阴影部分受到损坏，要把损坏部分锯掉，可用经过点的任一直线将三角形锯成三角形，设直线的斜率为．(1)求直线的方程（用表示）；(2)求锯成的面积的最小值．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用待定系数法可求得直线的方程；（2）先由题意确定的范围，再联立直线方程组即可求得M、N的坐标，再利用（1）结论可得到与M到直线的距离，由此得到的面积关于的关系式，利用基本不等式即可求解.【详解】（1）设直线，因为直线过点，所以，即，所以，（2）又因为，，易得直线，直线，联立，解得；联立，解得，故，.因为，，所以，所以，因为，设M到直线的距离为d，则，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以S的最小值为.9．已知直线．(1)求恒过的定点的坐标；(2)若经过点，求直线的方程．【答案】(1)(2)【分析】（1）整理直线方程，得到关于实数的方程组，求解方程组即可；（2）根据直线过点，将点代入直线方程，求出，得到直线方程..【详解】（1）由可得，由解得，所以直线恒过点.（2）若经过点，所以，解得所以直线的方程为.10．已知的三个顶点．(1)求边上的中线所在直线的方程；(2)求边上的高所在直线的方程．【答案】(1)(2)【分析】（1）求出的中点坐标，求出中线所在直线的斜率，代点斜式即可求解；（2）求出直线的斜率，即可得到边上的高线的斜率，利用直线方程的点斜式，即可求解.【详解】（1）由题意得，边的中点，则中线所在直线的斜率为，所以边上的中线所在直线的方程为，即．（2）由题意得，，则边上的高所在直线的斜率，所以边上的高所在直线的方程为，即．知识小测（共5题）1．“”是“直线与直线相互平行”的（

）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件【答案】C【分析】根据直线平行的条件建立方程求出，再检验即可得解.【详解】若直线与直线相互平行，则，即，解得或，当时，直线