人教A版高二数学秋季培优班 第8讲 圆的方程（总部定稿版）（教师版）

第8讲圆的方程目录题型01圆的标准方程与一般方程题型02点与圆的位置关系题型03二元二次曲线表示圆题型04圆过定点问题题型05圆的轨迹与最值强化训练（共10题）知识小测（共5题）知识解读知识点01圆的标准方程，其中为圆心，为半径．知识点02点和圆的位置关系如果圆的标准方程为，圆心为，半径为，则有（1）若点在圆上（2）若点在圆外（3）若点在圆内知识点03圆的一般方程当时，方程叫做圆的一般方程．为圆心，为半径．知识点04用待定系数法求圆的方程的步骤求圆的方程常用“待定系数法”．用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是：（1）根据题意，选择标准方程或一般方程．（2）根据已知条件，建立关于或的方程组．（3）解方程组，求出或的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程．知识点05轨迹方程求符合某种条件的动点的轨迹方程，实质上就是利用题设中的几何条件，通过“坐标法”将其转化为关于变量之间的方程．1．当动点满足的几何条件易于“坐标化”时，常采用直接法；当动点满足的条件符合某一基本曲线的定义（如圆）时，常采用定义法；当动点随着另一个在已知曲线上的动点运动时，可采用代入法（或称相关点法）．2．求轨迹方程时，一要区分“轨迹”与“轨迹方程”；二要注意检验，去掉不合题设条件的点或线等．3．求轨迹方程的步骤：（1）建立适当的直角坐标系，用表示轨迹（曲线）上任一点的坐标；（2）列出关于的方程；（3）把方程化为最简形式；（4）除去方程中的瑕点（即不符合题意的点）；（5）作答．题型精讲题型1圆的标准方程与一般方程【典例1】已知圆的圆心在直线上，且圆经过点，则圆的标准方程是.【答案】【分析】设圆的标准方程为，根据点在圆上、圆心在直线上列方程求解即可.【详解】设圆的标准方程为，则，解得，所以圆的标准方程为.故答案为：题型点播确定圆的方程的主要方法是待定系数法，即列出关于a、b、r的方程组，求a、b、r或直接求出圆心和半径r，一般步骤为：（1）根据题意，设所求的圆的标准方程为；（2）根据已知条件，建立关于a、b、r的方程组；（3）解方程组，求出a、b、r的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程．（1）若一个圆可用一般方程表示，则它具备隐含条件，解题时，应充分利用这一隐含条件．（2）当已知圆上三个不共线点的坐标时，通常设圆的一般方程，所得关于D,【典例2】已知圆，则圆的圆心坐标为.【答案】【分析】应用圆的一般方程圆心坐标公式计算求解.【详解】由圆，则圆的圆心坐标为.故答案为：.【变式1】已知函数与的图象交于不同的三点A，B，C，同一平面上的点P满足，则P的坐标是．【答案】【分析】利用方程组思想，结合三次方程求根，然后得到三点坐标，利用三点确定一个圆，通过圆心来确定点即可.【详解】由已知两函数解析式联立方程组，消元得：，发现是方程的根，则可因式分解为，所以可以解得：，分别代入到可得：，由，可知点为三角形的圆心，所以由确定一个圆，设圆的方程为，则可得：，解得：，所以圆的方程为，化为圆的标准方程得：，所以可得圆心坐标为，故答案为：.题型2点与圆的位置关系【典例1】已知如图点在圆上，圆沿着轴顺时针滚动弧度，点到了点的位置，则点的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出圆的半径，再求出相关长度即可.【详解】设原来圆的方程为，代入点得，解得，则圆的方程为，则xQ=π则点的坐标为.故选：B.题型点播如果圆的标准方程为，圆心为，半径为，则有（1）若点在圆上（2）若点在圆外（3）若点在圆内【变式1】如图，在平面直角坐标系xOy中，Q为第一象限内一点，QA垂直于x轴，QB垂直于射线OM，垂足分别为A，B，且，，．(1)求OQ的值；(2)已知圆C通过四点，①圆C的方程；②设P是圆C上的任意一点，在x轴及射线OM上是否分别存在定点E，F，使为定值？若存在，指出定点的位置；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)①；②存在定点【分析】（1）由题意得出OM的直线方程，设出Q点坐标，利用点到直线的距离公式得出Q点坐标，利用两点距离公式得出；（2）①由QA垂直x轴，QB垂直射线OM，垂足分别为A，B，所以圆C是以OQ为直径的圆，得出圆心，半径得出圆的方程；②设圆C上的任意一点P的坐标为，点，点，，，得出关系式求出得出结论．【详解】（1）解：直线OM的方程为，即，设，，由题意可得，解得或（舍），所以点，所以（2）解：①由QA垂直x轴，QB垂直射线OM，垂足分别为A，B，所以圆C是以OQ为直径的圆，所以圆心坐标为，半径为，所以圆C的方程为，即②设圆C上的任意一点P的坐标为，点，点，，，所以，化简得，又因为点P在圆上，所以，所以，点P为圆C上任意一点，所以解得，经检验符合题意，所以在x轴及射线OM上分别存在定点，使为定值．题型3二元二次曲线表示圆【典例1】方程表示圆，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据圆的一般方程可得出关于实数的不等式，解之即可.【详解】若方程表示圆，则，解得，因此，实数的取值范围是.故选：D.题型点播二元二次方程A表示圆的条件为A【变式1】已知，方程表示圆，则圆心坐标是．【答案】【分析】由条件结合圆的一般方程的特点列关系式求，再确定圆心坐标.【详解】因为方程表示圆，所以①，②，由①可得或．当时，，不满足要求，舍去，当时，，满足要求，所以圆的方程为，即，圆心为；故答案为：.题型4圆过定点问题【典例1】已知圆，点，平面内一定点（异于点），对于圆上的任意动点，都有为定值，定点的坐标为．【答案】【分析】设出点利用两点间距离公式得到比值关系，设为，最后利用方程与N无关得到关系式计算得到答案.【详解】设，且，，因为为定值，设，化简得：，与点位置无关，所以，解得：或，因为异于点，所以定点N为.故答案为：.题型点播整理方程并合并含参数的项，令参数的系数为零，解方程组即可．【变式1】已知圆经过，两点.(1)当，并且是圆的直径，求此时圆的标准方程；(2)如果是圆的直径，证明：无论a取何正实数，圆恒经过除外的另一个定点，求出这个定点坐标.【答案】(1)；(2)定点坐标为，证明见解析.【分析】（1）求出的坐标，根据两点间的距离公式求出，从而可求解；（2）设点是圆上任意一点，由是圆的直径，得，从而可求出圆的方程，即可得出结论【详解】（1）当，，故，，所以此时圆的标准方程为.（2）设点是圆上任意一点，因为是圆的直径，所以，即，所以圆的方程为：，则，，等式恒成立，定点为，所以无论取何正实数，圆恒经过除外的另一个定点，定点坐标为.题型5圆的轨迹与最值【典例1】古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点的距离之比为常数（且）的点的轨迹是圆，此圆称为“阿波罗尼斯圆”，简称“阿氏圆”．已知在平面直角坐标系中，，，动点满足，则的最小值为（

）A． B．6 C． D．9【答案】A【分析】根据两点距离公式计算可得根据圆的方程与两点距离公式，根据三角形三边关系求最值即可.【详解】化简整理得∴点P的轨迹是以点为圆心，为半径的圆；而表示的是圆上的动点与圆外一定点间的距离，∴的最小值即为的最小值，而，∴的最小值为.故选：A．题型点播用直接法求曲线方程的步骤如下：（1）建系设点：建立适当的直角坐标系，设曲线上任一点坐标为；（2）几何点集：写出满足题设的点的集合；（3）翻译列式：将几何条件用坐标、表示，写出方程；（4）化简方程：通过同解变形化简方程；（5）查漏除杂：验证方程表示的曲线是否为已知的曲线，重点检查方程表示的曲线是否有多余的点，曲线上是否有遗漏的点．求轨迹时常用的方法：代入法对于“双动点”问题，即若已知一动点在某条曲线上运动而求另一动点的轨迹方程时，通常用这一方法．代入法是先设所求轨迹的动点坐标为，在已知曲线上运动的点的坐标为，用，表示，，即，，并将它代入到已知曲线方程，即求出所求动点的轨迹方程．若推导过程均为等价变形，可以不再单独证明充分性；若过程中含有平方、消元等可能产生增根或漏解的变形，则必须检验并说明轨迹中需要删除或补充的点．【变式1】如图，四棱锥中，平面，，，.(1)证明：平面平面；(2)若，动点在内（含边界）且.（ⅰ）求线段的轨迹形成的面积；（ⅱ）设直线与平面所成角为，求的取值范围.【答案】(1)证明见解析；(2)（ⅰ）；（ⅱ）.【分析】（1）通过线线垂直证明平面，即可完成证明；（2）（ⅰ）如图建立空间直角坐标系，设的坐标为，由可得动点的轨迹，即可求解；（ⅱ）由（ⅰ）可设，据此可表示出平面的法向量，然后由空间向量结合三角函数知识可得答案.【详解】（1）由，可知，三角形为等腰直角三角形，，，又因为，由余弦定理得：，即得，，因为平面，平面，所以，又因为，平面，所以平面.又因为平面，所以平面平面.（2）（ⅰ）依题意，建立如图坐标系，设的坐标为，，由，化简得：，即，则动点的轨迹是以线段的中点为圆心，以1为半径的圆弧，由于线段的中点，所以该圆弧经过点，故动点的轨迹是四分之一圆弧，线段的轨迹形成的面积为圆锥侧面的，面积为；（ⅱ）由（ⅰ）可设，，，，，，，设平面的一个法向量为，则即取，则，则因为，所以，所以，所以，所以，综上所述，.强化训练（共10题）1．已知圆上一点，则的最大值为.【答案】【分析】记原点为，易知原点在圆上，结合距离的几何意义与圆的几何性质可求得的最大值.【详解】记原点为，易知原点在圆上，则，故的最大值为圆的直径，故的最大值为.故答案为：.2．已知三角形的，则三角形的面积的取值范围是．【答案】【分析】以为坐标原点所在直线为轴建立平面直角坐标系，设出点坐标，根据列等式，即可得到的轨迹.再求点到的距离范围即可得到三角形的面积的取值范围.【详解】以为坐标原点所在直线为轴建立平面直角坐标系，设，.因为，所以，化简得，则点的轨迹为以为圆心，半径为的圆（除去两点）.则点到直线的最大距离即为半径，此时三角形的面积.又点到直线的距离可趋近于，所以三角形的面积的取值范围为.故答案为：3．已知点，定义A，B两点间的曼哈顿距离，欧氏距离．在平面直角坐标系xOy中，已知点，点满足，点满足，则的最大值为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用给定的定义求出点的轨迹并画出图形，结合圆的性质求出最大值.【详解】设，由，得，因此点在以原点为圆心，1为半径的圆及内部，设，由，得，点在以为顶点的正方形及内部，当且仅当点与之一重合时，，所以.故选：D4．已知实数满足，则的最大值和最小值之和为.【答案】4【分析】应用三角换元，令，，且，结合三角恒等变换有，即可求.【详解】由题设，令，，且，所以，且，所以的最大、最小值分别为、，故它们的和为4.故答案为：4.5．已知曲线与曲线交于A，B，C三点，则外接圆的面积为.【答案】【分析】根据题意，联立两曲线方程，消去可得关于的一元三次方程，设出圆的一般式，分别将曲线代入圆的方程，化简得到关于的一元三次方程，然后对比，列出方程，即可得到圆的方程，从而得到结果.【详解】联立方程，消去可得，设过交点的圆的方程为，将代入圆的方程，可得，即，再将代入，即可得到，对比，可得，解得，所以圆的方程为，配方可得，则圆的半径为，所以外接圆的面积为.故答案为：.6．定义：表示点到曲线上任意一点的距离的最小值．已知是圆上的动点，圆，则的取值范围为．【答案】【分析】记为坐标原点，作出图形，求出的取值范围，即可得出的取值范围.【详解】记为坐标原点，圆的圆心为原点，圆的半径为，

由圆的几何性质可知，，且，即，即，当且仅当点时，取最小值，当且仅当点时，取最大值，故.故答案为：.7．已知直线，直线，若与的交点为，且，则的最小值为（

）A．2 B． C．3 D．【答案】A【分析】通过直线方程求出两条直线所过的定点，再根据两直线垂直的条件判断两直线垂直，进而确定点的轨迹，最后结合点的位置求出的最小值.【详解】可变形为由可得，则恒过定点，同理可得恒过定点，且有，则，此时的轨迹是以为直径的圆：．因，由图知，当点在线段上时，的值最小，其最小值为.故选：A．8．已知点在圆上，圆与圆关于直线对称．(1)圆与圆的方程；(2)设，是圆上的两个动点，且，点关于原点的对称点为，点关于轴的对称点为，直线，在轴上的截距分别是，问：是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．【答案】(1)圆，圆．(2)是定值．【分析】（1）由圆的标准方程可得圆心，根据点关于直线对称，建立方程组可求出圆心，可得答案；（2）根据对称写出点的坐标，利用直线的点斜式方程，分别求得截距，结合圆的方程计算，可得答案.【详解】（1）设圆的圆心关于直线的对称点为，的中点坐标是，的斜率是，，由得：，，，圆，圆．（2），，，，直线的方程为：，令，则，同理可得：，由，，，则，是定值．9．设直线(1)求与直线的距离为的直线的方程；(2)求圆关于直线的对称圆的方程.【答案】(1)或(2)【分析】（1）依题意该直线与直线平行，由平行直线间的距离公式列方程即可求解；（2）利用“垂直”，“平分”即可求出圆心关于直线的对称点，进而可求对称圆方程.【详解】（1）由题意可知该直线与直线平行，所以设该直线方程为，依题意，解得或，故该直线方程为或.（2）圆的圆心为，设圆心关于直线的对称点为，则且的中点在直线上．，解得，，圆关于直线的对称圆半径不变，该对称圆方程为：．10．已知圆关于直线对称的图形为圆，求圆的方程．【答案】【分析】求出圆心关于直线的对称点坐标，可求出对称后的圆的方程.【详解】易知圆的圆心为，设圆心关于直线对称的点坐标为，可得，解得，即圆的圆心坐标为，对称后半径不变，所以圆的方程为.知识小测（共5题）1．设实数，圆的面积为，则．【答案】【分析】将一般方程化成标准方程后可得圆的半径，结合已知面积可求参数的值.【详解】圆的标准方程为，故，故（负解舍去），故答案为：.2．