人教A版高二数学秋季培优班 第8讲 圆的方程（总部定稿版）（学生版）

第8讲圆的方程目录题型01圆的标准方程与一般方程题型02点与圆的位置关系题型03二元二次曲线表示圆题型04圆过定点问题题型05圆的轨迹与最值强化训练（共10题）知识小测（共5题）知识解读知识点01圆的标准方程，其中为圆心，为半径．知识点02点和圆的位置关系如果圆的标准方程为，圆心为，半径为，则有（1）若点在圆上（2）若点在圆外（3）若点在圆内知识点03圆的一般方程当时，方程叫做圆的一般方程．为圆心，为半径．知识点04用待定系数法求圆的方程的步骤求圆的方程常用“待定系数法”．用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是：（1）根据题意，选择标准方程或一般方程．（2）根据已知条件，建立关于或的方程组．（3）解方程组，求出或的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程．知识点05轨迹方程求符合某种条件的动点的轨迹方程，实质上就是利用题设中的几何条件，通过“坐标法”将其转化为关于变量之间的方程．1．当动点满足的几何条件易于“坐标化”时，常采用直接法；当动点满足的条件符合某一基本曲线的定义（如圆）时，常采用定义法；当动点随着另一个在已知曲线上的动点运动时，可采用代入法（或称相关点法）．2．求轨迹方程时，一要区分“轨迹”与“轨迹方程”；二要注意检验，去掉不合题设条件的点或线等．3．求轨迹方程的步骤：（1）建立适当的直角坐标系，用表示轨迹（曲线）上任一点的坐标；（2）列出关于的方程；（3）把方程化为最简形式；（4）除去方程中的瑕点（即不符合题意的点）；（5）作答．题型精讲题型1圆的标准方程与一般方程【典例1】已知圆的圆心在直线上，且圆经过点，则圆的标准方程是.题型点播确定圆的方程的主要方法是待定系数法，即列出关于a、b、r的方程组，求a、b、r或直接求出圆心和半径r，一般步骤为：（1）根据题意，设所求的圆的标准方程为；（2）根据已知条件，建立关于a、b、r的方程组；（3）解方程组，求出a、b、r的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程．（1）若一个圆可用一般方程表示，则它具备隐含条件，解题时，应充分利用这一隐含条件．（2）当已知圆上三个不共线点的坐标时，通常设圆的一般方程，所得关于D,【典例2】已知圆，则圆的圆心坐标为.【变式1】已知函数与的图象交于不同的三点A，B，C，同一平面上的点P满足，则P的坐标是．题型2点与圆的位置关系【典例1】已知如图点在圆上，圆沿着轴顺时针滚动弧度，点到了点的位置，则点的坐标为（

）A． B． C． D．题型点播如果圆的标准方程为，圆心为，半径为，则有（1）若点在圆上（2）若点在圆外（3）若点在圆内【变式1】如图，在平面直角坐标系xOy中，Q为第一象限内一点，QA垂直于x轴，QB垂直于射线OM，垂足分别为A，B，且，，．(1)求OQ的值；(2)已知圆C通过四点，①圆C的方程；②设P是圆C上的任意一点，在x轴及射线OM上是否分别存在定点E，F，使为定值？若存在，指出定点的位置；若不存在，请说明理由．题型3二元二次曲线表示圆【典例1】方程表示圆，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．题型点播二元二次方程A表示圆的条件为A【变式1】已知，方程表示圆，则圆心坐标是．题型4圆过定点问题【典例1】已知圆，点，平面内一定点（异于点），对于圆上的任意动点，都有为定值，定点的坐标为．题型点播整理方程并合并含参数的项，令参数的系数为零，解方程组即可．【变式1】已知圆经过，两点.(1)当，并且是圆的直径，求此时圆的标准方程；(2)如果是圆的直径，证明：无论a取何正实数，圆恒经过除外的另一个定点，求出这个定点坐标.题型5圆的轨迹与最值【典例1】古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点的距离之比为常数（且）的点的轨迹是圆，此圆称为“阿波罗尼斯圆”，简称“阿氏圆”．已知在平面直角坐标系中，，，动点满足，则的最小值为（

）A． B．6 C． D．9题型点播用直接法求曲线方程的步骤如下：（1）建系设点：建立适当的直角坐标系，设曲线上任一点坐标为；（2）几何点集：写出满足题设的点的集合；（3）翻译列式：将几何条件用坐标、表示，写出方程；（4）化简方程：通过同解变形化简方程；（5）查漏除杂：验证方程表示的曲线是否为已知的曲线，重点检查方程表示的曲线是否有多余的点，曲线上是否有遗漏的点．求轨迹时常用的方法：代入法对于“双动点”问题，即若已知一动点在某条曲线上运动而求另一动点的轨迹方程时，通常用这一方法．代入法是先设所求轨迹的动点坐标为，在已知曲线上运动的点的坐标为，用，表示，，即，，并将它代入到已知曲线方程，即求出所求动点的轨迹方程．若推导过程均为等价变形，可以不再单独证明充分性；若过程中含有平方、消元等可能产生增根或漏解的变形，则必须检验并说明轨迹中需要删除或补充的点．【变式1】如图，四棱锥中，平面，，，.(1)证明：平面平面；(2)若，动点在内（含边界）且.（ⅰ）求线段的轨迹形成的面积；（ⅱ）设直线与平面所成角为，求的取值范围.强化训练（共10题）1．已知圆上一点，则的最大值为.2．已知三角形的，则三角形的面积的取值范围是．3．已知点，定义A，B两点间的曼哈顿距离，欧氏距离．在平面直角坐标系xOy中，已知点，点满足，点满足，则的最大值为（）A． B． C． D．4．已知实数满足，则的最大值和最小值之和为.5．已知曲线与曲线交于A，B，C三点，则外接圆的面积为.6．定义：表示点到曲线上任意一点的距离的最小值．已知是圆上的动点，圆，则的取值范围为．7．已知直线，直线，若与的交点为，且，则的最小值为（

）A．2 B． C．3 D．8．已知点在圆上，圆与圆关于直线对称．(1)圆与圆的方程；(2)设，是圆上的两个动点，且，点关于原点的对称点为，点关于轴的对称点为，直线，在轴上的截距分别是，问：是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．9．设直线(1)求与直线的距离为的直线的方程；(2)求圆关于直线的对称圆的方程.10．已知圆关于直线对称的图形为圆，求圆的方程．知识小测（共5题）1．设实数，圆的面积为，则．2．已知点，则以为直径的圆的方程为（

）A．