人教版数学八年级下册 专题23.5 一次函数的应用 同步练习 含答案

专题23.5一次函数的应用教学目标掌握用一次函数解决实际问题的基本步骤，并能够对在用一次函数解决实际问题中灵活运用；掌握一次函数的基本性质，并能够熟练的运用一次函数的基本性质解决相关的实际问题。教学重难点重点利用一次函数解决实际问题的基本步骤；利用一次函数解决实际问题的类型。2.难点（1）分段函数的图象处理；（2）方案优化，最佳方案的选择。知识点01一次函数实际应用一次函数解决实际问题的基本步骤：先将实际问题抽象为一次函数问题；设函数解析式；根据条件求出函数解析式；结合函数图象和性质分析并解决实际问题。【即学即练1】1．幸福小区计划购买一批树苗绿化小区，且需送货上门，已知一棵树苗15元，送货上门需要加100元运费，则所需金额y（单位：元）与购买棵数x（单位：棵）之间的函数关系式为（）A．y＝15x B．y＝100﹣15x C．y＝15x+100 D．y＝115x【即学即练2】2．如图是一块长为5m，宽为2m的长方形木板（厚度忽略不计），现要在长边上截去长为xm（0＜x＜5）的一部分，则剩余木板的面积（空白部分）y（m2）与x（m）之间的函数关系式为（）A．y＝10﹣x B．y＝5x C．y＝2x D．y＝﹣2x+10【即学即练3】3．春节期间，多部国产电影纷纷上映，某电影院的负责人经过调查后发现，每天售出的电影票数量y（单位：张）与售价x（单位：元/张）之间大致满足一次函数的关系（30≤x≤80，且x是整数），部分数据如下表所示：电影票售价x（元/张）…405060…售出电影票数量y（张）…16412484…（1）请求出y与x之间的函数关系式；（2）若电影票的售价定为38元时，每天售出的电影票数量应为多少张？【即学即练4】4．2026年春晚舞台上，人形机器人表演让人叹为观止．某公司计划购买甲、乙两种机器人进行销售，调查发现，甲种机器人的单价比乙种机器人的单价少5万元，花1200万元购进甲种机器人的数量是花650万元购进乙种机器人数量的2倍．（1）求购买一个甲种机器人、一个乙种机器人各需多少万元？（2）该公司打算购进甲、乙两种机器人共30个（两种都要买），且总经费预算不超过1900万元．若购进甲种机器人m个，购买经费为W万元，求W与m之间的函数关系式，并求出自变量的取值范围．知识点02建立函数模型，选择最佳方案用一次函数选择最佳方案的一般步骤：从数学的角度分析实际问题，建立函数模型；列出不等式（组）或方程（组），求出自变量的取值范围，并求出在不同自变量取值时对应的函数值大小关系；结合实际需求，选择最佳方案。【即学即练1】5．清明假期期间，两位家长计划带领若干名学生去旅游，他们联系了报价均为每人500元的两家旅行社．经协商，甲旅行社的优惠条件是：两位家长全额收费，学生都按七折收费；乙旅行社的优惠条件是：家长、学生都按八折收费．假设这两位家长带领x名学生去旅游，（1）用y1代表甲旅行社的费用，用y2代表乙旅行社的费用，写出y1，y2的函数表达式；（2）他们应该选择哪家旅行社更合算呢？【即学即练2】6．甲公司将员工的午餐外包给某家餐饮公司，该餐饮公司根据每天甲公司员工团购订餐的数量，给出以下优惠方案：套餐类别套餐单价团购订餐优惠方案A：米饭套餐30元方案一：A套餐满20份打九折，B套餐满20份打八折．方案二：总费用满1000元立减220元．注：方案一、二不可同时使用.B：面食套餐25元（1）某天甲公司有40人团购订餐，且订A套餐的人数不少于25人．若按方案一结算的总费用恰为1060元，求这天订A套餐和B套餐的人数分别有多少人．（2）某天甲公司有60人团购订餐，其中订B套餐的人数大于订A套餐人数的2倍，设其中有x人订A套餐，按方案一结算的总费用为y1元，按方案二结算的总费用为y2元．①分别求y1，y2与x之间的函数关系式．②若按方案二结算较合算，则x的值为．知识点03分段函数分段函数：在一次函数的实际应用中，最常见为分段函数。分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际。关键点：①分段函数各段的函数解析式。②各个拐点的实际意义。③函数交点的实际意义。【即学即练1】7．甲、乙两车从A地出发，匀速驶往B地．甲车出发0.5小时后，乙车才沿相同的路线开始行驶，乙车先达到B地并停留30分钟后，又以原速按原路线返回，直至与甲车相遇．图中的折线段表示从开始到相遇为止，两车之间的距离S与乙车行驶时间t的函数关系图象，则下列说法正确的是（）A．乙车的速度为90km/h B．AB两地相距360km C．b＝150 D．d=【即学即练2】8．甲乙两人骑自行车分别从A，B两地同时出发相向而行，甲匀速骑行到B地，乙匀速骑行到A地，甲的速度大于乙的速度，两人分别到达目的地后停止骑行．两人之间的距离y（米）和骑行的时间x（秒）之间的函数关系图象如图所示，现给出下列结论：①a＝450；②b＝150；③甲的速度为6米/秒；④当甲、乙相距50米时，甲出发了55秒或65秒．其中正确的结论有（）A．①② B．①④ C．②③④ D．③④【即学即练3】9．小明和小亮相约晨练跑步．小明比小亮早1分钟离开家门，3分钟后迎面遇到从家跑来的小亮，两人沿滨江路跑了2分钟后，决定进行长跑比赛，比赛时小明的速度始终是180米/分，小亮的速度始终是220米/分．如图是两人之间的距离y（米）与小明离开家的时间x（分）之间的函数图象．下列说法：①小明家与小亮家距离为540米；②相遇前小亮的速度为120米/分；③小明出发7分钟时，两人距离为80米；④若小亮从家出门跑了14分钟后，按原路以比赛时的速度返回，则再经过1分钟两人相遇．其中正确的个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个题型01由实际问题抽象出函数解析式【典例1】如图，一农户要建一个长方形牛舍．牛舍的一边利用围墙，另外三边用25米长的建筑材料围成．为方便进出，在边CD上留一扇1米宽的门．若设AB的长为x米，BC的长为y米，则y与x之间的函数关系式是（）A．y＝24﹣2x（0＜x＜12） B．y＝25﹣2x（0＜x＜12.5）C．y＝26﹣2x（0＜x＜13） D．y＝25﹣x（0＜x＜25）【变式1】某油箱容量为50L的汽车，加满汽油后行驶了100km时，油箱中的汽油消耗了10L，如果加满汽油后汽车行驶的路程为xkm，油箱中剩油量为yL，则y与x之间的函数解析式和自变量取值范围分别是（）A．y＝0.1x，x＞0 B．y＝50﹣0.1x，x＞0 C．y＝0.1x，0≤x≤500 D．y＝50﹣0.1x，0≤x≤500【变式2】节假日期间，某商场搞优惠促销活动，其活动内容是：“凡在该商场一次性购物超过50元，超过50元的部分按九折优惠”，在此活动中，小明到该商场一次性购买了单价为30元的商品x件（x＞2），应付款y（元），则下列方程中正确的是（）A．y＝30x•90%+50 B．y＝30x•90% C．y＝30x•90%﹣50 D．y＝50+（30x﹣50）•90%【变式3】已知等腰三角形的周长为20cm，则底边长y（cm）与腰长x（cm）的函数关系式是（）A．y＝20﹣2x（5＜x＜10） B．y＝2x﹣20（5＜x＜10） C．y＝10−12x（x＜10） D．y=12题型02一次函数的实际应用【典例1】某学校采购体育用品，需要购买若干个篮球和足球．已知购买一个篮球和一个足球共需要110元，购买2个足球的价格比购买一个篮球多花费40元．（1）求篮球和足球的单价各是多少元？（2）若该学校要购买篮球、足球共10个，且足球的个数不超过篮球个数的2倍，请问购买多少个篮球时，花费最少，最少费用是多少元？【变式1】随着“体重管理年”三年行动的实施，某体育用品商店老板计划购进甲、乙两种健身器材共100件进行销售．甲、乙两种健身器材的进价与售价如下表所示：种类进价（元/件）售价（元/件）甲80100乙5080设该体育用品商店老板购进甲健身器材x件（0＜x＜100），购进这两种健身器材所需的总费用为y元．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）若该体育用品商店老板共花费6200元购进这两种健身器材，求售完此次购进的甲、乙两种健身器材所得的总利润．【变式2】某校因物理实验室需更新升级，现决定购买甲、乙两种型号的滑动变阻器．若购买甲种滑动变阻器用了1440元，购买乙种用了2430元，购买的乙种滑动变阻器的数量是甲种的1.5倍，乙种滑动变阻器单价比甲种单价贵6元．（1）求甲、乙两种滑动变阻器的单价分别为多少元；（2）该校拟计划再订购这两种滑动变阻器共100个，要求甲种滑动变阻器的数量不多于乙种滑动变阻器的数量的3倍，总费用不超过5000元，请你设计购买方案，并写出所需费用最少的购买方案．【变式3】2026年山亭区助农电商平台采购方案：为助力乡村振兴，某电商平台购进甲（店子长红枣礼盒）和乙（城头豆制品礼盒）两款助农产品进行销售，两次进货信息记录如下（两次进货单价不变）：进货次数甲款数量/盒乙款数量/盒进货总费用/元第一次1081200第二次6121080（1）求甲、乙两款礼盒的进货单价；（2）该平台计划第三次购进甲、乙两款礼盒共100盒．已知每盒甲款礼盒售价为160元，每盒乙款礼盒售价为110元．若规定乙款礼盒的进货数量不低于甲款礼盒进货数量的2倍，设购进甲款礼盒x盒，这批礼盒的总利润为W元，求W的最大值．题型03分段函数的图象分析【典例1】甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速跑步3000米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离y（米）与甲出发的时间t（分）之间的关系如图所示，下列说法错误的是（）A．乙用6分钟追上甲 B．乙追上甲后，再走2400米才到达终点 C．甲到终点时，乙已经在终点处休息了12分钟D．甲乙两人之间的最远距离是960米【变式1】如图中的图象（折线ABCDE）描述了一辆汽车在某一直线上的行驶过程中，汽车离出发地的距离s（km）和行驶时间t（h）之间的函数关系，根据图中提供的信息，给出下列说法：①汽车在行驶途中停留了0.5h；②汽车共行驶了300km；③汽车回来时的平均速度是去时的2倍；④汽车自出发后2h至3h之间的行驶速度为60km/h．其中正确的说法有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式2】A，B两地相距80km，甲、乙两人沿同一条路从A地到B地．甲、乙两人离开A地的距离s（单位：km）与时间t（单位：h）之间的关系如图所示，则以下结论：①乙比甲提前出发1h；②甲行驶的速度为40km/h；③3h时，甲、乙两人相距45km；④0.75h或1.15h时，乙比甲多行驶10km．其中正确的个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式3】小明从家中去往A地，匀速前进，小明出发2min后，小明的爸爸发现小明的数学书落在了家中，于是按照小明步行的路线匀速追赶小明，爸爸将数学书送给小明后（不计停留时间），又按原路原速返回．当小明到达目的地时，爸爸恰好也到达家中，小明和爸爸离家的距离y（m）与小明的步行时间x（min）的函数关系图象如图所示．下列说法正确的有（）个．①a＝2；②b＝720；③小明爸爸的速度是180m/min；④小明爸爸出发2min或6.4min时两人相距120m．A．1 B．2 C．3 D．4题型04一次函数与方案选择【典例1】某学校老师暑假带领该校学生去旅游，甲旅行社说：“若老师买一张全票，则所有学生可享受半价优惠．”乙旅行社说：“包括老师在内都享受六折优惠．”若全票票价是1200元，设学生人数为x，甲旅行社收费为y甲元、乙旅行社收费为y乙元．（1）分别写出两家旅行社的收费与学生人数的关系式；（2）请你讨论该学校选择哪一家旅行社更优惠？【变式1】随着洗车服务需求的不断增长，智能洗车行业迎来了更加广阔的发展空间．已知某智能洗车店的洗车费用为30元/次，为回馈客户，该智能洗车店推出以下两种优惠方案：方案一：按次收费，每次洗车打八折，没有额外费用；方案二：办理年卡，年卡收费120元，每次洗车打六折．若张叔叔一年洗车的次数为x（x为正整数）次，所需总费用为y元．（只选其中一种方案）（1）分别求出张叔叔选择两种优惠方案所需的总费用y与洗车次数x之间的函数关系式；（2）若张叔叔计划一年的洗车总费用为552元，请你分析他选择哪种方案更划算，并说明理由．【变式2】小南爸爸新购买了一辆新能源汽车，现在面临充电方案的选择，经过调研，他收集到以下信息：方案一次性安装费用（元）电费（元/度）A家用充电35000.5B公用充电01.2（1）请分别写出方案A和方案B的充电费用y（元）关于充电量x（度）的函数关系式yA与yB（注：A方案充电费用包括一次性安装费用）；（2）请问该车充电量达到多少度时，两种方案的充电费用相同？（3）已知该款车百公里能耗为15度电，预计小南爸爸每年行驶15000公里，计划车辆使用时间为6年，比较哪种充电方案更合算，并说明理由．【变式3】某校在期末对本学期的校级“三好学生”进行表彰，准备购买一批精装硬皮笔记本作为奖品，经市场调研发现，这种笔记本市场价格均相同，且花费300元购买的笔记本的数目比花费100元购买的笔记本多20本．学校选定了甲、乙两家学习用品商店准备购买，这两家商店在期末期间均有优惠活动：甲商店：购买超过30本，超过部分打九折出售；乙商店：购买超过50本，超过部分打八折出售；设学校购买x本笔记本，所花费用为y元，其函数图象如图所示．（1）求每本笔记本的单价．（2）①当x＞30时，求甲商店的应付总价y1与数量x之间的函数关系式；②当x＞50时，求乙商店的应付总价y2与数量x之间的函数关系式．（3）请求出图中点M的坐标，并简要说明点M表示的实际意义．（4）根据图象直接写出选择哪家商店购买笔记本更优惠．1．“人间四月芳菲尽，山寺桃花始盛开”，证明温度随着海拔的升高而降低，已知某地面温度为25℃，且每升高1千米温度下降6℃，则山上距离地面h千米处的温度t为（）A．t=25−h6 B．h=25−t6 C．t＝25﹣6h 2．油箱中有油20升，油从管道中匀速流出，100分钟流完．油箱中剩油量Q（升）与流出的时间t（分）间的函数关系式是（）A．Q＝20﹣5t B．Q=15t+20 C．Q＝20−15t 3．据查，某存车处某日的存车量为4000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0.3元，普通车存车费是每辆一次0.2元，若普通车存车数为x辆次，存车费总收入为y元，则y关于x的函数是（）A．y＝0.1x+800（0≤x≤4000） B．y＝﹣0.1x+1200（0≤x≤4000） C．y＝﹣0.1x+800（0≤x≤4000） D．y＝0.1x+1200（0≤x≤4000）4．八（1）班同学参加社会实践活动，在王伯伯的指导下，要围一个如图所示的长方形菜园ABCD，菜园的一边利用足够长的墙，用篱笆围成的另外三边的总长恰好为12m，设边BC的长为xm，边AB的长为ym（x＞y）．则y与x之间的函数表达式为（）A．y＝﹣2x+12（0＜x＜12） B．y=−12x+6（4＜xC．y＝2x﹣12（0＜x＜12） D．y=12x﹣6（4＜5．学校生物兴趣小组观察记录了校园共享果园里橘树苗的生长，将橘树苗的高度y（cm）与观察时间x（天）的关系记录如图所示，那么橘树苗在第50天的高度是（）A．14cm B．16cm C．18cm D．20cm6．某车间甲车床一天可制作480个工件．该车间新引进乙车床，通过调试，乙车床一天用同样的工时（小时）制作560个工件．设乙车床每小时比甲车床多制作的工件数为p，下列推断正确的是（）A．p＝80 B．p是乙车床一天总工时的反比例函数 C．p是甲车床一天总工时的正比例函数 D．p是甲车床每小时制作的工件数的反比例函数7．随着人们生活水平的提高，对美食的要求也越来越高，特别是油炸食品，需要控制油的温度才能保证菜品的成功．下表是厨师记录的一次油沸腾前的油温y（单位：℃）随加热时间t（单位：s）变化的部分数值：加热时间t/s010203040…油温y/℃3045607590…根据表格中的数据判断，加热100s时的油温为（）A．150℃ B．165℃ C．180℃ D．195℃8．某市出租车的计费标准如图（不足1km按1km计算），一天，张叔叔乘坐出租车去上班．设行驶里程为xkm，所付的费用为y元．则下列说法错误的是（）A．当行驶里程为2.8km时，所付的费用为10元 B．当3＜x≤6时，y＝2x+4 C．若支付了25元，则行驶的里程数可能是8.8km D．当行驶里程为3.5km时，所付的费用为11元9．甲、乙两辆汽车从A城出发前往B城，在整个行程中，两车离开A城行驶的路程y（千米）与甲车出发的时间x（小时）的对应关系如图所示，则下列四个结论：①A城与B城相距360千米；②乙出发1.5小时后追上甲；③甲，乙两车相距50千米时，x=5④当3≤x≤5.5时，甲、乙两车之间相距的路程不变．其中正确的结论有（）个．A．1 B．2 C．3 D．410．甲、乙两人原计划一同从A从到B城，但乙临时有事就只能分开自驾出发，乙为了能在预计时间内到达B坡，其匀速行驶的速度比甲匀速行驶的速度大．当乙提前到达B城后，他又立马掉头用原来速度的310去接甲，与甲相遇后又按照甲的速度一起行驶到B城，整个行驶过程中，两人与A城的距离y（km）与甲行驶的时间t（h）之间的函数关系如图所示．有下列结论：①两城相距300km；②乙比甲晚出发1h，却早到1h；③两人第一次相遇时距出发点150km；④图象中a=5，b=42⑤当甲、乙两人相距50km时，t=56或54或15其中正确的结论有（）A．5个 B．4个 C．3个 D．2个11．西安市出租车价格是这样规定的：不超过3千米，付车费8.5元，超过的部分按每千米2元收费．已知李老师乘出租车行驶了x（x＞3）千米，付车费y元，则所付车费y（元）与出租车行驶的路程x（千米）之间的关系式为．（不要求写出自变量x的取值范围）12．一个水池的容积是90m3，水池内蓄有一定量的水，现在保持一定的速度向水池中蓄水，1小时后水池的水量是15m3，5小时后水池的水量是35m3，那么8小时后水池的水量是m3．13．甲、乙两地相距300km，一辆货车从甲地开往乙地，一辆轿车从乙地开往甲地，其中轿车的速度大于货车的速度，两车同时出发，中途不停留，各自到达目的地后停止．两车之间的距离y（km）与货车行驶时间x（h）之间的关系如图所示，则图中点B的横坐标为．14．某公司生产了A，B两款新能源电动汽车．如图，l1，l2分别表示A款，B款新能源电动汽车充满电后电池的剩余电量y（kW•h）与汽车行驶路程x（km）的关系．当两款新能源电动汽车的行驶路程相等时，A款新能源电动汽车电池的剩余电量比B款新能源电动汽车电池的剩余电量多12kW•h，则此时它们行驶的路程均为km．15．如图，经过点A的一束光线照射到平面镜（x轴）上的点B处，反射后的光线BC交y轴于点C（0，1），若反射光线BC的函数关系式为y=−34x+b，则入射光线AB的函数关系式为16．我市为了打造蓼河公园，今年计划改造一片绿化地种植A、B两种景观树．种植3棵A种、4棵B种景观树需要1800元，种植4棵A种、3棵B种景观树需要1700元．（1）种植每棵A种景观树和每棵B种景观树各需要多少元？（2）今年计划种植A、B两种景观树共400棵，且A种景观树的数量不超过B种景观树数量的3倍，要使总费用最低，这两种景观树各种植多少棵？最低费用为多少元？17．冲泡日照绿茶的最佳水温为80﹣85℃，在这个温度范围内，水温足以激发茶叶中的香气和滋味，同时又不会破坏其营养价值．为使冲泡出来的日照绿茶口感更佳，明明的爸爸在泡茶时，记录了烧水壶的水温T（单位：℃）随烧水时间t（单位：min）变化的数据并整理成下表，已知水温的变化是均匀的．t/min02468T/℃1731455973（1）求水温T与时间t之间的表达式；（2）为使水温达到日照绿茶适宜的冲泡温度80℃，需要烧水多长时间？18．在一条公路上依次有A，B，C三地，为服务我市冰雪运动嘉年华活动，甲车从A地出发匀速驶向活动区域，途经B地时接到紧急任务，立即原路原速返回A地（调头时间忽略不计）；乙车从C地出发匀速驶往A地，行至B地时因路面临时交通管控停车等候半小时，之后继续匀速前行，最终比甲车早半小时到达A地．如图是甲、乙两车距C地的距离y（km）与甲车行驶时间x（h）之间的函数图象，结合图象回答下列问题：（1）甲车的速度是km/h，乙车到达B地之前的速度是km/h；（2）求图象中线段EF的函数解析式；（3）直接写出乙车到达B地休息前，甲、乙两车出发多长时间，两车与B地的距离相等．19．某游泳馆普通票价为20元/张，暑假为了促销，新推出两种优惠卡：①金卡售价600元/张，每次凭卡不再收费；②银卡售价150元/张，每次凭卡另收10元．暑假普通票正常出售，两种优惠卡仅限暑假使用，不限次数．设游泳x次时，所需总费用为y元．（1）分别写出选择银卡、普通票消费时，所需总费用y1，y2与x之间的函数关系式；（2）在同一平面直角坐标系中，若三种消费方式对应的函数图象如图所示，请求出点A，B，C，D的坐标；（3）请根据函数图象，直接写出选择哪种消费方式更划算．20．已知小亮所在学校的宿舍、超市、书店依次在同一条直线上，超市离宿舍0.4km，书店离宿舍1.6km，小亮从宿舍出发，先匀速步行了4min到超市；在超市停留了6min后，匀速骑行了5min到书店；在书店停留了30min后，匀速步行20min返回宿舍，下面图中x表示时间，y表示离宿舍的距离，图象反映了这个过程中小亮离宿舍的距离与时间之间的对应关系．请根据相关信息，解答下列问题：（Ⅰ）①填表：小亮离开宿舍的时间/min1103055小亮离宿舍的距离/km0.4②填空：当小亮离宿舍的距离为0.2km时，他离开宿舍的时间为min．（Ⅱ）当0≤x≤15时，请直接写出y关于x的函数解析式．（Ⅲ）若同宿舍的小华与小亮同时从宿舍出发，小华以0.08km/min的速度步行直接到书店．在从宿舍到图书馆的过程中，对于同一个x的值，小亮离宿舍的距离为y1，小华离宿舍的距离为y2，当y1＜y2时，求x的取值范围（直接写出结果即可）．

专题23.5一次函数的应用教学目标掌握用一次函数解决实际问题的基本步骤，并能够对在用一次函数解决实际问题中灵活运用；掌握一次函数的基本性质，并能够熟练的运用一次函数的基本性质解决相关的实际问题。教学重难点重点利用一次函数解决实际问题的基本步骤；利用一次函数解决实际问题的类型。2.难点（1）分段函数的图象处理；（2）方案优化，最佳方案的选择。知识点01一次函数实际应用一次函数解决实际问题的基本步骤：先将实际问题抽象为一次函数问题；设函数解析式；根据条件求出函数解析式；结合函数图象和性质分析并解决实际问题。【即学即练1】1．幸福小区计划购买一批树苗绿化小区，且需送货上门，已知一棵树苗15元，送货上门需要加100元运费，则所需金额y（单位：元）与购买棵数x（单位：棵）之间的函数关系式为（）A．y＝15x B．y＝100﹣15x C．y＝15x+100 D．y＝115x【答案】C【解答】解：已知一棵树苗15元，送货上门需要加100元运费，由题意得，y＝15x+100，故选：C．【即学即练2】2．如图是一块长为5m，宽为2m的长方形木板（厚度忽略不计），现要在长边上截去长为xm（0＜x＜5）的一部分，则剩余木板的面积（空白部分）y（m2）与x（m）之间的函数关系式为（）A．y＝10﹣x B．y＝5x C．y＝2x D．y＝﹣2x+10【答案】D【解答】解：依题意有：y＝2×5﹣2x＝10﹣2x，即y＝﹣2x+10．故选：D．【即学即练3】3．春节期间，多部国产电影纷纷上映，某电影院的负责人经过调查后发现，每天售出的电影票数量y（单位：张）与售价x（单位：元/张）之间大致满足一次函数的关系（30≤x≤80，且x是整数），部分数据如下表所示：电影票售价x（元/张）…405060…售出电影票数量y（张）…16412484…（1）请求出y与x之间的函数关系式；（2）若电影票的售价定为38元时，每天售出的电影票数量应为多少张？【答案】（1）y＝﹣4x+324（30≤x≤80，且x是整数）；（2）172张．【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式是y＝kx+b，由表格，得40k+b=16450k+b=124解得k=−4b=324答：y＝﹣4x+324（30≤x≤80，且x是整数）；（2）若电影票的售价定为38元时，令x＝38，则y＝﹣4×38+324＝172．答：每天售出的电影票数量应为172张．【即学即练4】4．2026年春晚舞台上，人形机器人表演让人叹为观止．某公司计划购买甲、乙两种机器人进行销售，调查发现，甲种机器人的单价比乙种机器人的单价少5万元，花1200万元购进甲种机器人的数量是花650万元购进乙种机器人数量的2倍．（1）求购买一个甲种机器人、一个乙种机器人各需多少万元？（2）该公司打算购进甲、乙两种机器人共30个（两种都要买），且总经费预算不超过1900万元．若购进甲种机器人m个，购买经费为W万元，求W与m之间的函数关系式，并求出自变量的取值范围．【答案】（1）购买一个甲种机器人需60万元，一个乙种机器人需65万元；（2）W＝﹣5m+1950（10≤m＜30且为整数）．【解答】解：（1）设购买一个乙种机器人需x万元，则购买一个甲种机器人需（x﹣5）万元．根据题意得，1200x−5解得x＝65．经检验，x＝65是原方程的解，且符合题意．∴x﹣5＝65﹣5＝60，答：购买一个甲种机器人需60万元，一个乙种机器人需65万元；（2）设该公司购进甲种机器人m个，根据题意得，W＝60m+65（30﹣m）＝﹣5m+1950．又60m+65（30﹣m）≤1900，解得m≥10，∴10≤m＜30．∴W＝﹣5m+1950（10≤m＜30且为整数）．知识点02建立函数模型，选择最佳方案用一次函数选择最佳方案的一般步骤：从数学的角度分析实际问题，建立函数模型；列出不等式（组）或方程（组），求出自变量的取值范围，并求出在不同自变量取值时对应的函数值大小关系；结合实际需求，选择最佳方案。【即学即练1】5．清明假期期间，两位家长计划带领若干名学生去旅游，他们联系了报价均为每人500元的两家旅行社．经协商，甲旅行社的优惠条件是：两位家长全额收费，学生都按七折收费；乙旅行社的优惠条件是：家长、学生都按八折收费．假设这两位家长带领x名学生去旅游，（1）用y1代表甲旅行社的费用，用y2代表乙旅行社的费用，写出y1，y2的函数表达式；（2）他们应该选择哪家旅行社更合算呢？【答案】（1）y1与x的关系式为y1＝350x+1000，y2与x的关系式为y2＝400x+800．（2）当x＞4时，选择甲旅行社支付的旅游费用较少；当x＝4时，选择甲、乙旅行社支付的旅游费用相同，任选一家即可；当0≤x＜4时，选择乙旅行社支付的旅游费用较少．【解答】解：（1）y1＝500×2+0.7×500x＝350x+1000，y2＝0.8×500（x+2）＝400x+800，∴y1与x的关系式为y1＝350x+1000，y2与x的关系式为y2＝400x+800．（2）当y1＜y2时，得350x+1000＜400x+800，解得x＞4，当y1＝y2时，得350x+1000＜400x+800，解得x＝4，当y1＞y2时，得350x+1000＞400x+800，解得x＜4，∴当x＞4时，选择甲旅行社支付的旅游费用较少；当x＝4时，选择甲、乙旅行社支付的旅游费用相同，任选一家即可；当0≤x＜4时，选择乙旅行社支付的旅游费用较少．【即学即练2】6．甲公司将员工的午餐外包给某家餐饮公司，该餐饮公司根据每天甲公司员工团购订餐的数量，给出以下优惠方案：套餐类别套餐单价团购订餐优惠方案A：米饭套餐30元方案一：A套餐满20份打九折，B套餐满20份打八折．方案二：总费用满1000元立减220元．注：方案一、二不可同时使用.B：面食套餐25元（1）某天甲公司有40人团购订餐，且订A套餐的人数不少于25人．若按方案一结算的总费用恰为1060元，求这天订A套餐和B套餐的人数分别有多少人．（2）某天甲公司有60人团购订餐，其中订B套餐的人数大于订A套餐人数的2倍，设其中有x人订A套餐，按方案一结算的总费用为y1元，按方案二结算的总费用为y2元．①分别求y1，y2与x之间的函数关系式．②若按方案二结算较合算，则x的值为17或18或19．【答案】（1）30，10；（2）①y1＝10x+1200，y2＝5x+1280；②17或18或19．【解答】解：（1）设这天订A套餐的有a人，订B套餐的有b人，则b＝40﹣a，∵a≥25，∴40﹣a≤15，即b≤15．根据题意，得a+b=400.9×30a+25b=1060解得a=30b=10答：这天订A套餐的有30人，则订A套餐的有10人．（2）①根据题意，有（60﹣x）人订B套餐，则60﹣x＞2x，解得x＜20，∴0≤x＜20，∴40＜60﹣x≤60．∴y1＝30x+0.8×25（60﹣x）＝10x+1200，∵x＜20，30x+25（60﹣x）＝5x+1500，∴1500≤5x+1500＜1600，∴y2＝5x+1500﹣220＝5x+1280．②根据题意，得10x+1200＞5x+1280，解得x＞16，∴16＜x＜20，且x为非负整数，∴x＝17或18或19．故答案为：17或18或19．知识点03分段函数分段函数：在一次函数的实际应用中，最常见为分段函数。分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际。关键点：①分段函数各段的函数解析式。②各个拐点的实际意义。③函数交点的实际意义。【即学即练1】7．甲、乙两车从A地出发，匀速驶往B地．甲车出发0.5小时后，乙车才沿相同的路线开始行驶，乙车先达到B地并停留30分钟后，又以原速按原路线返回，直至与甲车相遇．图中的折线段表示从开始到相遇为止，两车之间的距离S与乙车行驶时间t的函数关系图象，则下列说法正确的是（）A．乙车的速度为90km/h B．AB两地相距360km C．b＝150 D．d=【答案】D【解答】解：A、由题意，甲的行驶时间为（t+0.5）h，∴甲用0.5h行驶了30km，∴甲的速度为30÷0.5＝60km/h，由（0.5，0）可知乙用0.5h追上了甲，此时甲行驶了1h，路程是60×1＝60km，∴乙用了0.5h行驶了60km，∴乙的速度是60÷0.5＝120km/h，故A选项错误，不符合题意；B、由（3.5，b）可知，3.5h时甲、乙两车相距bkm，∴120×3.5＝420km，即A、B两地相距420km，故B选项错误，不符合题意；C、b＝120×3.5﹣60×4＝180，即甲、乙两车最远相距180km，故C选项错误，不符合题意；D、∵乙车先达到B地并停留30分钟后，∴c=3.5+30∴a=180−60×3060=150km∴d=3.5+∴乙车出发296故D选项正确，符合题意；故选：D．【即学即练2】8．甲乙两人骑自行车分别从A，B两地同时出发相向而行，甲匀速骑行到B地，乙匀速骑行到A地，甲的速度大于乙的速度，两人分别到达目的地后停止骑行．两人之间的距离y（米）和骑行的时间x（秒）之间的函数关系图象如图所示，现给出下列结论：①a＝450；②b＝150；③甲的速度为6米/秒；④当甲、乙相距50米时，甲出发了55秒或65秒．其中正确的结论有（）A．①② B．①④ C．②③④ D．③④【答案】C【解答】解：由图可得，甲的速度为：600÷100＝6（米/秒），故③正确，符合题意；乙的速度为：600÷60﹣6＝4（米/秒），a＝4×100＝400，故①错误，不符合题意；b＝600÷4＝150，故②正确，符合题意；设当甲、乙相距50米时，甲出发了m秒，两人相遇前：（600﹣50）＝m（6+4），解得m＝55；两人相遇后：（600+50）＝m（6+4），解得m＝65；故④正确，符合题意；故选：C．【即学即练3】9．小明和小亮相约晨练跑步．小明比小亮早1分钟离开家门，3分钟后迎面遇到从家跑来的小亮，两人沿滨江路跑了2分钟后，决定进行长跑比赛，比赛时小明的速度始终是180米/分，小亮的速度始终是220米/分．如图是两人之间的距离y（米）与小明离开家的时间x（分）之间的函数图象．下列说法：①小明家与小亮家距离为540米；②相遇前小亮的速度为120米/分；③小明出发7分钟时，两人距离为80米；④若小亮从家出门跑了14分钟后，按原路以比赛时的速度返回，则再经过1分钟两人相遇．其中正确的个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【解答】解；由函数图象知：当x＝0时y＝540，∴小明与小亮家相距540米．故①正确．②由题意，比赛前小明的速度为（540﹣440）÷1＝100米/分．2（小明速度+小亮速度）＝440．∴小亮速度＝120米/分．故②正确．③小明出发7分钟后两人之间的距离为：（7﹣5）×（220﹣180）＝80米．故③正确．④小亮从出家门14分钟后两人相距：（15﹣5）×（220﹣180）＝400米．小亮返回时与小明相遇的时间为：400÷（180+220）＝1分钟．故④正确．∴正确的个数有4个．故选：D．题型01由实际问题抽象出函数解析式【典例1】如图，一农户要建一个长方形牛舍．牛舍的一边利用围墙，另外三边用25米长的建筑材料围成．为方便进出，在边CD上留一扇1米宽的门．若设AB的长为x米，BC的长为y米，则y与x之间的函数关系式是（）A．y＝24﹣2x（0＜x＜12） B．y＝25﹣2x（0＜x＜12.5） C．y＝26﹣2x（0＜x＜13） D．y＝25﹣x（0＜x＜25）【答案】C【解答】解：根据题意得AB+BC+CD﹣1＝25，∴y＝26﹣2x（0＜x＜13），故选：C．【变式1】某油箱容量为50L的汽车，加满汽油后行驶了100km时，油箱中的汽油消耗了10L，如果加满汽油后汽车行驶的路程为xkm，油箱中剩油量为yL，则y与x之间的函数解析式和自变量取值范围分别是（）A．y＝0.1x，x＞0 B．y＝50﹣0.1x，x＞0 C．y＝0.1x，0≤x≤500 D．y＝50﹣0.1x，0≤x≤500【答案】D【解答】解：如果加满汽油后汽车行驶的路程为xkm，油箱中剩油量为yL，由题意得：每1km的耗油量为：10100故汽车加满油后最多可行驶：500.1故可得：y＝50﹣0.1x（0≤x≤500）．故选：D．【变式2】节假日期间，某商场搞优惠促销活动，其活动内容是：“凡在该商场一次性购物超过50元，超过50元的部分按九折优惠”，在此活动中，小明到该商场一次性购买了单价为30元的商品x件（x＞2），应付款y（元），则下列方程中正确的是（）A．y＝30x•90%+50 B．y＝30x•90% C．y＝30x•90%﹣50 D．y＝50+（30x﹣50）•90%【答案】D【解答】解：由题意可得，小明应付货款y与商品件数x的函数关系式是：y＝50+（30x﹣50）•90%，故选：D．【变式3】已知等腰三角形的周长为20cm，则底边长y（cm）与腰长x（cm）的函数关系式是（）A．y＝20﹣2x（5＜x＜10） B．y＝2x﹣20（5＜x＜10） C．y＝10−12x（x＜10） D．y=12【答案】A【解答】解：∵2x+y＝20，∴y＝20﹣2x＞0，∴x＜10，∵两边之和大于第三边，即2x＞20﹣2x，解得：x＞5，故底边长y（cm）与腰长x（cm）的函数关系式是：y＝20﹣2x（5＜x＜10）．故选：A．题型02一次函数的实际应用【典例1】某学校采购体育用品，需要购买若干个篮球和足球．已知购买一个篮球和一个足球共需要110元，购买2个足球的价格比购买一个篮球多花费40元．（1）求篮球和足球的单价各是多少元？（2）若该学校要购买篮球、足球共10个，且足球的个数不超过篮球个数的2倍，请问购买多少个篮球时，花费最少，最少费用是多少元？【答案】（1）每个篮球60元，每个足球50元；（2）购买多4个篮球时，花费最少，最少费用是540元．【解答】解：（1）设每个篮球x元，每个足球y元，由题意得：x+y=1102y−x=40解得x=60y=50答：每个篮球60元，每个足球50元；（2）设学校购买篮球m个，足球（10﹣m）个，费用为w元，根据题意得：w＝60m+50（10﹣m）＝10m+500，∵足球的个数不超过篮球个数的2倍，∴10﹣m≤2m，解得m≥10∵m为正整数，∴m的值为4，5，6，7，8，9，10，∵10＞0，∴当m＝4时，w最小，最小值为540，∴购买多4个篮球时，花费最少，最少费用是540元．【变式1】随着“体重管理年”三年行动的实施，某体育用品商店老板计划购进甲、乙两种健身器材共100件进行销售．甲、乙两种健身器材的进价与售价如下表所示：种类进价（元/件）售价（元/件）甲80100乙5080设该体育用品商店老板购进甲健身器材x件（0＜x＜100），购进这两种健身器材所需的总费用为y元．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）若该体育用品商店老板共花费6200元购进这两种健身器材，求售完此次购进的甲、乙两种健身器材所得的总利润．【答案】（1）y＝30x+5000；（2）2600元．【解答】解：（1）根据题意直接建立函数关系式可得：y＝80x+50（100﹣x）＝30x+5000，∴y与x之间的函数关系式为y＝30x+5000．（2）由题意得30x+5000＝6200，解得x＝40，则100﹣x＝60．∵40×（100﹣80）+60×（80﹣50）＝2600（元），∴售完此次购进的甲、乙两种健身器材所得的总利润为2600元．【变式2】某校因物理实验室需更新升级，现决定购买甲、乙两种型号的滑动变阻器．若购买甲种滑动变阻器用了1440元，购买乙种用了2430元，购买的乙种滑动变阻器的数量是甲种的1.5倍，乙种滑动变阻器单价比甲种单价贵6元．（1）求甲、乙两种滑动变阻器的单价分别为多少元；（2）该校拟计划再订购这两种滑动变阻器共100个，要求甲种滑动变阻器的数量不多于乙种滑动变阻器的数量的3倍，总费用不超过5000元，请你设计购买方案，并写出所需费用最少的购买方案．【答案】（1）甲种滑动变阻器的单价为48元，乙种滑动变阻器的单价为54元（2）有9种购买方案，方案一：当m＝67时，100﹣m＝33，即购买甲种滑动变阻器67个，则购买乙种滑动变阻器33个；方案二：当m＝68时，100﹣m＝32，即购买甲种滑动变阻器68个，则购买乙种滑动变阻器32个；…，方案九：当m＝75时，100﹣m＝25，即购买甲种滑动变阻器75个，则购买乙种滑动变阻器25个；所需费用最少的购买方案是购买甲种滑动变阻器75个，则购买乙种滑动变阻器25个，此时费用为4950元．【解答】解：（1）设甲种滑动变阻器的单价为x元，则乙种滑动变阻器的单价为（x+6）元，由题意可得：2430x+6解得：x＝48，经检验，x＝48是原方程的解，且符合题意，∴x+6＝48+6＝54（元），故甲种滑动变阻器的单价为48元，乙种滑动变阻器的单价为54元；（2）设购买甲种滑动变阻器m个，则购买乙种滑动变阻器（100﹣m）个，由题意可得：m≤3(100−m)48m+54(100−m)≤5000解得：67≤m≤75，∵m为整数，∴m可以取67，68，69，…，75，共9种取值，对应的购买方案有9种，方案一：当m＝67时，100﹣m＝33，即购买甲种滑动变阻器67个，则购买乙种滑动变阻器33个；方案二：当m＝68时，100﹣m＝32，即购买甲种滑动变阻器68个，则购买乙种滑动变阻器32个；…，方案九：当m＝75时，100﹣m＝25，即购买甲种滑动变阻器75个，则购买乙种滑动变阻器25个；设总费用为w元，则w＝48m+54（100﹣m）＝﹣6m+5400，∵﹣6＜0，∴w随着m的增大而减小，∵67≤m≤75，∴当m＝75时，w取得最小值，此时100﹣m＝25，w＝﹣6×75+5400＝4950（元），综上所述，有9种购买方案，方案一：当m＝67时，100﹣m＝33，即购买甲种滑动变阻器67个，则购买乙种滑动变阻器33个；方案二：当m＝68时，100﹣m＝32，即购买甲种滑动变阻器68个，则购买乙种滑动变阻器32个；…，方案九：当m＝75时，100﹣m＝25，即购买甲种滑动变阻器75个，则购买乙种滑动变阻器25个；所需费用最少的购买方案是购买甲种滑动变阻器75个，则购买乙种滑动变阻器25个，此时费用为4950元．【变式3】2026年山亭区助农电商平台采购方案：为助力乡村振兴，某电商平台购进甲（店子长红枣礼盒）和乙（城头豆制品礼盒）两款助农产品进行销售，两次进货信息记录如下（两次进货单价不变）：进货次数甲款数量/盒乙款数量/盒进货总费用/元第一次1081200第二次6121080（1）求甲、乙两款礼盒的进货单价；（2）该平台计划第三次购进甲、乙两款礼盒共100盒．已知每盒甲款礼盒售价为160元，每盒乙款礼盒售价为110元．若规定乙款礼盒的进货数量不低于甲款礼盒进货数量的2倍，设购进甲款礼盒x盒，这批礼盒的总利润为W元，求W的最大值．【答案】（1）甲款礼盒的进货单价为80元，乙款礼盒的进货单价为50元；（2）6660元．【解答】解：（1）设甲款礼盒的进货单价为a元，乙款礼盒的进货单价为b元，∴方程组得10a+8b=12006a+12b=1080解得a=80b=50∴甲款礼盒的进货单价为80元，乙款礼盒的进货单价为50元．（2）设购进甲款礼盒x盒，乙款礼盒为（100﹣x）盒，∴总利润W＝（160﹣80）x+（110﹣50）（100﹣x），整理得：W＝20x+6000，∵乙款礼盒的进货数量不低于甲款礼盒进货数量的2倍，∴100﹣x≥2x，∴x≤100∵x为整数，∴x≤33，∵W＝20x+6000中，20＞0，W随着x的增大而增大，∴当x取最大值33时，利润W最大，即W＝20×33+6000＝6660（元）．题型03分段函数的图象分析【典例1】甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速跑步3000米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离y（米）与甲出发的时间t（分）之间的关系如图所示，下列说法错误的是（）A．乙用6分钟追上甲 B．乙追上甲后，再走2400米才到达终点 C．甲到终点时，乙已经在终点处休息了12分钟 D．甲乙两人之间的最远距离是960米【答案】C【解答】解：由图知，10﹣4＝6（分），∴乙用6分钟追上甲，∴A正确，不符合题意；甲的速度为240÷4＝60（米/分），乙追上甲时，二人离终点的距离为3000﹣60×10＝2400（米），∴乙追上甲后，再走2400米才到达，∴B正确，不符合题意；乙的速度为60×10÷（10﹣4）＝100（米/分），乙到达终点所用的时间为3000÷100＝30（分），当乙到达终点时甲走的路程为60×（30+4）＝2040（米），当乙到达终点时，甲、乙二人的距离最远，为3000﹣2040＝960（米），∴D正确，不符合题意；∵当乙到达终点时甲走的路程为2040米，∴甲还需要（3000﹣2040）÷60＝16（分）到达终点，∴甲到终点时，乙已经在终点处休息了16分钟，∴C错误，符合题意，故选：C．【变式1】如图中的图象（折线ABCDE）描述了一辆汽车在某一直线上的行驶过程中，汽车离出发地的距离s（km）和行驶时间t（h）之间的函数关系，根据图中提供的信息，给出下列说法：①汽车在行驶途中停留了0.5h；②汽车共行驶了300km；③汽车回来时的平均速度是去时的2倍；④汽车自出发后2h至3h之间的行驶速度为60km/h．其中正确的说法有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【解答】解：2﹣1.5＝0.5h，故汽车在行驶途中停留了0.5h，①正确；150+150＝300km，故汽车共行驶了300km，②正确；汽车去时的平均速度为150÷3＝50km/h，汽车回来时的速度为150÷（4.5﹣3）＝100km/h，故汽车回来时的平均速度是去时的2倍，③正确；（150﹣90）÷（3﹣2）＝60km/h，④正确，∴正确的有4个，故选：D．【变式2】A，B两地相距80km，甲、乙两人沿同一条路从A地到B地．甲、乙两人离开A地的距离s（单位：km）与时间t（单位：h）之间的关系如图所示，则以下结论：①乙比甲提前出发1h；②甲行驶的速度为40km/h；③3h时，甲、乙两人相距45km；④0.75h或1.15h时，乙比甲多行驶10km．其中正确的个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【解答】解：根据（1，0）可得，时间过了1h甲的路程为0km，即乙比甲提前出发1h，故①正确；甲（3﹣1）＝2h个小时行驶了80km，故甲的速度为802故②正确；设甲的解析式为S＝kt+b，根据题意，得k+b=03k+b=80解得k=40b=−40所以S＝40t﹣40，设乙的解析式为S＝pt，根据题意，得20=3解得p=40故乙的解析式为S=40当t＝3时，S甲＝40t﹣40＝80，S乙故S甲﹣S乙＝40，3h时，甲、乙两人相距40km，故③错误；当甲运动前，乙比甲多行驶10km时，根据题意，得10=40解得t＝0.75h；当甲运动后，乙比甲多行驶10km时，根据题意，得403解得t＝1.125h；故0.75h或1.125h时，乙比甲多行驶10km．故④错误，故选：B．【变式3】小明从家中去往A地，匀速前进，小明出发2min后，小明的爸爸发现小明的数学书落在了家中，于是按照小明步行的路线匀速追赶小明，爸爸将数学书送给小明后（不计停留时间），又按原路原速返回．当小明到达目的地时，爸爸恰好也到达家中，小明和爸爸离家的距离y（m）与小明的步行时间x（min）的函数关系图象如图所示．下列说法正确的有（）个．①a＝2；②b＝720；③小明爸爸的速度是180m/min；④小明爸爸出发2min或6.4min时两人相距120m．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解答】解：①∵小明出发2min后，小明的爸爸发现小明的数学书落在了家中，于是按照小明步行的路线匀速追赶小明，∴a＝2，故①正确；②由图象得：小明的速度为：1200÷10＝120（m/min），小明共用时10分钟，爸爸用时10﹣2＝8分钟，∴小明爸爸追上小明用时4分钟，此时小明走的路程为：b＝120×（4+2）＝720米，故②正确；爸爸的速度为：720÷4＝180（m/min），故③正确；④设小明爸爸出发后的时间为mmin，小明出发的时间为：（m+2）min爸爸出发后与小明相遇之前：120（m+2）﹣180m＝120，解得m＝2；小明与爸爸相遇之后：（m﹣4）（180+120）＝120，解得m＝4.4；综上所述，当小明与爸爸相距120m时，小明爸爸出发2min或4.4min，故④错误；故选：C．题型04一次函数与方案选择【典例1】某学校老师暑假带领该校学生去旅游，甲旅行社说：“若老师买一张全票，则所有学生可享受半价优惠．”乙旅行社说：“包括老师在内都享受六折优惠．”若全票票价是1200元，设学生人数为x，甲旅行社收费为y甲元、乙旅行社收费为y乙元．（1）分别写出两家旅行社的收费与学生人数的关系式；（2）请你讨论该学校选择哪一家旅行社更优惠？【答案】（1）y甲＝600x+1200，y乙＝720x+720．（2）当学生人数是4人时，两家旅行社的收费是一样的；当0＜x＜4（x为整数）时，乙旅行社更优惠；当x＞4（x为整数）时，甲旅行社更优惠．【解答】解：（1）由题意，得y甲＝0.5×1200x+1200＝600x+1200，y乙＝0.6×1200x+0.6×1200＝720x+720．（2）①当y甲＝y乙时，600x+1200＝720x+720，解得x＝4，当学生人数是4人时，两家旅行社的收费是一样的；②当y甲＞y乙时，600x+1200＞720x+720，解得x＜4；当0＜x＜4（x为整数）时，乙旅行社更优惠；③当y甲＜y乙时，600x+1200＜720x+720，解得x＞4．当x＞4（x为整数）时，甲旅行社更优惠．【变式1】随着洗车服务需求的不断增长，智能洗车行业迎来了更加广阔的发展空间．已知某智能洗车店的洗车费用为30元/次，为回馈客户，该智能洗车店推出以下两种优惠方案：方案一：按次收费，每次洗车打八折，没有额外费用；方案二：办理年卡，年卡收费120元，每次洗车打六折．若张叔叔一年洗车的次数为x（x为正整数）次，所需总费用为y元．（只选其中一种方案）（1）分别求出张叔叔选择两种优惠方案所需的总费用y与洗车次数x之间的函数关系式；（2）若张叔叔计划一年的洗车总费用为552元，请你分析他选择哪种方案更划算，并说明理由．【答案】（1）方案一：y＝24x；方案二：y＝18x+120；（2）方案二更划算，理由如下：将y＝552代入y＝24x，可得24x＝552，解得x＝23，即选择方案一，552元可洗车23次．将y＝552代入y＝18x+120，可得18x+120＝552，解得x＝24，即选择方案二，552元可洗车24次．在总费用均为552元的前提下，方案二可洗车次数更多，因此选择方案二更划算．【解答】解：（1）方案一：折扣后单次费用为30×0.8＝24元，因此y＝24x（x为正整数）．方案二：折扣后单次费用为30×0.6＝18（元），因此y＝18x+120（x为正整数）．（2）将y＝552代入y＝24x，解得x＝23，即选择方案一，552元可洗车23次．将y＝552代入y＝18x+120，解得x＝24，即选择方案二，552元可洗车24次．在总费用均为552元的前提下，方案二可洗车次数更多，因此选择方案二更划算．【变式2】小南爸爸新购买了一辆新能源汽车，现在面临充电方案的选择，经过调研，他收集到以下信息：方案一次性安装费用（元）电费（元/度）A家用充电35000.5B公用充电01.2（1）请分别写出方案A和方案B的充电费用y（元）关于充电量x（度）的函数关系式yA与yB（注：A方案充电费用包括一次性安装费用）；（2）请问该车充电量达到多少度时，两种方案的充电费用相同？（3）已知该款车百公里能耗为15度电，预计小南爸爸每年行驶15000公里，计划车辆使用时间为6年，比较哪种充电方案更合算，并说明理由．【答案】（1）yA＝3500+0.5x（x≥0）；yB＝1.2x（x≥0）；（2）该车充电量达到5000度时，两种方案的充电费用相同；（3）选择A家用充电方案更合算．理由见解答．【解答】解：（1）yA＝3500+0.5x（x≥0）；yB＝1.2x（x≥0）；（2）3500+0.5x＝1.2x，解得：x＝5000．答：该车充电量达到5000度时，两种方案的充电费用相同；（3）选择A家用充电方案更合算．理由：15×15000×6÷100＝13500（度），当x＝13500度时，yA＝3500+0.5×13500＝10250（元）；yB＝1.2×13500＝16200（元）．∵10250＜16200，∴选择A家用充电方案更合算．【变式3】某校在期末对本学期的校级“三好学生”进行表彰，准备购买一批精装硬皮笔记本作为奖品，经市场调研发现，这种笔记本市场价格均相同，且花费300元购买的笔记本的数目比花费100元购买的笔记本多20本．学校选定了甲、乙两家学习用品商店准备购买，这两家商店在期末期间均有优惠活动：甲商店：购买超过30本，超过部分打九折出售；乙商店：购买超过50本，超过部分打八折出售；设学校购买x本笔记本，所花费用为y元，其函数图象如图所示．（1）求每本笔记本的单价．（2）①当x＞30时，求甲商店的应付总价y1与数量x之间的函数关系式；②当x＞50时，求乙商店的应付总价y2与数量x之间的函数关系式．（3）请求出图中点M的坐标，并简要说明点M表示的实际意义．（4）根据图象直接写出选择哪家商店购买笔记本更优惠．【答案】（1）该笔记本的单价为10元；（2）①y1＝9x+30；②y2＝8x+100；（3）点M的坐标为（70，660），点M表示的实际意义为当购买70本笔记本时，在两家商店所付的钱数相同，均为660元；（4）当0≤x≤30或x＝70时，在甲、乙两家商店所付的钱数相同；当30＜x＜70时，选择甲商店更合算；当x＞70时，选择乙商店更合算．【解答】解：（1）设笔记本单价m元，根据题意得，300m解得m＝10，经检验m＝10是原方程的根，∴该笔记本的单价为10元；（2）①当x＞30时，y1＝10×30+10×0.9（x﹣30）＝9x+30，∴y1与数量x之间的函数关系式为y1＝9x+30；②当x＞50时，y2＝10×50+10×0.8（x﹣50）＝8x+100，∴y2与数量x之间的函数关系式为y2＝8x+100；（3）由图象可知，点M是两个函数图象的交点，此时这两个图象的横、纵坐标分别相等，则9x+30＝8x+100，解得：x＝70，此时y＝9x70+30＝660，∴点M的坐标为（70，660），∴点M表示的实际意义为当购买70本笔记本时，在两家商店所付的钱数相同，均为660元；（4）观察图象可知：当0≤x≤30或x＝70时，在甲、乙两家商店所付的钱数相同；当30＜x＜70时，选择甲商店更合算；当x＞70时，选择乙商店更合算．1．“人间四月芳菲尽，山寺桃花始盛开”，证明温度随着海拔的升高而降低，已知某地面温度为25℃，且每升高1千米温度下降6℃，则山上距离地面h千米处的温度t为（）A．t=25−h6 B．h=25−t6 C．t＝25﹣6h 【答案】C【解答】解：某地面温度为25℃，且每升高1千米温度下降6℃，则山上距离地面h千米处的温度t为t＝25﹣6h，故选：C．2．油箱中有油20升，油从管道中匀速流出，100分钟流完．油箱中剩油量Q（升）与流出的时间t（分）间的函数关系式是（）A．Q＝20﹣5t B．Q=15t+20 C．Q＝20−15t 【答案】C【解答】解：∵100分钟可流完20升油，∴1分钟可流油20÷100=1∴t分流的油量为15t∴Q＝20−15故选：C．3．据查，某存车处某日的存车量为4000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0.3元，普通车存车费是每辆一次0.2元，若普通车存车数为x辆次，存车费总收入为y元，则y关于x的函数是（）A．y＝0.1x+800（0≤x≤4000） B．y＝﹣0.1x+1200（0≤x≤4000） C．y＝﹣0.1x+800（0≤x≤4000） D．y＝0.1x+1200（0≤x≤4000）【答案】B【解答】解：∵该存车处该日的存车量为4000辆次，且普通车存车数为x辆次，∴变速车存车数为（4000﹣x）辆次．根据题意得：y＝0.3（4000﹣x）+0.2x，即y＝﹣0.1x+1200（0≤x≤4000）．故选：B．4．八（1）班同学参加社会实践活动，在王伯伯的指导下，要围一个如图所示的长方形菜园ABCD，菜园的一边利用足够长的墙，用篱笆围成的另外三边的总长恰好为12m，设边BC的长为xm，边AB的长为ym（x＞y）．则y与x之间的函数表达式为（）A．y＝﹣2x+12（0＜x＜12） B．y=−12x+6（4＜xC．y＝2x﹣12（0＜x＜12） D．y=12x﹣6（4＜【答案】B【解答】解：根据题意得，菜园三边长度的和为12m，∴2y+x＝12，∴y=−12∵y＞0，x＞y，∴−1解得4＜x＜12，∴y=−12x+6（4＜故选：B．5．学校生物兴趣小组观察记录了校园共享果园里橘树苗的生长，将橘树苗的高度y（cm）与观察时间x（天）的关系记录如图所示，那么橘树苗在第50天的高度是（）A．14cm B．16cm C．18cm D．20cm【答案】B【解答】解：设图象的表达式为y＝kx+6（k≠0），∵（30，12）在图象上，∴12＝30k+6，∴k=1∴y=15∴当x＝50时，y=1故选：B．6．某车间甲车床一天可制作480个工件．该车间新引进乙车床，通过调试，乙车床一天用同样的工时（小时）制作560个工件．设乙车床每小时比甲车床多制作的工件数为p，下列推断正确的是（）A．p＝80 B．p是乙车床一天总工时的反比例函数 C．p是甲车床一天总工时的正比例函数 D．p是甲车床每小时制作的工件数的反比例函数【答案】B【解答】解：设甲车床每小时制作的工件数为x，乙车床每小时制作的工件数为y，且乙车床每小时比甲车床多制作的工件数为p，即y＝x+p，设完成工作的相同时间为t，根据题意：甲：xt＝480，得x=480乙：yt＝560，即y=560∴p＝y﹣x=560∵t是甲、乙完成工作的时间，不一定为1，∴p不一定等于80，故A错误；∵p=80∴p是甲、乙车床一天总工时的反比例函数，故B正确，C错误；∵x=480∴t=480∴p=80∴p是甲车床每小时制作的工件数的正比例函数，故D错误．故选：B．7．随着人们生活水平的提高，对美食的要求也越来越高，特别是油炸食品，需要控制油的温度才能保证菜品的成功．下表是厨师记录的一次油沸腾前的油温y（单位：℃）随加热时间t（单位：s）变化的部分数值：加热时间t/s010203040…油温y/℃3045607590…根据表格中的数据判断，加热100s时的油温为（）A．150℃ B．165℃ C．180℃ D．195℃【答案】C【解答】解：观察可设y与t的函数解析式为y＝kt+b（k≠0），∵t＝0时，y＝30，∴b＝30，∵t＝10时，y＝45，∴10k+30＝45，解得k＝1.5，∴y＝1.5t+30，当t＝100时，y＝1.5×100+30＝180，即加热100s时的油温为180℃．故选：C．8．某市出租车的计费标准如图（不足1km按1km计算），一天，张叔叔乘坐出租车去上班．设行驶里程为xkm，所付的费用为y元．则下列说法错误的是（）A．当行驶里程为2.8km时，所付的费用为10元 B．当3＜x≤6时，y＝2x+4 C．若支付了25元，则行驶的里程数可能是8.8km D．当行驶里程为3.5km时，所付的费用为11元【答案】D【解答】解：A．当行驶里程为2.8km时，y＝10，与原选项相符，正确；B．当3＜x≤6时，y＝10+2（x﹣3），即y＝2x+4，与原选项相符，正确；C．当y＝25时，代入y＝3x﹣2，解得x＝9，即实际里程8＜x≤9，与原选项相符，正确；D．当行驶里程为3.5km时，y＝10+2（4﹣3）＝12，与原选项不符，不正确．故选：D．9．甲、乙两辆汽车从A城出发前往B城，在整个行程中，两车离开A城行驶的路程y（千米）与甲车出发的时间x（小时）的对应关系如图所示，则下列四个结论：①A城与B城相距360千米；②乙出发1.5小时后追上甲；③甲，乙两车相距50千米时，x=5④当3≤x≤5.5时，甲、乙两车之间相距的路程不变．其中正确的结论有（）个．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解答】解：①根据图象可得A，B两城相距为360km，故正确；②乙车出发1.5小时后，乙车的速度为：360÷（5.5﹣1）＝80（km/h），距离A城360÷（5.5﹣1）×1.5＝120km，此时甲距离A城120km，故正确；③当0＜x＜2时，甲车的速度为：120÷2＝60（km/h），50÷60=56（1+（60﹣50）÷（80﹣60）=32（故甲，乙两车相距50千米时，x=5④当3≤x≤5.5时，甲车的速度为：（360﹣120）÷（6﹣3）＝80（km/h），80＝80，则当3≤x≤5.5时，甲、乙两车之间相距的路程不变，故正确．故选：D．10．甲、乙两人原计划一同从A从到B城，但乙临时有事就只能分开自驾出发，乙为了能在预计时间内到达B坡，其匀速行驶的速度比甲匀速行驶的速度大．当乙提前到达B城后，他又立马掉头用原来速度的310去接甲，与甲相遇后又按照甲的速度一起行驶到B城，整个行驶过程中，两人与A城的距离y（km）与甲行驶的时间t（h①两城相距300km；②乙比甲晚出发1h，却早到1h；③两人第一次相遇时距出发点150km；④图象中a=5，b=42⑤当甲、乙两人相距50km时，t=56或54或15其中正确的结论有（）A．5个 B．4个 C．3个 D．2个【答案】B【解答】解：由图象可知，A、B两城相距300km，故①正确．乙去程的速度v乙乙去程行驶150km所用时间为t=150甲的速度v甲甲到达B城的时间a=300乙比甲晚出发1h，第一次到达B城的时间为t＝4，比甲早到1h，但乙返回接甲后，两人最终同时到达B城（t＝5），故②错误．由图可得两人第一次相遇时，此时距出发点150km，故③正确．乙返回时的速度为100×3设相遇时间为t，则60t＝300﹣30（t﹣4），解得t=143=4又a＝5，故④正确．分情况讨论相距50km，乙出发前（0≤t≤1）：60t＝50，解得t=5乙追上甲之前（1＜t≤2.5）：60t﹣100（t﹣1）＝50，解得t=5乙超过甲（2.5＜t≤4）：100（t﹣1）﹣60t＝50，解得t=15乙返回接甲（4＜t≤14（300﹣30（t﹣4））﹣60t＝50，解得t=37相遇后（t＞14两人同速同向，距离为0，不可能相距50km．综上，t的值为56或54或154或37正确的结论为①③④⑤，共4个，故选：B．11．西安市出租车价格是这样规定的：不超过3千米，付车费8.5元，超过的部分按每千米2元收费．已知李老师乘出租车行驶了x（x＞3）千米，付车费y元，则所付车费y（元）与出租车行驶的路程x（千米）之间的关系式为y＝2x+2.5．（不要求写出自变量x的取值范围）【答案】y＝2x+2.5．【解答】解：根据题意列出关系式为y＝8.5+2（x﹣3）＝2x+2.5，∴y＝2x+2.5．故答案为：y＝2x+2.5．12．一个水池的容积是90m3，水池内蓄有一定量的水，现在保持一定的速度向水池中蓄水，1小时后水池的水量是15m3，5小时后水池的水量是35m3，那么8小时后水池的水量是50m3．【答案】50．【解答】解：设水池内原有的水量为x，根据题意可得：5（15﹣x）+x＝35，解得x＝10，8小时后水池的水量是8×（15﹣10）+10＝50（m3）．故答案为：50．13．甲、乙两地相距300km，一辆货车从甲地开往乙地，一辆轿车从乙地开往甲地，其中轿车的速度大于货车的速度，两车同时出发，中途不停留，各自到达目的地后停止．两车之间的距离y（km）与货车行驶时间x（h）之间的关系如图所示，则图中点B的横坐标为7.5．【答案】7.5．【解答】解：甲、乙两地相距300km，一辆货车从甲地开往乙地，一辆轿车从乙地开往甲地，依题意得：300÷5＝60（km/h），300÷3﹣60＝40（km/h），300÷40＝7.5（h），故答案为：7.5．14．某公司生产了A，B两款新能源电动汽车．如图，l1，l2分别表示A款，B款新能源电动汽车充满电后电池的剩余电量y（kW•h）与汽车行驶路程x（km）的关系．当两款新能源电动汽车的行驶路程相等时，A款新能源电动汽车电池的剩余电量比B款新能源电动汽车电池的剩余电量多12kW•h，则此时它们行驶的路程均为300km．【答案】300．【解答】解：设l1对应的函数解析式为y＝kx+b，∵点（0，80），（200，48）在该函数图象上，∴b=80200k+b=48解得k=−0.16b=80即l1对应的函数解析式为y＝﹣0.16x+80；设l2对应的函数解析式为y＝mx+n，∵点（0，80），（200，40）在该函数图象上，∴n=80200m+n=40解得m=−0.2n=80即l2对应的函数解析式为y＝﹣0.2x+80；∵当两款新能源电动汽车的行驶路程相等时，A款新能源电动汽车电池的剩余电量比B款新能源电动汽车电池的剩余电量多12kW•h，∴（﹣0.16x+80）﹣（﹣0.2x+80）＝12，解得x＝300，即此时它们行驶的路程均为300km，故答案为：300．15．如图，经过点A的一束光线照射到平面镜（x轴）上的点B处，反射后的光线BC交y轴于点C（0，1），若反射光线BC的函数关系式为y=−34x+b，则入射光线AB的函数关系式为y=【答案】y=34【解答】解：将坐标C（0，1）代入y=−34x+得b＝1，∴反射光线BC的函数关系式为y=