初中七年级数学重难点 专题03 相反数、绝对值及有理数大小比较重难点题型专训（5个知识点+9大题型+自我检测）（解析版） （人教版）

专题03反数、绝对值及有理数大小比较重难点题型专训（5个知识点+9大题型+自我检测）目录第一部分・练基础题型题型一、相反数的定义 1题型二、化简多重符号 2题型三、绝对值的几何意义 3题型四、求一个数的绝对值 4题型五、绝对值非负性 5题型六、相反数的应用 6题型七、有理数大小比较 7题型八、绝对值的其他应用 8题型九、有理数大小比较的实际应用 9第二部分·练提高题型题型一、绝对值非负性压轴 1题型二、绝对值化简计算 2题型三、绝对值最值问题 3第三部分・自我检测知识点01相反数的意义互为相反数的两个数在数轴上对应的点应分别位于原点两侧，且到原点的距离相等。求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“”号即可（当然最后结果如果出现多重符号需要化简）。【即时训练】1．（2026·河南周口·模拟预测）若a的相反数是6，则a的值是（

）．A． B． C．6 D．【答案】A【详解】∵互为相反数的两个数符号相反，绝对值相等，且的相反数是，∴2．（2025九年级·广西防城港·模拟预测）相反数：与互为相反数等价于____________________．【答案】【详解】解：若两个数互为相反数，则这两个数绝对值相等，符号相反，则，移项得．知识点02多重符号的化简1、一个正数前面不管有多少个“”号，都可以全部去掉；2、一个正数前面有偶数个“”号，也可以把“”号全部去掉；3、一个正数前面有奇数个“”号，则化简后只保留一个“”号。口诀“奇负偶正”，其中“奇偶”是指正数前面的“”号的个数，“负、正”是指化简的最后结果的符号。注意：此判断方法是在没有其它运算的情况下适用，如出现其它运算，要视具体情况而论。【即时训练】1．（25-26七年级上·四川绵阳·阶段检测）下列几对数中互为相反数的一对为（）A．和 B．与C．与 D．与【答案】C【分析】本题考查了相反数的定义，根据只有符号不同的两个数叫做互为相反数对各选项分析判断后利用排除法求解．【详解】解：A、，，相等，不是互为相反数，故本选项不符合题意；B、，两数相等，不是互为相反数，故本选项不符合题意；C、，，是互为相反数，故本选项符合题意；D、，，相等，不是互为相反数，故本选项不符合题意．故选：C．2．（26-27七年级·全国·暑假作业）（1）______；（2）______；（3）______．【答案】【详解】解：；；．知识点03绝对值1、绝对值的概念：一般地，数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作。2、绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示数的点与原点的距离。3、绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；的绝对值是。即：（1）如果，那么；（2）如果，那么；（3）如果，那么．可整理为：，或，或。4、绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或．即：。【即时训练】1．（2026·山东威海·模拟预测）如图，数轴上各点表示的数，绝对值最大的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据绝对值的几何意义，一个数的绝对值表示这个数到原点的距离，即可解题．【详解】解：由图可知到原点的距离最大，∴数轴上各点表示的数中绝对值最大的是点．2．（25-26七年级下·黑龙江绥化·阶段检测）在和之间的负整数有______个，绝对值不大于5的整数有______个，绝对值小于5的所有整数的积______．【答案】2110【详解】解：①和之间的负整数有，，共个，②绝对值不大于的整数为，共个，③绝对值小于的整数为，∴，故答案为：①，②，③．知识点04绝对值的非负性根据绝对值的非负性“若几个非负数的和为0，则每一个非负数必为0”，即若a+b=0，则a。【即时训练】1．（2025七年级上·全国·专题练习）如果x为有理数，式子存在最大值，这个最大值是（）A．2016 B．2017 C．2019 D．2002【答案】C【分析】此题主要考查了非负数的性质，正确利用绝对值的性质是解题关键．利用绝对值的非负性，得出的最小值为0，进而确定表达式的最大值即可．【详解】解：∵为有理数，∴，∴，∴．当时，即，取等号，∴最大值为．故选C．2．（26-27七年级·浙江·暑假作业）代数式的最小值是_____，的最小值是_____．【答案】03【分析】根据绝对值的非负性求解即可．【详解】解：∵，∴的最小值为0；∵，∴，∴的最小值是3．知识点05绝对值的应用1、质量问题，绝对值越小，越接近质量标准；2、小虫爬行问题，判断小虫是否能重回原点，将所有数据相加与0相比较，求距离时是各数的绝对值，与数的正负性无关；3、数轴上数的表示问题，点向左移动时，原数减去移动的距离；点向右移动时，原数加上移动的距离。【即时训练】1．（25-26七年级上·湖北武汉·期中）如图，检测5个排球，其中超过标准的克数记为正数，不足的克数记为负数．从轻重的角度看，哪个球最接近标准？（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】此题考查学生对正负数及绝对值的意义掌握，理解绝对值的意义和计算方法是正确解答的前提．根据正负数的意义，绝对值最小的即为最接近标准的．【详解】解：，∵，∴最接近标准，故选：D．2．（25-26七年级上·福建厦门·期末）市场监管局对某超市的装大米进行抽测，下表记录了其中6款被抽测大米的重量，则编号__________的重量最符合标准．编号①②③④⑤⑥超出标准的重量（千克）【答案】⑤【分析】本题考查正数和负数的意义，以及绝对值的作用，解题的关键是理解绝对值的意义．比较各编号超出标准重量的绝对值，绝对值越小表示越接近标准重量．【详解】解：计算各编号超出标准重量的绝对值：①，②，③，④，⑤，⑥．∵，∴绝对值最小为0.01，对应编号⑤．故答案为⑤．【基础题型一相反数的定义】【例1】（2025·山东临沂·模拟预测）的相反数是（

）A．3 B． C．6 D．【答案】A【详解】解：的相反数是．【例2】（25-26七年级上·广东河源·期中）______的相反数是．【答案】【分析】本题考查相反数，只有符号不同的两个数互为相反数，由此可解．【详解】解：的相反数是，故答案为：．1．（2026·安徽合肥·二模）下列各数中，相反数等于本身的数是（

）A． B．1 C．0 D．2026【答案】C【分析】根据只有符号不同的数为相反数，0的相反数是0，解答即可．【详解】解：相反数等于本身的数是0．2．（25-26七年级上·贵州贵阳·期中）的倒数是_________，相反数是____________________．【答案】2025【分析】本题考查了倒数，相反数，熟练掌握倒数，相反数的定义是解题的关键．利用倒数，相反数的定义求解即可．【详解】解：的倒数是2025；的相反数是．故答案为：2025，．3．（25-26七年级上·江苏常州·期中）已知两数，判断与是否互为相反数，并说明理由．【答案】是互为相反数，理由：因为，所以与互为相反数．【分析】本题考查了相反数的定义，解题的关键是掌握互为相反数的两个数之和为0．通过计算与的和，根据相反数的定义判断它们是否互为相反数．【详解】略【基础题型二化简多重符号】【例1】（25-26七年级上·云南曲靖·期中）计算：（

）A． B． C． D．2【答案】D【分析】根据相反数的定义，结合多重符号的化简解答即可．本题考查相反数的概念，熟练掌握多重符号的化简是解题的关键．【详解】解：∵，故选：D．【例2】（25-26七年级上·甘肃平凉·阶段检测）化简下列各数：（1）___________．（2）___________．【答案】【分析】本题考查了多重符号的化简，熟练掌握相反数的定义是解题的关键；根据相反数的定义由内到外去括号化简即可．【详解】（1）；（2）；故答案为：；．1．（25-26七年级上·云南普洱·期末）下列各式中，化简正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了相反数、绝对值等知识点，掌握相关的定义是解答本题的关键．根据相反数的定义和绝对值的定义化简即可解答．【详解】解：A．，故本选项不符合题意；B．，故本选项不符合题意；C．，故本选项不符合题意；D．，故本选项符合题意．故选：D．2．（23-24七年级上·河南周口·阶段检测）___________，______________________【答案】2【分析】根据多重符号化简，即可解答；【详解】；；．故答案为：；；2．【点睛】该题主要考查了多重符号化简，解题的关键是熟练掌握多重符号化简．3．（23-24七年级上·全国·课堂例题）化简下列各数：①；②；③；④．【答案】①8；②；③；④3.8【分析】利用化简多重符号的方法即可求解．【详解】解：①；②；③；④．【点睛】本题考查了相反数的意义，熟练掌握化简多重符号的方法是解题的关键．【基础题型三绝对值的几何意义】【例1】（25-26七年级上·浙江宁波·期中）（正负数的大小比较）下面各数中，最接近的是（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】要判断哪个数最接近，需比较每个数与的距离，也就是要计算数的绝对值．【详解】解：，，，，∵，∴最接近的数是．【例2】（25-26七年级上·北京·期中）在数轴上，到原点的距离小于2的点表示的整数的个数是_____．【答案】3【分析】本题考查了绝对值的几何意义．根据绝对值的意义，到原点的距离小于2的点表示的整数是共3个，即可作答．【详解】解：依题意，在数轴上，到原点的距离小于2的点表示的整数，它们的绝对值是小于2的整数，满足题意的整数有共3个，故答案为：3．1．（25-26七年级上·湖北孝感·期中）若，，且，则的值为（

）A．10 B．4 C． D．4或【答案】D【分析】本题考查了绝对值，理解绝对值的意义是解题的关键．根据绝对值的意义解题即可．【详解】解：∵，，∴，，又∵，∴和异号，当，

时，；当，

时，；∴

的值为4或．故选：D．2．（25-26七年级上·江苏镇江·阶段检测）若的最小值是，则为_____．【答案】或4【分析】本题主要考查绝对值；分三种情况讨论：当时，当时，当时，分别根据题意计算求解即可．【详解】解：∵的几何意义是数轴上点x到点的距离之和．对于三个定点的距离之和，当x取中间位置的定点时，距离之和最小．当时，三点顺序为，中间点为，此时最小值为：，由题意得，解得，即或（不符合，舍去）．当时，三点顺序为，中间点为a，此时最小值为：，与最小值为7矛盾，舍去．当时，三点顺序为，中间点为2，此时最小值为由题意得，解得，即或（不符合，舍去）．综上，或．故答案为：或4．3．（25-26七年级上·河北保定·期中）综合与探究【概念呈现】大家知道在数轴上的意义是表示4的点与原点（即表示0的点）之间的距离；式子在数轴上的意义是表示5的点与表示2的点之间的距离；式子在数轴上的意义是表示—1的点与表示—2的点之间的距离．若点在数轴上分别表示数，则两点之间的距离可表示为．【初步探究】（1）数轴上表示3和1的两点之间的距离是；数轴上表示和的两点之间的距离是．（2）请计算表示的点和表示的点之间的距离与表示的点和表示的点之间的距离之和．【类比学习】（3）若点在数轴上表示数，则在数轴上的意义是表示的点与表示的点之间的距离；在数轴上的意义是表示的点与表示的点之间的距离．（4）的最小值为．【拓展应用】（5）若，则．（6）如图，将一条数轴沿点折叠，若表示的点的重合点与表示4的点之间的距离为1，则点表示的数为．【答案】（1）2；3；（2）；（3）；4；（4）5；（5）1或3；（6）0或1【分析】本题考查绝对值的几何意义，两点间的距离，数轴上的折叠问题，熟练掌握绝对值的几何意义，两点间的距离公式是解题的关键：（1）根据距离公式进行求解即可；（2）根据距离公式进行求解即可；（3）根据绝对值的几何以及作答即可；（4）根据绝对值的几何意义，得到当在和4之间时，的值最小，进行求解即可；（5）根据绝对的几何意义，进行求解即可；（6）分两种情况进行讨论求解即可．【详解】解：（1）；；（2）；（3）在数轴上的意义是表示的点与表示的点之间的距离；在数轴上的意义是表示的点与表示4的点之间的距离；（4）由（3）可知，当在和4之间时，的值最小，为表示的点与表示4的点之间的距离，即为；（5），表示数轴上表示的点与表示2的点之间的距离为1，故或；（6）由题意，折叠后表示数的点与表示的点或的点重合，当表示数的点与表示3的点重合时，点表示的数为；当表示数的点与表示5的点重合时，点表示的数为；故答案为：0或1．【基础题型四求一个数的绝对值】【例1】（2026·湖北随州·一模）是（

）A． B．2026 C． D．【答案】A【详解】解：．【例2】（25-26七年级上·湖北十堰·期末）的绝对值是______；的倒数是______．【答案】24【分析】本题考查计算绝对值和倒数，解题关键是负数的绝对值是它的相反数，分子分母交换位置求一个数的倒数．根据绝对值、倒数定义可解答，即：负数的绝对值是它的相反数，乘积为1的两个数互为倒数．【详解】解：的绝对值是2，的倒数是4．故答案为：2，4．1．（25-26七年级上·重庆·期中）下列各式中化简错误的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本题主要考查了化简绝对值和化简多重符号，若，则；若，则，再结合化简多重符号的方法对各选项的条件进行化简判断即可得到答案．【详解】解：A、，原式化简错误，符合题意；B、，原式化简正确，不符合题意；C、，原式化简正确，不符合题意；D、，原式化简正确，不符合题意；故选：A2．（25-26七年级上·安徽合肥·阶段检测）是双重绝对值运算，运算顺序是先求的差的绝对值，再求与差的绝对值的差的绝对值．求：（1）若，，，的最小值为_______．（2）若随意三个互不相等的正整数输入双重绝对值进行运算，如果最大值为18，则最小值为________【答案】214【分析】（1）根据，，，得解答即可．（2）分类计算即可．本题考查了绝对值的计算，熟练掌握绝对值的计算是解题的关键．【详解】解：（1）根据，，，得，，故答案为：2．（2）解：根据是双重绝对值运算，故三个互不相等的正整数输入双重绝对值进行运算，得或或，当时，由三个互不相等的正整数，且双重绝对值最大值为18，，，此时最小值是18；当时，由三个互不相等的正整数，且双重绝对值最大值为18，时，当时，，不符合题意；当时，，，最小值为：，当时，当时，，最小值为18，当时，，，最小值为：，同理可证的最小值也是14或18，综上所述，最小值为14，故答案为：14．3．（25-26七年级上·四川德阳·期中）求值：(1)已知，，且，求的值；(2)如果，，且，求的值．【答案】(1)；(2)的值为或．【分析】本题考查了绝对值的意义，有理数乘法，有理数乘方，掌握知识点的应用是解题的关键．（）由，得或，所以当时，，不符合条件；当时，，符合条件，再代入即可求解；（）由，，得，，然后通过，分为当时，只能取，当时，只能取，两种情况求解即可．【详解】（1）解：∵，∴或，∵，，∴当时，，不符合条件；当时，，符合条件，∴，，∴；（2）解：∵，，∴，，∵，∴，∴分情况：当时，只能取，此时；当时，只能取，此时；∴的值为或．【基础题型五绝对值非负性】【例1】（25-26七年级上·四川资阳·阶段检测）如果，那么的值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了绝对值非负性，有理数减法，根据绝对值的非负性，两个非负数之和为时，每个数都必须为，由此可解出和的值，再代入计算的值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．【详解】解：∵，∴，，∴，故选：．【例2】（25-26六年级上·山东东营·期中）与互为相反数，______．【答案】8【分析】本题考查了相反数的定义，有理数的混合运算，绝对值的非负性，平方的非负性．根据互为相反数的定义，两个数的和为零，结合平方和绝对值的非负性，求出a和b的值，再代入计算．【详解】解：∵与互为相反数，∴．∵，，∴且．解得，．则．故答案为：8．1．（25-26七年级上·辽宁锦州·期末）下列说法正确的是（

）A．若，则为负数 B．一定是正数C．若，则 D．若，则是正数【答案】B【分析】本题主要考查绝对值的性质、正负数的定义、举反例判断命题的真假等知识点，掌握绝对值的非负性是解题的关键．根据绝对值的非负性、正负数的定义以及举反例判断命题的真假逐项判断即可．【详解】解：A．由，则，即，故a不一定为负数，可能为零，A错误；B．由，则，故一定是正数，B正确；C．由时，或，故不一定相等，C错误；D．例如，，但，故不一定是正数，D错误．故选B．2．（25-26七年级上·陕西渭南·期末）一个有理数a，满足a的相反数等于a的绝对值，则a可以是______．（写出一个即可）【答案】0（答案不唯一）【分析】本题考查了绝对值的性质，相反数的定义，设的相反数为，的绝对值为，则，得出，即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键．【详解】解：设的相反数为，的绝对值为，∴，∵，∴，即，当时，，等式成立，∴可以是任何非正有理数，例如0，故答案为：（答案不唯一）．3．（2025七年级上·湖南张家界·模拟预测）已知，(1)求的值．(2)画数轴，并在数轴上标出到a、b两数距离之和为4的数．【答案】(1)5(2)画图见解析【详解】（1）解：∵，∴，∴，，∴．（2）解：设到a、b两数距离之和为4的数为，则，当时，，；当时，，方程无解；当时，，；∴到a、b两数距离之和为4的数为或．【基础题型六相反数的应用】【例1】（25-26七年级上·福建漳州·期中）若，互为相反数且，则下列各组数中一定互为相反数的是（

）A．和 B．和 C．和 D．和【答案】B【分析】本题主要考查了相反数的定义，解题的关键是掌握相反数的定义．根据相反数的定义，两数之和为零则互为相反数，计算各组数的和，判断是否为零．【详解】解：∵a和b互为相反数，∴；A.，该选项两个数不互为相反数，不符合题意；B.，该选项两个数互为相反数，符合题意；C.，该选项两个数不互为相反数，不符合题意；D.，该选项两个数不互为相反数，不符合题意；故选：B．【例2】（2026·贵州安顺·二模）如图，若点和点表示的数互为相反数，则原点是点________．【答案】【分析】根据相反数的几何意义，互为相反数的两个点关于原点对称，即原点是这两点连线的中点，根据数轴上的两点之间距离即可确定原点位置．【详解】解：由图可知，点与点之间相隔个单位长度，点和点表示的数互为相反数，原点在线段的中点处，由图可知，，原点是点．1．（25-26七年级上·广东惠州·阶段检测）有理数，在数轴上的位置如图所示，则下列各式正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意可得，且，然后进行逐一辨别．【详解】解：由题意可得，且，，，，，选项A、B、C不符合题意，选项D符合题意，故选：D【点睛】此题考查了运用数轴表示实数大小的能力，关键是能正确理解相关知识，并能运用数形结合思想进行求解．2．（23-24七年级上·云南昭通·阶段检测）若a和b互为相反数，a在b的右边，且表示数a的点到表示数b的点的距离为10，则__________，_________.【答案】5【分析】根据相反数的概念和数轴上两点之间的距离，即可解答．【详解】解：a和b互为相反数，在原点的两侧，且到原点的距离相等为，a在b的右边，，故答案为：5；．【点睛】本题考查了相反数的概念和数轴上两点之间的距离，知道互为相反数的两个数距离原点的距离相等是解题的关键．3．（25-26七年级上·广东深圳·期末）如图，已知a、b、c在数轴上的位置．（1）a+b0，abc0，0．填（“＞”或“＜”）（2）如果a、c互为相反数，求＝．（3）化简：|b+c|﹣2|a﹣b|﹣|b﹣c|．【答案】（1）＜，＜，＜；（2）﹣1；（3）2a．【分析】（1）根据、、在数轴上的位置即可求解；（2）根据相反数的定义即可求解；（3）结合数轴，根据绝对值性质去绝对值符号，再合并即可求解．【详解】解：由数轴可知，，，则（1），，．故答案为：，，；（2）、互为相反数，．故答案为：；（3）．【点睛】本题主要考查数轴、绝对值的性质、整式的加减，解题的关键是根据数轴和题目条件判断出、、的大小关系．【基础题型七有理数大小比较】【例1】（2025·浙江杭州·模拟预测）下列有理数2，，0，中，最小的数是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：∵，，，又∵，，，∴，∴最小的数是．【例2】（25-26七年级上·湖南常德·期末）比较大小：______（填“”、“”或“”）．【答案】【分析】本题考查了负数比较大小，掌握负数比较大小时，绝对值大的反而小原则是解题的关键．比较绝对值，根据负数比较大小时，绝对值大的反而小，即可求解．【详解】解：，．故答案为：．1．（25-26七年级上·全国·期末）若a、b、c、d四个数满足，则a、b、c、d四个数的大小关系为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】设，得，从而可得a、b、c、d的值，然后比较大小即可解答．【详解】解：根据题意，可设，则，∴，，，,∵,∴，∴，即．2．（25-26七年级上·河北廊坊·期中）如图，嘉嘉有5张写着不同数的卡片，从中抽出3张卡片，将卡片上的数相乘，使所得到的积最大，最大的积是_____．【答案】105【分析】根据有理数的乘法，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘的法则计算即可．本题考查了有理数的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键．【详解】解：根据题意，得，故答案为：105．3．（25-26七年级上·全国·课后作业）比较下列各数大小：(1)和；(2)和；(3)和；(4)和．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】本题考查了有理数的大小比较，关键是掌握有理数大小比较法则：正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数；两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．将作比较的两个数化成同分母分数，再比较大小即可．（1）根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小解答即可；（2）根据两个正数比较大小，绝对值大的数大解答即可；（3）根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小解答即可；（4）根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小解答即可．【详解】（1）解：，，∵，∴；（2）解：∵，，且，∴；（3）解：，，∵，∴；（4）解：，，∵，∴．【基础题型八绝对值的其他应用】【例1】（2026·广东河源·二模）某品牌挂面每袋的标准质量为，质检员随机抽取了4袋挂面进行称重，得到以下数据：．这4袋挂面中，质量最接近标准质量的是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】因为与相差与相差与相差，与相差，所以质量最接近标准质量的是．【例2】（23-24七年级上·河北石家庄·阶段检测）式子取最小值时，__________，最小值为__________．【答案】13【分析】的最小值，意思是到1的距离最小，那么应在1处；【详解】解：由数形结合得，若取最小值那么表示的点在1处，所以时，取最小值为3；故答案为，最小值为3；【点睛】本题主要考查了数轴和绝对值，掌握数轴上两点间的距离=两个数之差的绝对值1．（25-26九年级下·河南平顶山·期中）检测4个篮球,其中超过标准质量的部分记为正数,不足标准质量的部分记为负数,则下列最接近标准质量的篮球是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】因为绝对值越小说明与标准质量的偏差越小，所以比较这几个绝对值的大小，绝对值最小的对应的篮球即为所求．【详解】通过求4个数的绝对值，得,,,．∵的绝对值最小，∴B选项中的篮球是最接近标准质量的．2．（25-26七年级上·陕西西安·期末）某校将举办中学生天文知识竞赛，由学生会承办此次活动．该校教学楼共5层，若从1层到5层每层学生志愿者人数分别是10，9，7，5，6．要使所有学生志愿者到会议地点爬楼的距离之和最短，会议地点应设在第____层．【答案】2【分析】本题考查了绝对值的应用和求最小值问题．会议地点应设在使所有志愿者爬楼距离之和最小的楼层，通过计算每层作为会议地点时的总距离，比较即可．【详解】解：设会议地点在第层，则总距离，当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；可知当时，总距离最短，故会议地点应设在第2层．故答案为：2．3．（25-26七年级上·江苏苏州·阶段检测）阅读下面材料：点A、B在数轴上分别表示数a、b．A、B两点之间的距离表示为，则数轴上A、B两点之间的距离．回答下列问题：(1)数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是_______，如果，那么x为______；(2)当取最小值时，符合条件的整数x有哪些？(3)令，问当x取何值时，y最小，最小值为多少？请求解．【答案】(1)，1或(2)，0，1，2(3)时，最小，最小值为4【分析】本题考查数轴与绝对值，熟练掌握数轴上两点之间距离的计算方法是解题的关键．（1）根据两点之间的距离表示列式并计算即可；（2）根据数轴上两点间的距离的意义知，本小问求x到和的距离和最短，则，找出其中的整数解即可；（3）根据数轴上两点间的距离的意义，本小问求数轴上x到，和3的距离和最短，则，进而的最小值可求．【详解】（1）解：，分别表示的数为，，数轴上表示和的两点和之间的距离是，如果，则，解得或；故答案为：，1或；（2）解：当取最小值时，即求数轴上x到和的距离和最短，则，符合条件的整数有，0，1，2．故答案为：，0，1，2；（3）解：当取最小值时，即求数轴上x到，和3的距离和最短，则，当时，最小，即最小值为：．故时，最小，最小值为4．【基础题型九有理数大小比较的实际应用】【例1】（25-26九年级下·河南许昌·阶段检测）如表为几种常见物质的凝固点．其中凝固点最低的是（

）物质水豆油酒精水银凝固点（℃）0A．水 B．豆油 C．酒精 D．水银【答案】C【分析】比较给出的各凝固点的大小，找出最小的数即可得到结果.【详解】解：，，凝固点最低的是酒精.【例2】（2026·湖北·三模）在物理学中，规定在标准大气压下冰水混合物的温度为，绝对零度约为．写出一个比绝对零度高且比冰水混合物温度低的温度值（单位：）是________．【答案】（答案不唯一）【详解】解：设所求温度为，根据题意可得，则在该取值范围内任取一个数即可，例如取．1．（25-26六年级上·上海青浦·期中）根据表格提供的四位同学行走的数据，步行速度最快的是（

）小杰小丽小磊小明时间20秒30秒23秒25秒距离68米100米64米80米A．小杰 B．小丽 C．小磊 D．小明【答案】A【详解】解：小杰的速度：＝3.4米/秒，小丽的速度：＝米/秒，小磊的速度：＜3米/秒，小明的速度：＝3.2米/秒，∵3.4是最大的数，∴步行速度最快的是小杰；故选：A．【点睛】本题考查了行程问题中的速度的计算和有理数大小比较，熟练掌握路程÷时间＝速度是关键．2．（25-26七年级上·重庆开州·期末）对于一个三位正整数，其各个数位上的数字互不相等，若的百位数字与个位数字的平均数等于十位数字，则称为“平均数”．例如：753，因为，所以753是“平均数”；又如469，因为，所以469不是“平均数”，则“平均数”的最大值是_____；若“平均数”的各个数位上的数字之和能被7整除，则满足条件的的最小值是_____．【答案】987579【分析】本题考查了新定义、有理数的大小比较、整式加减的应用，正确理解新定义是解答本题的关键．根据高位数字越大，该数字越大即可解答；设的百位数字为a，个位数字为b，则十位数字为，根据的各个数位上的数字之和能被7整除以及数位上的数字大小关系可得，再根据高位数字越小，该数字越小即可解答．【详解】解：“平均数”有最大值，“平均数”的百位数字、十位数字要尽可能大，当“平均数”的百位数字为9，十位数字为8，个位数字为7时符合题意，“平均数”的最大值为987；设的百位数字为a，个位数字为b，则十位数字为，各个数位上的数字之和为，“平均数”的各个数位上的数字之和能被7整除，是14的倍数，又，，，，满足条件的有最小值，满足条件的百位数字要尽可能小，最大可取9，最小可取，此时，满足条件的的最小值为579．故答案为：987；579．3．（23-24七年级上·河南洛阳·期中）请阅读材料，并解决问题．在比较与的大小时，若利用绝对值法比较，则需要进行分数的通分，因为分母较大，所以比较繁琐．我们也可以使用如下的方法比较大小：因为，，所以，所以．(1)填空：上述方法是先通过找中间量______来比较正数与的大小，再根据两个负数比较大小的结论“______大的负数反而小”进行判断．(2)利用上述方法比较与的大小．【答案】(1)；绝对值(2)【分析】本题主要考查有理数大小比较，根据阅读材料得出两个分数大小比较方法是解答本题的关键．（1）根据计算过程和有理数大小比较法则得出答案即可；（2）找出中间量是，再比较大小即可．【详解】（1）解：上述方法是先通过找中间量来比较正数与的大小，再根据两个负数比较大小的结论“绝对值大的负数反而小”进行判断；故答案为：；绝对值；（2）解：∵，，∴，∴．【提高题型一绝对值非负性压轴】【例1】（25-26七年级上·甘肃天水·阶段检测）如果，下列成立的是（

）A． B． C．或 D．或【答案】D【分析】本题主要考查了绝对值的非负性，根据绝对值的非负性可得，据此可得答案．【详解】解：∵，∴，∴，故选：D．【例2】（25-26七年级上·浙江杭州·期中）已知为有理数，则的最小值为______．【答案】【分析】本题考查了绝对值的非负性，根据绝对值的非负性，可得，即可求解．利用绝对值的非负性，确定代数式的最小值．【详解】解：∵，∴的最小值为故答案为：．1．（2026七年级下·全国·专题练习）若与互为相反数，求的值．【答案】【分析】根据题意得到，求得，，然后将原式变形为，然后化简求解即可．【详解】解：∵与互为相反数，∴，∴，，解得，，∴原式．【点睛】此题考查了绝对值的非负性，相反数的概念，分式求值，正确求解是解决此题的关键．2．（25-26七年级下·吉林辽源·期中）已知与互为相反数．(1)求a、b的值；(2)求的倒数．【答案】(1)(2)【分析】本题考查绝对值与平方数的非负性，解题的关键是利用“互为相反数的两个数和为0”，并结合非负性求解．（1）根据互为相反数的两数和为0，结合绝对值与平方数的非负性，列方程求解；（2）代入的值计算，再求其倒数．【详解】（1）解：由题意可得：．解得；（2）解：将代入，得：，5的倒数是，的倒数是．3．（25-26七年级上·内蒙古通辽·期中）如图，在数轴上点表示数，点表示数，且满足．(1)______，______；(2)如图，一根木棒放在数轴上，木棒的左端与数轴上的点重合，右端与点重合．若将木棒沿数轴向右水平移动，当它的左端移动到点时，它的右端与点重合；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点时，则它的左端与点重合．若数轴上一个单位长度表示．则①由此可得到木棒长为_______；②图中点表示的数是______，点表示的数是______；(3)由题（1）（2）的启发，请你能借助“数轴”这个工具帮助小红解决下列问题：一天，小红去问曾当过数学老师现在退休在家的爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要39年才出生，你若是我现在这么大，我已经117岁，是老寿星了，哈哈！”请直接写出爷爷和小红现在多少岁．【答案】(1)7，28(2)①7；②14，21(3)65，13【分析】本题考查非负数的性质，数轴上两点间距离，数轴上的动点问题：（1）利用绝对值和平方的非负性求解；（2）根据木棒的移动可得，再结合（1）中结论求解；（3）把小红与爷爷的年龄差看作木棒，根据爷爷说的话建立数轴，参照（2）中作法求解．【详解】（1）解：因为，所以，解得．故答案为：7，28．（2）解：①由题知，，又因为点表示的数是7，点表示的数为28，且，所以，即木棒的长度为．故答案为：7；②因为，所以点表示的数是14；因为，所以点表示的数是21；故答案为：14，21．（3）解：根据题意，建立数轴如图所示，小红现在的年龄对应数轴上的点，爷爷现在的年龄对应数轴上的点，则当点移动到点时，点移动到了点；当点移动到点时，点移动到了点，所以，又因为爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要39年才出生；你若是我现在这么大，我已经117岁，是老寿星了”，所以，且，，所以爷爷现在的年龄是65岁，小红现在的年龄是13岁．【提高题型二绝对值化简计算】【例1】（2026·福建泉州·模拟预测）化简的结果是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用绝对值的计算法则即可求解．【详解】解：根据绝对值的性质：负数的绝对值等于它的相反数.∵，∴．【例2】（25-26七年级上·辽宁沈阳·期末）对于整式：，在每个式子前添加“+”或“﹣”号；先求和再求和的绝对值，称这种操作为“全绝对”操作，并将绝对值化简的结果记为M．例如，若存在一种“全绝对”操作使得操作后化简的结果为常数，则此常数＝_____．【答案】4【分析】本题主要考查了绝对值的性质和意义，根据各个代数式中x的系数，通过添加“+”或“﹣”号，使合并后x项的系数为0，即可解答．【详解】解：因为操作后化简的结果是常数，即x的系数为0，则|或.故答案为：4．1．（25-26七年级上·河北唐山·阶段检测）化简下列各数：①，②，③的倒数，④的相反数，将化简后的各数在数轴上表示出来，再用“”连接起来．化简：①②③④将化简后的数在数轴上表示：用“”连接起来【答案】：①，②，③，④；将化简后的数在数轴上表示如下：用“<”连接起来为：.【分析】本题考查绝对值，乘方的运算，多重符号的化简以及数轴上的有理数的分布与有理数的大小比较，掌握基础概念是解题关键．利用多重符号化简的法则，化简，利用绝对值与乘方法则分别计算，，然后在数轴上表示这些数，并利用数轴比较大小，可得到答案．【详解】解：①，②，③的倒数，④的相反数.2．（25-26七年级上·河南驻马店·阶段检测）已知一组数：，，，，0．(1)把这些数能化简的先化简，然后将化简后的数在数轴上表示出来；(2)点M，N，P，Q，R分别表示，，，，0，现在把数轴的原点取在N的位置，其余点的位置均不变，那么点M，P，Q，R分别表示什么数？【答案】(1)见解析(2)点M表示数3，点P表示数，点Q表示数，点R表示数【分析】（1）先化简，然后将化简后的数在数轴上表示出来；（2）N原表示，现在表示原点，根据两点的距离不变分别求出各点现在表示的数．【详解】（1）化简：，，（2）若将数轴的原点取在N的位置，由于Q、N两点的距离为，故点Q表示的数为，同理，点R表示的数为，点M表示的数为3，点P表示的数为．综上，点M表示数3，点P表示数，点Q表示数，点R表示数．【点睛】此题考查了数轴和距离，解题的关键是熟悉数轴和距离的知识．3．（25-26七年级上·江西抚州·期中）“数形结合”是一个重要的数学方法，如在化简时，当在数轴上位于原点的右侧时，；当在数轴上位于原点时，；当在数轴上原点的左侧时，．试用这种方法解决下列问题．(1)当时，；(2)请根据、、三个数在数轴上的位置∶①求的值；②化简∶．【答案】(1)2(2)①；②【分析】本题考查了绝对值的化简（数形结合思想的应用），解题的关键是根据数轴确定数的正负性，再结合绝对值的定义化简计算．（1）根据、的正负，利用绝对值定义化简和，再计算结果；（2）①由数轴得、、，结合绝对值定义化简、、后计算；②根据数轴判断、、的正负，利用绝对值定义去掉绝对值符号，再合并同类项化简．【详解】（1）解：已知，：，，故；，，故．因此，．故答案为：2（2）①由数轴得、、，②根据数轴判断、、，【提高题型三绝对值最值问题】【例1】（25-26七年级上·江苏南京·阶段检测）已知是一个有理数，则关于的值的说法，正确的是（

）A．有最小值2 B．有最大值2 C．有最小值3 D．有最大值3【答案】D【分析】本题考查了绝对值的性质．根据绝对值的非负数的性质解答即可．【详解】解：∵，∴，∴，∴有最大值3，故选：D．【例2】（25-26七年级上·重庆长寿·期中）当x满足条件________时，取得最大值，最大值为________；当x满足条件________时，取得最小值，最小值为________．【答案】/【分析】本题考查了绝对值的几何意义，掌握是数轴上表示的点与表示的点之间的距离是解题关键．根据绝对值的几何意义，利用分类思想，分情况讨论即可．【详解】解：当时，，则时，有最大值；当时，为定值；当时，为定值；故当时，有最大值，且最大值为2；当时，，则时，有最小值；当时，；当时，；故当时，取有最小值，且最小值为；故答案为：，；，．1．（25-26七年级上·全国·单元复习）根据这一性质，解答下列问题：(1)当时，有最小值，此时最小值为；(2)当a取何值时，有最小值？这个最小值是多少？(3)当a取何值时，有最大值？这个最大值是多少？【答案】(1)4，0(2)，3(3)，4【分析】本题考查了整式的绝对值的求解能力，对绝对值的性质的理解和掌握是解题的关键．（1）根据绝对值的性质，可知0的绝对值最小，为0，则可得时，有最小值，由此即可求解；（2）要使有最小值，则要取最小，即，由此即可求解；（3）要使有最大值，则取最小值，结合即可求解．【详解】（1）因为，所以当时，有最小值，这个最小值是0．故答案为：4，0（2）因为，所以当时，有最小值，这个最小值是3．（3）因为，所以，所以当时，有最大值，这个最大值是4．2．（25-26七年级上·江苏扬州·阶段检测）已知、在数轴上分别表示、(1)对照数轴填写下表：62404、两点的距离260(2)若、两点间的距离记为，直接写出和、的数量关系______．(3)如果的和最小时，整数有______．(4)当为______时，代数式的最小值是7．(5)式子有最值(最大值或最小值)吗？如果有，写出这个值并指出它是最大值还是最小值；【答案】(1)；；(2)；(3)；(4)或；(5)有最大值和最小值【分析】本题考查了数轴上两点间的距离公式、绝对值的几何意义、绝对值的化简以及利用分类讨论思想求解绝对值表达式的最值问题，关键是将绝对值表达式转化为数轴上点与点之间的距离问题，借助几何意义简化计算与分析．（1）根据数轴上两点间距离的计算方式，将给定的、值代入，通过求两数差的绝对值，直接计算出、两点的距离；（2）从（1）的具体计算实例中归纳规律，提炼出数轴上两点间的距离与表示两点的数、的数量关系；（3）的几何意义是数轴上表示的点到和3的点的距离之和，再根据几何特征确定当在和3之间(包括端点)时距离和最小，进而找出该范围内的整数即可；（4）先将转化为，明确其几何意义为数轴上表示的点到和3的点的距离之和，再结合几何性质得出该距离和的最小值为两点间的距离，结合最小值为7列方程求解的值；（5）先明确和的几何意义，再根据在数轴上的位置分左侧、与6之间、6右侧三类情况进行绝对值的化简，计算每类情况下表达式的值或取值范围，最终确定式子的最大值和最小值．【详解】（1）解：当，时，、两点的距离为；当，时，、两点的距离为；故答案为：；；（2）解：由数轴上两点距离的定义，可得和、的数量关系为；故答案为：；（3）解：表示数轴上表示的点到表示和的点的距离之和，当在和之间(包括端点)时，距离之和最小，此时整数为；故答案为：；（4）解：，其几何意义是数轴上表示的点到表示和的点的距离之和，当在这两点之间时，距离之和最小，最小值为，则或，解得或；故答案为：或；（5）解：表示数轴上点到的距离，表示数轴上点到的距离．①当点在的左侧，，，；②当点在与之间（包含端点），，，，此时；③当点在的右侧，，，．综上，式子有最值，最大值为，最小值为．3．（25-26七年级上·广东梅州·阶段检测）有一台单功能计算器，对任意两个整数只能完成求差后再取绝对值的运算，其运算过程是：输入第一个整数，只显示不运算，接着再输入整数后，显示的结果．比如依次输入，，则输出的结果是；此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差后再取绝对值．(1)若小明依次输入，，，则最后输出的结果是多少？(2)若将，，，这个整数任意地一个一个地输入，全部输入完毕后显示的结果的最大值是多少？最小值是多少？(3)若任意地一个一个地输入三个互不相等的正整数，，，全部输入完毕后显示的最后结果为，已知的最大值为，求的最小值．【答案】(1)4(2)最大值是，最小值是(3)6【分析】（1）依据题干给出的定义列式计算即可；（2）每一次输出的结果均是非负，再结合依据题干给出的定义列式计算即可；（3）设为较大数字，①当，即时，根据最大值为10可得，，即的最小值为；②当时，根据最大值为10可得，即故的最小值为，问题随之得解．【详解】（1）根据题意得：；故输出结果为4；（2）根据题意得：，，，对于，，，，按，，，的次序输入完毕后显示的结果为最小值，即，按，，，的次序输入完毕后显示的结果为最大值，即，故全部输入完毕后显示的结果的最大值是，最小值是；（3）任意地一个一个地输入三个互不相等的正整数，，，全部输入完毕后显示的最后结果为，的最大值为，设为较大数字，①当，即时，，解得，故的最小值为；②当时，，则，，故的最小值为．综上所述，的最小值为．【点睛】此题考查绝对值有关的问题，解题的关键是要有试验观察和分情况讨论的能力．1．（2026·四川南充·二模）已知：，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据相反数的定义解答即可求解．【详解】解：∵，∴．2．（2026·江苏连云港·二模）下列实数中，是的绝对值的是（

）A．2026 B． C． D．【答案】A【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数计算即可得出结果．【详解】解：．3．（2026·安徽宣城·二模）下列各数在数轴上对应的点到原点的距离最大的是（

）A．2 B．0 C． D．【答案】D【分析】数轴上点到原点的距离等于该数的绝对值，只需计算各选项数的绝对值，比较大小即可得到结果．【详解】解：∵数轴上一个数对应的点到原点的距离等于这个数的绝对值，∴分别计算各数的绝对值：，，，，又∵，∴对应的点到原点的距离最大．4．（2026·内蒙古通辽·三模）下表是几种液体在标准大气压下的沸点，其中沸点最低的液体是（

）液体名称液态氯液态氢液态氮液态氦沸点/A．液态氯 B．液态氢 C．液态氮 D．液态氦【答案】D【分析】利用“两个负数相比较，绝对值大的反而小”的规则，即可得出沸点最低的液体．【详解】解：∵四种液体的沸点分别为，，，，且均为负数，∴计算各数的绝对值得，，，，，∵，∴，∴沸点最低的是液态氦．5．（25-26七年级上·广东深圳·期中）有一台功能特殊的计算器，对任意两个整数只能完成求差后再取绝对值的运算，其运算过程是：输入第一个整数，只显示不运算，接着再输入整数后则显示的结果．比如依次输入1，2，则输出的结果是；此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差后再取绝对值的运算．有下列说法：①依次输入1，2，3，4，则最后输出的结果是2；②若将2，3，6，9这4个整数任意地一个一个输入，全部输入完毕后显示的结果的最大值是8；③若将1，2，3，…，2025这2025个整数任意地一个一个输入，全部输入完毕后显示的结果的最大值是2025．以上说法正确的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】本题主要考查绝对值运算，①根据题意每次输入都是与前一次运算结果求差后取绝对值，将已知数据输入求出即可；②根据运算规则，可以一次输入3，6，2，9，可得最大值是8；③根据运算规则，可每四个数输出结果为0，可得最大值为2025．【详解】解：①根据题意可以得出：，最后输出的结果是2，故①正确；②对于2，3，6，9，可得：，全部输入完毕后显示的结果的最大值是8，故②正确；③依题意，分析可得先每四个数一组，使得输出结果为0，可以依次输入1，3，4，2；5，7，8，6；9，11，12，10；⋯⋯2021，2023，2024，2022；2025，根据运算规律可得结果的最大值是2025，故③正确；所以说法正确的个数是3，故选：D．6．（25-26七年级上·广东惠州·阶段检测）化简：_____．【答案】2【分析】本题考查了符号的化简，解题的关键是按照从内到外的顺序逐步化简多重符号．从内向外逐层化简，利用有理数的符号法则即可解答．【详解】解：故答案为：2．7．（25-26七年级上·甘肃武威·期末）写出一个绝对值小于的负整数：_____．（写出一个即可）【答案】（答案不唯一）【分析】本题主要考查了绝对值的概念，熟练掌握绝对值的意义是解题的关键．根据绝对值的意义，找出绝对值小于的负整数即可．【详解】解：，绝对值小于的负整数，即其绝对值为正整数且小于，因此绝对值可以是，，，，，，，∴负整数为，，，，，，．故答案为：（答案不唯一）．8．（25-26七年级上·全国·课后作业）填空：（1）5.7的相反数是___________．

（2）的相反数是___________．（3）___________的相反数是．

（4）___________的相反数0.01．【答案】（1）（2）6（3）（4）【分析】本题主要考查了相反数的概念，一个数的相反数是，求一个数的相反数或根据相反数求原数，只需改变符号即可．【详解】解：（1）5.7的相反数是；（2）的相反数是；（3）设这个数为，则的相反数是，即，所以；（4）设这个数为，则的相反数是0.01，即，所以．故答案为：（1）；（2）6；（3）；（4）．9．（25-26七年级上·浙江温州·阶段检测）如图，图中数轴的单位长度为1．若点表示数的绝对值恰是点表示数的绝对值的3倍，那么图中点所表示的数是______．【答案】5或2【分析】利用数轴得出两点之间的距离，然后分两种情况进行讨论，即当原点位于点和点之间时和当原点位于点右侧时，最后根据线段的数量关系求出点的坐标．【详解】解：由数轴得，①当原点位于点和点之间时，∵点表示数的绝对值恰