高考数学一轮复习讲义 第十章 10.7　二项分布、超几何分布与正态分布

10.7二项分布、超几何分布与正态分布考试要求三年考情1.理解伯努利试验,掌握二项分布及其数字特征,并能解决简单的实际问题.2.了解超几何分布及其均值,并能解决简单的实际问题.3.了解正态分布的概念和特征,并能进行简单应用.202320242025新课标Ⅰ卷T9新课标Ⅱ卷T12新课标Ⅱ卷T181.二项分布(1)伯努利试验只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验;将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验.(2)二项分布一般地,在n重伯努利试验中,设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1),用X表示事件A发生的次数,则X的分布列为P(X=k)=Cnkpk(1-p)n-k,k=0,1,2,…如果随机变量X的分布列具有上式的形式,则称随机变量X服从二项分布,记作X~B(n,p).(3)两点分布与二项分布的均值、方差①若随机变量X服从两点分布,则E(X)=p,D(X)=p(1-p).②若X~B(n,p),则E(X)=np,D(X)=np(1-p).2.超几何分布一般地,假设一批产品共有N件,其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件(不放回),用X表示抽取的n件产品中的次品数,则X的分布列为P(X=k)=CMkCN-Mn-kCNn,k=m,m+1,m+2,…,r,其中,n,N,M∈N*,M≤N,n≤N,m=max{0,n-N+M},r=min{n3.正态分布(1)定义若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)=1σ2πe-(x-μ)22σ2,x∈R,其中μ∈R,σ>0(2)正态曲线的特点①曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称;②曲线在x=μ处达到峰值1σ③当|x|无限增大时,曲线无限接近x轴.(3)3σ原则①P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827;②P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545;③P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973.(4)正态分布的均值与方差若X~N(μ,σ2),则E(X)=μ,D(X)=σ2.知识拓展1.两点分布是二项分布当n=1时的特殊情形.2.“二项分布”与“超几何分布”的区别:有放回抽取问题对应二项分布,不放回抽取问题对应超几何分布,当总体容量很大时,超几何分布可近似为二项分布来处理.3.在实际应用中,往往出现数量“较大”“很大”“非常大”等字眼,这表明试验可视为n重伯努利试验,进而判定是否服从二项分布.1.判断(正确的画“√”,错误的画“×”)(1)某人射击,击中目标的概率是稳定的,他连续射击了20次,是n重伯努利试验.(√)(2)若X表示n次重复抛掷1枚骰子出现点数是3的倍数的次数,则X服从二项分布. (√)(3)从装有3个红球、3个白球的盒中有放回地任取一个球,连取3次,则取到红球的个数X服从超几何分布.(×)(4)当μ取定值时,正态曲线的形状由σ确定,σ越小,曲线越“矮胖”. (×)2.(人教B版选择性必修第二册P83练习BT4改编)已知离散型随机变量X~B(10,0.2),则E(X)=(B)A.8 B.2C.1.6 D.0.8解析:因为离散型随机变量X~B(10,0.2),所以E(X)=10×0.2=2.故选B.3.(人教A版选择性必修第三册P87习题7.5T2改编)若X~N(1,σ2),且P(X>2)=0.10,则P(X>0)=(D)A.0.10 B.0.40C.0.80 D.0.90解析:根据题意X~N(1,σ2),且P(X>2)=0.10,则P(X<0)=P(X>2)=0.10,故P(X>0)=1-P(X<0)=0.90.故选D.4.(人教A版选择性必修第三册P78例5改编)设10件同类型的零件中有2件是不合格品,从其中任取3件,以X表示取出的3件中的不合格品的件数,则P(X=1)=(D)A.1解析:根据超几何分布的概率公式有P(X=1)=C21C考点1超几何分布【例1】某科研机构为完成国家级课题,从四个实验室抽调18名研究员组成项目组.各实验室参与人数如下表:实验室人工智能实验室生物医学实验室量子计算实验室环境工程实验室人数4635(1)从这18名研究员中随机抽取两人合作实验,求两人来自同一实验室的概率;(2)课题完成后需选派两人撰写结题报告,设被选中的人工智能实验室研究员人数为随机变量X,求X的分布列及数学期望.【解】(1)“从这18名研究员中随机抽取两人合作实验,两人来自同一实验室”记作事件A,则P(A)=C4(2)X的所有可能取值为0,1,2.∵P(X=0)=C142C182=91153,P(X=1)=C4∴X的分布列为X012P91562∴E(X)=0×911531.超几何分布描述的是不放回抽样问题,随机变量为抽到的某类个体的个数.超几何分布的特征是①考察对象分两类;②已知各类对象的个数;③从中抽取若干个个体,考查某类个体数X的分布列.2.超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型,其本质是古典概型.【对点训练1】某校航模社团共有10名学生,研究“战斗机航模”的有6人,其中男生4人、女生2人,另外4人研究“无人机航模”.(1)从研究“战斗机航模”的6人中任意选出2人宣传该社团,已知其中一位是女生,求另一位也是女生的概率;(2)从航模社团中任意选出3人参加航模设计大赛,设X表示来自研究“无人机航模”的人数,求X的数学期望.解:(1)记事件A:选出的2人中至少有一位是女生,事件B:选出的2人都是女生,所以n(AB)=C22=1,n(A)=C62−C4由条件概率公式,可得P(B|A)=n((2)由题意可知,随机变量X的可能取值为0,1,2,3,P(X=0)=C63C103=16,P(X=1)=C62C41C103=则随机变量X的分布列为X0123P1131所以E(X)=0×16考点2二项分布【例2】某电影原声的音乐制作由甲、乙、丙三个音乐工作室负责.在音乐录制过程中,由于各种因素,部分录制片段会因不符合要求而不被采用.甲、乙、丙三个工作室录制音乐片段总数之比为6∶7∶5,音乐片段可用率(能被采用的片段数占录制片段总数的比例)分别为0.8,0.6,0.6.现在从三个工作室录制的所有音乐片段中随机抽取,且每个音乐片段被抽到的可能性是相同的,用频率估计概率.(1)若只取1个音乐片段,求它是由乙工作室录制的概率;(2)若抽取2个音乐片段,其中由甲工作室录制的音乐片段数记为X,求X的分布列和数学期望.【解】(1)由题意知,每个音乐片段被抽到的可能性是相同的.因为甲、乙、丙三个工作室录制音乐片段总数之比为6∶7∶5,所以若只取1个音乐片段,它是由乙工作室录制的概率P=76+7+5(2)设事件A,B,C分别表示随机抽取的1个音乐片段分别是由甲、乙、丙工作室录制的,若只取1个音乐片段,则P(A)=66+7+5所以由乙或丙工作室录制的概率为P(A)=1-P(A)=23依题意可知,X的可能取值为0,1,2,且X~B2,所以P(X=0)=C20×130×232=49,P(X=所以X的分布列为X012P441数学期望E(X)=0×49二项分布与超几何分布的区别与联系(1)二项分布是放回抽样问题,在每次试验中某一事件发生的概率是相同的,而超几何分布是不放回抽样问题,在每次试验中某一事件发生的概率是不相同的.(2)二项分布不需要知道总体的容量,而超几何分布需要知道总体的容量.(3)当总体的容量非常大时,超几何分布近似于二项分布.【对点训练2】(2025·广东中山一模)某公司为招聘新员工设计了一个面试方案:应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题,按题目要求独立完成.规定:至少正确完成其中2道题的便可通过.已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成,2道题不能完成;应聘者乙每题正确完成的概率都是23,且每题正确完成与否互不影响(1)分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列及数学期望;(2)请从稳定性的角度分析甲、乙两人谁面试通过的可能性大?解:(1)设甲正确完成面试题数为X,乙正确完成面试题数为Y,则X可取1,2,3,Y可取0,1,2,3,则P(X=1)=C22C41C63=15,P(X=2)所以甲正确完成面试题数X的分布列为X123P131E(X)=1×15+2P(Y=0)=C3P(Y=1)=C3P(Y=2)=C3P(Y=3)=C3所以乙正确完成面试题数Y的分布列为Y0123P1248E(Y)=0×127+1(2)由(1)得,D(X)=15×(1-2)2+35×(2-2)2+15×(3-2)2D(Y)=127×(0-2)2+29×(1-2)2+49×(2-2)2+827×(3-2)2=23,因为D(X)<D(Y考点3正态分布【例3】(1)(多选)(2025·浙江绍兴二模)为了解目前本市高二学生身体素质状况,对某校高二学生进行了体能抽测,得到学生的体育成绩X~N(70,100),其中60分及以上为及格,90分及以上为优秀,则下列说法正确的是(ABD)参考数据:随机变量ξ~N(μ,σ2),则P(μ-σ<ξ<μ+σ)≈0.6826,P(μ-2σ<ξ<μ+2σ)≈0.9544,P(μ-3σ<ξ<μ+3σ)≈0.9974.A.该校学生体育成绩的方差为100B.该校学生体育成绩的期望为70C.该校学生体育成绩不及格的人数和优秀的人数相当D.该校学生体育成绩的及格率不到85%【解析】对于A,B,由题意知,学生的体育成绩X~N(70,100),可得期望μ=70,方差σ2=100,即该校学生体育成绩的方差为100,期望为70,故A,B正确;对于D,由P(X>70)=0.5,P(60<X<80)=P(μ-σ<X<μ+σ)≈0.6826,所以P(X≥60)=P(60≤X≤70)+P(X>70)≈0.3413+0.5=0.8413<85%,即该校学生体育成绩的及格率不到85%,故D正确;对于C,因为P(X<60)=1-P(X≥60)≈1-0.8413=0.1587,P(50<X<90)=P(μ-2σ<X<μ+2σ)≈0.9544,所以P(X≥90)=P(X≥70)-P(70≤X≤90)≈0.5-0.95442=0.0228,即不及格的概率为0.1587,优秀的概率为0.0228,两者不同,故C(2)(多选)设X~N(μ1,σ12),Y~N(μ2,σ22),这两个正态曲线如图所示,A.μ1>μ2B.σ1<σ2C.P(X≥μ2)>P(X≥μ1)D.P(Y≤σ1)<P(Y≤σ2)【解析】对于A,因为X,Y的正态曲线分别关于直线x=μ1,x=μ2对称,所以由题图可知μ1<μ2,故A错误;对于B,因为X的正态曲线“瘦高”,Y的正态曲线“矮胖”,即X的分布较集中,Y的分布较分散,所以σ1<σ2,故B正确;对于C,由正态分布在区间上的概率的几何意义,知P(X≥μ2)<P(X≥μ1),故C错误;对于D,由正态分布在区间上的概率的几何意义,知P(Y≤σ1)<P(Y≤σ2),故D正确.故选BD.解决正态分布问题的三个关键点(1)对称轴为直线x=μ.(2)标准差为σ.(3)分布区间.利用对称性可求指定范围内的概率值;由μ,σ,分布区间的特征进行转化,使分布区间转化为3σ特殊区间,从而求出所求概率.注意只有在标准正态分布下对称轴才为直线x=0.【对点训练3】(1)(多选)(人教B版选择性必修第二册P97练习AT3改编)某校高三年级选考地理科目的学生有100名,现将他们该科的一次考试分数转换为等级分,已知等级分X的分数区间为[30,100],若等级分X~N(80,25),则(ACD)参考数据:P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827;P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545;P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973.A.这次考试等级分的标准差为5B.这次考试等级分超过80分的约有45人C.这次考试等级分在[70,80]内的人数约为48D.P(65≤X≤75)≈0.1573解析:对于A,因为X~N(80,25),所以σ=25=5,故A正确;对于B,因为μ=80,所以这次考试等级分超过80分的学生约占50%,100×50%=50,故B错误;对于C,因为P(70≤X≤80)=P(μ-2σ≤X≤μ)=12P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈12×0.9545≈0.48,所以这次考试等级分在[70,80]内的人数约为0.48×100=48,故C正确;对于D,P(65≤X≤75)=P(μ-3σ≤X≤μ-σ)=12[P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)-P(μ-σ≤X≤μ+σ)]≈12×(0.9973-0.6827)=0.1573,故D正确(2)如图是两个正态密度函数的图象,则下列表述正确的是(C)A.μ1>μ2,σ1>σ2 B.μ1>μ2,σ1<σ2C.μ1<μ2,σ1>σ2 D.μ1<μ2,σ1<σ2解析:令ξ1~N(μ1,σ12),ξ2~N(μ2,σ22)对应的正态密度函数分别为f(x),g(x),则函数f(x),g(x)图象的对称轴分别为直线x=μ1,x=μ2,且f(x)max=1σ12π,g(x)max=1σ22π,观察图象,得μ1<μ2二项分布的概率最值1.链接教材:(人教A版选择性必修第三册P81探究与发现)设随机变量X~B(n,p),则X的分布列为P(x=k)=Cnkpk(1-p)n-k,k=0,1,…,n.我们可以利用分布列的表达式来研究P(x=k)2.二项分布之概率最大问题的求解思路如果X~B(n,p),其中0<p<1,求P(X=k)取得最大值时对应的k值,一般是考查P(X=k)P(X=k-1)由P(X=k)P(X=k-1)≥1,求出k的取值区间,此区间即因为P(X=k)P(X=k-1)=(n-k+1)pk(1-p)=1+(n+1)故有:(1)若(n+1)p>n,则当k=n时,P(X=k)取得最大值.(2)若(n+1)p是不超过n的正整数,则当k=(n+1)p-1或k=(n+1)p时,P(X=k)取得最大值.(3)若(n+1)p是不超过n的非整数,则当k=[(n+1)p]([(n+1)p]表示不超过(n+1)p的最大整数)时,P(X=k)取得最大值.说明:也可以用P(X=k+1)P(X=k)≤1(0≤k≤n-1,k∈N)来求,还可以考虑用不等式组P(X【典例】通过历次考试,某教师了解到学生容易在多选题中由于多选和错选致误,因此决定为自己所带的两个班级的学生命制一套满分为100分的多项选择题专题卷,已知这两个班共有学生100名,该老师根据两个班学生的考试成绩制作了如下表所示的频率分布表:分值[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)[70,80]频率0.10.30.30.20.1(1)若每个分组取中间值作代表,试求两个班学生的成绩的平均值;(2)为了更好地激发学生学习数学的热情,该老师决定组建数学兴趣小组,若采取比例分配的分层随机抽样的方法从两个班中成绩在[50,60)和[60,70)的学生中抽取5人,再从中确定3人为小组组长,如果用X表示小组组长来自成绩为[50,60)的学生的人数,求X的分布列和数学期望;(3)为了更好地了解学生多项选择题失分的原因,该老师从两个班中随机抽取20名学生进行深入交流,若这20名学生中有k名学生本次考试成绩在[30,50)之间的概率为Pk(1≤k≤20,k∈Z),求Pk取得最大值时k的值(将频率视为概率).【解】(1)两个班学生的成绩的平均值为35×0.1+45×0.3+55×0.3+65×0.2+75×0.1=54.(2)由频率分布表可知,若采取比例分配的分层随机抽样的方法从两个班中成绩在[50,60)和[60,70)的学生中抽取5人,则应从成绩在[50,60)和[60,70)的学生中各抽取3人和2人,所以X的可能取值为1,2,3.P(X=1)=C31C22C53=310,P(X=2)所以X的分布列为X123P331所以X的数学期望E(X)=1×310(3)设在抽取的20名学生中,成绩在[30,50)的人数为Y,则Y~B(20,0.4),所以P(Y=k)=C20k0.4k·0.620设t=P(Y=当t>1时,k<8.4,P(Y=k-1)<P(Y=k),当t<1时,k>8.4,P(Y=k-1)>P(Y=k).所以当k=8时,Pk最大.高考真题教材典题(多选)(2024·新课标Ⅰ卷)随着“一带一路”国际合作的深入,某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口.为了解推动出口后的亩收入(单位:万元)情况,从该种植区抽取样本,得到推动出口后亩收入的样本均值x=2.1,样本方差s2=0.01.已知该种植区以往的亩收入X服从正态分布N(1.8,0.12),假设推动出口后的亩收入Y服从正态分布N(x,s2),则(若随机变量Z服从正态分布N(μ,σ2),则P(Z<μ+σ)≈0.8413)(BC)A.P(X>2)>0.2B.P(X>2)<0.5C.P(Y>2)>0.5D.P(Y>2)<0.8解析:对于A,B,由题意可知,X~N(1.8,0.12),所以P(X>2)<P(X>1.8)=0.5,P(X<1.9)≈0.8413,所以P(X>2)<P(X≥1.9)=1-P(X<1.9)≈1-0.8413=0.1587<0.2,故A错误,B正确.对于C,D,因为Y~N(2.1,0.12),所以P(Y<2.2)≈0.8413,P(Y>2)>P(Y>2.1)=0.5,所以P(2<Y<2.1)=P(2.1<Y<2.2)=P(Y<2.2)-P(Y≤2.1)≈0.8413-0.5=0.3413,所以P(Y>2)=P(2<Y<2.1)+P(Y≥2.1)≈0.3413+0.5=0.8413>0.8(另解:P(Y>2)=P(Y<2.2)≈0.8413>0.8),故C正确,D错误.故选BC.(人教A版选择性必修第三册P87习题7.5T2)某市高二年级男生的身高X(单位:cm)近似服从正态分布N(170,52),随机选择一名本市高二年级的男生,求下列事件的概率:(1){165<X≤175};(2){X≤165};(3){X>175}.课时作业76(总分:100分)1.(5分)(2025·广东茂名二模)随机变量ξ~N(4,2),若P(ξ>2a-1)=P(ξ<a),则实数a的值为(C)A.2 B.52C.3 D.4解析:因为ξ~N(4,2),P(ξ>2a-1)=P(ξ<a),所以2a-1+a2=4,解得a=2.(5分)若随机变量X~B(6,p),且P(X=3)=516,则E(2X+3)= (CA.3 B.6 C.9 D.12解析:由P(X=3)=C63p3(1-p)3=516,解得p=12,因为X~B(6,p),所以E(X)=6×12=3,所以E(2X+3)=2E(X)+3=3.(5分)(人教A版选择性必修第三册P78例5改编)某老师从6道题中随机抽3道让同学检测,规定至少要解答正确2道题才能及格.某同学只能正确求解其中的4道题,则该同学能及格的概率为(A)A.4解析:该同学不及格的情况只有一种,即所抽取的3道题中恰有2道是该同学不能正确求解的,则该同学不及格的概率P=C41C22C63=4.(5分)(2025·湖南长沙二模)某校有1000人参加某次模拟考试,其中数学考试成绩X近似服从正态分布N(105,σ2)(σ>0),试卷满分150分,统计结果显示数学成绩优秀(高于120分)的人数占总人数的15,则此次数学考试成绩在90分到105分(含90分和105分)之间的人数约为 (CA.150B.200C.300D.400解析:因为X~N(105,σ2),所以P(X<90)=P(X>120)=15,则P(90≤X≤120)=1-25=35,所以P(90≤X≤105)=12P(90≤X≤120)=310,所以此次数学考试成绩在90分到105分(含90分和105分)之间的人数约为1000×5.(5分)若随机变量X~Nμ,49,随机变量Y~B(3,p),且P(X≥1)=12,E(X)=E(Y),则P(Y≤1)=(A.7C.4解析:由X~Nμ,49,P(X≥1)=12,得E(X)=μ=1,由Y~B(3,p),E(Y)=E(X)=1,得3p=1,解得p=13,所以P(Y≤1)=P(Y=0)+P(Y=1)=6.(5分)如图所示,已知一质点在外力的作用下,从原点O出发,每次向左移动的概率为14,向右移动的概率为34.若该质点每次移动一个单位长度,则经过5次移动后,该质点与点1的距离不大于一个单位长度的概率为(CA.50C.135解析:由题意,设质点向右移动k次,向左移动(5-k)次.∴最终位置为x=k+(5-k)×(-1)=2k-5,由|x-1|≤1,解得0≤x≤2,∴0≤2k-5≤2,解得52≤k≤72,∵k为正整数,∴k=3,∴质点向右移动3次,向左移动5-k=2(次),∴该质点与点1的距离不大于一个单位长度的概率7.(6分,多选)李明上学有时坐公交车,有时骑自行车,他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间,经数据分析得到,假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布,X~N(μ1,62),Y~N(μ2,22).X和Y的分布密度曲线如图所示,则下列结论正确的是(BCD)A.D(X)=6B.μ1<μ2C.P(X≤38)<P(Y≤38)D.P(X≤36)=P(Y≤36)解析:对于A,因为X~N(μ1,62),所以D(X)=36,故A错误;对于B,由图象知,30=μ1<μ2=34,故B正确;对于C,因为σ1=6,σ2=2,所以P(X≤38)<P(X≤μ1+2σ1)=P(Y≤μ2+2σ2)=P(Y≤38),故C正确;对于D,因为σ1=6,σ2=2,所以P(X≤36)=P(X≤μ1+σ1)=P(Y≤μ2+σ2)=P(Y≤36),故D正确.故选BCD.8.(6分,多选)如图,某电子实验猫线路图上有1,2两个红绿指示灯,当遇到红灯时,实验猫停止前行,恢复绿灯后,继续前行,1,2两个指示灯工作相互独立,且出现红灯的概率分别为13,p(0<p<1).同学甲从第一次实验到第三次实验中,实验猫在1处遇到红灯的次数为X,则(ACDA.E(X)=1B.P(X=3)=1C.D(X)=2D.一次实验中,1,2两处至少遇到一次红灯的概率为13解析:对于A,由题意可知,X~B3,13,E(X)=3×13=1,故A正确;对于B,由A知,P(X=3)=C33×133=127,故B错误;对于C,D(X)=3×13×1-13=23,故C正确;对于D,一次实验中,9.(5分)(苏教版选择性必修第二册P144复习题T7改编)已知随机变量X~B(4,p),若E(X)+D(X)=209,则P(X≥1)=65解析:因为E(X)+D(X)=209,所以4p+4p(1-p)=209,即(p-1)2=49,因为0<p<1,所以p=13,所以P(X=0)=1-134=1681,故P(X≥110.(5分)学校要从5名男教师和2名女教师中随机选出3人去支教,设抽取的人中女教师的人数为X,则E(X)=67解析:由题意可得,X的可能取值为0,1,2,P(X=0)=C53C73=1035=27,P(X=1)=C52C21C7311.(18分)(2025·河北张家口三模)为大力弘扬中华民族尊老、敬老、爱老的传统美德,某医院从A,B两个科室的志愿者中随机抽调4人为某社区养老院的老人进行“免费健康体检”活动,已知A,B两个科室中的志愿者分布如下表:科室志愿者医生护士A23B33(1)求抽到的4人中,恰好有2名医生,且这2名医生恰好来自同一科室的概率;(2)设X为选出的4人中医生的人数,求随机变量X的分布列和数学期望.解:(1)由已知,恰好有2名医生来自同一科室的情况包含这2名医生都来自A科室和都来自B科室,有(C22C62+C32C62C2(2)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3,4,P(X=0)=C50C64C114=P(X=2)=C52C62C114=511,P(X=3)所以随机变量X的分布列为X01234P110521所以E(X)=0×12212.(19分)(2025·河南焦作二模)甲、乙两人各