2026年线性代数课程考试题及答案

2026年线性代数课程考试题及答案一、单项选择题（每题3分，共15分）1.设A为m×n矩阵，B为n×A.|B.|C.|D.|答案：A解析：因为r(AB)≤min{r(2.设n维列向量组α1,αA.线性无关B.线性相关C.两两正交D.构成单位向量组答案：B解析：向量个数大于向量维数时，必线性相关。3.设A为n阶方阵，且A2=AA.0B.1C.0或1D.−1或答案：C解析：设Ax=λx，则A2x=λ2x。由4.设A为n阶实对称矩阵，则A正定的一个充要条件是（）A.|B.A的所有特征值非负C.A与单位矩阵I合同D.A的主对角线元素全为正答案：C解析：实对称矩阵A正定当且仅当其所有特征值全为正，也当且仅当存在可逆矩阵C使A=CTIC，即A5.设A、B为n阶方阵，且ABA.A=OB.|A|C.BD.(答案：B解析：由|AB|=|A||B二、填空题（每题3分，共15分）1.行列式D=答案：−解析：D=2.设A=12答案：−解析：|A|=3.已知向量组α1=(1,0,答案：2解析：因为α2=α1+α34.设3阶方阵A的特征值为2、−1、3，则|答案：−解析：令f((2)=2$，$f(-1)=-1$，$f(3)=7$，故$|A^2-2I|=2\times(-1)\times7=-14$。5.设A为n阶方阵，且r(A)答案：n解析：基础解系所含向量个数等于未知量个数n减去系数矩阵的秩r。三、计算题（每题10分，共50分）1.计算四阶行列式D答案：−解析：按第一行展开，得D其中第一个三阶行列式为1第二个三阶行列式为1故D=2.设矩阵A求A−答案：A解析：先求行列式：|再求伴随矩阵，由代数余子式得A所以A−3.求非齐次线性方程组$$\begin{cases}

x_1+x_2+x_3=1,\\

2x_1+3x_2+x_3=3,\\

x_1-x_2+3x_3=-1

\end{cases}$$的通解。答案：x1x2解析：对增广矩阵作初等行变换：$$\begin{pmatrix}

1&1&1&1\\

2&3&1&3\\

1&-1&3&-1

\end{pmatrix}

\rightarrow

\begin{pmatrix}

1&1&1&1\\

0&1&-1&1\\

0&-2&2&-2

\end{pmatrix}

\rightarrow

\begin{pmatrix}

1&1&1&1\\

0&1&-1&1\\

0&0&0&0

\end{pmatrix}$$令x3=k，则xx4.设矩阵A求A的特征值和全部特征向量，并判断A是否可对角化。答案：特征值为λ1=λ2=2，λ3=3。属于λ=2的全部特征向量为k01解析：A为上三角矩阵，特征多项式为|所以特征值为2，2，3。对λ=2，解0得x1=0，x3=对λ=3，解(3I−A)x=特征值2的代数重数为2，但线性无关特征向量只有1个，所以A不可对角化。5.设二次型f用顺序主子式判断该二次型是否正定。答案：正定。解析：二次型对应矩阵为A其顺序主子式依次为Δ所有顺序主子式全大于零，所以二次型正定。四、证明题（每题10分，共20分）1.设A为n阶方阵，且A2=A答案：证明：因为A2=A，所以A(I−An故r(解析：本题关键利用乘积为零矩阵时的秩不等式r(PQ)=2.设向量组α1,α2,α3答案：证明：设k即k整理得(因为α1$$\begin{cases}

k_1+k_3=0\\

k_1+k_2=0\\