模型36 切割线定理 （含答案）2025年中考数学几何模型专题复习 (一)

模型36切割线定理

VCD是。O的切线,，ZECD=90°,AZECB+ZBCD=90°,图①

・•・ZCEB=ZBCD,VZCAB=ZCEB.AZCAB=ZBCD,

•:乙D=乙D,•••ACDCBD,•••券=黑,•••CD2=BDAD

害！1线定理结论:EB-EA=ED-EC

证明:方法一：如图②，连接AD.BC.VZE=ZE,ZA=ZC,/.AAED^ACEB,—

ECEB

D方法二:如图③，连接BD,AC,根据△EBDs^ECA证得EBEA=EDEC.

模型解题三步法

例1如图,AB是。。的直径.AC是。0的切线、A为切点、割线CF交AB于点E,与。0交于点D,且CD:DE:EF

=l:2:l,AC=4jjp」0O的直径为.

例1题图例2题图

例2如图，AB为。0的直径,C,D分别为AB两侧。O上的点，连接CB并延长交AD的延长线

直径所对的圆周角为直角

于点E、连接AC若AC=△"=30°,B为CE的中点，则AD的长为

在RtAACE中，据此计算出AE,CE,CB的长

题以类解

1.如图.AB为。O的直径点P为AB延长线上一点.过点P作。0的切线PC.C为切点，若PC=26,PB=

2,则图中阴影部分的面积为.(用含兀的式子表示)

第1题图第2题图

2.如图,PA与。0相切于点A,连接P0并延长与。0交于点BC连接AB,AD,BD,CD,若/P二NBAD,PA=15,

PB=5,则BD的长为.

3.新考法新图形如图，在△ABC中,AB=6.D为AB边的中点.E为AC边上的点且NBDC二NBEC,若A

E=2,贝!JAC的长为_______.

第3题图

4.如图在RtAABC中,NC=9()，点E在边AB上以AE为直径的。O与BC相切于点D且AD平分NBA

C.已知AC=4,AD=2V6

⑴求。O的半径；

⑵求tanB的值.

r

第4题图

模型36切割线定理

模型解题三步法

例1【解析】找模型：是否存在一条切线和一条弦的延长线在圆外交于一点：弦：DF,切线:AC,交点:点

G抽离模型:如解图,用模型:连接AD,BF,设CD=xj・CD:DE:EF=l:2：L「.DE=2x,EF=x,CF=4x,由切割线定理得AC2=

CZTCF,即42=4/,解得x=2(负值已舍去),.•.CD=2,DE=4,EF=2,CE=CD+DE=6jAB是O0的直径,AC是。0

的切线「ABJ_AC,在RbACE中，AE=VCE2-AC2=V62-42=2V5；/zDAB=zDFB,zDEA=zBEF,..^DEA

一△BER两组对角分别相等的两个三角形相似）…•噂=器，即乎=白解得BE=警,••・AB=AE+EB=2^+

rcob/DDb

警=^,.-.OO的直径为1W5

5

例1题解图

〃例25【解析】找模型：是否存在圆中的两条弦在圆外相交：弦：CB和AD,交点：点E,抽离模

型：如解图，用模型：:AB是OO的直径ZACB=90°.vAC=43,ZE=30°,B为CE的中点，.,.力E=2何CE

=高=3型若=I.根据"割线定理"得，BE-CE=DE^AE,：.OE=甯=乎,4。=AE-DE=^-.

例2题解图

题以类解

12V3-亨【解析】找模型：是否存在一条切线和一条弦的延长线在圆外交于一点：弦：AB,切线：CP,交

点：点P.抽离模型：如解图，用模型：根据"切割线定理”得，PC2=PB.PA,「PC=2V3,PB=2,；.(2V3)2=2PA,

解得PA=6,/.AB=PA-PB=6-2=4,.*.OB=OC=2,tan/80c=77=乎=V3,zBOC=60°,，S=S—

OC2阴出P0C.

=ix2V3x2-"回=26-盥

扇形BOC23603

2.32【解析】找模型：是否存在一条切线与一条弦的延长线在圆外交于一点：弦：CB,切线：AP,交点：点

2

P.抽离模型：如解图，连接0A,用模型：根据“切割线定理"得，P矛=PB。PC,/.PC=PAP1^=45,.-.BC=4

0,OB=OC=OA=20//.OP=25,vBC为。。的直径」.NBDC=90°(直彳箫对的圆周角为90°),.NOAP=zBDC=

90°;/zP=/BAD（已知）,/C=/BAD（同弧所对的圆周角相等）,••./「=/（：,."OAPiBDC（两组对角分别相等的

啜，即20BD=^/.BD=32.

第2题解图

3.9【解析】•//BDC二NBEC/.BCEQ四点共圆，如解图以BC为弦作。O「「AB=6,D为AB的中点,「.ADW,

由"割线定理"可得ADAB=AE-AC;.-AE=2/.AC=也岑=9.

AE

第3题解图

4.解:(1)..在Rt^ACD中,AC=4,AD=2瓜CD=>JAD2-AC2=2或.

如解图，连接0D,过点D作DF_LAB于点F,

•.AD平分/BAC,

CD=DF=2&（角平分线上的点到角两边的距离相等）.

•.CD=FD,AD=AD,

Rl^ACD3RSAFD(HL).

.-.AC=AF=4.

设。。的半径为r,「QF=4-r.

222

在Rt^ODF中,（OF+DF=0Df

即（4一丁）2+（2&）2=产,解得「=3

即。。的半径为3;

第4题解图

(2)如解图，由(1)知AF=AC=4,OA=3,

.・.OF=L则EF=2.

vBC是。0的切线，点D是。0的切点