大一线性代数期末考试试卷+答案

大一线性代数期末考试试卷+答案一、单项选择题（每题3分，共15分）1.设A为3阶方阵，且|A|=A.4B.8C.16D.32答案：C解析：对n阶方阵有|kA|2.设A为m×n矩阵，且A.A中所有r阶子式都不为零B.A中至少有一个r阶子式不为零C.A中所有r+D.A中所有r阶子式都为零答案：B解析：矩阵秩的定义为最高阶非零子式的阶数，因此至少存在一个r阶非零子式，所有r+3.设向量组α1A.αB.αC.αD.α答案：C解析：选项C中(α4.设A为n阶方阵，且A2A.AB.AC.A的特征值只能为0或1D.A必可逆答案：C解析：设λ为A的特征值，由A2=A得λ2=λ，所以5.设n元齐次线性方程组Ax=0的系数矩阵AA.rB.nC.nD.n答案：C二、填空题（每题3分，共15分）1.设A=12答案：−2.设A为3阶方阵，|A|=−2，A答案：4解析：|A3.设向量α=(1,2答案：64.已知矩阵A=12答案：15.若3阶方阵A的特征值为1,−1答案：54解析：A2+2I的特征值为12+2三、计算题（每题10分，共50分）1.计算4阶行列式D答案：160解析：每行元素之和均为10，将第2,3,4列加到第D再作行变换R2−R1，D按第一列展开得D2.设矩阵A求矩阵X，使AX答案：X解析：先求A−1。由于A于是X3.求非齐次线性方程组$$\begin{cases}

x_1+x_2+x_3=1,\\

2x_1-x_2+3x_3=3,\\

x_1-2x_2+2x_3=2

\end{cases}$$的通解。答案：$$\begin{cases}

x_1=\dfrac{4}{3}(1-t),\\[6pt]

x_2=\dfrac{t-1}{3},\\[6pt]

x_3=t,

\end{cases}\quadt\in\mathbbR.$$解析：对增广矩阵作初等行变换：$$\left(\begin{array}{ccc|c}

1&1&1&1\\

2&-1&3&3\\

1&-2&2&2

\end{array}\right)

\rightarrow

\left(\begin{array}{ccc|c}

1&1&1&1\\

0&-3&1&1\\

0&0&0&0

\end{array}\right).$$因r(A)=r(A)=4.设向量组α求该向量组的秩和一个极大线性无关组，并将其余向量用极大无关组线性表示。答案：秩为3；一个极大线性无关组为α1,α解析：以α1A阶梯形矩阵有3个非零行，故秩为3。主元位于第1,3,4列，因此5.求矩阵A的特征值与特征向量，并判断A是否可对角化。若可对角化，求可逆矩阵P，使P−答案：特征值为λ1=3，λ2=1；对应特征向量可取为取P则P解析：特征多项式为det由λ=3解(A−3I)x=0，得x1=x四、证明题（每题10分，共20分）1.设A为n阶方阵，且满足A证明A可逆，并求A−答案：由A2A即A两边同乘−1A所以A可逆，且A2.设A为n阶实对称矩阵，若A的所有特征值都大于