大一线性代数期末试题及答案

大一线性代数期末试题及答案一、单项选择题（每题3分，共15分）1.设A为n阶方阵，且|A|A.2B.2C.2D.22.设向量组α1A.αB.αC.αD.α3.设A为m×n矩阵，齐次线性方程组A.RB.RC.A的行向量组线性无关D.A的列向量组线性相关4.设3阶矩阵A的特征值为1,−A.0B.1C.2D.65.下列矩阵中，不能对角化的是A.1B.1C.0D.1二、填空题（每题3分，共15分）1.计算行列式D=122.设A=123.向量组α14.设线性方程组Ax=b5.设A为3阶矩阵，R(A)三、计算题（每题10分，共50分）1.计算行列式$$D=\begin{vmatrix}

1&2&1&4\\

0&-1&2&1\\

1&0&1&3\\

2&1&3&0

\end{vmatrix}.$$答案：−解析：第一行乘−1加到第三行，第一行乘−$$D=\begin{vmatrix}

1&2&1&4\\

0&-1&2&1\\

0&-2&0&-1\\

0&-3&1&-8

\end{vmatrix}.$$按第一列展开，得$$D=\begin{vmatrix}

-1&2&1\\

-2&0&-1\\

-3&1&-8

\end{vmatrix}.$$继续计算三阶行列式：D=2.求解线性方程组$$\begin{cases}

x_1+2x_2+3x_3=4,\\

2x_1+5x_2+7x_3=1,\\

x_1+3x_2+4x_3=2.

\end{cases}$$答案：无解解析：对增广矩阵作初等行变换：$$\left(\begin{array}{ccc|c}

1&2&3&4\\

2&5&7&1\\

1&3&4&2

\end{array}\right)

\rightarrow

\left(\begin{array}{ccc|c}

1&2&3&4\\

0&1&1&-7\\

0&1&1&-2

\end{array}\right)

\rightarrow

\left(\begin{array}{ccc|c}

1&2&3&4\\

0&1&1&-7\\

0&0&0&5

\end{array}\right).$$出现矛盾方程0=3.设矩阵$A=\begin{pmatrix}1&2&3\\0&1&2\\0&0&3\end{pmatrix}$，求$A^{-1}$。$$\left(\begin{array}{ccc|ccc}

1&2&3&1&0&0\\

0&1&2&0&1&0\\

0&0&3&0&0&1

\end{array}\right)

\rightarrow

\left(\begin{array}{ccc|ccc}

1&0&0&1&-2&\frac{1}{3}\\

0&1&0&0&1&-\frac{2}{3}\\

0&0&1&0&0&\frac{1}{3}

\end{array}\right).$$故$A^{-1}=\begin{pmatrix}1&-2&\frac{1}{3}\\0&1&-\frac{2}{3}\\0&0&\frac{1}{3}\end{pmatrix}$。4.求向量组α的秩和一个极大无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示。答案：秩为3；极大无关组可取α1,α解析：将向量按列排成矩阵，作初等行变换：$$A=\begin{pmatrix}

1&0&1&2\\

0&1&1&1\\

1&1&2&3\\

1&0&1&3

\end{pmatrix}

\rightarrow

\begin{pmatrix}

1&0&1&2\\

0&1&1&1\\

0&1&1&1\\

0&0&0&1

\end{pmatrix}

\rightarrow

\begin{pmatrix}

1&0&1&2\\

0&1&1&1\\

0&0&0&1\\

0&0&0&0

\end{pmatrix}.$$非零行首元位于第1,2,4列，因此极大无关组为5.求矩阵$A=\begin{pmatrix}2&1&1\\1&2&1\\1&1&2\end{pmatrix}$的特征值与特征向量。四、证明题（每题10分，共20分）1.设向量组α1,α(由α1$$\begin{cases}

k_1+k_3=0,\\

k_1+k_2=0,\\

k_2+k_3=0.

\end{cases}$$解得k1=k解析：利用线性无关的定义，构造系数方程组并证明其仅有零解。2.设A为n阶可逆矩阵，证明A*也可逆，并求((解析：关键利用AA*=|A参考答案与解析一、单项选择题1.答案：A解析：|kA|2.答案：A解析：选项A中，(α1+3.答案：B解析：Ax=04.答案：A解析：将特征值代入多项式λ2−3λ+2，分别得5.答案：A解析：选项A的特征值为1（二重），但对应特征子空间维数为1，几何重数小于代数重数，故不可对角化；其余矩阵均可对角化。二、填空题1.答案：3解析：上三角行列式等于对角线元素乘积，即1×2.答案：−解析：由二阶矩阵逆矩阵公式，|A|=3.答案：2解析：α2=2α1，故α1,4.答案：只有零解解析：非齐次方程组有唯一解时，其导出组只有零解。5.答案：1解析：当R(A)=n−1时，R三、计算题3.答案：$A^{-1}=\begin{pmatrix}1&-2&\frac{1}{3}\\0&1&-\frac{2}{3}\\0&0&\frac{1}{3}\end{pmatrix}$解析：用初等行变换