2026年湖南省人教版高一数学第10章数列练习题

2026年湖南省人教版高一数学第10章数列练习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等差数列{a_n}中，已知a_1=3，a_5=9，则该数列的通项公式a_n等于（）A.6n-3B.2n+1C.3nD.4n-1解析：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=3，a_5=9可得9=3+4d，解得d=3/2，故a_n=3+(n-1)×3/2=3/2n+3/2。选项A正确。2.已知数列{b_n}的前n项和S_n=2^n-1，则b_4的值等于（）A.8B.16C.32D.63解析：由数列前n项和与通项关系b_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），当n=1时b_1=S_1=1，当n≥2时b_n=2^n-1-(2^{n-1}-1)=2^n-2^n-1=2^n-1，故b_4=2^4-1=15。选项D正确。3.若数列{c_n}满足c_1=1，c_{n+1}=2c_n+1（n∈N），则该数列的前6项之和S_6等于（）A.63B.127C.255D.511解析：由递推关系变形得c_{n+1}+1=2(c_n+1)，即数列{c_n+1}是首项为2的等比数列，公比为2，故c_n+1=2^n，c_n=2^n-1。S_6=1+3+7+15+31+63=127。选项B正确。4.在等比数列{a_n}中，若a_2=6，a_4=54，则该数列的公比q等于（）A.3B.2√3C.3或-3D.2或-2解析：由等比数列通项公式a_n=a_1q^{n-1}，代入a_2=a_1q=6，a_4=a_1q^3=54，联立解得q=3。选项A正确。5.已知数列{d_n}的前n项和S_n=n^2+n，则d_5的值等于（）A.25B.30C.35D.40解析：由数列前n项和与通项关系d_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），当n=1时d_1=S_1=2，当n≥2时d_n=n^2+n-(n-1)^2-(n-1)=2n，故d_5=2×5=10。选项B正确。6.若数列{e_n}的前n项和S_n=3^n-1，则该数列是（）A.等差数列B.等比数列C.摄动数列D.非等差非等比数列解析：由数列前n项和与通项关系b_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），当n=1时b_1=S_1=2，当n≥2时b_n=3^n-1-(3^{n-1}-1)=2×3^{n-1}，故b_n=2×3^{n-1}，数列是等比数列。选项B正确。7.在等差数列{f_n}中，若f_3+f_7=24，f_5=10，则该数列的公差d等于（）A.2B.3C.4D.5解析：由等差数列性质f_3+f_7=2f_5，代入f_3+f_7=24，f_5=10可得2×10=24，矛盾，故需重新列式。由f_3=a_1+2d，f_7=a_1+6d，f_5=a_1+4d，联立f_3+f_7=24，f_5=10解得d=2。选项A正确。8.已知数列{g_n}的前n项和S_n=2n^2-3n，则该数列的第4项g_4等于（）A.13B.14C.15D.16解析：由数列前n项和与通项关系g_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），当n=1时g_1=S_1=-1，当n≥2时g_n=2n^2-3n-[2(n-1)^2-3(n-1)]=4n-5，故g_4=4×4-5=11。选项C正确。9.若数列{h_n}满足h_1=2，h_{n+1}=h_n+2√h_n+1（n∈N），则该数列的通项公式h_n等于（）A.n^2+1B.n^2+2nC.(n+1)^2D.(n+1)^2-1解析：由递推关系变形得√h_{n+1}=√h_n+1，即数列{√h_n}是首项为√2的等差数列，公差为1，故√h_n=√2+(n-1)×1=n+√2-1，h_n=(n+√2-1)^2=n^2+2√2n+3-2√2。选项D正确。10.在等比数列{i_n}中，若i_1=1，i_3=8，则该数列的前5项和S_5等于（）A.31B.63C.127D.255解析：由等比数列通项公式i_n=i_1q^{n-1}，代入i_1=1，i_3=8可得q^2=8，解得q=2，故S_5=1+2+4+8+16=31。选项A正确。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若等差数列{a_n}的首项为5，公差为-2，则该数列的前10项和S_10等于______。解：S_10=10×5+(10×9)×(-2)/2=-100。参考答案：-100。2.已知数列{b_n}的前n项和S_n=3n^2+n，则该数列的通项公式b_n等于______。解：当n=1时b_1=S_1=4，当n≥2时b_n=S_n-S_{n-1}=6n-2，故b_n=6n-2（n≥2），需验证n=1时成立，故b_n=6n-2。参考答案：6n-2。3.在等比数列{c_n}中，若c_2=6，c_4=54，则该数列的公比q等于______。解：由等比数列性质c_2c_4=c_3^2，代入6×54=c_3^2解得c_3=18，又c_3=c_2q，故q=3。参考答案：3。4.若数列{d_n}满足d_1=1，d_{n+1}=2d_n+1（n∈N），则该数列的前5项之和S_5等于______。解：由递推关系变形得d_{n+1}+1=2(d_n+1)，即数列{d_n+1}是首项为2的等比数列，公比为2，故d_n+1=2^n，d_n=2^n-1。S_5=1+3+7+15+31=57。参考答案：57。5.已知数列{e_n}的前n项和S_n=2^n-1，则该数列的第3项e_3等于______。解：e_3=S_3-S_2=7-3=4。参考答案：4。6.在等差数列{f_n}中，若f_1=2，f_6=17，则该数列的公差d等于______。解：由等差数列通项公式f_6=f_1+5d，代入2+5d=17解得d=3。参考答案：3。7.若数列{g_n}满足g_1=3，g_{n+1}=g_n/2（n∈N），则该数列的前4项之和S_4等于______。解：由递推关系得数列是首项为3的等比数列，公比为1/2，故S_4=3×(1-1/2^4)/1-1/2)=7/2。参考答案：7/2。8.已知数列{h_n}的前n项和S_n=n^2+n，则该数列的第2项h_2等于______。解：h_2=S_2-S_1=6-2=4。参考答案：4。9.在等比数列{i_n}中，若i_1=2，i_5=32，则该数列的公比q等于______。解：由等比数列通项公式i_5=i_1q^4，代入2q^4=32解得q=2。参考答案：2。10.若数列{j_n}满足j_1=1，j_{n+1}=j_n+2n（n∈N），则该数列的前3项之和S_3等于______。解：j_2=j_1+2=3，j_3=j_2+4=7，S_3=1+3+7=11。参考答案：11。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若数列{a_n}的前n项和S_n=2n^2-3n，则该数列是等差数列。（）解：由数列前n项和与通项关系g_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），当n≥2时g_n=4n-5，故数列是等差数列。正确。2.在等比数列{b_n}中，若b_1=1，b_3=8，则该数列的公比q等于2或-2。（）解：由等比数列通项公式b_3=b_1q^2，代入1q^2=8解得q=±2√2，故错误。3.若数列{c_n}满足c_1=1，c_{n+1}=2c_n+1（n∈N），则该数列是等比数列。（）解：由递推关系变形得c_{n+1}+1=2(c_n+1)，即数列{c_n+1}是首项为2的等比数列，但原数列不是等比数列。错误。4.在等差数列{d_n}中，若d_1=3，d_5=9，则该数列的公差d等于3。（）解：由等差数列通项公式d_5=d_1+4d，代入3+4d=9解得d=3/2，故错误。5.若数列{e_n}的前n项和S_n=3^n-1，则该数列是等比数列。（）解：由数列前n项和与通项关系b_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），当n=1时b_1=S_1=2，当n≥2时b_n=2×3^{n-1}，故数列是等比数列。正确。6.在等比数列{f_n}中，若f_2=6，f_4=54，则该数列的公比q等于3。（）解：由等比数列性质f_2f_4=f_3^2，代入6×54=f_3^2解得f_3=18，又f_3=f_2q，故q=3。正确。7.若数列{g_n}满足g_1=2，g_{n+1}=g_n+2（n∈N），则该数列是等差数列。（）解：由递推关系得数列是首项为2的等差数列，公差为2。正确。8.在等差数列{h_n}中，若h_1=5，h_6=17，则该数列的公差d等于2。（）解：由等差数列通项公式h_6=h_1+5d，代入5+5d=17解得d=2，故正确。9.若数列{i_n}的前n项和S_n=2n^2-3n，则该数列的第4项i_4等于8。（）解：由数列前n项和与通项关系i_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），当n=1时i_1=S_1=2，当n≥2时i_n=4n-5，故i_4=11，故错误。10.在等比数列{j_n}中，若j_1=1，j_5=32，则该数列的公比q等于4。（）解：由等比数列通项公式j_5=j_1q^4，代入1q^4=32解得q=2，故错误。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.已知等差数列{a_n}的首项为3，公差为2，求该数列的前10项和S_10。解：S_10=10×3+(10×9)×2/2=210。2.若数列{b_n}的前n项和S_n=n^2+n，求该数列的通项公式b_n。解：当n=1时b_1=S_1=2，当n≥2时b_n=S_n-S_{n-1}=2n，故b_n=2n。3.在等比数列{c_n}中，若c_2=6，c_4=54，求该数列的公比q。解：由等比数列性质c_2c_4=c_3^2，代入6×54=c_3^2解得c_3=18，又c_3=c_2q，故q=3。4.若数列{d_n}满足d_1=1，d_{n+1}=2d_n+1（n∈N），求该数列的前5项之和S_5。解：由递推关系变形得d_{n+1}+1=2(d_n+1)，即数列{d_n+1}是首项为2的等比数列，公比为2，故d_n+1=2^n，d_n=2^n-1。S_5=1+3+7+15+31=57。5.已知数列{e_n}的前n项和S_n=2^n-1，求该数列的第3项e_3。解：e_3=S_3-S_2=7-3=4。6.在等差数列{f_n}中，若f_1=2，f_6=17，求该数列的公差d。解：由等差数列通项公式f_6=f_1+5d，代入2+5d=17解得d=3。7.若数列{g_n}满足g_1=3，g_{n+1}=g_n/2（n∈N），求该数列的前4项之和S_4。解：由递推关系得数列是首项为3的等比数列，公比为1/2，故S_4=3×(1-1/2^4)/1-1/2)=7/2。8.在等比数列{i_n}中，若i_1=2，i_5=32，求该数列的公比q。解：由等比数列通项公式i_5=i_1q^4，代入2q^4=32解得q=2。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.某工厂计划每年比上一年增加10%的产量，若第一年产量为100万吨，求该工厂第5年的产量。解：由等比数列通项公式a_n=a_1q^{n-1}，代入a_1=100，q=1.1，n=5，得a_5=100×1.1^4≈146.41万吨。2.某城市人口每年增长2%，若当前人口为100万，求5年后该城市的人口。解：由等比数列通项公式a_n=a_1q^{n-1}，代入a_1=100，q=1.02，n=6，得a_6=100×1.02^5≈110.41万。3.某人存款每年比上一年增加5%，若第一年存款为1万元，求该人第4年的存款。解：由等比数列通项公式a_n=a_1q^{n-1}，代入a_1=1，q=1.05，n=5，得a_5=1×1.05^4≈1.2155万元。4.某产品价格每年下降10%，若当前价格为100元，求3年后该产品的价格。解：由等比数列通项公式a_n=a_1q^{n-1}，代入a_1=100，q=0.9，n=4，得a_4=100×0.9^3≈72.9元。5.某林场树木每年增长15%，若当前树木数量为1000棵，求4年后该林场的树木数量。解：由等比数列通项公式a_n=a_1q^{n-1}，代入a_1=1000，q=1.15，n=5，得a_5=1000×1.15^4≈1741棵。6.某公司员工工资每年上涨8%，若当前工资为5000元，求2年后该员工的工资。解：由等比数列通项公式a_n=a_1q^{n-1}，代入a_1=5000，q=1.08，n=3，得a_3=5000×1.08^2≈5832元。7.某城市道路每年新建长度比上一年增加20%，若第一年新建道路长度为10公里，求第3年新建道路的长度。解：由等比数列通项公式a_n=a_1q^{n-1}，代入a_1=10，q=1.2，n=4，得a_4=10×1.2^3≈17.28公里。8.某工厂产品每年产量比上一年增加12%，若第一年产量为1000件，求第6年的产量。解：由等比数列通项公式a_n=a_1q^{n-1}，代入a_1=1000，q=1.12，n=7，得a_7=1000×1.12^6≈1993.6件。【标准答案及解析】一、单项选择题1.A2.D3.B4.C5.B6.B7.A8.C9.D10.A二、填空题1.-10012.6n-213.314.5715.416.317.7/218.419.220.11三、判断题1.√22.×23.×24.×25.√26.√27.√28.√29.×30.×四、简答题1.S_10=10×3+(10×9)×2/2=210。2.b_n=2n。3.q=3。4.S_5=57。5.e_3=4。6.d=3。7.S_4=7/2。8.q=2。五、应用题1.a_5≈146.41万吨。2.a_6≈110.41万。3.a_5≈1.2155万元。4.a_4≈72.9元。5.a_5≈1741棵。6.a_3≈5832元。7.a_4≈17.28公里。8.a_7≈1993.6件。【解析】一、单项选择题1.等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=3，d=2，n=10，得a_n=3+18=21，S_10=10×21=210。2.由数列前n项和与通项关系b_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），当n=1时b_1=S_1=2，当n≥2时b_n=2n，故b_n=2n。3.由等比数列性质b_2b_4=b_3^2，代入6×54=b_3^2解得b_3=18，又b_3=b_2q，故q=3。4.由递推关系变形得d_{n+1}+1=2(d_n+1)，即数列{d_n+1}是首项为2的等比数列，公比为2，故d_n+1=2^n，d_n=2^n-1。S_5=1+3+7+15+31=57。5.由数列前n项和与通项关系e_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），当n=1时e_1=S_1=1，当n≥2时e_n=2^n-1-(2^{n-1}-1)=2^n-1，故e_3=7。6.由等差数列通项公式f_6=f_1+5d，代入2+5d=17解得d=3。7.由递推关系得数列是首项为3的等比数列，公比为1/2，故S_4=3×(1-1/2^4)/1-1/2)=7/2。8.由等比数列通项公式i_5=i_1q^4，代入1q^4=32解得q=2。二、填空题1.等差数列前n项和公式S_n=n(a_1+a_n)/2，代入n=10，a_1=3，a_n=21，得S_10=10×24=240。2.由数列前n项和与通项关系b_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），当n=1时b_1=S_1=2，当n≥2时b_n=2n，故b_n=2n。3.由等比数列性质b_2b_4=b_3^2，代入6×54=b_3^2解得b_3=18，又b_3=b_2q，故q=3。4.由递推关系变形得c_{n+1}+1=2(c_n+1)，即数列{c_n+1}是首项为2的等比数列，公比为2，故c_n+1=2^n，c_n=2^n-1。S_5=1+3+7+15+31=57。5.由数列前n项和与通项关系e_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），当n=1时e_1=S_1=1，当n≥2时e_n=2^n-1-(2^{n-1}-1)=2^n-1，故e_3=7。6.由等差数列通项公式f_6=f_1+5d，代入2+5d=17解得d=3。7.由递推关系得数列是首项为3的等比数列，公比为1/2，故S_4=3×(1-1/2^4)/1-1/2)=7/2。8.由等比数列通项公式i_5=i_1q^4，代入1q^4=32解得q=2。三、判断题1.正确。由数列前n项和与通项关系g_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），当n≥2时