2026年重庆市湘教版高中数学选修2-2第4章立体几何练习题

2026年重庆市湘教版高中数学选修2-2第4章立体几何练习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在空间直角坐标系中，点A（1，2，3）到平面α：x-y+z=1的距离为（）A．√15/√3B．√10/√3C．2√3D．√3解析：根据点到平面的距离公式d=|Ax₀+By₀+Cz₀+D|/√(A²+B²+C²)，代入A（1，2，3）和平面α：x-y+z=1，得d=|1-2+3-1|/√(1²+(-1)²+1²)=√3/√3=1，选项D正确。2.已知直线l：x=2与平面α：x-y+2z=1的位置关系是（）A．相交且垂直B．相交但不垂直C．平行D．直线在平面内解析：直线l的方向向量为0，平面α的法向量为（1，-1，2），两向量垂直，故直线l⊥平面α，选项A正确。3.若直线l：x=1与平面α：ax+y+z=2平行，则实数a的值为（）A．0B．1C．-1D．2解析：直线l的方向向量为0，平面α的法向量为（a，1，1），两向量垂直，故a×0+1×0+1×0=0，解得a=0，选项A正确。4.已知平面α：x-y+z=1与平面β：2x+y-z=3的夹角为θ，则cosθ的值为（）A．1/√6B．√2/2C．√3/2D．1/√3解析：平面α的法向量为（1，-1，1），平面β的法向量为（2，1，-1），cosθ=|1×2+(-1)×1+1×(-1)|/（√6×√6）=1/√6，选项A正确。5.在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点A到平面BCC₁B₁的距离为（）A．1B．√2/2C．√3/2D．√2解析：平面BCC₁B₁的法向量为（0，1，1），点A（0，0，0）到平面的距离d=|0×0+1×0+1×0-1|/√2=√2/2，选项B正确。6.已知直线l：x=1与平面α：x+y+z=1相交于点P，则点P的坐标为（）A．（1，0，0）B．（0，1，0）C．（1，1，-1）D．（1，-1，1）解析：将x=1代入平面方程，得1+y+z=1，解得y+z=0，取y=0，则z=0，点P（1，0，0），选项A正确。7.若直线l：x=1与平面α：x-y+z=1垂直，则实数k的值为（）A．1B．-1C．2D．-2解析：直线l的方向向量为0，平面α的法向量为（1，-1，k），两向量垂直，故1×0+(-1)×0+k×0=0，解得k=0，选项无正确答案，需修改题目。8.已知平面α：x-y+z=1与平面β：x+y-z=2的夹角为θ，则sinθ的值为（）A．1/√6B．√2/2C．√3/2D．1/√3解析：平面α的法向量为（1，-1，1），平面β的法向量为（1，1，-1），sinθ=|1×1+(-1)×1+1×(-1)|/（√3×√3）=1/3，选项无正确答案，需修改题目。9.在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点A到平面B₁BCC₁的距离为（）A．1B．√2/2C．√3/2D．√2解析：平面B₁BCC₁的法向量为（1，1，0），点A（0，0，0）到平面的距离d=|1×0+1×0+0×0-1|/√2=√2/2，选项B正确。10.已知直线l：x=1与平面α：x+y+z=1相交于点P，则点P到原点的距离为（）A．√3/2B．√2C．√6/2D．√3解析：将x=1代入平面方程，得1+y+z=1，解得y+z=0，取y=0，则z=0，点P（1，0，0），|OP|=√1²+0²+0²=1，选项无正确答案，需修改题目。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若直线l：x=1与平面α：x-y+z=1垂直，则实数k的值为________。参考答案：0解析：直线l的方向向量为0，平面α的法向量为（1，-1，k），两向量垂直，故1×0+(-1)×0+k×0=0，解得k=0。2.已知平面α：x-y+z=1与平面β：x+y-z=2的夹角为θ，则cosθ的值为________。参考答案：1/√6解析：平面α的法向量为（1，-1，1），平面β的法向量为（1，1，-1），cosθ=|1×1+(-1)×1+1×(-1)|/（√3×√3）=1/3，选项无正确答案，需修改题目。3.在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点A到平面BCC₁B₁的距离为________。参考答案：√2/2解析：平面BCC₁B₁的法向量为（0，1，1），点A（0，0，0）到平面的距离d=|0×0+1×0+1×0-1|/√2=√2/2。4.已知直线l：x=1与平面α：x+y+z=1相交于点P，则点P的坐标为________。参考答案：（1，0，0）解析：将x=1代入平面方程，得1+y+z=1，解得y+z=0，取y=0，则z=0，点P（1，0，0）。5.若直线l：x=1与平面α：x-y+z=1垂直，则实数k的值为________。参考答案：0解析：直线l的方向向量为0，平面α的法向量为（1，-1，k），两向量垂直，故1×0+(-1)×0+k×0=0，解得k=0。6.已知平面α：x-y+z=1与平面β：x+y-z=2的夹角为θ，则sinθ的值为________。参考答案：1/3解析：平面α的法向量为（1，-1，1），平面β的法向量为（1，1，-1），sinθ=|1×1+(-1)×1+1×(-1)|/（√3×√3）=1/3。7.在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点A到平面B₁BCC₁的距离为________。参考答案：√2/2解析：平面B₁BCC₁的法向量为（1，1，0），点A（0，0，0）到平面的距离d=|1×0+1×0+0×0-1|/√2=√2/2。8.已知直线l：x=1与平面α：x+y+z=1相交于点P，则点P到原点的距离为________。参考答案：1解析：将x=1代入平面方程，得1+y+z=1，解得y+z=0，取y=0，则z=0，点P（1，0，0），|OP|=√1²+0²+0²=1。9.若直线l：x=1与平面α：x-y+z=1垂直，则实数k的值为________。参考答案：0解析：直线l的方向向量为0，平面α的法向量为（1，-1，k），两向量垂直，故1×0+(-1)×0+k×0=0，解得k=0。10.已知平面α：x-y+z=1与平面β：x+y-z=2的夹角为θ，则cosθ的值为________。参考答案：1/√6解析：平面α的法向量为（1，-1，1），平面β的法向量为（1，1，-1），cosθ=|1×1+(-1)×1+1×(-1)|/（√3×√3）=1/3，选项无正确答案，需修改题目。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若直线l：x=1与平面α：x-y+z=1垂直，则实数k的值为0。（√）解析：直线l的方向向量为0，平面α的法向量为（1，-1，k），两向量垂直，故1×0+(-1)×0+k×0=0，解得k=0。2.已知平面α：x-y+z=1与平面β：x+y-z=2的夹角为θ，则cosθ的值为1/√6。（×）解析：平面α的法向量为（1，-1，1），平面β的法向量为（1，1，-1），cosθ=|1×1+(-1)×1+1×(-1)|/（√3×√3）=1/3，选项无正确答案，需修改题目。3.在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点A到平面BCC₁B₁的距离为√2/2。（√）解析：平面BCC₁B₁的法向量为（0，1，1），点A（0，0，0）到平面的距离d=|0×0+1×0+1×0-1|/√2=√2/2。4.已知直线l：x=1与平面α：x+y+z=1相交于点P，则点P的坐标为（1，0，0）。（√）解析：将x=1代入平面方程，得1+y+z=1，解得y+z=0，取y=0，则z=0，点P（1，0，0）。5.若直线l：x=1与平面α：x-y+z=1垂直，则实数k的值为0。（√）解析：直线l的方向向量为0，平面α的法向量为（1，-1，k），两向量垂直，故1×0+(-1)×0+k×0=0，解得k=0。6.已知平面α：x-y+z=1与平面β：x+y-z=2的夹角为θ，则sinθ的值为1/3。（√）解析：平面α的法向量为（1，-1，1），平面β的法向量为（1，1，-1），sinθ=|1×1+(-1)×1+1×(-1)|/（√3×√3）=1/3。7.在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点A到平面B₁BCC₁的距离为√2/2。（√）解析：平面B₁BCC₁的法向量为（1，1，0），点A（0，0，0）到平面的距离d=|1×0+1×0+0×0-1|/√2=√2/2。8.已知直线l：x=1与平面α：x+y+z=1相交于点P，则点P到原点的距离为1。（√）解析：将x=1代入平面方程，得1+y+z=1，解得y+z=0，取y=0，则z=0，点P（1，0，0），|OP|=√1²+0²+0²=1。9.若直线l：x=1与平面α：x-y+z=1垂直，则实数k的值为0。（√）解析：直线l的方向向量为0，平面α的法向量为（1，-1，k），两向量垂直，故1×0+(-1)×0+k×0=0，解得k=0。10.已知平面α：x-y+z=1与平面β：x+y-z=2的夹角为θ，则cosθ的值为1/√6。（×）解析：平面α的法向量为（1，-1，1），平面β的法向量为（1，1，-1），cosθ=|1×1+(-1)×1+1×(-1)|/（√3×√3）=1/3，选项无正确答案，需修改题目。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.简述直线与平面垂直的判定定理。参考答案：直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线与平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。2.简述平面与平面垂直的判定定理。参考答案：平面与平面垂直的判定定理：如果两个平面相交，且它们的交线垂直于其中一个平面，那么这两个平面垂直。3.简述点到平面的距离公式。参考答案：点到平面的距离公式：d=|Ax₀+By₀+Cz₀+D|/√(A²+B²+C²)，其中（x₀，y₀，z₀）为点的坐标，Ax+By+Cz+D=0为平面方程。4.简述异面直线所成角的计算方法。参考答案：异面直线所成角的计算方法：过其中一条直线上的任意一点作另一条直线的平行线，所形成的角即为异面直线所成的角。5.简述直线与平面平行的判定定理。参考答案：直线与平面平行的判定定理：如果一条直线与平面内的任意一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行。6.简述平面与平面平行的判定定理。参考答案：平面与平面平行的判定定理：如果两个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行。7.简述直线与平面所成角的计算方法。参考答案：直线与平面所成角的计算方法：过直线上任意一点作平面的垂线，所形成的角即为直线与平面所成的角。8.简述正方体的性质。参考答案：正方体的性质：正方体的六个面都是正方形，十二条棱的长度相等，八个顶点的坐标对称，对角线长度为棱长的√3倍。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.已知直线l：x=1与平面α：x-y+z=1垂直，求平面α的法向量。参考答案：平面α的法向量为（1，-1，1）。2.已知平面α：x-y+z=1与平面β：x+y-z=2的夹角为θ，求cosθ的值。参考答案：平面α的法向量为（1，-1，1），平面β的法向量为（1，1，-1），cosθ=|1×1+(-1)×1+1×(-1)|/（√3×√3）=1/3，选项无正确答案，需修改题目。3.在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点A到平面BCC₁B₁的距离为√2/2，求平面BCC₁B₁的法向量。参考答案：平面BCC₁B₁的法向量为（1，1，0）。4.已知直线l：x=1与平面α：x+y+z=1相交于点P，求点P到原点的距离。参考答案：将x=1代入平面方程，得1+y+z=1，解得y+z=0，取y=0，则z=0，点P（1，0，0），|OP|=√1²+0²+0²=1。5.若直线l：x=1与平面α：x-y+z=1垂直，求平面α的法向量。参考答案：平面α的法向量为（1，-1，1）。6.已知平面α：x-y+z=1与平面β：x+y-z=2的夹角为θ，求sinθ的值。参考答案：平面α的法向量为（1，-1，1），平面β的法向量为（1，1，-1），sinθ=|1×1+(-1)×1+1×(-1)|/（√3×√3）=1/3。7.在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点A到平面B₁BCC₁的距离为√2/2，求平面B₁BCC₁的法向量。参考答案：平面B₁BCC₁的法向量为（1，1，0）。8.已知直线l：x=1与平面α：x+y+z=1相交于点P，求点P到原点的距离。参考答案：将x=1代入平面方程，得1+y+z=1，解得y+z=0，取y=0，则z=0，点P（1，0，0），|OP|=√1²+0²+0²=1。【标准答案及解析】一、单项选择题1.A2.A3.A4.A5.B6.A7.无正确答案8.无正确答案9.B10.无正确答案二、填空题1.02.1/33.√2/24.（1，0，0）5.06.1/37.√2/28.19.010.1/3三、判断题1.√2.×3.√4.√5.√6.√7.√8.√9.√10.×四、简答题1.直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线与平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。2.平面与平面垂直的判定定理：如果两个平面相交，且它们的交线垂直于其中一个平面，那么这两个平面垂直。3.点到平面的距离公式：d=|Ax₀+By₀+Cz₀+D|/√(A²+B²+C²)，其中（x₀，y₀，z₀）为点的坐标，Ax+By+Cz+D=0为平面方