2026 年人教版高三数学第四单元测试卷

2026年人教版高三数学第四单元测试卷班级：____姓名：____得分：____【一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）】1.曲线\(y=\lnx\)在\(x=1\)处的切线斜率为（）A.1B.-1C.0D.22.函数\(f(x)=x^3+2x\)的导数\(f'(x)\)为（）A.\(3x^2+2\)B.\(3x^2\)C.\(x^2+2\)D.\(3x^2+2x\)3.函数\(f(x)=e^x-x\)的单调递增区间是（）A.\((-\infty,0)\)B.\((0,+\infty)\)C.\((-\infty,1)\)D.\((1,+\infty)\)4.函数\(f(x)=x^3-3x\)的极小值点为（）A.\(x=-1\)B.\(x=0\)C.\(x=1\)D.\(x=\pm1\)5.用长为6米的铁丝围成一个矩形框架，当面积最大时，矩形的一边长为（）A.1米B.1.5米C.2米D.3米6.已知函数\(f(x)\)的导函数\(f'(x)\)的图像如图所示（略），则\(f(x)\)的极大值点个数为（）A.1B.2C.3D.47.函数\(f(x)=x^2-2x\)在区间\([0,3]\)上的最大值为（）A.-1B.0C.3D.58.函数\(f(x)=\lnx-x+2\)的零点个数为（）A.0B.1C.2D.3【二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分）】9.下列关于导数的说法正确的是（）A.可导函数在极值点处的导数一定为0B.函数导数大于0，函数在该区间单调递增C.函数单调递增，其导数一定恒大于0D.导数不存在的点也可能是函数的极值点10.过原点作曲线\(y=e^x\)的切线，下列说法正确的是（）A.切线斜率为\(e\)B.切线方程为\(y=ex\)C.切线过点\((1,e)\)D.曲线仅存在1条过原点的切线11.已知函数\(f(x)=x^3+ax^2+bx\)，且\(f'(1)=0\)，\(f'(2)=0\)，则（）A.\(a=-\frac{9}{2}\)B.\(b=6\)C.\(x=1\)是极大值点D.\(x=2\)是极小值点12.某长方体无盖容器的容积为定值，若要使容器的表面积最小，则（）A.当底面为正方形时表面积最小B.当高为底面边长的一半时表面积最小C.当底面为长方形且长是宽的2倍时表面积最小D.表面积最小值与容积无关【三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）】13.函数\(f(x)=\sinx+\cosx\)，则\(f'(\frac{\pi}{4})=\)______14.函数\(f(x)=x-\lnx\)在区间\([1,e]\)上的最小值为______15.曲线\(y=x^3-3x^2+1\)在点\((1,-1)\)处的切线方程为______【四、解答题（本大题共2小题，共25分）】16.（本小题满分12分）已知函数\(f(x)=x^3-3x^2+2\)，求：（1）函数\(f(x)\)的单调区间；（2）函数\(f(x)\)在区间\([-1,3]\)上的最大值与最小值。______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________17.（本小题满分13分）某工厂要建造一个长方体无盖蓄水池，容积为\(4800\\text{m}^3\)，深为3m，池底每\(1\\text{m}^2\)的造价为150元，池壁每\(1\\text{m}^2\)的造价为120元。问如何设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少元？______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________【附加提优题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）】18.设函数\(f(x)=e^x-ax-1\)（\(a>0\)），若对于所有\(x\geq0\)，\(f(x)\geq0\)恒成立，求实数\(a\)的取值范围。__________________________________________________________________________________________________________________________________________19.已知\(f(x)=x\lnx\)，\(g(x)=-x^2+mx-2\)，若函数\(y=f(x)-g(x)\)有两个不同的零点，求实数\(m\)的取值范围。__________________________________________________________________________________________________________________________________________【参考答案+详细解析】20.答案：A解析：\(y'=\frac{1}{x}\)，\(x=1\)时斜率为1，选A。21.答案：A解析：\(f'(x)=3x^2+2\)，选A。22.答案：B解析：\(f'(x)=e^x-1\)，令\(f'(x)>0\)得\(x>0\)，选B。23.答案：C解析：\(f'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)\)，极小值点为\(x=1\)，选C。24.答案：B解析：设矩形一边长为\(x\)，面积\(S=x(3-x)\)，最大值在\(x=1.5\)时取，选B。25.答案：B解析：导函数变号的零点对应极值点，正变负为极大值，共2个极大值点，选B。26.答案：D解析：\(f'(x)=2x-2\)，极值点\(x=1\)，\(f(0)=0\)，\(f(1)=-1\)，\(f(3)=5\)，最大值5，选D。27.答案：C解析：\(f'(x)=\frac{1}{x}-1\)，极大值\(f(1)=1>0\)，\(f(e)=3-e≈0.28>0\)，\(f(\frac{1}{e})=\frac{1}{e}-1<0\)，故有2个零点，选C。28.答案：ABD解析：单调递增函数导数可恒大于等于0，如\(y=x^3\)，C错误，选ABD。29.答案：ABC解析：设切线过原点\((x_0,e^{x_0})\)，斜率\(e^{x_0}=\frac{e^{x_0}}{x_0}\)得\(x_0=1\)，切线\(y=ex\)，过(1,e)，仅1条切线，D错误，选ABC。30.答案：AB解析：\(f'(x)=3x^2+2ax+b\)，代入\(f'(1)=0\)、\(f'(2)=0\)得\(a=-\frac{9}{2}\)，\(b=6\)，选AB。31.答案：AB解析：设底面边长\(a,b\)，高\(h\)，\(abh=V\)，表面积\(S=ab+2h(a+b)\)，均值不等式得\(a=b\)时最小，此时高为底面边长一半，选AB。32.答案：0解析：\(f'(x)=\cosx-\sinx\)，\(f'(\frac{\pi}{4})=\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}=0\)。33.答案：1解析：\(f'(x)=1-\frac{1}{x}\)，极值点\(x=1\)，\(f(1)=1-0=1\)，\(f(e)=e-1>1\)，故最小值1。34.答案：\(y=-3x+2\)解析：\(y'=3x^2-6x\)，斜率\(k=3-6=-3\)，切线方程\(y+1=-3(x-1)\)，即\(y=-3x+2\)。35.解：（1）\(f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)\)，令\(f'(x)=0\)得\(x=0\)或\(x=2\)。当\(x<0\)或\(x>2\)时，\(f'(x)>0\)；当\(0<x<2\)时，\(f'(x)<0\)。故单调递增区间为\((-\infty,0)\)和\((2,+\infty)\)，单调递减区间为\((0,2)\)。（6分）（2）计算区间端点及极值点函数值：\(f(-1)=-1-3+2=-2\)，\(f(0)=2\)，\(f(2)=8-12+2=-2\)，\(f(3)=27-27+2=2\)。故最大值为2，最小值为-2。（6分）36.解：设水池底面一边长为\(x\\text{m}\)，则另一边长为\(\frac{4800}{3x}=\frac{1600}{x}\\text{m}\)，总造价为\(y\)元。池底面积为\(x\cdot\frac{1600}{x}=1600\\text{m}^2\)，池壁面积为\(2\times3x+2\times3\times\frac{1600}{x}=6(x+\frac{1600}{x})\\text{m}^2\)。总造价\(y=150\times1600+120\times6(x+\frac{1600}{x})=240000+720(x+\frac{1600}{x})\)。求导得\(y'=720(1-\frac{1600}{x^2})\)，令\(y'=0\)得\(x=40\)（\(x=-40\)舍去）。当\(0<x<40\)时，\(y'<0\)；当\(x>40\)时，\(y'>0\)。故\(x=40\)时\(y\)最小，最小造价为\(240000+720\times(40+\frac{1600}{40})=240000+57600=297600\)元。此时底面为边长40m的正方形，高3m，总造价最低为297600元。（13分）37.解：\(f'(x)=e^x-a\)，令\(f'(x)=0\)得\(x=\lna\)。当\(0<a\leq1\)时，\(\lna\leq0\)，\(f(x)\)在\([0,+\infty)\)单调递增，\(f(x)\geqf(0)=0\)，符合条件；当\(a>1\)时，\(\lna>0\)，\(f(x)\)在\([0,\lna)\)单调递减，在\((\lna,+\infty)\)单调递增，最小值为\(f(\lna)=a-a\lna-1\)，令\(a-a\lna-1\geq0\)，设\(g(a)=a-a\lna-1\)，\(g'(a)=-\lna\)，当\(a>1\)时\(g'(a)<0\)，\(g(a)<g(1)=0\)，不符合。故\(a\in(0,1]\)。（5分）38.解：\(y=x\lnx+x^2-mx+2\)，令\(y=0\)得\(m=\lnx+x+\frac{2}{x}\)，令\(h(x)=\lnx+x+\frac{2}{x}\)（\(x>0\)），求导\(h'(