2026-2027学年高二数学上学期第一次月考数学试卷03

2026-2027（全国通用（考试时间：120分 试卷满分：150分A版选择性必修一第一章~第一部分（选择题共58分8540分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要已知直线l12xy10与l2x2ky20垂直，则实数k的值为（．

D．→→→ →

→ → B．b,ab,a→ →

→ → D．a＋b,ab,aA12Bm6两点的直线的方向向量为14，则实数m（ B．

已知向量a113b142c15x，若abc共面，则（存在无数个实数x符合题 B．存在唯一的正整数x符合题C．不存在正整数x符合题 D．不存在任何实数x符合题已知O为坐标原点，过点2,7的直线l分别与x,y轴的正半轴交于M,N两点，则当△MON的面积取得最小值时，直线l的纵截距为（ 1yxb1

有两个不同的交点，则b的取值范围是 A．

2,

B．

2,

D．1,2ABCD−ABCD的所有棱长均为2，cosBADcosBAAcosDAA1111线AC1与BC夹角的余弦值为

4

→

设向量abca

1，ab

，且ac与bc

abc的最大值为（ 3618分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部60分．已知圆Cx12y21，圆

x12y21，圆

:x2y

321C2、C3PQ，直线l与圆C1、C2、C3均有两个交点，则（圆C1的半径为 PQ

直线ly

ADcMNPAA1BCC1D1的中点，则下列表示正确的是（ 1 1APac2 B．A1Nab2 1

1 1 NC12c

MPab 正确的是（）DP2APBCCB 1 当λ1μ1P作正方体外接球的截面，截面面积的最小值为 第二部分（非选择题共92分3515圆C：x2y24x2y0关于直线yx对称的圆C的方程 如图所示，二面角αlβ为60AB是棱lACBD分别在半平面αβAClBDl，AB2，AC3，BD4，则CD的 ABCDVMBCEDMD的三等分点，FAEAF的平面αAB，AC，ADP，Q，R，设四面V体APQR的体积为V'，则V的最小值 577分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15（13分）xOyA33B5,1P2,1，点M是直线OP PAPBAPBQ是平行四边形，求点Q求MAMB16（15已知圆Cx2y1)25，直线lmxy2m0AB若直线lDDABAB长度的最小值及相应的m17（15已知直线l1mxy0l2xmym20求证：对mRl1与l2P的最大值及对应的m．18（17PABCPAABCPABPBCABAP1AC

DEPD的三等分点（P点ABACAPAEAEPABFABEFACAP分别交于点GHAFGH体积的最小19（17

，EBDAE平分BAD，将BD翻折至VBDPPBDBDCPE平面α，若CDα，求点C到平面αBPEC2026-2027（全国通用（考试时间：120分钟，分值：150分A版选择性必修第一册第一章~第一部分（选择题共58分8540分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要已知直线l12xy10与l2x2ky20垂直，则实数k的值为（A．．【答案】

B．D．l12xy10与l2x2ky20垂直，可得：211(2k)AB，只需1aa2

，解得k1→→→ →

→ → A．a,ab,a B．b,ab,a→ →

→ → D．a＋b,ab,a【答案】 ∵∴A∴A，B，D不正确，C正确A12Bm6两点的直线的方向向量为14，则实数m（A． B．C． D．【答案】ABm1,8与向量14共线，因此4m118，所以m3. 已知向量a113b142c15x，若abc共面，则（存在无数个实数x符合题 B．存在唯一的正整数x符合题C．不存在正整数x符合题 D．不存在任何实数x符合题【答案】

xx符合题意已知O为坐标原点，过点2,7的直线l分别与x,y轴的正半轴交于M,N两点，则当△MON的面积取得最小值时，直线l的纵截距为（ 5【解析】设直线l:xy1271，再应用基本不等式求得ab56 确定等号成立条件即可得【解析】设直线lxy1，其中a0b0 因为直线l过点27271 27a而27127a

，解得ab562 当且仅当

，即a4b14故S1ab28，此时直线l1yxb1

有两个不同的交点，则b的取值范围是 A．

2,

2,1,2

1,2【答案】11

是以00为圆心，以1当b1yx−1yxb相切时，可得00xyb0的距离为 1，因为b0，解得b ，所以b2,1ABCD−ABCD的所有棱长均为2cosBADcosBAAcosDAA1111线AC1与BC夹角的余弦值为

7

4

ABaADbAA1cabc2→ →

ababcos∠BAD22 → → acaccos∠BAA12263→ → bcbccos∠DAA12263 →→AC1ABADAA1abc，BCADb BCb2

→(abc)2

→ →b

→ → → 2abacb 322222222221222 3 则AC1 4

→

→ →

cb 4

则

AC1

32D正确AC1

4

→

8．设向量abca

1，ab

，且ac与bc

abc的最大值为（ 8→ a a→【解析】由题意得：cosa,b 2，又a,b0,a→→→所以a,b

1

1设aOA ,,bOB

2

2 → →

由acbc

，所以CACB

，所以ACB， 所以ACBAOBπ，所以OABC又过点O00

,1,B 2

D,

yxD0 3 3 1ADOD

AD

yD1所以过点O00

,1,B 2

1Dx2y12 由ab30E30ECEDDCb→OCOEEC

3232

abcECEDDC33618分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部60分．9．已知圆Cx12y21，圆Cx12y21，圆Cx2y321C2、C3PQ，直线l与圆C1、C2、C3均有两个交点，则（A．圆C1的半径为 C．PQ

D．直线ly【答案】【解析】圆Cx12y21的圆心为C10，半径为r1A 圆C2x12y21P10，半径为r1B圆C3xy31的圆心为Q0,3，半径为r 10203102030因圆C的圆心Q0,3到直线xy0的距离 61r0 xy0与圆C3相离，没有公共点，所以直线lyxD错误ABCD−A1B1C1D1AA1aABbADcMNPAA1BCC1D1的中点，则下列表示正确的是（ 1 1APac2 B．A1Nab2 1

1 1 NC12c

MPab 【答案】AP是C1D1 1 1 1APAA1A1PAA1ADD1PAA1AD2DCac2ABac2bA正确；BNBC的中点， 1 1 1A1NA1AABBNab2BCab2ADab2cB错误；CNBC的中点， 1 1 1NC1NCCC12BCAA12ADAA1a2cC正确；D选项，因为MAA1的中点，

1→

1→

1 1 所以MPMAAP2AA1AP2aac2b2a2bcD正确 正确的是（）DP2APBCCB 1 当λ1μ1P作正方体外接球的截面，截面面积的最小值为 11BBABCBB1xyz轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系，ABA110,1BD1,10，A1BD的法向量为nxyz，AC1,1,1ACABD的法向量nACABD AC1APC1A1BDAPC1A正确；))D1P1,λ1λ，DP→11λ1(1λ(1)1λ1λ0 DPDABDDPABDB

2

2所以在RtVABPtanθAB1 要使θ最小，则使tanθBP的最大值，PB1或CBP1，所以

1，即 π，C正确

D，若λ1,μ1P(011BCCB 2

111易得正方体外接球的球心O位于体对角线的中点，坐标为(,,)22外接球半径R满足R2(1 (1 (1)3 球心OP的距离的平方为OP210)2001 P作截面，当截面垂直于直线OP设最小截面圆的半径为r，则有r2R2OP2311 则截面面积的最小值Sπr2πD错误第二部分（非选择题共92分351512．圆C：x2y24x2y0关于直线yx对称的圆C的方程 12【解析】由圆Cx2y24x2y0，将其化为标准式可得x22y1252所以C1圆心坐标为2,1，半径为5由圆C2与圆C1yx对称，则可得C2圆心坐标为1,−2，半径为5，所以圆C的标准方程为x12y225.13．如图所示，二面角αlβ为60AB是棱lACBD分别在半平面αβAClBDl，AB2，AC3，BD4，则CD的 13BDBD又因为二面角αlβ为60ACαBDβAClBDl，ACBD的夹角为60，则向量CABD的夹角为120.由向量加法法则可得CDCAABBD

1CDCAAB

2CAAB2CABD2ABBD32

234

即CD 故答案为 14ABCDVMBCEDMD的三等分点，FAEAF的平面αAB，AC，ADP，Q，R，设四面V体APQR的体积为V'，则V的最小值 14FEAEDM AF3AE33AD3AM9AD9AM9AD9AC9CM 又因为MBCAF

AC

CM

AC

CB 又CBABACAF9AD18AB18ACAPxAQyARzx,yzAF

18

9zARFPQR四点共面，所以1

11231

123 18 18x18 9z xy1zxyz1 设点CBAD的距离为d，则点QBADAQdyd因为

1ABADsinBAD，S

V

1APARsinBAD V V

APARyxyz1 1V

VABD

AB V541577分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15（13分）xOyA33B5,1P2,1，点M是直线OP PAPBAPBQ是平行四边形，求点Q求MAMB15（13（1）A(33B(5,1BA22)(2)2(2)2所以|PAPB||BA 设Q(x0y0A(33B(5,1P(2,1PA12BQx05y01APBQPABQ，即x051x6y3y1 所以点Q的坐标是(63()所以当λ2MAMB取得最小值2．16（15已知圆Cx2y1)25，直线lmxy2m0AB若直线lDDABAB长度的最小值及相应的m16（15（1）对直线l的方程变形：将mxy2m0整理为m(x12y)0该式对任意实数m𝑥1=0𝑥=D的坐标为(12

2—𝑦=

𝑦=AB的中点为M(x,y，圆C的圆心为C(0,1，由垂径定理可得CMAB因为M在直线l上，直线lD(12)，故CMMD，即CMDM0代入CMxy1DMx1y2)得：x(x1y1y2)0 1 3 展开并配方得x2y2

，该轨迹为圆C内部的圆弧 设圆心C到直线l的距离为d，圆CR5R2d由弦长公式得|R2d

，因此d最大时|AB|5d由于直线lD(12)，故d|CD|，当且仅当CDl时d取最大值5d(10)2(10)2(2此时直线CD的斜率17（15

，|AB|min5(211，由CD5(1

23m1，解得m已知直线l1mxy0l2xmym20求证：对mRl1与l2P的最大值及对应的m．17（15当m0kkm11，则ll，且交点不可能为20和0,1

m 所以l1与l2的交点必在以线段OA PxyPPPPxx2yy10x2y22xy0 当m0l1y0l2x2P20x2y22xy0上Px2y22xy0（除点0,1综上，对mRl1与l2P在一个定圆上 2

为SV

12rr5 又 101，则 2，所以直线PB：y12x1，即y2x5

2 与定圆方程联立整理得4x28x30x1x3 P13P312 2 所以直线ly3xy−1x，即m3或1 18（17PABCPAABCPABPBCABAP1AC

DEPD的三等分点（P点ABACAPAEAEPABFABEFACAP分别交于点GHAFGH体积的最小18（17（1）ADDBCEPD的三等分点（P点 则AEAPPEAPPDAPAD

11––

APABAC AP AB AC AP3 AAMPB，垂足为M，如图所示，PABPBCPABPBCPBAMPABAMPBCBCPBCAMBCAMPAAAMPABPAPABBCPAB，PBPABBCPB，EENPBNENBCPBCENBCENPAB，则EANAEPABEN1BD1BC

1,PN1PB1

1

2AC2PA2AC2PA222根据余弦定理得：AN2PA2PN22PAPNcos45∘12 2 3

EN2AN所以ANEN2AN

11653AEPAB所成角为ANEsinθEN

AEPAB所成角的正弦值为21由（2）PAABPABCBCAB，AAC,APy,z轴，A000C0,20,

,0,P0,0,1,

,0

,2

3 设G0m0H00nm0n0

2

则GF4,4m0GE12,4m3GH0mn 0 2λ2 即m

22mn22mnn

22而22mn222mn，故22mn ，解得mn22当且仅当22mn，即m

2n2而F到平面PAC的距离为12 2 所以

1

•21•1mn•2 2mn 2 1A F

3V

3 当且仅当m19（17

2n2时等号成立

，EBDAE平分BAD，将BD翻折至VBDPPBDBDCBPEC19（17【解析】(1)（i）因为BAD60，AB2AD 在VABDBD2AD2AB22ADABcos609BD3AD2BD2AB2，即ADB90ADBD.PBDBDCPBDBDCBD，PDPBDPDBD，PDBDCBCBDCBCPD（ii）BC∩αFEF因为CD//αCDBCDBCD∩αEF，EF//CD．PE平分BPDBEPB2 BF2EF2CD2AB43

由（1）知，BCBD，BD3，BC ，PD平面BDCBBCBDBCDxyz轴，Bxyz，E020F2300C