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第三次习题周书2.5－2.8周2.5求一维谐振子处在第一激发态时几率最大的位置。解：求导求几率密度的极值令，得由的表达式可知，时，。显然不是最大几率的位置。可见是所求几率最大的位置。#2.6在一维势场中运动的粒子，势能对原点对称：，证明粒子的定态波函数具有确定的宇称。证：在一维势场中运动的粒子的定态薛定谔方程为①将式中的代换，得②利用，得③比较①、③式可知，都是描写在同一势场作用下的粒子状态的波函数。由于它们描写的是同一个状态，因此之间只能相差一个常数。它们的线性叠加也描述同一个状态,而所以具有确定的宇称.2.7一粒子在一维势阱中运动，求束缚态()的能级所满足的方程。解：粒子所满足的薛定谔方程为按势能的形式分区域的具体形式为Ⅰ：①Ⅱ：②Ⅲ：③整理后，得Ⅰ：④Ⅱ：.⑤Ⅲ：⑥令则Ⅰ：⑦Ⅱ：.⑧Ⅲ：⑨各方程的解为由波函数的有限性，有因此由波函数的连续性，有整理(10)、(11)、(12)、(13)式，并合并成方程组，得 解此方程即可得出B、C、D、F，进而得出波函数的具体形式，要方程组有非零解，必须∵∴即为所求束缚态能级所满足的方程。#2.8分子间的范德瓦耳斯力所产生的势能可以近似表示为求束缚态的能级所满足的方程。解：势能曲线如图示，分成四个区域求解。定态薛定谔方程为对各区域的具体形式为Ⅰ：Ⅱ：Ⅲ：Ⅳ：对于区域Ⅰ，，粒子不可能到达此区域，故而.①②③对于束缚态来说，有∴ ④ ⑤ ⑥各方程的解分别为由波函数的有限性，得∴由波函数及其一阶导数的连续，得∴⑦⑧⑨⑩由⑦、⑧，得(11)由⑨、⑩得(12)令，则①式变为联立(12)、(13)得，要此方程组有非零解，必须把代入即得此即为所要求的束缚态能级所满足的方程。#习题1利用例题2.5中的方法，计算谐振子第n态的，，，及。解:利用习题2一个处于谐振子势的粒子的初始态为：（a）求出。（b）给出和。（c）计算和。解:归一化(b)(c)习题3求半谐振子势的允许能级。（这个代表，例如，一个弹簧只能被拉伸而不能被压缩。）提示：本题仅需要一些细致的思考，很少实际运算。解:波函数满足后一方程与全空间谐振子方程一样,解也一样,但是现在必须满足在处波函数为零的条件,所以只能是为奇数的解习题四：一个质量为的粒子向着如图的势垒自左向右入射，设粒子的能量求透射和反射系数。解：在三个区域的定态薛定谔方程分别是令，，在三个区域的解分别是（我们假设了在仅有投射波。）由波函数及波函数导数（有限势能）在的连续条件，我们有我们的任务是消去，把用表示。由前两个式子我们有或者表示成矩阵，由后两个方程，有或者表示为矩阵所以我们有所以最后我们有

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