2026年人教版高一数学第11章数列同步练习题及答案

2026年人教版高一数学第11章数列同步练习题及答案第1页共1页2026年人教版高一数学第11章数列同步练习题及答案一、单项选择题（共10小题，每题2分）1.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_1=2，且对于任意正整数n，都有S_n=3a_n-4，则数列{a_n}的通项公式a_n为A.3^nB.23^(n-1)C.32^(n-1)D.2^n参考答案：B2.在等差数列{a_n}中，若a_5=10，a_10=25，则该数列的公差d为A.3B.4C.5D.6参考答案：C3.已知数列{b_n}是等比数列，且b_2=6，b_4=54，则数列{b_n}的公比q为A.3B.4C.5D.6参考答案：A4.已知数列{c_n}的通项公式为c_n=n(n+1)/2，则c_5的值为A.10B.15C.20D.25参考答案：C5.在等差数列{d_n}中，若d_1=-5，公差d=2，则该数列的前10项和S_10为A.0B.10C.20D.30参考答案：B6.已知数列{e_n}的前n项和为S_n=n^2+n，则数列{e_n}的通项公式e_n为A.2nB.n^2C.n^2+1D.2n+1参考答案：A7.在等比数列{f_n}中，若f_1=1，f_3=8，则该数列的公比q为A.2B.-2C.4D.-4参考答案：A8.已知数列{g_n}的通项公式为g_n=(-1)^(n+1)n，则g_6的值为A.1B.-1C.6D.-6参考答案：D9.在等差数列{h_n}中，若h_1=7，h_4=15，则该数列的公差d为A.2B.3C.4D.5参考答案：B10.已知数列{i_n}的前n项和为S_n=2^n-1，则数列{i_n}的通项公式i_n为A.2^(n-1)B.2^nC.2^(n-1)-1D.2^n-1参考答案：A二、填空题（共10小题，每题2分）1.在等差数列{a_n}中，若a_1=3，a_5=9，则该数列的公差d=______。参考答案：22.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），且a_1=1，则a_4=______。参考答案：73.若一个数列的前n项和S_n=n^2+2n，则该数列的第5项a_5=______。参考答案：184.等比数列{b_n}中，若b_1=2，b_3=8，则该数列的公比q=______。参考答案：25.在等比数列{c_n}中，若c_2=6，c_4=54，则c_3=______。参考答案：246.已知数列{d_n}满足d_n=d_{n-1}+5（n≥2），且d_1=1，则d_10=______。参考答案：467.若数列{e_n}的前n项和为S_n=3^n-1，则e_3=______。参考答案：188.在等差数列{f_n}中，若a_1+a_2+a_3=12，且公差d=2，则a_4=______。参考答案：89.已知数列{g_n}的前n项和为S_n=2n^2+n，则g_4=______。参考答案：2710.若数列{h_n}的前n项和为S_n=n(n+1)，则h_5=______。参考答案：15三、判断题（共10小题，每题2分）1.等差数列的前n项和公式为Sn=n(a1+an)/2。参考答案：√2.如果一个数列的通项公式是an=2n-1，那么它既是等差数列也是等比数列。参考答案：×3.在等比数列中，若m+n=p+q，则aman=apaq。参考答案：√4.数列{an}是等差数列的充要条件是存在常数d，使得对任意n∈N，都有an+1=an+d。参考答案：√5.数列{an}的前n项和为Sn=3n^2+2n，则该数列一定是等差数列。参考答案：√6.等差数列的任意两项之差等于公差。参考答案：√7.如果数列{an}的前n项和Sn=2^n-1，那么该数列是等比数列。参考答案：×8.在等差数列{an}中，若a10，d0，则数列的前n项和Sn取得最大值时，n是偶数。参考答案：√9.数列{an}是等比数列的充要条件是存在常数q，使得对任意n∈N，都有an/an-1=q（n≥2）。参考答案：×10.已知数列{an}的前n项和Sn=5n^2-3n，则a3=15。参考答案：×四、简答题（共8小题，每题2分）1.简述数列的定义及其与函数的关系。参考答案：数列是按照一定次序排列的一列数。数列可以看作是定义域为正整数集N（或其子集）的函数a_n=f(n)。2.列举等差数列的通项公式及其前n项和公式。参考答案：等差数列的通项公式为a_n=a_1+(n-1)d，前n项和公式为S_n=n/2[2a_1+(n-1)d]或S_n=n(a_1+a_n)。3.说明等比数列的通项公式及其前n项和公式。参考答案：等比数列的通项公式为a_n=a_1q^(n-1)，前n项和公式为当q≠1时S_n=a_1(1-q^n)/(1-q)，当q=1时S_n=na_1。4.判断下列说法是否正确：“所有数列都有通项公式。”参考答案：×。5.分析等差数列{a_n}中，若a_3=7，a_5=11，求公差d。参考答案：d=2。6.列举数列{a_n}为等比数列的三个特征。参考答案：①任意相邻两项之比等于常数；②从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数；③数列中任意两项a_m、a_n（m≠n）满足a_m/a_n为常数。7.简述数列的递推关系式及其应用。参考答案：递推关系式是用数列的前一项或前几项来表示后一项的公式，如a_n=f(a_(n-1))。应用：可以用来定义数列、解决与数列相关的问题、推导数列的性质。8.说明如何判断一个数列是等差数列或等比数列。参考答案：判断等差数列：看相邻两项之差是否为常数；判断等比数列：看相邻两项之比是否为常数。五、应用题（共8小题，每题3分）1.已知数列{a_n}是等差数列，首项a_1=3，公差d=2。求该数列的前n项和S_n。参考答案：S_n=n^2+2n2.已知数列{b_n}是等比数列，首项b_1=1，公比q=-2。求该数列的前n项和S_n。参考答案：S_n=(1-(-2)^n)/(1-(-2))=(1-(-2)^n)/33.已知数列{c_n}的前n项和S_n=n^2+2n。求该数列的通项公式c_n。参考答案：c_n=2n+1(n≥1)4.已知数列{d_n}的前n项和S_n=3^n-1。求该数列的通项公式d_n。参考答案：d_n=3^n-3^(n-1)(n≥1)5.已知数列{e_n}满足e_1=1，e_{n+1}=e_n+n(n≥1)。求该数列的前5项。参考答案：e_1=1，e_2=2，e_3=4，e_4=7，e_5=116.已知数列{f_n}满足f_1=2，f_{n+1}=2f_n+1(n≥1)。求该数列的前4项。参考答案：f_1=2，f_2=5，f_3=11，f_4=237.在等差数列{g_n}中，g_3=7，g_5=13。求该数列的通项公式g_n。参考答案：g_n=2n+18.在等比数列{h_n}中，h_2=6，h_4=54。求该数列的通项公式h_n。参考答案：h_n=2^(n-1)3标准答案与解析一、单项选择题1.参考答案：B解析：由S_n=3a_n-4，令n=1得S_1=3a_1-4，即a_1=3a_1-4，解得a_1=2。当n≥2时，a_n=S_n-S_(n-1)=(3a_n-4)-(3a_(n-1)-4)=3a_n-3a_(n-1)，整理得a_n=3a_(n-1)。因此数列{a_n}是首项为2，公比为3的等比数列，通项公式为a_n=23^(n-1)。故选B。2.参考答案：C解析：由等差数列性质，a_5+a_10=a_1+a_15=2a_8。又a_8=a_5+5d=10+5d，所以2a_8=20+10d。又a_10=a_5+5d=25，所以25=10+5d，解得d=3。故选C。3.参考答案：A解析：由等比数列性质，b_4/b_2=q^2，即54/6=q^2，解得q^2=9，所以q=±3。故选A。4.参考答案：C解析：由c_n=n(n+1)/2，得c_5=56/2=15。故选C。5.参考答案：B解析：由等差数列前n项和公式S_n=n(a_1+a_n)/2，得S_10=10(-5+(-5+92))/2=10。故选B。6.参考答案：A解析：由S_n=n^2+n，得S_(n-1)=(n-1)^2+(n-1)=n^2-2n+1+n-1=n^2-n。当n=1时，e_1=S_1=2。当n≥2时，e_n=S_n-S_(n-1)=(n^2+n)-(n^2-n)=2n。故数列{e_n}的通项公式e_n=2n。故选A。7.参考答案：A解析：由等比数列性质，f_3/f_1=q^2，即8/1=q^2，解得q^2=8，所以q=±√8=±2√2。故选A。8.参考答案：D解析：由g_n=(-1)^(n+1)n，得g_6=(-1)^(6+1)6=-6。故选D。9.参考答案：B解析：由等差数列性质，h_4=h_1+3d，即15=7+3d，解得d=3。故选B。10.参考答案：A解析：由S_n=2^n-1，得S_(n-1)=2^(n-1)-1。当n=1时，i_1=S_1=1。当n≥2时，i_n=S_n-S_(n-1)=(2^n-1)-(2^(n-1)-1)=2^n-2^(n-1)=2^(n-1)。故数列{i_n}的通项公式i_n=2^(n-1)。故选A。二、填空题1.参考答案：2解析：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=3，a_5=9，得9=3+4d，解得d=2。2.参考答案：7解析：由a_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），得a_2=S_2-S_1=a_1+a_2-a_1=a_2，故a_2=a_1=1。同理a_3=S_3-S_2=a_2+a_3-a_2=a_3，故a_3=a_2=1。a_4=S_4-S_3=a_3+a_4-a_3=a_4，故a_4=a_3=1。但由a_n=S_n-S_{n-1}（n≥2）可知a_n=a_{n-1}，故数列为常数列a_n=1，a_4=1。3.参考答案：18解析：由S_n=n^2+2n，得a_1=S_1=1^2+2×1=3。a_2=S_2-S_1=(2^2+2×2)-(1^2+2×1)=8-3=5。a_3=S_3-S_2=(3^2+2×3)-(2^2+2×2)=15-8=7。a_4=S_4-S_3=(4^2+2×4)-(3^2+2×3)=24-15=9。a_5=S_5-S_4=(5^2+2×5)-(4^2+2×4)=35-32=3。故a_5=18。4.参考答案：2解析：由等比数列通项公式b_n=b_1q^{n-1}，代入b_1=2，b_3=8，得8=2q^2，解得q=±2。5.参考答案：24解析：由等比数列通项公式b_n=b_1q^{n-1}，代入b_2=6，b_4=54，得6q^2=54，解得q=3。故b_3=b_2q=6×3=18。6.参考答案：46解析：由数列递推公式d_n=d_{n-1}+5（n≥2），得d_2=d_1+5=1+5=6，d_3=d_2+5=6+5=11，d_4=d_3+5=11+5=16，d_5=d_4+5=16+5=21，d_6=d_5+5=21+5=26，d_7=d_6+5=26+5=31，d_8=d_7+5=31+5=36，d_9=d_8+5=36+5=41，d_10=d_9+5=41+5=46。7.参考答案：18解析：由数列递推公式e_n=S_n-S_{n-1}，得e_1=S_1=3^1-1=2。e_2=S_2-S_1=(3^2-1)-(3^1-1)=8-2=6。e_3=S_3-S_2=(3^3-1)-(3^2-1)=26-8=18。8.参考答案：8解析：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1+a_2+a_3=12，d=2，得a_1+(a_1+2)+(a_1+4)=12，解得a_1=2。故a_4=a_1+3d=2+3×2=8。9.参考答案：27解析：由数列递推公式g_n=S_n-S_{n-1}，得g_1=S_1=2×1^2+1=3。g_2=S_2-S_1=(2×2^2+2)-(2×1^2+1)=9-3=6。g_3=S_3-S_2=(2×3^2+3)-(2×2^2+2)=21-10=11。g_4=S_4-S_3=(2×4^2+4)-(2×3^2+3)=34-27=7。故g_4=27。10.参考答案：15解析：由数列递推公式h_n=S_n-S_{n-1}，得h_1=S_1=1×(1+1)=2。h_2=S_2-S_1=(2×2+2)-(1×(1+1))=6-2=4。h_3=S_3-S_2=(3×3+3)-(2×2+2)=12-6=6。h_4=S_4-S_3=(4×4+4)-(3×3+3)=20-12=8。h_5=S_5-S_4=(5×5+5)-(4×4+4)=30-20=10。故h_5=15。三、判断题1.参考答案：√解析：等差数列的前n项和公式Sn=n(a1+an)/2是数学定理，适用于所有等差数列，可以直接用于计算前n项和，该表述正确。2.参考答案：×解析：数列an=2n-1的通项公式表明它是一个公差为2的等差数列，但不是等比数列。因为等比数列要求任意相邻两项之比等于常数，而这里2n-1/(2(n-1)-1)=n/(n-1)不恒等于常数，所以该数列不是等比数列，表述错误。3.参考答案：√解析：根据等比数列的性质，若m+n=p+q，则aman=apaq。这是等比数列的一个基本定理，可以直接应用，表述正确。4.参考答案：√解析：数列{an}是等差数列的定义就是存在常数d，使得对任意n∈N，都有an+1=an+d。这是等差数列的基本定义，表述正确。5.参考答案：√解析：数列{an}的前n项和Sn=3n^2+2n，则an=Sn-Sn-1=3n^2+2n-[3(n-1)^2+2(n-1)]=6n-1，因此数列的通项公式为an=6n-1，相邻两项之差为an+1-an=(6(n+1)-1)-(6n-1)=6，即公差为6，所以该数列是等差数列，表述正确。6.参考答案：√解析：等差数列的定义就是任意两项之差等于常数，这个常数就是公差。因此等差数列的任意两项之差等于公差是等差数列的基本性质，表述正确。7.参考答案：×解析：数列{an}的前n项和Sn=2^n-1，则an=Sn-Sn-1=2^n-1-[2^(n-1)-1]=2^n-1-2^(n-1)+1=2^(n-1)，因此数列的通项公式为an=2^(n-1)，相邻两项之比为an/an-1=2^(n-1)/2^(n-2)=2，即公比为2，所以该数列是等比数列，但解析中错误地认为该数列不是等比数列，正确表述应为该数列是等比数列，因此原表述错误。8.参考答案：√解析：在等差数列{an}中，若a10，d0，则数列是递减的，前n项和Sn随着n的增大而减小。当Sn取得最大值时，n是偶数。这是因为等差数列的前n项和可以看作是关于n的二次函数，开口向下，对称轴为n=-b/2a，这里a=d/2，b=a1，对称轴为n=a1/(d/2)，由于a10，d0，所以对称轴为正数，当n为偶数时，Sn取得最大值，表述正确。9.参考答案：×解析：数列{an}是等比数列的充要条件是存在常数q，使得对任意n∈N，都有an/an-1=q（n≥2）。这个表述是错误的，因为等比数列的定义要求对任意n∈N，包括n=1的情况，都有an/an-1=q，而不仅仅是n≥2的情况。因此原表述不完整，是错误的。10.参考答案：×解析：已知数列{an}的前n项和Sn=5n^2-3n，则a3=S3-S2=(53^2-33)-(52^2-32)=36-6=30，而不是15。因此原表述错误。四、简答题1.参考答案：数列是按照一定次序排列的一列数。数列可以看作是定义域为正整数集N（或其子集）的函数a_n=f(n)。解析：数列的每一项都对应一个正整数序号，因此本质上是定义在正整数集上的函数。数列强调元素的有序性，这与普通函数的对应关系不同，普通函数的序号可以是任意实数。2.参考答案：等差数列的通项公式为a_n=a_1+(n-1)d，前n项和公式为S_n=n/2[2a_1+(n-1)d]或S_n=n(a_1+a_n)。解析：通项公式表达了第n项与首项a_1、公差d及序号n的关系。前n项和公式有两种形式，一种是利用首项和末项，另一种直接用首项、公差和项数计算，这两种形式本质相同，可根据具体问题选择使用。3.参考答案：等比数列的通项公式为a_n=a_1q^(n-1)，前n项和公式为当q≠1时S_n=a_1(1-q^n)/(1-q)，当q=1时S_n=na_1。解析：等比数列的相邻两项之比等于常数q（公比）。前n项和公式需要分q=1和q≠1两种情况讨论，因为当q=1时数列所有项都相等，求和就是项数乘以首项。4.参考答案：×。解析：并非所有数列都有通项公式。例如，斐波那契数列的递推关系是a_n=a_(n-1)+a_(n-2)，但它没有简单的封闭形式的通项公式。有些数列可能需要通过递推关系或特定规则来定义，无法用简单的公式表达每一项。5.参考答案：d=2。解析：由等差数列性质a_5=a_3+2d，代入a_3=7，a_5=11得11=7+2d，解得d=2。等差数列中任意两项之差等于公差，这是等差数列的基本性质，利用这一性质可以求出公差或任意一项。6.参考答案：①任意相邻两项之比等于常数；②从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数；③数列中任意两项a_m、a_n（m≠n）满足a_m/a_n为常数。解析：等比数列的核心特征是相邻项的比值恒定。这三个特征是等比数列的等价定义，可以根据其中任何一个来判断数列是否为等比数列。7.参考答案：递推关系式是用数列的前一项或前几项来表示后一项的公式，如a_n=f(a_(n-1))。应用：可以用来定义数列、解决与数列相关的问题、推导数列的性质。解析：递推关系是定义数列的另一种方式，特别适用于无法直接给出通项公式的情况。通过递推关系可以逐项计算数列的值，或推导出通项公式。8.参考答案：判断等差数列：看相邻两项之差是否为常数；判断等比数列：看相邻两项之比是否为常数。解析：等差数列和等比数列的本质区别在于相邻项的差或比是否为常数。通过计算相邻项的差或比，可以判断数列的类型。需要注意的是，对于首项为0的数列，需要进一步检查公差或公比是否为0。五、应用题1.参考答案：S_n=n^2+2n解析：由题意知数列{a_n}是等差数列，首项a_1=3，公差d=2。根据等差数列前n项和公式S_n=n/2(2a_1+(n-1)d)，代入已知条件得S_n=n/2(23+(n-1)2)=n/2(6+2n-2)=n/2(2n+4)=n^2+2n。2.参考答案：S_n=(1-(-2)^n)/(1-(-2))=(1-(-2)^n)/3解析：由题意知数列{b_n}是等比数列，首项b_1=1，公比q=-2。根据等比数列前n项和公式S_n=b_1(1-q^n)/(1-q)，代入已知条件得S_n=1(1-(-2)^n)/(1-(-2))=(1-(-2)^n)/3。3.参考答案：c_n=2n+1(n≥1)解析：由题意知数列{c_n}的前n项和S_n=n^2+2n。当n=1时，c_1=S_1=1^2+21=3。当n≥2时，c_n=S_n-S_{n-1}=(n^2+2n)-[(n-1)^2+2(n-1)]=n^2+2n-(n^2-2n+1)-2n+2=2n+1。验证n=1时也满足c_n=2n+1=3，所以数列{c_n}的通项公式为c_n=2n+1(n≥1)。4.参考答案：d_n=3^n-3^(n-1)(n≥1)解析：由题意知数列{d_n}的前n项和S_n=3^n-1。当n=1时，d_1=S_1=3^1-1=2。当n≥