高考数学一轮复习 第42讲　第1课时　椭圆的概念及基本性质 教用

第42讲椭圆知识整合体系重构激活思维1．(教材经典题改编)已知椭圆的两个焦点坐标分别是(－2,0)，(2,0)，并且经过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，－\f(3,2)))，则它的标准方程是(D)A．eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,100)＝1 B．eq\f(x2,100)＋eq\f(y2,36)＝1C．eq\f(x2,6)＋eq\f(y2,10)＝1 D．eq\f(x2,10)＋eq\f(y2,6)＝1【解析】由于椭圆的焦点在x轴上，故可设它的标准方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)．由椭圆的定义知c＝2,2a＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)＋2))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))2)＋eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)－2))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))2)＝2eq\r(10)，所以a＝eq\r(10)，所以b2＝a2－c2＝10－4＝6，所以所求椭圆的标准方程为eq\f(x2,10)＋eq\f(y2,6)＝1．2．(教材经典题改编)设椭圆eq\f(x2,100)＋eq\f(y2,36)＝1上一点P到焦点F1的距离等于6，则点P到另一个焦点F2的距离是(B)A．20 B．14C．2eq\r(5) D．eq\r(14)【解析】由椭圆的定义知|PF1|＋|PF2|＝2a，又椭圆eq\f(x2,100)＋eq\f(y2,36)＝1上一点P到焦点F1的距离等于6，即|PF1|＝6，且a＝10，所以6＋|PF2|＝20，故|PF2|＝14．3．(教材经典题改编)(多选)已知椭圆的焦距是8，离心率等于0.8，则(ACD)A．长轴的长为10B．短半轴的长为6C．焦点坐标可能是(0,4)D．椭圆的标准方程可能是eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1【解析】由题意知2c＝8，即c＝4．又e＝eq\f(c,a)＝0.8，所以a＝5,2a＝10，A正确．因为a2－b2＝c2，所以b2＝9，b＝3，B错误．若椭圆的焦点在x轴上，则椭圆的标准方程为eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1，D正确．若椭圆的焦点在y轴上，则一个焦点坐标是(0,4)，椭圆的标准方程为eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,25)＝1，C正确．4．(教材经典题改编)(多选)已知椭圆的方程为16x2＋25y2＝400，则(BCD)A．长轴的长为5B．离心率e＝eq\f(3,5)C．F(3,0)是一个焦点D．椭圆上存在一点P到两焦点的距离的和等于10【解析】把原方程化成标准方程，得eq\f(x2,52)＋eq\f(y2,42)＝1，于是a＝5，b＝4，c＝eq\r(25－16)＝3，因此，椭圆的长轴和短轴的长分别是2a＝10和2b＝8，离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(3,5)，两个焦点坐标分别是(－3,0)和(3,0)，椭圆上任一点到两焦点的距离的和都等于2a＝10．5．(教材经典题改编)已知椭圆过点(3,0)，离心率e＝eq\f(\r(6),3)，则椭圆的标准方程为__eq\f(y2,27)＋eq\f(x2,9)＝1或eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,3)＝1__．【解析】当椭圆的焦点在x轴上时，则a＝3，eq\f(c,a)＝eq\f(\r(6),3)，所以c＝eq\r(6)，从而b2＝a2－c2＝9－6＝3，所以椭圆的标准方程为eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,3)＝1．当椭圆的焦点在y轴上时，则b＝3，eq\f(c,a)＝eq\f(\r(6),3)，所以eq\f(\r(a2－b2),a)＝eq\f(\r(6),3)，所以a2＝27，所以椭圆的标准方程为eq\f(y2,27)＋eq\f(x2,9)＝1．综上，椭圆的标准方程为eq\f(y2,27)＋eq\f(x2,9)＝1或eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,3)＝1．聚焦知识1．椭圆的概念平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做__椭圆__．这两个定点叫做椭圆的__焦点__，两焦点间的距离叫做椭圆的__焦距__．集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数：(1)若__a＞c__，则集合P表示椭圆；(2)若__a＝c__，则集合P表示线段；(3)若__a＜c__，则集合P表示空集．2．椭圆的标准方程和几何性质标准方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)图形范围－a≤x≤a，－b≤y≤b－b≤x≤b，－a≤y≤a对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点坐标A1(－a,0)，A2(a,0)B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)B1(－b,0)，B2(b,0)轴长轴A1A2的长为__2a__；短轴B1B2的长为__2b__焦距|F1F2|＝__2c__离心率e＝eq\f(c,a)∈(0,1)a，b，c的关系__a2＝b2＋c2__3．常用结论(1)通径：过焦点且垂直于长轴的弦，长度为eq\f(2b2,a)，是最短的焦点弦．(2)中点弦：椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1中，以P(x0，y0)为中点的弦的斜率k＝－eq\f(b2x0,a2y0)．(3)焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形．如图所示，设∠F1PF2＝θ．①焦点三角形的周长为2(a＋c)．②S△F1PF2＝eq\f(1,2)|PF1||PF2|sinθ＝b2taneq\f(θ,2)＝c|y0|．③当P为短轴端点时，θ最大，S△F1PF2最大．④|PF1|max＝a＋c，|PF1|min＝a－c．⑤|PF1|·|PF2|≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|PF1|＋|PF2|,2)))2＝a2．⑥4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cosθ．第1课时椭圆的概念及基本性质题型突破思维拓展举题说法椭圆的定义及应用例1(1)(2025·临汾三模)已知动点M(x，y)满足eq\r(x＋32＋y2)＋eq\r(x－32＋y2)＝10，则动点M的轨迹方程是(C)A．eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,4)＝1 B．eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,5)＝1C．eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1 D．eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,25)＝1【解析】由题意可得动点M(x，y)到(－3,0)与(3,0)两点的距离之和为10，且10＞3＋3＝6，则动点M(x，y)的轨迹为椭圆，易知a＝5，c＝3，b＝eq\r(a2－c2)＝4，即动点M的轨迹方程为eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1．(2)(2025·威海期末)设直线l：x＝－4，点F1(－2，0)，F2(2,0)，若点P到l的距离与它到F1的距离之比为eq\r(2)，则(D)A．||PF1|－|PF2||＝16 B．||PF1|－|PF2||＝8eq\r(2)C．|PF1|＋|PF2|＝16 D．|PF1|＋|PF2|＝4eq\r(2)【解析】设P(x，y)，则点P到l的距离d＝|x＋4|，|PF1|＝eq\r(x＋22＋y2)，由eq\f(d,|PF1|)＝eq\f(|x＋4|,\r(x＋22＋y2))＝eq\r(2)，得eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,4)＝1，所以点P的轨迹是以原点为中心，焦点在x轴上的椭圆，其中a＝2eq\r(2)．根据椭圆定义得|PF1|＋|PF2|＝2a＝4eq\r(2)．(3)已知椭圆的长轴长是短轴长的3倍，过点A(3，0)，且以坐标轴为对称轴，则该椭圆的标准方程为__eq\f(x2,9)＋y2＝1或eq\f(y2,81)＋eq\f(x2,9)＝1__．【解析】方法一：若椭圆的焦点在x轴上，设方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)．由题意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2a＝3×2b，,\f(9,a2)＋\f(0,b2)＝1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝3，,b＝1，))所以椭圆的标准方程为eq\f(x2,9)＋y2＝1．若椭圆的焦点在y轴上，设方程为eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)．由题意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2a＝3×2b，,\f(0,a2)＋\f(9,b2)＝1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝9，,b＝3，))所以椭圆的标准方程为eq\f(y2,81)＋eq\f(x2,9)＝1．综上所述，椭圆的标准方程为eq\f(x2,9)＋y2＝1或eq\f(y2,81)＋eq\f(x2,9)＝1．方法二：设椭圆的方程为eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,n)＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，由题意知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(9,m)＝1，,2\r(,m)＝3×2\r(,n)))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(9,m)＝1，,2\r(,n)＝3×2\r(,m)，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝9，,n＝1))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝9，,n＝81，))所以椭圆的标准方程为eq\f(x2,9)＋y2＝1或eq\f(y2,81)＋eq\f(x2,9)＝1．(1)圆锥曲线的第二定义：到定点的距离与到定直线的距离之比为常数e的点的轨迹为圆锥曲线．当0＜e＜1时为椭圆，当e＝1时为抛物线，当e＞1时为双曲线．定点为焦点，定直线为对应的准线eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(焦点在x轴上的椭圆和双曲线，其准线方程均为x＝±\f(a2,c)))，常数e为圆锥曲线的离心率．(2)求椭圆方程的两个基本方法①定义法：根据椭圆的定义确定a2，b2的值，再结合焦点位置求出椭圆方程．②待定系数法：先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后再根据条件建立关于a，b的方程组．如果焦点位置不确定，要考虑是否有两解，有时为了解题方便，也可把椭圆方程设为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)的形式．变式1(1)(2024·新高考Ⅱ卷)已知曲线C：x2＋y2＝16(y＞0)，从C上任意一点P向x轴作垂线段PP′，P′为垂足，则线段PP′的中点M的轨迹方程为(A)A．eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,4)＝1(y＞0) B．eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,8)＝1(y＞0)C．eq\f(y2,16)＋eq\f(x2,4)＝1(y＞0) D．eq\f(y2,16)＋eq\f(x2,8)＝1(y＞0)【解析】设点M(x，y)，P(x，y0)，P′(x,0)，因为M为PP′的中点，所以y0＝2y，即P(x,2y)．又P在圆x2＋y2＝16(y＞0)上，所以x2＋4y2＝16(y＞0)，即eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,4)＝1(y＞0)，即点M的轨迹方程为eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,4)＝1(y＞0)．(2)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左顶点为A，上顶点为B，右焦点为F，点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,5)，－\f(3\r(3),5)))在椭圆上，|BP|＝eq\f(16,5)，则椭圆C的标准方程为__eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1__．【解析】由B(0，b)，Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,5)，－\f(3\r(3),5)))，|BP|＝eq\f(16,5)，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(8,5)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b＋\f(3\r(3),5)))2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,5)))2，解得b＝eq\r(3)．又点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,5)，－\f(3\r(3),5)))在椭圆上，则eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,5)))2,a2)＋eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3\r(3),5)))2,b2)＝1，解得a＝2，所以椭圆C的标准方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1．椭圆的标准方程视角1最值与范围例2－1(1)若O和F分别为椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1的中心和左焦点，P为椭圆上的任意一点，则eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(FP,\s\up6(→))的最大值为(C)A．2 B．3C．6 D．8【解析】由椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1可得F(－1,0)．设P(x，y)(－2≤x≤2)，则eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(FP,\s\up6(→))＝x2＋x＋y2＝x2＋x＋3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(x2,4)))＝eq\f(1,4)x2＋x＋3＝eq\f(1,4)(x＋2)2＋2，又－2≤x≤2，所以当x＝2时，eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(FP,\s\up6(→))取得最大值6．(2)已知F1，F2分别为椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1的左、右焦点，M为椭圆上的动点，设点Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)))，则|MA|＋|MF2|的最小值为(A)A．4－eq\f(\r(,10),2) B．2－eq\f(\r(,10),2)C．4＋eq\f(\r(,10),2) D．2＋eq\f(\r(,10),2)【解析】由题得F1(－1,0)，F2(1,0)，如图，连接MF1，由于|MF1|＋|MF2|＝2a＝4，所以|MF2|＝4－|MF1|，所以|MA|＋|MF2|＝|MA|＋4－|MF1|＝4＋|MA|－|MF1|，因为||MA|－|MF1||≤|AF1|，当且仅当M，A，F1三点共线时等号成立，所以－|AF1|≤|MA|－|MF1|≤|AF1|，所以|MA|＋|MF2|≥4－|AF1|＝4－eq\f(\r(,10),2)．(3)已知F为椭圆C：eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1的右焦点，P是椭圆C上的动点，Q是圆M：(x＋3)2＋y2＝1上的动点，则eq\f(|PF|,|PQ|)的最小值是(B)A．eq\f(1,2) B．eq\f(2,9)C．eq\f(2,3) D．eq\f(8,3)【解析】在椭圆C：eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1中，a＝5，b＝4，c＝3，则F(3,0)，圆M：(x＋3)2＋y2＝1的圆心M(－3,0)，半径r＝1，圆心M(－3,0)为椭圆C的左焦点．由椭圆定义可得|PF|＋|PM|＝2a＝10，所以|PF|＝10－|PM|．由椭圆的几何性质可得a－c≤|PM|≤a＋c，即2≤|PM|≤8．如图，由圆的几何性质可得|PQ|≤|PM|＋|QM|＝|PM|＋1，所以eq\f(|PF|,|PQ|)≥eq\f(|PF|,|PM|＋1)＝eq\f(10－|PM|,|PM|＋1)＝eq\f(11,|PM|＋1)－1≥eq\f(11,8＋1)－1＝eq\f(2,9)，所以eq\f(|PF|,|PQ|)的最小值是eq\f(2,9)．变式2－1已知P是椭圆eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1上一动点，Q是圆(x＋3)2＋y2＝1上一动点，点M(6，3eq\r(3))，则|PQ|－|PM|的最大值为(B)A．4 B．5C．6 D．7【解析】如图，由eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1，得a＝5，b＝4，则c＝eq\r(a2－b2)＝3，则圆(x＋3)2＋y2＝1的圆心是椭圆的左焦点F1(－3,0)．椭圆的右焦点为F2(3,0)，由椭圆的定义得|PF1|＋|PF2|＝2a＝10，所以|PQ|≤|PF1|＋1＝10－|PF2|＋1＝11－|PF2|．又|MF2|＝eq\r(6－32＋3\r(3)－02)＝6，所以|PQ|－|PM|≤11－|PF2|－|PM|＝11－(|PF2|＋|PM|)≤11－|MF2|＝11－6＝5，当且仅当P为线段MF2与椭圆的交点，且Q为射线PF1与圆的交点且PF1，F1Q方向相同时，上述不等式中的两个等号同时成立，故|PQ|－|PM|的最大值为5．视角2焦点三角形例2－2设点P为椭圆C：eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1上一点，F1，F2分别为C的左、右焦点，且∠F1PF2＝60°，则△PF1F2的面积为(C)A．4eq\r(3) B．2eq\r(3)C．eq\f(4\r(3),3) D．eq\f(2\r(3),3)【解析】方法一：根据椭圆焦点三角形的面积公式得S△PF1F2＝b2taneq\f(θ,2)＝eq\f(4\r(3),3)．方法二：由椭圆方程可知a＝3，b＝2，c＝eq\r(a2－b2)＝eq\r(5)．设|PF1|＝m，|PF2|＝n，则m＋n＝2a＝6，|F1F2|＝2c＝2eq\r(5)，在△PF1F2中，由余弦定理得|F1F2|2＝m2＋n2－2mncos∠F1PF2＝(m＋n)2－2mn－2mncos∠F1PF2，即20＝36－2mn－2mn×eq\f(1,2)，可得mn＝eq\f(16,3)，所以△PF1F2的面积为S△PF1F2＝eq\f(1,2)mnsin∠F1PF2＝eq\f(1,2)×eq\f(16,3)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(4\r(3),3)．视角3离心率例2－3(1)(2025·广州二模)已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线与C交于A，B两点，且|AF1|＝|AB|，|BF1|＝a，则C的离心率为(D)A．eq\f(1,6) B．eq\f(1,3)C．eq\f(\r(6),6) D．eq\f(\r(3),3)【解析】如图，设|AF2|＝m．因为|AF1|＋|AF2|＝2a，所以|AF1|＝2a－|AF2|＝2a－m．又|BF1|＋|BF2|＝2a，|BF1|＝a，所以|BF2|＝a，所以|AB|＝a＋m．又因为|AF1|＝|AB|，所以2a－m＝a＋m，解得m＝eq\f(1,2)a，所以|AF1|＝2a－eq\f(1,2)a＝eq\f(3,2)a．在△AF1F2中，由余弦定理可得cos∠AF2F1＝eq\f(2c2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)a))2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)a))2,2×2c×\f(1,2)a)．在△BF1F2中，由余弦定理可得cos∠BF2F1＝eq\f(2c2＋a2－a2,2×2c×a)．因为cos∠AF2F1＋cos∠BF2F1＝0，即eq\f(2c2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)a))2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)a))2,2×2c×\f(1,2)a)＋eq\f(2c2＋a2－a2,2×2c×a)＝0，整理得3c2－a2＝0，所以eq\f(c2,a2)＝eq\f(1,3)，所以e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),3)．(2)已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，若C上存在一点P满足|PF1|2＝19|PF2|2，则C的离心率的取值范围是__eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10－\r(,19),9)，1))__．【解析】因为|PF1|2＝19|PF2|2，所以|PF1|＝eq\r(,19)|PF2|，则2a＝|PF1|＋|PF2|＝(eq\r(,19)＋1)|PF2|，所以|PF2|＝eq\f(\r(,19)－1a,9)∈[a－c，a＋c]，则e＝eq\f(c,a)≥eq\f(10－\r(,19),9)．又0＜e＜1，所以C的离心率的取值范围是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10－\r(,19),9)，1))．(1)求椭圆的离心率的方法：①求出a，c，直接求e；②借助a，b，c之间的关系，构造出a，c的齐次式，通过两边除以a2，进而得到关于e的方程，通过解方程得出离心率e的值．(2)求椭圆离心率的取值范围，关键在于找到含有a与c的不等关系，得出不等式常见的途径有：①椭圆的几何性质，设P(x0，y0)为椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)上一点，F为其焦点，则|x0|≤a，a－c≤|PF|≤a＋c；②题目中给出的或能够根据已知条件得出的不等关系式．变式2－3(2025·青岛期末)已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左焦点为F1，焦距为2c，圆O：x2＋y2＝c2与椭圆C有四个交点，其中点P，Q分别在第一、四象限，若△F1PQ为等边三角形，则椭圆C的离心率为(C)A．eq\r(2)－1 B．eq\f(\r(2),3)C．eq\r(3)－1 D．eq\f(\r(3),2)【解析】如图，由于△F1PQ为等边三角形，由椭圆的对称性可得∠PF1F2＝eq\f(π,6)，所以|PF2|＝eq\f(1,2)|F1F2|＝c，则|PF1|＝eq\r(3)c，由椭圆的定义可得|PF2|＋|PF1|＝(eq\r(3)＋1)c＝2a，所以椭圆的离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(2,\r(3)＋1)＝eq\r(3)－1．焦点四边形如图，直线x＝my与椭圆E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)交于M，N两点，E的左、右焦点分别为F1，F2，则四边形MF1NF2称为椭圆的焦点四边形．性质1：四边形MF1NF2为平行四边形．性质2：任意两邻边之和为2a，▱MF1NF2的周长恒为4a．性质3：S四边形MF1NF2＝eq\f(1,2)|F1F2|·|yM－yN|≤2bc，当且仅当m＝0时等号成立．性质4：由平行四边形性质可得|MN|2＋|F1F2|2＝2(|MF1|2＋|MF2|2)＝2(|NF1|2＋|NF2|2)．性质5：cos∠MF1N≤1－eq\f(2b2,a2)＝2e2－1．例3(1)(2025·泰州一模)如图，F为椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左焦点，直线y＝kx与椭圆C交于A，B两点，且满足FA⊥AB，O为坐标原点，∠ABF＝∠AFO，则椭圆C的离心率e＝__eq\f(3\r(2)－\r(6),2)__．【解析】如图，设椭圆的另一个焦点为F1，连接AF1，BF1，根据椭圆的对称性可得，四边形AFBF1为平行四边形．由tan∠AFO＝eq\f(|AO|,|AF|)＝tan∠ABF＝eq\f(|AF|,2|AO|)，得|AF|＝eq\r(2)|AO|．在Rt△AFO中，有|FO|2＝c2＝|AF|2＋|AO|2＝3|AO|2，得|AO|＝eq\f(\r(3),3)c，|AB|＝2|AO|＝eq\f(2\r(3),3)c，|AF|＝eq\f(\r(6)c,3)．由椭圆的定义有|BF|＝2a－|BF1|＝2a－eq\f(\r(6)c,3)．在Rt△AFB中，|BF|2＝|AF|2＋|AB|2，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2a－\f(\r(6)c,3)))2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6)c,3)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3)c,3)))2，化简并整理得－eq\r(6)ac＋3a2＝c2，两边同时除以a2化为e2＋eq\r(6)e－3＝0，又e∈(0,1)，解得e＝eq\f(－\r(6)＋3\r(2),2)，所以椭圆C的离心率为eq\f(3\r(2)－\r(6),2)．(2)已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，椭圆上的A，B两点关于原点对称，|FA|＝2|FB|，且eq\o(FA,\s\up6(→))·eq\o(FB,\s\up6(→))≤eq\f(4,9)a2，则该椭圆的离心率的取值范围是(B)A．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(5),3))) B．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(7),3)))C．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),3)，1)) D．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(7),3)，1))【解析】如图，设椭圆的左焦点为E，则|BE|＋|BF|＝2a．因为点A，B关于原点对称，所以四边形EBFA为平行四边形．由|AF|＝2|BF|，得|BF|＝eq\f(2,3)a，|BE|＝eq\f(4,3)a．在△EBF中，cos∠EBF＝eq\f(|BE|2＋|BF|2－|EF|2,2|BE||BF|)＝eq\f(\f(16,9)a2＋\f(4,9)a2－4c2,2×\f(4,3)a×\f(2,3)a)＝eq\f(5,4)－eq\f(9,4)e2，所以cos∠BFA＝－cos∠EBF＝eq\f(9,4)e2－eq\f(5,4)．由eq\o(FA,\s\up6(→))·eq\o(FB,\s\up6(→))≤eq\f(4,9)a2，得|eq\o(FA,\s\up6(→))||eq\o(FB,\s\up6(→))|cos∠BFA＝eq\f(4,3)a×eq\f(2,3)aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,4)e2－\f(5,4)))≤eq\f(4,9)a2，整理得e2≤eq\f(7,9)，又0＜e＜1，所以e∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(7),3)))．双曲线中同样存在类似的结构，相关性质可以类推．随堂内化1．(2019·全国乙卷)已知椭圆C的焦点为F1(－1，0)，F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为(B)A．eq\f(x2,2)＋y2＝1 B．eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1C．eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1 D．eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,4)＝1【解析】如图，设|F2B|＝n，则|AF2|＝2n，|BF1|＝|AB|＝3n，由椭圆的定义有2a＝|BF1|＋|BF2|＝4n，所以|AF1|＝2a－|AF2|＝2n．方法一：在△AF1B中，由余弦定理推论得cos∠F1AB＝eq\f(4n2＋9n2－9n2,2·2n·3n)＝eq\f(1,3)．在△AF1F2中，由余弦定理得4n2＋4n2－2·2n·2n·eq\f(1,3)＝4，解得n＝eq\f(\r(,3),2)．从而2a＝4n＝2eq\r(,3)，则a＝eq\r(,3)，b2＝a2－c2＝3－1＝2．故椭圆C的方程为eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1．方法二：在△AF1F2和△BF1F2中，由余弦定理得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4n2＋4－2·2n·2·cos∠AF2F1＝4n2，,n2＋4－2·n·2·cos∠BF2F1＝9n2，))又∠AF2F1与∠BF2F1互补，所以cos∠AF2F1＋cos∠BF2F1＝0，两式消去cos∠AF2F1，cos∠BF2F1，得3n2＋6＝11n2，解得n＝eq\f(\r(,3),2)．从而2a＝4n＝2eq\r(,3)，则a＝eq\r(,3)，b2＝a2－c2＝3－1＝2，故椭圆C的方程为eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1．2．(2021·新高考Ⅰ卷)已知F1，F2是椭圆C：eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1的两个焦点，点M在C上，则|MF1||MF2|的最大值为(C)A．13 B．12C．9 D．6【解析】由椭圆C：eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1，得|MF1|＋|MF2|＝2×3＝6，则|MF1|·|MF2|≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|MF1|＋|MF2|,2)))2＝9，当且仅当|MF1|＝|MF2|＝3时等号成立．3．(2023·全国甲卷)设O为坐标原点，F1，F2为椭圆C：eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,6)＝1的两个焦点，点P在C上，cos∠F1PF2＝eq\f(3,5)，则|OP|＝(B)A．eq\f(13,5) B．eq\f(\r(,30),2)C．eq\f(14,5) D．eq\f(\r(,35),2)【解析】方法一：因为|PF1|＋|PF2|＝2a＝6①，|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos∠F1PF2＝|F1F2|2，即|PF1|2＋|PF2|2－eq\f(6,5)|PF1||PF2|＝12②．联立①②，解得|PF1||PF2|＝eq\f(15,2)，|PF1|2＋|PF2|2＝21，而eq\o(PO,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(PF1,\s\up6(→))＋eq\o(PF2,\s\up6(→)))，所以|OP|＝|eq\o(PO,\s\up6(→))|＝eq\f(1,2)|eq\o(PF1,\s\up6(→))＋eq\o(PF2,\s\up6(→))|＝eq\f(1,2)eq\r(,|\o(PF1,\s\up6(→))|2＋2\o(PF1,\s\up6(→))·\o(PF2,\s\up6(→))＋|\o(PF2,\s\up6(→))|2)＝eq\f(1,2)eq\r(,21＋2×\f(15,2)×\f(3,5))＝eq\f(\r(,30),2)．方法二：因为|PF1|＋|PF2|＝2a＝6①，|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos∠F1PF2＝|F1F2|2，即|PF1|2＋|PF2|2－eq\f(6,5)|PF1||PF2|＝12②，联立①②解得|PF1|2＋|PF2|2＝21．由中线定理可知(2|OP|)2＋|F1F2|2＝2(|PF1|2＋|PF2|2)＝42，易知|F1F2|＝2eq\r(,3)，解得|OP|＝eq\f(\r(,30),2)．配套精练A组夯基精练一、单项选择题1．(2025·石家庄三模)已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点为F1(－3,0)，F2(3,0)，且过右焦点F2的直线l交椭圆于A，B两点，△AF1B的周长为20，则椭圆C的离心率为(B)A．eq\f(3,10) B．eq\f(3,5)C．eq\f(4,5) D．eq\f(\r(3),2)【解析】因为△AF1B的周长为20，所以|AB|＋|AF1|＋|BF1|＝|AF2|＋|BF2|＋|AF1|＋|BF1|＝20，由椭圆定义可知4a＝20，即a＝5．又因为c＝3，所以椭圆C的离心率为eq\f(c,a)＝eq\f(3,5)．2．(2023·全国甲卷)设F1，F2为椭圆C：eq\f(x2,5)＋y2＝1的两个焦点，点P在C上，若eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＝0，则|PF1|·|PF2|＝(B)A．1 B．2C．4 D．5【解析】因为eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＝0，所以∠F1PF2＝90°，从而S△F1PF2＝b2tan45°＝1＝eq\f(1,2)·|PF1|·|PF2|，所以|PF1|·|PF2|＝2．3．(2026·青岛期初)已知圆M的方程为(x＋1)2＋y2＝16，定点N(1,0)，P为圆M上任意一点，线段NP的垂直平分线与直线MP相交于点Q，则点Q的轨迹方程为(B)A．eq\f(x2,4)＋y2＝1 B．eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1C．eq\f(x2,8)－y2＝1 D．x2－eq\f(y2,8)＝1【解析】因为圆M的圆心为M(－1,0)，半径为r＝4，由题知|QN|＝|QP|，又|QP|＋|QM|＝r＝4，则|QN|＋|QM|＝4＞|MN|＝2，所以点Q在以M(－1,0)，N(1,0)为焦点，2a＝4的椭圆上，由a＝2，c＝1，得b2＝a2－c2＝3，所以点Q的轨迹方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1．4．(2025·聊城一模)设F是椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左焦点，M，N是C上的任意两点，△FMN周长的取值范围为(m，n]，若n＝3m，则椭圆C的离心率为(A)A．eq\f(1,3) B．eq\f(1,2)C．eq\f(\r(2),2) D．eq\f(2,3)【解析】令椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的右焦点为E(c,0)，|MF|＋|ME|＝2a，|NF|＋|NE|＝2a，△FMN周长为|MN|＋|MF|＋|NF|＝|MN|＋2a－|ME|＋2a－|NE|＝4a＋|MN|－(|ME|＋|NE|)≤4a＋|MN|－|MN|＝4a，当且仅当M，N，E共线时取等号，则3m＝4a，即m＝eq\f(4a,3)．又|MN|＋|MF|＋|NF|＞|MF|＋|MF|＝2|MF|≥2(a－c)，因此m＝2(a－c)，则eq\f(4a,3)＝2(a－c)，解得eq\f(c,a)＝eq\f(1,3)，所以C的离心率为eq\f(1,3)．二、多项选择题5．(2025·临汾二模)已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，A，B为椭圆C上关于原点对称的两点，且|AB|＝|F1F2|，则(ABD)A．AF1⊥AF2B．四边形AF1BF2的周长为4aC．四边形AF1BF2的面积为b2D．椭圆C的离心率的取值范围为eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1))【解析】如图，依题意，AB，F1F2互相平分，且|AB|＝|F1F2|，则四边形AF1BF2是矩形，令其半焦距为c，对于A，AF1⊥AF2，A正确；对于B，四边形AF1BF2的周长为|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a，B正确；对于C，四边形AF1BF2的面积为2S△F1AF2＝|AF1||AF2|＝eq\f(|AF1|＋|AF2|2－|AF1|2＋|AF2|2,2)＝2a2－2c2＝2b2，C错误；对于D，由以原点为圆心，c为半径的圆与椭圆有公共点，得c≥b，即c2≥b2＝a2－c2，解得eq\f(c2,a2)≥eq\f(1,2)，即离心率e∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1))，D正确．6．(2026·惠州一调)已知动点P在椭圆C上，F1，F2为C的左、右焦点，直线PF1和直线PF2分别交C于点A，B．若△PAF2的周长为20，且C的左顶点和上顶点距离为eq\r(41)，则(BC)A．椭圆焦距为3B．离心率e＝eq\f(3,5)C．△PF1F2面积的最大值为12D．PF1和PF2斜率的乘积为定值【解析】如图，因为点P，A在椭圆上，所以|PF1|＋|PF2|＝2a，|AF1|＋|AF2|＝2a，故△PAF2的周长为|PA|＋|AF2|＋|PF2|＝|PF1|＋|PF2|＋|AF1|＋|AF2|＝4a＝20，解得a＝5．因为左顶点和上顶点的距离为eq\r(a2＋b2)＝eq\r(52＋b2)＝eq\r(41)，解得b＝4，则c＝eq\r(a2－b2)＝3，焦距为2c＝6，故A错误．e＝eq\f(c,a)＝eq\f(3,5)，故B正确．S△PF1F2＝eq\f(1,2)×|F1F2|×|yP|＝c|yP|≤bc＝12，当点P位于y轴时，△PF1F2面积取得最大值12，故C正确．设P(x，y)，则eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1，即y2＝16－eq\f(16,25)x2，因为F1(－3，0)，F2(3,0)，所以kPF1＝eq\f(y,x＋3)，kPF2＝eq\f(y,x－3)，故kPF1·kPF2＝eq\f(y,x＋3)×eq\f(y,x－3)＝eq\f(y2,x2－9)＝eq\f(16,25)·eq\f(25－x2,x2－9)不是定值，故D错误．7．(2025·济南一模)已知F1，F2分别是椭圆C：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1的左、右焦点，O为坐标原点，P为C上异于左、右顶点的一点，H是线段PF2的中点，则(ACD)A．|OH|＋|HF2|＝2B．|OH|＞1C．△OHF2内切圆半径的最大值为eq\f(\r(3),6)D．△HF1F2外接圆半径的最小值为1【解析】如图，对于A，|OH|＋|HF2|＝eq\f(1,2)×(|PF1|＋|PF2|)＝eq\f(1,2)×2a＝a＝2，故A正确．对于B，|OH|＝eq\f(1,2)|PF1|，因为当点P在第二、三象限时，|PF1|＜2，所以此时|OH|＜1，故B错误．对于C，因为|OH|＋|HF2|＋|OF2|＝3，S△PF1F2＝b2taneq\f(θ,2)＝3taneq\f(θ,2)，当点P在上顶点时，θ最大，所以0＜θ≤eq\f(π,3)，所以0＜taneq\f(θ,2)≤eq\f(\r(3),3)，所以0＜S△PF1F2≤eq\r(3)，所以由三角形相似可得0＜S△OHF2≤eq\f(\r(3),4)．设△OHF2的内切圆半径为r，又S△OHF2＝eq\f(1,2)|OH|·r＋eq\f(1,2)|HF2|·r＋eq\f(1,2)|OF2|·r＝eq\f(3,2)r，所以△OHF2内切圆半径的最大值为eq\f(2×\f(\r(3),4),3)＝eq\f(\r(3),6)，故C正确．对于D，设△HF1F2的外接圆半径为R，则由正弦定理可得2R＝eq\f(|F1F2|,sin∠F1HF2)＝eq\f(2,sin∠F1HF2)⇒R≥1，故D正确．三、填空题8．设椭圆eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,12)＝1的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆上点P满足|PF1|∶|PF2|＝2∶3，则△PF1F2的面积为__12__．【解析】由椭圆定义可得|PF1|＋|PF2|＝2a＝10，则有eq\f(|PF1|,|PF2|)＝eq\f(|PF1|,10－|PF1|)＝eq\f(2,3)，即|PF1|＝4，|PF2|＝6．由|F1F2|＝2c＝2eq\r(,25－12)＝2eq\r(,13)，知|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，得∠F1PF2＝90°，故S△PF1F2＝eq\f(1,2)×4×6＝12．9．(2025·新余二模)已知点P(x0，y0)是椭圆C：eq\f(x2,5)＋y2＝1上的动点，若A(1,0)，则|PA|的最小值为__eq\f(\r(3),2)__．【解析】由题意得－eq\r(5)≤x0≤eq\r(5)，且yeq\o\al(2,0)＝1－eq\f(x\o\al(2,0),5)，所以|PA|＝eq\r(x0－12＋y\o\al(2,0))＝eq\r(x\o\al(2,0)－2x0＋1＋1－\f(x\o\al(2,0),5))＝eq\r(\f(4x\o\al(2,0),5)－2x0＋2)＝eq\r(\f(4,5)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0－\f(5,4)))2＋\f(3,4))，当x0＝eq\f(5,4)时，|PA|取得最小值为eq\f(\r(3),2)．10．(2025·芜湖期末)已知F是椭圆eq\f(x2,4)＋y2＝1的左焦点，P，Q是椭圆上关于原点对称的两点，且∠PFQ＝90°，则|PQ|＝__2eq\r(3)__．【解析】在椭圆eq\f(x2,4)＋y2＝1中，a＝2，b＝1，c＝eq\r(4－1)＝eq\r(3)，所以F(－eq\r(3)，0)．由P，Q在椭圆上关于原点对称，设P(x，y)，Q(－x，－y)，根据对称性，不妨设点P在第一象限，如图，所以eq\o(FP,\s\up6(→))＝(x＋eq\r(3)，y)，eq\o(FQ,\s\up6(→))＝(－x＋eq\r(3)，－y)，因为∠PFQ＝90°，所以eq\o(FQ,\s\up6(→))⊥eq\o(FP,\s\up6(→))，所以eq\o(FQ,\s\up6(→))·eq\o(FP,\s\up6(→))＝(x＋eq\r(3))(－x＋eq\r(3))－y2＝3－x2－y2＝0．联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x2,4)＋y2＝1，,3－x2－y2＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(2\r(6),3)，,y＝\f(\r(3),3)，))所以Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(6),3)，\f(\r(3),3)))，Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(6),3)，－\f(\r(3),3)))，所以|PQ|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(6),3)＋\f(2\r(6),3)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)＋\f(\r(3),3)))2)＝2eq\r(3)．四、解答题11．已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，且eq\o(AF1,\s\up6(→))·eq\o(AF2,\s\up6(→))＝0．(1)求椭圆C的离心率；【解答】依题意可得上顶点A(0，b)，左、右焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)，所以eq\o(AF1,\s\up6(→))＝(－c，－b)，eq\o(AF2,\s\up6(→))＝(c，－b)．又eq\o(AF1,\s\up6(→))·eq\o(AF2,\s\up6(→))＝0，即eq\o(AF1,\s\up6(→))·eq\o(AF2,\s\up6(→))＝－c2＋(－b)2＝0，即b2＝c2，即a2－c2＝c2，所以a2＝2c2，所以离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(,2),2)．(2)若射线AF1与C交于点B，且|AB|＝eq\f(8,3)，求△ABF2的周长．【解答】由(1)可得b＝c，a＝eq