2026 年大学离散数学屈婉玲版期末综合测评卷

2026年大学离散数学屈婉玲版期末综合测评卷满分：100分，考试时间：90分钟姓名___、班级___一、单项选择题（共8题，每题2分，共16分）1.下列命题公式中为重言式的是（）A.p→(q∨r)B.(p∧q)→qC.¬p∧¬q→pD.(p→q)→p2.设集合A={a,b,c}，B={1,2}，则A×B的元素个数为（）A.3B.5C.6D.93.设R是集合A上的等价关系，下列哪项不是等价关系的性质（）A.自反性B.对称性C.传递性D.反对称性4.下列无向图中属于欧拉图的是（）A.7个顶点，每个顶点度数为2B.6个顶点，度数序列为1,1,2,2,3,3C.5个顶点，每个顶点度数为2D.4个顶点，度数序列为1,2,3,45.设函数f:N→N，f(x)=x+1，则f是（）A.单射B.满射C.双射D.既非单射也非满射6.下列代数系统中构成群的是（）A.整数集Z，运算为加法B.整数集Z，运算为减法C.自然数集N，运算为加法D.实数集R，运算为除法7.谓词公式∀x(P(x)∨∃yQ(y))的前束范式是（）A.∀x∃y(P(x)∨Q(y))B.∃x∀y(P(x)∨Q(y))C.∀x∀y(P(x)∨Q(y))D.∃x∃y(P(x)∨Q(y))8.集合A={1,2,3}上的关系R={<1,1>,<1,2>,<2,1>,<2,2>,<3,3>}，则R是（）A.偏序关系B.等价关系C.全序关系D.反对称关系二、多项选择题（共15题，每题2分，共30分）1.下列命题公式中与p→q等值的有（）A.¬p∨qB.¬(p∧¬q)C.q→pD.¬q→¬p2.设A={1,2}，下列是A×A的子集的有（）A.{<1,2>}B.{<1,1>,<2,2>}C.{<1,2>,<2,1>}D.{<1,1,2>}3.二元关系的闭包具有的性质包括（）A.自反性B.对称性C.传递性D.反自反性4.下列关于树的说法正确的有（）A.树是连通无回路的无向图B.树的边数等于顶点数减1C.树中任意两个顶点之间有唯一路径D.树的每个顶点度数至少为25.下列属于群的性质的有（）A.封闭性B.结合律C.存在单位元D.每个元素有逆元6.下列谓词公式中是前束范式的有（）A.∀x∃y(P(x)∧Q(y))B.∃x∀y(P(x)→Q(y))C.P(x)→∀yQ(y)D.∀x(P(x)→∃yQ(y))7.下列图中是二部图的有（）A.完全图K2,3B.圈C6C.完全图K4D.树8.下列集合运算中满足交换律的有（）A.并运算∪B.交运算∩C.对称差运算⊕D.差运算-9.下列函数中是单射的有（）A.f:R→R，f(x)=2x+1B.f:N→N，f(x)=x²C.f:Z→Z，f(x)=x+1D.f:R→R，f(x)=x²10.下列命题是原子命题的有（）A.今天下雨B.明天要么晴天要么阴天C.2是偶数D.小李和小王是同学11.下列关系中具有传递性的有（）A.集合上的等价关系B.集合上的偏序关系C.实数集上的小于关系D.整数集上的整除关系12.下列关于幂集的说法正确的有（）A.集合A的幂集是所有子集构成的集合B.空集的幂集只有一个元素C.集合A的元素个数为n，则其幂集元素个数为2ⁿD.幂集的运算不遵循分配律13.下列属于欧拉图的必要条件有（）A.连通无向图B.所有顶点度数为偶数C.存在欧拉回路D.边数等于顶点数减114.下列代数系统中是阿贝尔群的有（）A.<Z,+>B.<R,+>C.<Z5,⊕>D.<R,×>15.下列谓词公式中是等值式的有（）A.¬∀xP(x)↔∃x¬P(x)B.¬∃xP(x)↔∀x¬P(x)C.∀x(P(x)∧Q(x))↔∀xP(x)∧∀xQ(x)D.∃x(P(x)∨Q(x))↔∃xP(x)∨∃xQ(x)三、判断题（共20题，每题1分，共20分）1.命题公式p∨¬p是重言式。2.空集的幂集是空集。3.二元关系R是自反的当且仅当IA⊆R。4.任何有限集都存在幂集。5.欧拉图一定是连通图。6.无向树中任意两个顶点间有且仅有一条路径。7.函数f:A→B是单射当且仅当f是满射。8.群中每个元素的逆元是唯一的。9.谓词公式∃x(P(x)∧Q(x))等价于∃xP(x)∧∃xQ(x)。10.集合A={a}的幂集有2个元素。11.关系的对称闭包包含关系本身。12.有向图的强连通图一定是单向连通图。13.整数集Z上的减法运算满足结合律。14.命题公式p→q的逆否命题是¬q→¬p。15.空关系是等价关系。16.无向树的边数等于顶点数减1。17.函数f:N→N，f(x)=2x是满射。18.谓词公式∀xP(x)→∃xP(x)是重言式。19.集合A和B的对称差等于(A-B)∪(B-A)。20.循环群的子群一定是循环群。四、简答题（共4题，每题5分，共20分）1.简述命题逻辑中重言式的定义。2.简述集合上等价关系的定义。3.简述无向树的定义。4.简述群的定义。五、实验探究题（共2题，每题5分，共10分）1.给定集合A={1,2,3,4}，关系R={<1,2>,<2,1>,<2,3>,<3,2>,<3,4>,<4,3>}，请设计实验步骤判断R是否为等价关系，并写出判断结果。2.给定无向图G，顶点集V={a,b,c,d,e}，边集E={(a,b),(a,c),(b,d),(c,d),(d,e)}，请设计实验步骤判断G是否为树，并写出判断结果。六、计算题（共2题，每题4分，共8分）1.求集合A={1,2,3}上关系R={<1,2>,<2,3>,<3,1>}的自反闭包r(R)、对称闭包s(R)和传递闭包t(R)。2.求命题公式(p→q)∧r的主析取范式和主合取范式。参考答案与解析一、单项选择题答案：1.B2.C3.D4.C5.A6.A7.A8.B二、多项选择题答案：1.ABD2.ABC3.ABC4.ABC5.ABCD6.ABD7.ABD8.ABC9.ABC10.ACD11.ABCD12.ABC13.ABC14.ABC15.ABCD三、判断题答案：1.√2.×3.√4.√5.√6.√7.×8.√9.×10.√11.√12.√13.×14.√15.×16.√17.×18.√19.√20.√四、简答题答案：1.对于命题公式A，若在所有赋值下取值均为真，则称A为重言式。2.设R是集合A上的关系，若R满足自反性、对称性、传递性，则称R为A上的等价关系。3.连通且不含回路的无向图称为无向树，简称树。4.设<G,∘>是代数系统，满足：∘封闭、∘结合律、存在单位元、每个元素有逆元，则称<G,∘>为群。五、实验探究题解析：1.实验步骤：①判断自反性：检查每个元素是否有<x,x>∈R，这里R中无<1,1>等，不满足自反性，故R不是等价关系；②判断对称性：任意<x,y>∈R，检查是否有<y,x>∈R，本题R满足对称性；③判断传递性：任意<x,y>,<y,z>∈R，检查是否有<x,z>∈R，本题R中<1,2>,<2,3>，但无<1,3>，不满足传递性；最终判断结果：R不是等价关系。2.实验步骤：①判断连通性：任意两个顶点之间是否存在路径，本题顶点均连通；②判断是否含回路：图中边数为5，顶点数为5，边数=顶点数-1（5-1=4？不，本题边数5，顶点数5，边数>顶点数-1，含回路；最终判断结果：G不是树（实际树边数应为4，本题边数5，存在回路）。六、计算题解析：1.自反闭包r(R)=R∪IA={<1,2>,<2,3>,<3,1>,<1,1>,<2,2>,<3,3>}；对称闭包s(R)=R∪R⁻¹={<1,2>,<2,3>,<3,1>,<2,1>,<3,2>,<1,3>}；传递闭包t(R)=R∪R²∪R³={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,1>,<2,2>,<2,3>,<3,1>,