《高等数学（航空类）》高职全套教学课件

第一章

基础知识基础模块高等数学（航空类）第1章_基础知识.pptx高等数学（航空类）第2章_极限与连续.pptx高等数学（航空类）第3章_导数与微分.pptx高等数学（航空类）第4章_导数的应用(1).pptx高等数学（航空类）第5章_不定积分(1).pptx高等数学（航空类）第6章_定积分.pptx高等数学（航空类）第7章_微分方程.pptx高等数学（航空类）第8章_多元函数微积分及其应用.pptx高等数学（航空类）第9章空间解析几何.pptx高等数学（航空类）第10章_航空工程测量误差理论基础.pptx全套可编辑PPT课件学习目标与章节结构CHAPTER01学习目标理解变量、分式的概念，掌握分式、指数、对数的运算.掌握区间的表示法，会提取同类项和因式分解等技巧，掌握指数和对数的基本概念和运算方法.会求函数的定义域，会求反函数，会分解复合函数的复合过程，能判断函数的单调性、奇偶性等特性.掌握简单几何体的性质，会求直线方程.01代数基础02等式与不等式03函数及其性质04几何基础用数学的眼光看世界

用数学的思维分析世界

用数学的语言表达世界

用数学的工具改造世界第一章

基础知识基础模块第一节代数基础第一章基础知识

第二节等式与不等式第三节函数及其性质第四节几何基础

一、常量与变量第一节代数基础在观察自然现象或技术过程时，常常会遇到各种不同的量。常量有的量在此过程中保持不变，也就是保持一定的数值，这种量叫作常量。变量还有一些量在此过程中发生变化，这种量叫作变量。专业情境一、常量与变量第一节代数基础二、分式及其运算第一节代数基础由数与字母的积或字母与字母的积所组成的代数式叫作单项式.单项式中的常数因数叫作单项式的系数.几个单项式的和，称为多项式.多项式中的每个单项式都叫作多项式的项，这些单项式中最高次项的次数，就是这个多项式的次数，其中多项式中不含字母的项叫作常数项.第一节代数基础二、分式及其运算第一节代数基础二、分式及其运算第一节代数基础二、分式及其运算第一节代数基础二、分式及其运算三、指数幂及其运算第一节代数基础三、指数幂及其运算第一节代数基础三、指数幂及其运算第一节代数基础三、指数幂及其运算第一节代数基础四、对数及其运算第一节代数基础第一节代数基础四、对数及其运算第一节代数基础四、对数及其运算第一节代数基础四、对数及其运算第一节代数基础四、对数及其运算基础模块第一节代数基础第一章基础知识

第二节等式与不等式第三节函数及其性质第四节几何基础

第二节等式与不等式一、集合与区间第二节等式与不等式一、集合与区间第二节等式与不等式一、集合与区间第二节等式与不等式二、等式第二节等式与不等式一、集合与区间第二节等式与不等式一、集合与区间第二节等式与不等式三、因式分解第二节等式与不等式三、因式分解第二节等式与不等式三、因式分解第二节等式与不等式三、因式分解第二节等式与不等式三、因式分解第二节等式与不等式三、因式分解第二节等式与不等式四、不等式第二节等式与不等式四、不等式第二节等式与不等式四、不等式第二节等式与不等式四、不等式第二节等式与不等式四、不等式第二节等式与不等式四、不等式基础模块第一节代数基础第一章基础知识

第二节等式与不等式第三节函数及其性质第四节几何基础

第三节函数及其性质一、函数的概念及其表示法第三节函数及其性质二、基本初等函数第三节函数及其性质二、基本初等函数第三节函数及其性质二、基本初等函数第三节函数及其性质二、基本初等函数第三节函数及其性质二、基本初等函数第三节函数及其性质二、基本初等函数第三节函数及其性质二、基本初等函数第三节函数及其性质二、基本初等函数第三节函数及其性质二、基本初等函数第三节函数及其性质二、基本初等函数第三节函数及其性质二、基本初等函数第三节函数及其性质二、基本初等函数第三节函数及其性质二、基本初等函数第三节函数及其性质三、复合函数第三节函数及其性质三、复合函数第三节函数及其性质四、初等函数第三节函数及其性质五、分段函数第三节函数及其性质六、隐函数第三节函数及其性质七、反函数第三节函数及其性质七、反函数第三节函数及其性质八、函数的两大要素函数的两大要素是对应法则和定义域，两函数若相同，需同时满足对应法则相同、定义域相同.第三节函数及其性质八、函数的两大要素第三节函数及其性质八、函数的两大要素第三节函数及其性质八、函数的两大要素第三节函数及其性质八、函数的两大要素第三节函数及其性质八、函数的两大要素第三节函数及其性质八、函数的两大要素第三节函数及其性质八、函数的两大要素第三节函数及其性质八、函数的两大要素第三节函数及其性质八、函数的两大要素第三节函数及其性质八、函数的两大要素第三节函数及其性质九、函数的性质第三节函数及其性质九、函数的性质第三节函数及其性质九、函数的性质第三节函数及其性质九、函数的性质第三节函数及其性质九、函数的性质第三节函数及其性质九、函数的性质第三节函数及其性质九、函数的性质第三节函数及其性质九、函数的性质第三节函数及其性质九、函数的性质第三节函数及其性质九、函数的性质第三节函数及其性质九、函数的性质第三节函数及其性质九、函数的性质第三节函数及其性质十、建立函数关系式第三节函数及其性质十、建立函数关系式第三节函数及其性质十一、充分条件与必要条件第三节函数及其性质十一、充分条件与必要条件基础模块第一节代数基础第一章基础知识

第二节等式与不等式第三节函数及其性质第四节几何基础第四节几何基础一、简单几何体介绍第四节几何基础一、简单几何体介绍第四节几何基础二、简单几何体的表面积和体积第四节几何基础二、简单几何体的表面积和体积第四节几何基础二、简单几何体的表面积和体积第四节几何基础三、平面解析几何基础第四节几何基础三、平面解析几何基础第四节几何基础三、平面解析几何基础第四节几何基础三、平面解析几何基础第二章极限与连续基础模块学习目标与章节结构CHAPTER02学习目标理理解极限与连续的概念，掌握极限的性质和运算法则.掌握两个重要极限.能够运用极限方法分析并解决实际问题.理解无穷大和无穷小的概念，掌握等价无穷小代换定理.能够运用极限方法判断函数在某点的连续性.掌握连续函数的性质.01函数的极限02极限的运算03函数的连续性第二章极限与连续用数学的眼光看世界

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用数学的工具改造世界基础模块第一节函数的极限第二章极限与连续

第二节极限的运算第三节函数的连续性第一节函数的极限一、引例第一节函数的极限一、引例第一节函数的极限一、引例第一节函数的极限一、引例第一节函数的极限一、引例第一节函数的极限第一节函数的极限第一节函数的极限第一节函数的极限第一节函数的极限第一节函数的极限第一节函数的极限第一节函数的极限第一节函数的极限第一节函数的极限第一节函数的极限第一节函数的极限第一节函数的极限第一节函数的极限第一节函数的极限第一节函数的极限第一节函数的极限第一节函数的极限第一节函数的极限第一节函数的极限基础模块第一节函数的极限第二章极限与连续

第二节极限的运算第三节函数的连续性第二节极限的运算第二节极限的运算第二节极限的运算第二节极限的运算第二节极限的运算第二节极限的运算第二节极限的运算第二节极限的运算第二节极限的运算第二节极限的运算第二节极限的运算第二节极限的运算第二节极限的运算第二节极限的运算第二节极限的运算第二节极限的运算第二节极限的运算第二节极限的运算第二节极限的运算第二节极限的运算第二节极限的运算第二节极限的运算第二节极限的运算第二节极限的运算第二节极限的运算第二节极限的运算第二节极限的运算第二节极限的运算第二节极限的运算第二节极限的运算第二节极限的运算三、无穷小的阶第二节极限的运算三、无穷小的阶第二节极限的运算三、无穷小的阶第二节极限的运算三、无穷小的阶第二节极限的运算三、无穷小的阶第二节极限的运算三、无穷小的阶第二节极限的运算三、无穷小的阶第二节极限的运算三、无穷小的阶第二节极限的运算三、无穷小的阶第二节极限的运算三、无穷小的阶第二节极限的运算三、无穷小的阶第二节极限的运算三、无穷远极限与铅直渐近线、水平渐近线第二节极限的运算三、无穷远极限与铅直渐近线、水平渐近线第二节极限的运算三、无穷远极限与铅直渐近线、水平渐近线第二节极限的运算三、无穷远极限与铅直渐近线、水平渐近线第二节极限的运算三、无穷远极限与铅直渐近线、水平渐近线基础模块第一节函数的极限第二章极限与连续

第二节极限的运算第三节函数的连续性第三节函数的连续性一、函数的连续第三节函数的连续性一、函数的连续第三节函数的连续性一、函数的连续第三节函数的连续性一、函数的连续第三节函数的连续性二、函数的间断点第三节函数的连续性二、函数的间断点第三节函数的连续性二、函数的间断点第三节函数的连续性二、函数的间断点第三节函数的连续性二、函数的间断点第三节函数的连续性二、函数的间断点第三节函数的连续性二、函数的间断点第三节函数的连续性三、初等函数的连续性第三节函数的连续性三、初等函数的连续性第三节函数的连续性三、初等函数的连续性第三节函数的连续性三、初等函数的连续性第三节函数的连续性四、闭区间上连续函数的主要性质第三节函数的连续性四、闭区间上连续函数的主要性质第三节函数的连续性四、闭区间上连续函数的主要性质第三章导数与微分基础模块学习目标与章节结构CHAPTER03学习目标理解导数的概念和几何意义.识记基本求导公式、导数的四则运算法则、链式法则.会求隐函数、参数函数的导数，会求二阶导数，理解微分的概念，会求函数的微分.01导数的概念02直接求导法03复合函数求导法

隐函数求导法和

高阶导数

函数的微分

参数方程求导法

第三章导数与微分040506用数学的眼光看世界

用数学的思维分析世界

用数学的语言表达世界

用数学的工具改造世界基础模块第一节导数的概念第三章导数与微分

第二节直接求导法第三节复合函数求导法第四节隐函数求导法和参数方程求导法第五节高阶导数第六节函数的微分第三章导数与微分一、引例（1）第三章导数与微分一、引例（1）第三章导数与微分一、引例（1）第三章导数与微分一、引例（2）第三章导数与微分一、引例（2）第三章导数与微分一、引例（2）第三章导数与微分一、引例第三章导数与微分二、导数的定义第三章导数与微分二、导数的定义第三章导数与微分二、导数的定义第三章导数与微分二、导数的定义第三章导数与微分二、导数的定义第三章导数与微分二、导数的定义第三章导数与微分二、导数的定义第三章导数与微分二、导数的定义第三章导数与微分二、导数的定义第三章导数与微分三、函数在区间可导第三章导数与微分四、导数的几何意义第三章导数与微分四、导数的几何意义第三章导数与微分五、左导数与右导数第三章导数与微分六、可导与连续第三章导数与微分六、可导与连续第三章导数与微分六、可导与连续第三章导数与微分六、可导与连续第三章导数与微分六、可导与连续第三章导数与微分六、可导与连续第三章导数与微分六、可导与连续基础模块第一节导数的概念第三章导数与微分

第二节直接求导法第三节复合函数求导法第四节隐函数求导法和参数方程求导法第五节高阶导数第六节函数的微分第三章导数与微分引例第三章导数与微分引例第三章导数与微分引例第三章导数与微分二、导数的基本公式第三章导数与微分二、导数的基本公式第三章导数与微分二、导数的基本公式第三章导数与微分二、导数的基本公式第三章导数与微分二、导数的基本公式第三章导数与微分二、导数的基本公式第三章导数与微分二、导数的基本公式第三章导数与微分二、导数的基本公式第三章导数与微分二、导数的基本公式第三章导数与微分二、导数的基本公式第三章导数与微分二、导数的基本公式第三章导数与微分二、导数的基本公式第三章导数与微分二、导数的基本公式第三章导数与微分二、导数的基本公式第三章导数与微分二、导数的基本公式基础模块第一节导数的概念第三章导数与微分

第二节直接求导法第三节复合函数求导法第四节隐函数求导法和参数方程求导法第五节高阶导数第六节函数的微分第三章导数与微分一、复合函数求导法第三章导数与微分一、复合函数求导法第三章导数与微分一、复合函数求导法第三章导数与微分一、复合函数求导法第三章导数与微分一、复合函数求导法第三章导数与微分一、复合函数求导法第三章导数与微分一、复合函数求导法第三章导数与微分一、复合函数求导法第三章导数与微分一、复合函数求导法第三章导数与微分一、复合函数求导法第三章导数与微分一、复合函数求导法第三章导数与微分一、复合函数求导法第三章导数与微分一、复合函数求导法第三章导数与微分一、复合函数求导法第三章导数与微分一、复合函数求导法第三章导数与微分一、复合函数求导法第三章导数与微分一、复合函数求导法第三章导数与微分一、复合函数求导法第三章导数与微分一、复合函数求导法第三章导数与微分一、复合函数求导法基础模块第一节导数的概念第三章导数与微分

第二节直接求导法第三节复合函数求导法第四节隐函数求导法和参数方程求导法第五节高阶导数第六节函数的微分第三章导数与微分一、隐函数求导法第三章导数与微分一、隐函数求导法第三章导数与微分一、隐函数求导法第三章导数与微分一、隐函数求导法第三章导数与微分一、隐函数求导法第三章导数与微分一、隐函数求导法第三章导数与微分一、隐函数求导法第三章导数与微分一、隐函数求导法第三章导数与微分一、隐函数求导法第三章导数与微分二、参数方程求导法第三章导数与微分二、参数方程求导法第三章导数与微分二、参数方程求导法第三章导数与微分二、参数方程求导法第三章导数与微分二、参数方程求导法第三章导数与微分二、参数方程求导法基础模块第一节导数的概念第三章导数与微分

第二节直接求导法第三节复合函数求导法第四节隐函数求导法和参数方程求导法第五节高阶导数第六节函数的微分第三章导数与微分一、高阶导数第三章导数与微分一、高阶导数第三章导数与微分一、高阶导数第三章导数与微分一、高阶导数第三章导数与微分一、高阶导数第三章导数与微分一、高阶导数第三章导数与微分一、高阶导数第三章导数与微分一、高阶导数第三章导数与微分一、高阶导数第三章导数与微分一、高阶导数第三章导数与微分一、高阶导数第三章导数与微分一、高阶导数基础模块第一节导数的概念第三章导数与微分

第二节直接求导法第三节复合函数求导法第四节隐函数求导法和参数方程求导法第五节高阶导数第六节函数的微分第三章导数与微分一、微分的概念第三章导数与微分一、微分的概念第三章导数与微分二、微分基本公式和微分四则运算法则第三章导数与微分二、微分基本公式和微分四则运算法第三章导数与微分二、微分基本公式和微分四则运算法

第三章导数与微分二、微分基本公式和微分四则运算法

第三章导数与微分二、微分基本公式和微分四则运算法

第三章导数与微分二、微分基本公式和微分四则运算法

第三章导数与微分二、微分基本公式和微分四则运算法

第三章导数与微分二、微分基本公式和微分四则运算法

第三章导数与微分二、微分基本公式和微分四则运算法

第三章导数与微分二、微分基本公式和微分四则运算法

第三章导数与微分二、微分基本公式和微分四则运算法

第三章导数与微分三、凑微分第三章导数与微分三、凑微分第三章导数与微分第三章导数与微分第三章导数与微分第三章导数与微分微积分·高等数学第四章·导数的应用中值定理·洛必达法则·单调性与极值·最值·凹凸与拐点2026年

课程导览

01微分中值定理罗尔定理与拉格朗日定理，导数分析的理论基石

02洛必达法则标准型与非标准型未定式极限的求解利器

03函数的单调性和极值一阶导数判定单调区间与极值点

0405函数的最值最值求解、闭区间觅最值基础模块学习目标掌握微分中值定理并能解决实际问题，掌握洛必达法则及其应用，掌握用导数求函数的极值、最值的方法，掌握用导数的方法判断函数的单调性、描绘函数图像，掌握用导数与微分的知识解决实际问题的方法，理解曲率的概念，掌握曲率的应用.曲线的凸凹与拐点凹凸定曲线，最值求解、凹凸拐点与函数图形描绘课前阅读

蜂巢中的数学蜜蜂以正六棱柱构筑巢房，其几何结构暗含最优化数学原理蜂巢构筑正六棱柱结构蜂巢由许多正六棱柱连接而成，入口是由正六边形铺满的一个平面区域几何数据每个巢房底部由三个全等菱形封闭：钝角均为129°28′，锐角均为70°32′，巢房容积均为0.25cm³数学问题同种正多边形无缝隙铺满平面时如何使面积最大用料最省；容积一定时正六棱柱用怎样的三个全等菱形作底最省材料马克思：蜜蜂建筑蜂巢的本领使许多人类建筑师都赞不绝口第四章导数的应用一、引例SECTION01微分中值定理数缺形时少直观，形缺数时难入微罗尔定理与拉格朗日定理，搭建导数与函数增量的桥梁第四章导数的应用一、微分中值定理第四章导数的应用一、微分中值定理第四章导数的应用一、微分中值定理第四章导数的应用一、微分中值定理第四章导数的应用一、微分中值定理第四章导数的应用一、微分中值定理第四章导数的应用一、微分中值定理第四章导数的应用一、微分中值定理罗尔中值定理及几何解释至少存在一点

ξ∈(a,b)，使得

f′(ξ)=0定理条件在闭区间

[a,b]

上连续。在开区间

(a,b)

内可导。两端点函数值相等

f(a)=f(b)几何解释连续曲线y=f(x)在(a,b)内每一点都存在不垂直于x轴的切线。两端点纵坐标相等，即f(a)=f(b)。存在点

C(ξ,f(ξ))，使该点处切线平行于x轴。拉格朗日中值定理及几何解释在某段间隔内存在一点，该点的瞬时变化率等于平均变化率几何解释2项切线存在连续函数

y=f(x)

在开区间(a,b)内每一点都存在不垂直于x轴的切线切线平行弦存在一点

ξ，使函数在点C(ξ,f(ξ))处的切线平行于弦AB理解要点2项核心本质瞬时变化率等于平均变化率重要性可以利用它从函数的导数中获取函数的信息拉格朗日中值定理的两个推论由拉格朗日中值定理出发，可得到两个直接推论，为后续单调性判别提供依据。两个推论：常数判定

与

函数差值判定推论1导数恒为零则函数为常数条件：开区间(a,b)内导数f′(x)恒为零结论：函数f(x)在(a,b)内是一个常数充分条件常数函数推论2导数相等则函数相差常数条件：开区间(a,b)内f′(x)=g′(x)结论：f(x)=g(x)+C，仅差一个常数导数等式相差常数SECTION02洛必达法则对条件不乱用，必要时可重用，其他方法要活用化归标准型，攻克零比零与无穷比无穷型极限第四章导数的应用一、洛必达法则第四章导数的应用一、洛必达法则第四章导数的应用一、洛必达法则第四章导数的应用一、洛必达法则第四章导数的应用一、洛必达法则第四章导数的应用一、洛必达法则第四章导数的应用一、洛必达法则第四章导数的应用一、洛必达法则第四章导数的应用一、洛必达法则第四章导数的应用一、洛必达法则第四章导数的应用一、洛必达法则洛必达法则（标准型）limf(x)/g(x)=limf'(x)/g'(x)=A适用条件函数趋零或趋无穷在点a的某去心邻域内，f(x)与g(x)都可导且g'(x)≠0g'(x)≠0在点a的某去心邻域内，g'(x)≠0导数比极限存在limf'(x)/g'(x)=A，则limf(x)/g(x)=A适用扩展可推广至更广情形可推广至x→∞及无穷大情形条件缺一不可三个条件缺一不可第四章导数的应用一、洛必达法则第四章导数的应用一、洛必达法则第四章导数的应用一、洛必达法则第四章导数的应用一、洛必达法则第四章导数的应用一、洛必达法则第四章导数的应用一、洛必达法则第四章导数的应用一、洛必达法则非标准型未定式的化归除0／0型

与∞／∞型

以外，其他类型的未定式极限统称为非标准型，可利用转化化归思想，通过变形转化为标准型。对条件不乱用，必要时可重用，其他方法要活用0·∞型转化为

0/0型

或

∞/∞型常见非标准型化归思想∞−∞型通分或有理化转化为标准型常见非标准型化归思想1^∞型取对数转化为

0·∞型常见非标准型化归思想等价无穷小与法则失效法则失效情形形式上满足洛必达法则条件，但求导后极限不存在，而原极限实际存在。应灵活考虑其他求法。等价无穷小代换边界仅可用于相乘或相除的无穷小。相加或相减的无穷小不能随意替换。VS拓展阅读

拉格朗日与洛必达拉格朗日：分析力学的奠基者，其生平与法则渊源的数学文化背景拉格朗日：分析力学的奠基者3项法国数学家父亲曾任法国陆军骑兵军官，后经商破产；他对法律毫无兴趣，科学研究领域极其广泛分析力学使数学分析与几何、力学脱离开来，让数学的独立性更为清晰；名著《分析力学》引入势和等势面概念，建立拉格朗日方程天体力学发现三体问题运动方程的五个特解（拉格朗日平动解），还提出彗星起源假说洛必达法则的渊源洛必达法则最早出现在洛必达的《无限小分析》（1696年）教科书中，是世界第一本系统的微积分学教科书；洛必达是法国贵族，15岁解出帕斯卡的摆线难题，后拜约翰·伯努利为师学习微积分SECTION03函数的单调性和极值导数正负定增减，驻点不可导点皆为界用一阶导数刻画函数升降，辨析驻点与极值点第四章导数的应用一、引例第四章导数的应用二、函数的单调性、函数的单调性第四章导数的应用二、函数的单调性、函数的单调性第四章导数的应用二、函数的单调性、函数的单调性第四章导数的应用二、函数的单调性、函数的单调性第四章导数的应用二、函数的单调性、函数的单调性第四章导数的应用二、函数的单调性、函数的单调性函数单调性的判别法设函数

y=f(x)

在区间

[a,b]

上连续，在区间

(a,b)

内可导。f′(x)＞0单调递增函数在区间

(a,b)

上单调递增f′(x)＜0单调递减函数在区间

(a,b)

上单调递减VS判别法的证明由拉格朗日中值定理，在(a,b)内任取x₁＜x₂，有f(x₂)−f(x₁)=f′(ξ)(x₂−x₁)，ξ∈(x₁,x₂)若f′(x)＞0已知条件f′(ξ)＞0

且

x₂−x₁＞0推导结论从而

f(x₁)＜f(x₂)函数性质函数单调递增若f′(x)＜0已知条件f′(ξ)＜0

且

x₂−x₁＞0推导结论从而

f(x₁)＞f(x₂)函数性质函数单调递减驻点与单调区间分界点驻点定义判据满足导数

f′(x0)=0

的点x0

称为函数y=f(x)的驻点驻点定义条件满足导数

f′(x0)=0

的点x0

称为函数y=f(x)的驻点单调区间分界点情形分界点可能是

驻点

或

不可导点单调区间分界点来源分界点可能是

驻点

或

不可导点第四章导数的应用三、函数的极值、函数的单调性第四章导数的应用三、函数的极值、函数的单调性第四章导数的应用三、函数的极值、函数的单调性第四章导数的应用三、函数的极值、函数的单调性第四章导数的应用三、函数的极值、函数的单调性第四章导数的应用三、函数的极值、函数的单调性第四章导数的应用三、函数的极值、函数的单调性第四章导数的应用三、函数的极值、函数的单调性第四章导数的应用三、函数的极值、函数的单调性第四章导数的应用三、函数的极值、函数的单调性第四章导数的应用三、函数的极值、函数的单调性第四章导数的应用三、函数的极值、函数的单调性SECTION04函数的最值函数的最大值与最小值，闭区间觅最值，诸点较值定取舍依托闭区间函数性质，比对候选点函数值，求取区间最值第四章导数的应用一、函数的最值、函数的单调性第四章导数的应用一、函数的最值、函数的单调性第四章导数的应用一、函数的最值、函数的单调性第四章导数的应用一、函数的最值、函数的单调性第四章导数的应用一、函数的最值、函数的单调性第四章导数的应用一、函数的最值、函数的单调性第四章导数的应用一、函数的最值、函数的单调性第四章导数的应用一、函数的最值、函数的单调性第四章导数的应用一、函数的最值、函数的单调性函数的最值及其求解步骤求解流程三步求最值函数在给定区间上的最大值与最小值，刻画函数的整体性态1步骤01求导数确定驻点确定不可导点2步骤02列候选汇总驻点汇总不可导点汇总区间端点3步骤03比大小比较各点函数值取最大值与最小值极值局部看，最值全局求——区间内的最值可能在极值点或端点取得SECTION05曲线的凸凹与拐点极值局部看，最值全局求，凹凸定曲线最值求解、凹凸拐点与函数图形描绘，回归实际情境第四章导数的应用一、曲线的凸凹、函数的单调性第四章导数的应用一、曲线的凸凹、函数的单调性第四章导数的应用二、曲线的拐点、函数的单调性第四章导数的应用二、曲线的拐点、函数的单调性第四章导数的应用二、曲线的拐点、函数的单调性第四章导数的应用二、曲线的拐点、函数的单调性第四章导数的应用二、曲线的拐点、函数的单调性第四章导数的应用三、函数图形的描绘、函数的单调性第四章导数的应用三、函数图形的描绘、函数的单调性第四章导数的应用三、函数图形的描绘、函数的单调性第四章导数的应用三、函数图形的描绘、函数的单调性第四章导数的应用三、函数图形的描绘、函数的单调性第四章导数的应用三、函数图形的描绘、函数的单调性第四章导数的应用三、函数图形的描绘、函数的单调性第四章导数的应用三、函数图形的描绘、函数的单调性曲线的凹凸性及其判别法以二阶导数符号判别曲线凹凸，刻画曲线弯曲方向f″(x)>0

曲线凹f″(x)<0

曲线凸凹凸性判别法符号判别方向以二阶导数

f″(x)

的符号判别曲线的凸凹方向：正

则凹，负

则凸f″(x)>0→凹f″(x)<0→凸结合单调性整体刻画结合单调性判定，形成对函数性态的整体刻画一阶导数f′(x)→单调性二阶导数f″(x)→凹凸性两者结合即得函数形态全貌拐点与函数图形描绘拐点：曲线凹凸性发生改变的点，是描绘函数图像的关键位置1确定定义域函数图像描绘的基础前提2讨论单调性与极值判断曲线的升降与峰谷位置3讨论凹凸性与拐点把握曲线的弯曲方向与转向点4结合特殊点作图标注关键点连成完整图像学习目标：掌握用导数的方法判断函数的单调性、描绘函数图像第四章导数的应用ENDING、函数的单调性第四章导数的应用ENDING、函数的单调性第四章导数的应用ENDING、函数的单调性第四章导数的应用ENDING、函数的单调性第四章导数的应用ENDING、函数的单调性第四章导数的应用ENDING、函数的单调性第四章导数的应用ENDING、函数的单调性第四章导数的应用ENDING、函数的单调性第四章导数的应用ENDING、函数的单调性第四章导数的应用ENDING、函数的单调性第四章导数的应用ENDING、函数的单调性第四章导数的应用ENDING、函数的单调性第五章

不定积分原函数·基本公式·换元积分·分部积分学习目标与章节结构CHAPTER05学习目标理解不定积分的概念和性质，了解不定积分与导数、微分的关系，掌握用不定积分的方法解决实际问题，掌握用不定积分公式和性质计算不定积分，掌握用直接积分法、换元积分法、分部积分法求解实际问题.01原函数与不定积分02不定积分的第一换元积分法03不定积分的第二换元积分法

第五章不定积分0405积分表的使用不定积分的分部积分法用数学的眼光看世界

用数学的思维分析世界

用数学的语言表达世界

用数学的工具改造世界基础模块第一节原函数与不定积分第五章不定积分

第二节不定积分的第一换元积分法第三节不定积分的第二换元积分法

第四节不定积分的分部积分法第五节积分表的使用第五章不定积分一、原函数第五章不定积分一、原函数第五章不定积分一、原函数例一问题的实质是导数的逆运算问题第五章不定积分一、原函数第五章不定积分一、原函数第五章不定积分一、原函数第五章不定积分二、不定积分的几何意义第五章不定积分二、不定积分的几何意义第五章不定积分三、不定积分的性质第五章不定积分三、不定积分的性质第五章不定积分四、不定积分的基本公式第五章不定积分四、不定积分的基本公式第五章不定积分四、不定积分的基本公式第五章不定积分四、不定积分的基本公式第五章不定积分四、不定积分的基本公式第五章不定积分四、不定积分的基本公式第五章不定积分四、不定积分的基本公式第五章不定积分四、不定积分的基本公式第五章不定积分四、不定积分的基本公式第五章不定积分四、不定积分的基本公式第五章不定积分四、不定积分的基本公式第五章不定积分四、不定积分的基本公式第五章不定积分四、不定积分的基本公式第五章不定积分四、不定积分的基本公式第五章不定积分四、不定积分的基本公式第五章不定积分四、不定积分的基本公式第五章不定积分四、不定积分的基本公式第五章不定积分四、不定积分的基本公式第五章不定积分四、不定积分的基本公式基础模块第一节原函数与不定积分第五章不定积分

第二节不定积分的第一换元积分法第三节不定积分的第二换元积分法

第四节不定积分的分部积分法第五节积分表的使用第五章不定积分不定积分的第一换元积分法第五章不定积分不定积分的第一换元积分法第五章不定积分不定积分的第一换元积分法第五章不定积分不定积分的第一换元积分法第五章不定积分不定积分的第一换元积分法第五章不定积分不定积分的第一换元积分法第五章不定积分不定积分的第一换元积分法第五章不定积分不定积分的第一换元积分法第五章不定积分不定积分的第一换元积分法第五章不定积分不定积分的第一换元积分法第五章不定积分不定积分的第一换元积分法第五章不定积分不定积分的第一换元积分法第五章不定积分不定积分的第一换元积分法第五章不定积分不定积分的第一换元积分法第五章不定积分不定积分的第一换元积分法第五章不定积分不定积分的第一换元积分法第五章不定积分不定积分的第一换元积分法第五章不定积分不定积分的第一换元积分法第五章不定积分不定积分的第一换元积分法第五章不定积分不定积分的第一换元积分法第五章不定积分不定积分的第一换元积分法第五章不定积分不定积分的第一换元积分法第五章不定积分不定积分的第一换元积分法第五章不定积分不定积分的第一换元积分法第五章不定积分不定积分的第一换元积分法第五章不定积分不定积分的第一换元积分法第五章不定积分不定积分的第一换元积分法第五章不定积分不定积分的第一换元积分法基础模块第一节原函数与不定积分第五章不定积分

第二节不定积分的第一换元积分法第三节不定积分的第二换元积分法

第四节不定积分的分部积分法第五节积分表的使用第五章不定积分不定积分的第二换元积分法第五章不定积分一、根式代换（简称根换）第五章不定积分一、根式代换（简称根换）第五章不定积分一、根式代换（简称根换）第五章不定积分一、根式代换（简称根换）第五章不定积分二、正余弦代换（简称弦换）第五章不定积分二、正余弦代换（简称弦换）第五章不定积分二、正余弦代换（简称弦换）第五章不定积分二、正余弦代换（简称弦换）第五章不定积分三、正余切代换（简称切换）第五章不定积分三、正余切代换（简称切换）第五章不定积分四、正余割代换（简称割换）第五章不定积分四、正余割代换（简称割换）第五章不定积分四、正余割代换（简称割换）第五章不定积分四、正余割代换（简称割换）基础模块第一节原函数与不定积分第五章不定积分

第二节不定积分的第一换元积分法第三节不定积分的第二换元积分法

第四节不定积分的分部积分法第五节积分表的使用第五章不定积分一、分部积分公式的推导第五章不定积分一、分部积分公式的推导第五章不定积分二、公式的使用第五章不定积分二、公式的使用第五章不定积分二、公式的使用第五章不定积分二、公式的使用第五章不定积分二、公式的使用第五章不定积分二、公式的使用第五章不定积分二、公式的使用第五章不定积分二、公式的使用第五章不定积分二、公式的使用第五章不定积分二、公式的使用第五章不定积分二、公式的使用第五章不定积分二、公式的使用第五章不定积分二、公式的使用第五章不定积分二、公式的使用第五章不定积分二、公式的使用第五章不定积分二、公式的使用第五章不定积分二、公式的使用第五章不定积分二、公式的使用第五章不定积分二、公式的使用第五章不定积分二、公式的使用第五章不定积分二、公式的使用第五章不定积分二、公式的使用第五章不定积分二、公式的使用第五章不定积分二、公式的使用第五章不定积分二、公式的使用第五章不定积分二、公式的使用第五章不定积分二、公式的使用基础模块第一节原函数与不定积分第五章不定积分

第二节不定积分的第一换元积分法第三节不定积分的第二换元积分法

第四节不定积分的分部积分法第五节积分表的使用第五章不定积分积分表的使用第五章不定积分积分表的使用第五章不定积分积分表的使用第五章不定积分积分表的使用第五章不定积分THEEND第五章不定积分THEEND第五章不定积分THEEND第五章不定积分THEEND第五章不定积分THEEND第五章不定积分THEEND第五章不定积分THEEND第五章不定积分THEEND第五章不定积分THEEND第五章不定积分THEEND第五章不定积分THEEND第五章不定积分THEEND第五章不定积分THEEND第五章不定积分THEEND第五章不定积分THEEND第六章定积分内容导航01概念与性质曲边梯形面积、定积分定义、几何意义、性质与牛顿-莱布尼茨公式02定积分的计算第一第二换元积分法、分部积分法、对称区间公式与广义积分03几何上的应用平面图形的面积、旋转体的体积学习目标理解定积分的概念，掌握定积分的性质，理解变上限定积分的概念，掌握变上限定积分的计算方法，掌握用牛顿-莱布尼茨公式求定积分的方法，灵活运用直接积分法、换元积分法、分部积分法解决定积分问题，灵活运用定积分的基本性质及基本定积分公式解决实际问题，理解广义积分的概念，掌握广义积分的性质、计算及应用.第一章定积分的概念与性质化整为零，以直代曲，积零为整，逐步精确从曲边梯形面积出发，理解定积分的本质01第六章导数与微分一、定积分的一个实例—曲边梯形的面积第六章导数与微分一、定积分的一个实例—曲边梯形的面积第六章导数与微分一、定积分的一个实例—曲边梯形的面积第六章导数与微分一、定积分的一个实例—曲边梯形的面积第三章导数与微分二、定积分的定义第六章导数与微分二、定积分的定义定积分的定义与可积条件和式的极限值即为定积分设函数

y=f(x)

在区间[a,b]上有界，插入分点，任取ξi，作乘积f(ξi)Δxi

并求和。记λ为最大区间长度，当λ趋于0时，不论区间怎样分、ξi

怎样取，和式总趋于确定值

S，则称f(x)在[a,b]上可积，并称S为f(x)在[a,b]上的定积分。组成部分名称说明f(x)被积函数函数本身f(x)dx被积表达式含微分符号的完整表达式x积分变量积分对哪个变量进行的a积分下限区间起点b积分上限区间终点[a,b]积分区间积分作用的区间范围可积条件闭区间上的连续函数一定可积。物理意义若x表示时间、f(x)表示速度，定积分表示物体在该时段内走过的路程；若f(x)表示功率，则定积分表示该时段内所做的功。第六章导数与微分三、定积分的几何意义第六章导数与微分三、定积分的几何意义第六章导数与微分三、定积分的几何意义第六章导数与微分三、定积分的几何意义第六章导数与微分三、定积分的几何意义第六章导数与微分四、定积分的性质第六章导数与微分四、定积分的性质第六章导数与微分四、定积分的性质第六章导数与微分四、定积分的性质第六章导数与微分五、牛顿－莱布尼茨公式（N−L公式）第六章导数与微分五、牛顿－莱布尼茨公式（N−L公式）第六章导数与微分五、牛顿－莱布尼茨公式（N−L公式）第六章导数与微分五、牛顿－莱布尼茨公式（N−L公式）第六章导数与微分五、牛顿－莱布尼茨公式（N−L公式）第六章导数与微分六、变上限定积分第六章导数与微分六、变上限定积分第六章导数与微分六、变上限定积分第六章导数与微分六、变上限定积分第六章导数与微分六、变上限定积分第六章导数与微分六、变上限定积分第六章导数与微分六、变上限定积分第二章定积分的计算换元必换限，换限不回代掌握换元、分部与广义积分的计算技巧02第六章导数与微分一、定积分的第一换元积分法第六章导数与微分一、定积分的第一换元积分法第六章导数与微分一、定积分的第一换元积分法第六章导数与微分一、定积分的第一换元积分法第六章导数与微分一、定积分的第一换元积分法第六章导数与微分一、定积分的第一换元积分法第六章导数与微分二、定积分的第二换元积分法第六章导数与微分二、定积分的第二换元积分法第六章导数与微分三、定积分的分部积分法第六章导数与微分三、定积分的分部积分法第六章导数与微分三、定积分的分部积分法第六章导数与微分三、定积分的分部积分法第六章导数与微分三、定积分的分部积分法第六章导数与微分四、定积分的公式第六章导数与微分四、定积分的公式第六章导数与微分四、定积分的公式第六章导数与微分四、定积分的公式第六章导数与微分四、定积分的公式第六章导数与微分五、广义积分第六章导数与微分五、广义积分第六章导数与微分五、广义积分第六章导数与微分五、广义积分第六章导数与微分五、广义积分第三章定积分在几何上的应用上减下求面积，旋转一周得体积用定积分解决平面图形面积与旋转体体积问题03第六章导数与微分一、平面图形的面积第六章导数与微分一、平面图形的面积第六章导数与微分一、平面图形的面积第六章导数与微分一、平面图形的面积第六章导数与微分一、平面图形的面积第六章导数与微分一、平面图形的面积第六章导数与微分一、平面图形的面积第六章导数与微分一、平面图形的面积第六章导数与微分一、平面图形的面积第六章导数与微分二、旋转体的体积第六章导数与微分二、旋转体的体积第六章导数与微分二、旋转体的体积第六章导数与微分二、旋转体的体积第六章导数与微分二、旋转体的体积第六章导数与微分二、旋转体的体积第六章导数与微分二、旋转体的体积第七章微分方程职业模块学习目标与章节结构CHAPTER07学习目标1.理解微分方程、隐式解、通解、初始条件、特解等概念.2.熟练掌握可分离变量微分方程的解法.3.熟练掌握一阶线性微分方程的解法.4.了解二阶微分方程的解的结构.5.掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法.01微分方程的基本概念02一阶微分方程03二阶微分方程第七章微分方程04微分方程的应用用数学的眼光看世界

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用数学的工具改造世界职业模块第一节微分方程的基本概念第七章微分方程

第二节一阶微分方程第三节二阶微分方程第四节微分方程的应用第一节微分方程的基本概念一、微分方程的基本概念第一节微分方程的基本概念一、微分方程的基本概念第一节微分方程的基本概念一、微分方程的基本概念第一节微分方程的基本概念一、微分方程的基本概念第一节微分方程的基本概念一、微分方程的基本概念第一节微分方程的基本概念一、微分方程的基本概念职业模块第一节微分方程的基本概念第七章微分方程

第二节一阶微分方程第三节二阶微分方程第四节微分方程的应用第二节一阶微分方程一阶微分方程第二节一阶微分方程一、可分离变量微分方程要注意的是，同时积分，左边是对y积分，右边是对x积分.这种求解微分方程的方法称为分离变量法.第二节一阶微分方程一、可分离变量微分方程第二节一阶微分方程一、可分离变量微分方程第二节一阶微分方程一、可分离变量微分方程第二节一阶微分方程一、可分离变量微分方程第二节一阶微分方程一、可分离变量微分方程第二节一阶微分方程二、齐次微分方程第一节一阶微分方程二、齐次微分方程第二节一阶微分方程二、齐次微分方程第二节一阶微分方程二、齐次微分方程第二节一阶微分方程三、一阶线性微方程第二节一阶微分方程三、一阶线性微方程第二节一阶微分方程三、一阶线性微方程第二节一阶微分方程三、一阶线性微方程第二节一阶微分方程三、一阶线性微方程第二节一阶微分方程三、一阶线性微方程第二节一阶微分方程三、一阶线性微方程第二节一阶微分方程三、一阶线性微方程第二节一阶微分方程三、一阶线性微方程第二节一阶微分方程三、一阶线性微方程职业模块第一节微分方程的基本概念第七章微分方程

第二节一阶微分方程第三节二阶微分方程第四节微分方程的应用第三节二阶微分方程一、可降阶的微分方程第三节二阶微分方程一、可降阶的微分方程第三节二阶微分方程一、可降阶的微分方程第三节二阶微分方程一、可降阶的微分方程第三节二阶微分方程一、可降阶的微分方程第三节二阶微分方程二、二阶常系数线性微分方程第三节二阶微分方程二、二阶常系数线性微分方程第三节二阶微分方程二、二阶常系数线性微分方程第三节二阶微分方程二、二阶常系数线性微分方程第三节二阶微分方程二、二阶常系数线性微分方程第三节二阶微分方程二、二阶常系数线性微分方程第三节二阶微分方程二、二阶常系数线性微分方程第三节二阶微分方程二、二阶常系数线性微分方程第三节二阶微分方程二、二阶常系数线性微分方程第三节二阶微分方程二、二阶常系数线性微分方程第三节二阶微分方程二、二阶常系数线性微分方程第三节二阶微分方程二、二阶常系数线性微分方程第三节二阶微分方程二、二阶常系数线性微分方程第三节二阶微分方程二、二阶常系数线性微分方程第三节二阶微分方程二、二阶常系数线性微分方程第三节二阶微分方程二、二阶常系数线性微分方程第三节二阶微分方程二、二阶常系数线性微分方程第三节二阶微分方程二、二阶常系数线性微分方程第三节二阶微分方程二、二阶常系数线性微分方程第三节二阶微分方程二、二阶常系数线性微分方程第三节二阶微分方程二、二阶常系数线性微分方程职业模块第一节微分方程的基本概念第七章微分方程

第二节一阶微分方程第三节二阶微分方程第四节微分方程的应用第四节微分方程的应用微分方程的应用第四节微分方程的应用微分方程的应用第四节微分方程的应用微分方程的应用第四节微分方程的应用微分方程的应用第四节微分方程的应用微分方程的应用第四节微分方程的应用微分方程的应用第四节微分方程的应用微分方程的应用第四节微分方程的应用微分方程的应用第八章多元函数微积分及其应用职业模块学习目标与章节结构CHAPTER08学习目标理解多元函数的概念、极限、连续性.掌握多元函数偏导数的概念及计算，全微分的概念及计算.会求多元函数最值，会用条件极值、拉格朗日乘数法.熟练掌握二重积分的计算方法.会应用二重积分的思想进行重心、形心等简单计算.01多元函数极限与连续性02偏导数及全微分03多元函数的极值及其应用第八章多元函数微积分及其应用04二重积分用数学的眼光看世界

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用数学的工具改造世界职业模块第一节多元函数极限与连续性第八章多元函数微积分及其应用

第二节偏导数及全微分第三节多元函数的极值及其应用第四节二重积分第一节多元函数极限与连续性一、多元函数的概念第一节多元函数极限与连续性一、多元函数的概念第一节多元函数极限与连续性一、多元函数的概念第一节多元函数极限与连续性一、多元函数的概念第一节多元函数极限与连续性一、多元函数的概念第一节多元函数极限与连续性一、多元函数的概念第一节多元函数极限与连续性一、多元函数的概念第一节多元函数极限与连续性一、多元函数的概念第一节多元函数极限与连续性二、多元函数的极限第一节多元函数极限与连续性二、多元函数的极限第一节多元函数极限与连续性二、多元函数的极限第一节多元函数极限与连续性二、多元函数的极限第一节多元函数极限与连续性三、多元函数的连续性职业模块第一节多元函数极限与连续性第八章多元函数微积分及其应用

第二节偏导数及全微分第三节多元函数的极值及其应用第四节二重积分第二节偏导数及全微分一、偏导数的定义及计算第二节偏导数及全微分一、偏导数的定义及计算第二节偏导数及全微分一、偏导数的定义及计算第二节偏导数及全微分一、偏导数的定义及计算第二节偏导数及全微分一、偏导数的定义及计算第二节偏导数及全微分一、偏导数的定义及计算第二节偏导数及全微分一、偏导数的定义及计算第二节偏导数及全微分一、偏导数的定义及计算第二节偏导数及全微分一、偏导数的定义及计算第二节偏导数及全微分一、偏导数的定义及计算第二节偏导数及全微分一、偏导数的定义及计算第二节偏导数及全微分一、偏导数的定义及计算第二节偏导数及全微分二、全微分第二节偏导数及全微分二、全微分第二节偏导数及全微分二、全微分第二节偏导数及全微分二、全微分第二节偏导数及全微分二、全微分第二节偏导数及全微分二、全微分第二节偏导数及全微分二、全微分第二节偏导数及全微分二、全微分第二节偏导数及全微分二、全微分第二节偏导数及全微分二、全微分职业模块第一节多元函数极限与连续性第八章多元函数微积分及其应用

第二节偏导数及全微分第三节多元函数的极值及其应用第四节二重积分第二节偏导数及全微分一、二元函数的极值第二节偏导数及全微分一、二元函数的极值第二节偏导数及全微分一、二元函数的极值第二节偏导数及全微分一、二元函数的极值第二节偏导数及全微分一、二元函数的极值第二节偏导数及全微分一、二元函数的极值第二节偏导数及全微分一、二元函数的极值第二节偏导数及全微分一、二元函数的极值第二节偏导数及全微分一、二元函数的极值第二节偏导数及全微分二、最大值与最小值第二节偏导数及全微分二、最大值与最小值第二节偏导数及全微分二、最大值与最小值第二节偏导数及全微分三、条件极值、拉格朗日乘术法第二节偏导数及全微分三、条件极值、拉格朗日乘术法第二节偏导数及全微分三、条件极值、拉格朗日乘术法第二节偏导数及全微分三、条件极值、拉格朗日乘术法职业模块第一节多元函数极限与连续性第八章多元函数微积分及其应用

第二节偏导数及全微分第三节多元函数的极值及其应用第四节二重积分第二节偏导数及全微分一、二重积分概述第二节偏导数及全微分一、二重积分概述第二节偏导数及全微分一、二重积分概述第二节偏导数及全微分一、二重积分概述第二节偏导数及全微分一、二重积分概述第二节偏导数及全微分一、二重积分概述第二节偏导数及全微分一、二重积分概述第二节偏导数及全微分一、二重积分概述第二节偏导数及全微分一、二重积分概述第二节偏导数及全微分一、二重积分概述第二节偏导数及全微分一、二重积分概述第二节偏导数及全微分二、二重积分的计算第二节偏导数及全微分二、二重积分的计算第二节偏导数及全微分二、二重积分的计算第二节偏导数及全微分二、二重积分的计算第二节偏导数及全微分二、二重积分的计算第二节偏导数及全微分二、二重积分的计算第二节偏导数及全微分二、二重积分的计算第二节偏导数及全微分二、二重积分的计算第二节偏导数及全微分二、二重积分的计算第二节偏导数及全微分二、二重积分的计算第二节偏导数及全微分二、二重积分的计算第二节偏导数及全微分二、二重积分的计算第二节偏导数及全微分二、二重积分的计算第二节偏导数及全微分二、二重积分的计算第二节偏导数及全微分二、二重积分的计算第二节偏导数及全微分二、二重积分的计算第二节偏导数及全微分二、二重积分的计算第二节偏导数及全微分二、二重积分的计算第九章空间解析几何职业模块学习目标与章节结构CHAPTER09学习目标理解空间解析几何数形结合的思想；掌握空间向量的几何与坐标表示；学会建立平面、空间直线的方程；能利用方程和向量分析空间元素的位置关系与度量；夯实后续微积分学习的空间思维基础。01向量的几何表示02向量的坐标表示03平面及其方程第九章空间解析几何04空间直线及其方程用数学的眼光看世界

用数学的思维分析世界

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用数学的工具改造世界职业模块第一节向量的几何表示第九章空间解析几何

第二节向量的坐标表示第三节平面及其方程第四节空间直线及其方程第一节向量的几何表示一、空间之间坐标系第一节向量的几何表示一、空间之间坐标系第一节向量的几何表示一、空间之间坐标系第一节向量的几何表示一、空间之间坐标系第一节向量的几何表示二、向量的概念第一节向量的几何表示三、向量的线性运算第一节向量的几何表示三、向量的线性运算第一节向量的几何表示四、向量的投影第一节向量的几何表示四、向量的投影第一节向量的几何表示四、向量的投影职业模块第一节向量的几何表示第九章空间解析几何

第二节向量的坐标表示第三节平面及其方程第四节空间直线及其方程第二节向量的坐标表示一、空间坐标系第二节向量的坐标表示二、空间中两点之间的距离第二节向量的坐标表示三、空间中点的对称第二节向量的坐标表示三、空间中点的对称第二节向量的坐标表示四、向量的坐标第二节向量的坐标表示四、向量的坐标第二节向量的坐标表示四、向量的坐标第二节向量的坐标表示五、向量坐标表示的基本性质第二节向量的坐标表示五、向量坐标表示的基本性质第二节向量的坐标表示六、数量积第二节向量的坐标表示六、数量积第二节向量的坐标表示六、数量积第二节向量的坐标表示六、数量积第二节向量的坐标表示七、向量积第二节向量的坐标表示七、向量积第二节向量的坐标表示七、向量积第二节向量的坐标表示七、向量积第二节向量的坐标表示七、向量积第二节向量的坐标表示七、向量积第二节向量的坐标表示七、向量积第二节向量的坐标表示七、向量积第二节向量的坐标表示七、向量积职业模块第一节向量的几何表示第九章空间解析几何

第二节向量的坐标表示第三节平面及其方程第四节空间直线及其方程第三节平面及其方程一、平面方程第三节平面及其方程一、平面方程第三节平面及其方程一、平面方程第三节平面及其方程一、平面方程第三节平面及其方程一、平面方程第三节平面及其方程一、平面方程第三节平面及其方程一、平面方程第三节平面及其方程一、平面方程第三节平面及其方程二、平面之间